等差数列部分公式推导过程
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是数学中常见的数列类型，它的每个相邻项之间的差值是相等的。
在解决等差数列相关问题时，求和公式是一个重要的工具。
本文将介绍等差数列的求和公式以及如何推导得到，并给出相关例题进行说明。
一、等差数列的定义和通项公式等差数列是指数列中的每个项之间的差值都是相等的。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。
二、等差数列的部分和公式在等差数列中，若要求前n项的和Sₙ，可以利用部分和公式进行计算。
设前n项和为Sₙ，则部分和公式为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2三、等差数列求和公式的推导过程为了得到等差数列求和公式，我们可以利用等差数列的通项公式进行推导。
首先，代入部分和公式中的n，得到：Sₙ = (a₁ + (a₁ + (n-1)d)) * n / 2化简得到：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2继续化简得到：Sₙ = (n * (2a₁ + (n-1)d)) / 2最终，我们得到等差数列的求和公式：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2四、等差数列求和公式的应用现在我们通过一个例题来说明等差数列求和公式的应用。
例题：求等差数列5，8，11，14，17的前10项和。
解：根据题目可知，等差数列的首项a₁为5，公差d为3，项数n 为10。
我们可以利用求和公式计算：Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2代入已知条件得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + (10-1) * 3)) / 2化简计算得到：S₁₀ = 10 * (5 + (5 + 27)) / 2S₁₀ = 10 * (5 + 32) / 2S₁₀ = 10 * 37 / 2S₁₀ = 185所以，等差数列5，8，11，14，17的前10项和为185。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了等差数列的求和公式以及推导过程。
等差数列通项公式推导
等差数列通项公式推导摘要：1.等差数列的定义和性质2.等差数列的通项公式3.通项公式的推导过程4.通项公式的应用正文：1.等差数列的定义和性质等差数列是一类特殊的数列，它的每一项与它前面的项的差相等。
设一个等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的第n 项可以表示为an=a1+(n-1)d。
这里，a1 是数列的第一个元素，d 是数列中相邻两项的差，n 是数列的项数。
2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指用来表示等差数列中任意一项的数学公式。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an 表示等差数列的第n 项，a1 表示等差数列的首项，d 表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数。
3.通项公式的推导过程为了更好地理解等差数列的通项公式，我们来看一下它的推导过程。
假设等差数列的前n 项和为Sn，则有：Sn = a1 + a2 + a3 +...+ an根据等差数列的性质，我们知道：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d...an = a1 + (n - 1)d将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) +...+ (a1 + (n - 1)d)将每一项中的a1 提取出来，得：Sn = a1 * n + d * (1 + 2 + 3 +...+ (n - 1))根据等差数列求和公式，我们知道：1 +2 +3 +...+ (n - 1) = n * (n - 1) / 2将上述等式代入Sn 中，得：Sn = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2由于等差数列的第n 项an 等于前n 项和Sn 减去前n-1 项和Sn-1，所以：an = Sn - Sn-1 = a1 * n + d * n * (n - 1) / 2 - [a1 * (n - 1) + d * (n - 1) * (n - 2) / 2]化简得：an = a1 + (n - 1)d这就是等差数列的通项公式。
等差数列通项公式推导
16.在等比数列 {an }中,a3a4a5 3,a6a7a8 24, 则 a9a10a11 D
A. 48 B. 72 C. 144
D. 192
17.在等比数列{an } 中,2a4 a6 a5
则公比q等于: C
A. 1或2 B. -1或-2 C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法
3、在等比数列{an}中, a2 2, a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 __±__1_6_.
5、若等比数列{an}中, ⑴⑵若若已已知 知aa23=a44a,a55==8,求12,a求2aa6n的; 值.
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
3、a1 .an
.p..,aqa22.a.Na1仍n ,且 为1 m等a比3n.a数np列2其q,.则公.. a比m 为anq1
a
p
a
q
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法: an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0）
N=N+1 A=A*(1/2)
N5？
结束
例3．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5
1 4
由等比数列通项公式得 1
q4
a5 a1
1 16
所以 q 2
1
因此插入的3个数依次是2，1 1
，
2
或－2，1，－ 2
等差数列三条公式
等差数列三条公式等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有一定的规律性。
在等差数列中，有三条重要的公式，分别是求前n项和、求通项公式和求项数的公式。
下面将依次介绍这三条公式。
一、求前n项和的公式：对于等差数列，求前n项和是常见的问题。
我们可以通过一个简单的公式来求解。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则前n项和Sn可表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1为首项，an为第n项，n为项数。
这个公式的推导过程比较简单，就不再赘述。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以通过这个公式来求其前4项和：a1 = 1, an = 7, n = 4Sn = (1 + 7) * 4 / 2 = 8 * 2 = 16二、求通项公式的公式：通项公式是指等差数列中第n项与公差、首项之间的关系式。
对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1) * d其中，an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式的推导过程也是比较简单的，可以通过观察数列的规律得到。
例如，对于等差数列2, 5, 8, 11，我们可以通过这个公式来求其第5项：a1 = 2, d = 3, n = 5an = 2 + (5 - 1) * 3 = 2 + 12 = 14三、求项数的公式：有时候，我们知道等差数列的首项、公差和前n项和，想要求项数n。
这个时候，我们可以利用求根公式来解决。
设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则项数n可表示为：n = (2 * Sn - a1) / d + 1这个公式的推导过程较为复杂，主要是通过求解一元二次方程来得到。
但是在实际应用中，我们可以直接使用这个公式来求解。
例如，对于等差数列3, 6, 9, 12，我们知道a1 = 3, d = 3，前n 项和Sn = 18，希望求解项数n，可以使用这个公式：n = (2 * 18 - 3) / 3 + 1 = 36 / 3 + 1 = 12 + 1 = 13以上就是等差数列中三个重要的公式：求前n项和的公式、求通项公式的公式和求项数的公式。
等差数列通项公式推导
等差数列通项公式推导
摘要：
1.等差数列的定义与性质
2.等差数列的通项公式
3.通项公式的推导过程
4.通项公式的应用
正文：
1.等差数列的定义与性质
等差数列是一类特殊的数列，它的每一项与它前面的项的差相等。
等差数列的性质包括：任意两项之差相等，任意一项等于它前面两项的平均数，项数为n 的等差数列有n(n+1)/2 个项。
2.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是指数列中任意一项的表达式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则其通项公式为：
an = a1 + (n-1)d
3.通项公式的推导过程
为了推导等差数列的通项公式，我们可以采用数学归纳法。
首先验证n=1 的情况，此时等差数列只有一项，即a1，公式an = a1 成立。
接下来，假设当n=k 时，公式成立，即：
ak = a1 + (k-1)d
我们需要证明当n=k+1 时，公式仍然成立：
ak+1 = ak + d
由假设，我们知道：
ak = a1 + (k-1)d
将ak 代入上式得：
ak+1 = a1 + (k-1)d + d
化简得：
ak+1 = a1 + kd
因此，当n=k+1 时，公式也成立。
根据数学归纳法，我们可以得出等差数列的通项公式对任意正整数n 都成立。
4.通项公式的应用
等差数列的通项公式在实际问题中有广泛的应用，例如在数学、物理、化学等学科中，常常需要求解等差数列中某一项的值。
通过通项公式，我们可以方便地计算出任意一项的值，从而解决实际问题。
此外，通项公式还可以用于求解等差数列的和、平均数等问题。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
等差数列三个基本公式推导
等差数列三个基本公式推导
等差数列的三个基本公式是：
1. 通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
证明：设等差数列的第k项为aₙ，则 aₙ = a₁ + (k-1)d。
将k替换为n得到 aₙ = a₁ + (n-1)d。
2. 前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则前n项和公式为Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
证明：等差数列的前n项和可以表示为 Sₙ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n-1)d)。
将每一项按照首项和公差展开得到Sₙ = na₁ + d(1+2+...+(n-1))。
根据等差数列的性质，1+2+...+(n-1)可以表示为(n-1)n/2，代入得到Sₙ = na₁ + d(n-1)n/2 = (n/2)(2a₁ + (n-1)d) = (n/2)(a₁ + aₙ)。
3. 通项和前n项和的关系：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，前n项和为Sₙ，则有 Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
证明：将通项公式 aₙ = a₁ + (n-1)d 代入前n项和公式 Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ) 中得到Sₙ = (n/2)(a₁ + a₁ + (n-1)d) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d) = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差等比数列的前n项和公式
等差等比数列的前n项和公式等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，公差为d，首项为a。
等差数列的前n项和Sn可表示为：Sn=(n/2)某(a+(a+(n-1)d))其中，n为要求的项数。
等差数列的前n项和公式的推导如下：设等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，最后一项为an。
则有：an = a + (n-1)d （1）通项公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a+d第三项：a3=a+2d...第n项：an = a + (n-1)d等差数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an将等差数列的通项公式代入，得到：Sn = (a1 + an)某n / 2代入(1)得到：Sn=(2a+(n-1)d)某n/2化简得：Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)化简后的公式即为等差数列的前n项和公式。
例如，假设有一个等差数列的首项a为2，公差d为3，要求前5项的和Sn。
代入公式Sn=(n/2)某(2a+(n-1)d)，得到：Sn=(5/2)某(2某2+(5-1)某3)Sn=(5/2)某(4+12)Sn=(5/2)某16Sn=40所以，该等差数列的前5项和为40。
对于等比数列，其通项公式为：an = a 某 r^(n-1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的前n项和Sn可表示为：Sn=a某(r^n-1)/(r-1)其中，n为要求的项数。
等比数列的前n项和公式的推导如下：首项：a1=a第二项：a2=a某r第三项：a3=a某r^2...第n项：an = a 某 r^(n-1)等比数列前n项和：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an等比数列的前n项和可以通过等差数列的前n项和公式推导得到。
首先，将等比数列的各项都除以首项a，得到新的数列。
新数列的首项为1，公比为r。
对新数列来说，其前n项和Sn可以表示为：Sn'=1+r+r^2+...+r^(n-1)其中，n为项数。
等差数列求和公式及推导方法
等差数列求和公式及推导方法
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
1等差数列公式1.定义式
2.通项公式
3.求和公式
4.前n项和公式
1等差数列推论（1）从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常
数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次
函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)
=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)
+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-
1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，
…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n项和•例题解析一、等差数列前n项和公式推导：(1)Sn二a1+a2+ an-1+an也可写成Sn二an+an-1+ .a2+a1两式相加得2Sn二(a1+an)+(a2+an-1)+ (an+a1)=n( a1+a n)所以Sn二[n ( a1+an)]/2 (公式一)(2)如果已知等差数列的首项为a1，公差为d,项数为n，则an=a1+( n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2 (公式二)二、对于等差数列前n项和公式的应用【例1] 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.解依题意，得伽+ ^^^^d = 1401 2a1+ a3+ a5+ a7+ a9 = 5a1+ 20d =125解得a1=113, d=- 22.•••其通项公式为a n =113 + (n —1) • ( —22)= —22n+ 135a6= — 22 x 6+ 135= 3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d, 再求其他的.这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=ai+ 5d,也可以不必求出a n而2a1+ 9d = 28直接去求a6，所列方程组化简后可得1相减即得a1+ 5d = 3, 6a4d = 25 11+即a6= 3.可见，在做题的时候，要注意运算的合理性.当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】在两个等差数列2, 5, 8,…，197与2,7, 12,…，197中，求它们相同项的和.解由已知，第一个数列的通项为a n= 3n - 1;第二个数列的通项为b N=5N- 3若am= bN,则有3n- 1 = 5N- 3即n= N +心）3若满足n为正整数，必须有N= 3k + 1（k为非负整数）.又2< 5N- 3< 197,即1< N<40，所以N= 1, 4, 7,…，40 n=1 , 6, 11,…，66二两数列相同项的和为2+17+32+…+ 197=1393【例3】选择题：实数a, b, 5a,乙3b,…，c组成等差数列，且a + b + 5a+ 7 + 3b+…+ c = 2500,则a, b, c的值分别为A. 1, 3, 5B. 1, 3, 7C. 1, 3, 99D. 1, 3, 9解C由题设2b = a+ 5a b = 3a又v 14 = 5a + 3b,a = 1,b = 3首项为1，公差为2▼n(n 1)又S n= na+ 厂Ln(n 1)二2500 =n+ • 2 二n= 502a50=c=1 + (50 —1) • 2=99二a = 1, b= 3, c= 99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9 : 13，求插入的数的个数.解依题意2= 1 + (2n + 2—1)d①前半部分的和S n+1= (n + 1) + (n21)n d ②后半部分的和S'n+1= (n + 1) • 2 + 5 加• ( —d) ③nd 2 9nd 132 解之，得 nd =—11由①，有(2n + 1)d=11由④，⑤，解得d =—，11• ••共插入10个数.【例5】 在等差数列｛a n ｝中，设前m 项和为S m 前n 项和为N ，且乩乔n，求Sm+n1解■/ S m+n = (m + n)a 1 + (m + n)(m + n — 1)d1=(m + n)[a 1 + — (m + n — 1)d]且 SmFS n ，n1 1…ma 1 + m(m — 1)d = na 1 + n(n _ 1)d整理得(m — n)a 1 + £ (m — n)(m + n — 1) = 01即(m — n)[a 1 + - (m + n — 1)d] = 0 1由 mH n ，知 a 1+ 2(m + n — 1)d = 0二 S m+rr 0由已知，有S'n 1(n 1)(1 罗)(n 1)(29_ nd 13 y )1 化简，得-2【例6】已知等差数列｛a n｝中，S3=21，S6=64,求数列｛|a n | ｝的前n 项和T n .分析 等差数列前n 项和S n = na j +-n(n»d ,含有两个未知数a 1,2解设公差为d ,由公式S n = nq + n(n 1d3a 1 + 3d = 21 得 ba 1 + 15d = 24解方程组得：d = — 2, ai = 9• • an = 9 + (n — 1)(n — 2) = — 2n + 11由a n = — 2n + 11> 0得nv=5.5，故数列｛a n ｝的前5项为正,其余各项为负.数列｛a n ｝的前n 项和为：•••当 nW 5 时，T n = — n 2+10n 当 n > 6时，Tn =岂+心门―S 5| = S 5— (Sn — S 5) = 2S5―Sn• T n = 2( — 25+ 50) — ( — n 2+ 10 n) = n 2— 10n + 50T n = — n 2 + 10n n 2 — 10 n + 50说明 根据数列｛a n ｝中项的符号，运用分类讨论思想可 求｛|a n | ｝的前n 项和.【例7】 在等差数列｛a n ｝中，已知a6 + ag + a 〔2 + ad ,已知S3和S6的值，解方程组可得ai 与d ，再对数 列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn 来.S n = 9n +n(n 21)( - 2) = - n 2+ 10nnW 5 n > 6〔5=34,求前20项之和.解法一一由ae + ag + a〔2 + a〔5 = 34 得4ai + 38d= 3420X19又S20 = 20a1 + 2— d=20ai + 190d=5(4a1 + 38d)=5 X 34=170(ai + a20 ) X20解法一S20 = - 2= 10(a1+a20)由等差数列的性质可得：a6+ a15=ag + a12 = a1 + a20 + a20=17S20= 170【例8] 已知等差数列｛a n｝的公差是正数，且a3 £7二—12, a4+ a6= -4,求它的前20项的和S20的值.解法一设等差数列｛aj的公差为d,则d>0,由已知可得(a1+ 2d)(a1+ bd) = —12 ①a1+ 3d + a1+ 5d = —4 ②由②，有a1 = —2 —4d,代入①，有d2=4再由d>0,得d = 2 二a1=—10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20= 180解法二由等差数列的性质可得：a4 + a6= a3+ a7 即a3+ a7= —4又a3 • a7=-12,由韦达定理可知：a 3, a 7 是方程 x 2+ 4x —12 = 0 的二根解方程可得xi=— 6, X2 = 2T d > 0二｛a n ｝是递增数列 •••a3= — 6, a7=2a ? a 3d= TT = 2，a 1=—10, S 20=180【例9】 等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和Tn ,分析 该题是将 弹与I 2笔发生联系，可用等差数列的前n 项b 100 T n 3n 1和公式S n = “⑻怜）把前n 项和的值与项的值进行联系.n2 解法一 S 啥久)T 讹1 6)Sna1 an• a1 an2 nT n b 1 b n b 1 b n 3 n 1T 2aioo = ai + ai99，2bioo = bl + X99aw 。
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全
等差数列的所有公式包括：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
2.项数公式：n=(an-a1)/d+1。
这给出了等差数列的项数的计算方法。
3.求和公式：Sn=(a1+an)n/2或Sn=n/2*(a1+an-d)。
这用于计算等差数列的前n 项和。
4.项与项数关系公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
5.求和公式推导：an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d…a2-a1=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
这些公式可以用于求解等差数列的各种问题，包括求某一项或几项的和，判断一个数列是否为等差数列，等等。
在使用这些公式时，需要记住一些重要的参数，如首项、公差和项数。
等差数列前n项和公式的推导过程
等差数列前n项和公式的推导过程等差数列是指数列中连续两项之差都相等的一类数列。
第一个常见的等差数列就是自然数数列。
我们可以先从自然数数列的求和开始推导等差数列的前n项和的公式。
考虑自然数1,2,3,...,n，这是一个差为1的等差数列。
可以观察到这个数列可以分成两组，一组从1加到n，得到的和为S1；另一组从n加到1，得到的和为S2、这两个和相加，就得到了n个自然数的和，即n(n+1)/2，也就是我们常说的自然数的前n项和公式。
现在我们从自然数数列的求和公式出发，推广到一般的等差数列的情况。
我们假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
那么这个数列可以表示为a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d。
我们将这个数列翻转，让首项变为an，公差变为-d，得到的翻转数列为an, an-d, an-2d, ..., an-(n-1)d。
现在让这两个数列相加，对应项相加得到2an, 2an, 2an, ...，得到一个新的等差数列。
这个新的数列每一项都是2an，所以它的和为2an*n。
将两个数列相加，得到的和就是等差数列的前n项和Sn。
所以我们有2Sn=(a+(a+(n-1)d))*n。
化简上式，得到2Sn=(2a+(n-1)d)*n。
再将上式两边同时除以2，得到Sn = (a + an) * n / 2由于等差数列的第n项an可以表示为a + (n-1)d，将an代入上式，得到Sn = (a + (a + (n-1)d)) * n / 2进一步化简，得到Sn=n(a+a+(n-1)d)/2最终，我们得到了等差数列的前n项和公式Sn = n(a + an) / 2这就是等差数列的前n项和公式的推导过程。
需要注意的是，这个公式只适用于公差为d的等差数列，对于公差为负数或者是浮点数的等差数列，不适用。
此外，公式中的a和an分别表示等差数列的首项和第n项。
等差数列求和公式证明推导
等差数列求和公式证明推导1.等差数列等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式为：an=a1+(n-1)*d。
首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
注意：以上n均属于正整数。
2.求和公式若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：S=(a1+an)n÷2即(首项+末项)×项数÷2前n项和公式注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。
即[a1+a1+(n-1)d]*n/2={a1n+n(n-1)d}/2。
Sn=n*a1+{n*(n-1)}/2*d点击查看：高中数学知识点总结3.等差数列求和公式证明推导一。
从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。
=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}三。
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。
等差数列三个基本公式推导
等差数列三个基本公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等差数列是数学中非常重要的概念，它使用简单的数学规律描述了数字之间的关系。
在等差数列中，每个数字与它前面的数字之间都有一个固定的差值，这个差值称为公差。
等差数列的一般形式可以表示为：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n-1)d，其中a表示数列的首项，d表示公差，n表示数列的项数。
等差数列具有很多有用的性质和规律，因此在数学和科学领域中被广泛应用。
在学习等差数列的过程中，常常会用到三个基本公式：求和公式、通项公式和前n项公式。
这三个公式是等差数列计算的基础，通过它们我们可以快速准确地计算等差数列的各种属性。
下面我们将分别推导这三个基本公式。
一、求和公式推导在等差数列中，求和公式用来表示数列中所有项的和。
我们设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，那么总和为Sn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)。
我们将Sn的式子反向排列，并将其与原式相加，得到2Sn=(2a+(n-1)d)+(2a+(n-1)d)+...+(2a+(n-1)d)。
两式相加后，我们得到2Sn=n(2a+(n-1)d)。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中所有项的和，而不需要一个一个逐项相加。
在等差数列中，通项公式可以帮助我们找到数列中的任意一项，而不需要一个个地逐项计算。
通项公式的一般形式为An=a+(n-1)d，其中An表示数列中第n项。
我们设数列中第n项为Sn=a+(n-1)d，第n-1项为Sn-1=a+(n-2)d。
将An与An-1相减，我们得到An-An-1=d。
通项公式为An=a+(n-1)d。
通过通项公式，我们可以快速地找到数列中任意一项，这个公式在数学计算和推导中非常有用。
三、前n项公式推导等差数列前n项和的公式为Sn=n/2(a1+an)。
第二篇示例：等差数列是数学中非常重要的一种数列，它的每个项之间的差都是相等的。
等差数列第n项公式推导
等差数列第n项公式推导等差数列是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述一组数字之间的关系。
在等差数列中，每个数字与它的前一个数字之间的差值都是相等的，这个差值被称为公差。
根据等差数列的性质，我们可以推导出等差数列的第n项公式。
我们来看一个简单的例子：1，3，5，7，9。
这个数列中的每个数字与它的前一个数字之间的差值都是2，所以公差为2。
我们可以观察到，每个数字都可以用第一个数字1加上一个递增的数乘以公差2来得到。
例如，第2项可以通过1 + (2-1) * 2得到，第3项可以通过1 + (3-1) * 2得到，以此类推。
那么，如何推导出等差数列的第n项公式呢？我们可以从这个例子出发，进行一般化的推理。
假设等差数列的第一项为a1，公差为d，我们需要求解第n项an 的值。
根据前面的观察，我们可以得到以下等式：an = a1 + (n-1) * d。
这个等式的推导过程如下：首先，第n项与第一项之间的差值为(n-1)个公差，所以我们可以用a1加上(n-1)个公差来得到第n项。
这个等式适用于任意的等差数列，无论公差是正数、负数还是零。
例如，我们可以用这个公式来计算等差数列1，3，5，7，9的第100项。
根据公式，我们知道a1为1，d为2，n为100。
将这些值代入公式中，我们可以得到an = 1 + (100-1) * 2 = 199。
所以，这个等差数列的第100项为199。
除了等差数列的第n项公式，我们还可以推导出等差数列的前n项和公式。
等差数列的前n项和表示了数列中前n个数字的和，它可以用来求解数列的总和。
假设等差数列的第一项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
我们可以得到以下等式：Sn = (n/2) * (a1 + an)。
这个等式的推导过程如下：首先，我们可以将数列分成n/2对，每一对的两个数字之和都等于第一项和最后一项的和。
所以，我们可以将每一对的和相加得到Sn。
而每一对的和都等于a1 + an，所以我们可以将每一对的和乘以n/2得到Sn。
等差数列通项公式推导
等差数列通项公式推导等差数列通项公式是数学中的一种重要公式，它用于求解等差数列中的任意一项的值。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
在推导等差数列通项公式之前，我们先来了解一下等差数列的基本概念和性质。
等差数列的定义很简单：如果一个数列中任意两个相邻的数之差都相等，那么这个数列就是等差数列。
这个相邻两项之差称为等差数列的公差，记为d。
等差数列的性质也很重要，掌握这些性质对于推导通项公式非常有帮助。
首先，等差数列的前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
其次，等差数列的前n 项平均值等于其中任意两项的平均值，即a1 + an / 2。
最后，等差数列的任意一项可以表示为an = a1 + (n - 1) * d，其中an为第n 项，a1为首项，d为公差。
有了等差数列的基本概念和性质，现在我们来推导等差数列通项公式。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，根据等差数列的性质an = a1 + (n - 1) * d。
我们可以将等差数列的前n项表示为S(n) = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + an。
接下来，我们将这个等差数列的前n项按照从首项到末项和从末项到首项的顺序相加：S(n) = a1 + an + a2 + (an - d) + a3 + (an - 2d) + ... + (a(n-1)) + (a1 + (n - 1) * d)。
将上面两个式子相加，得到：2S(n) = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = n * (a1 + an)。
整理上式，可以得到等差数列的前n项和公式：S(n) = n * (a1 + an) / 2。
根据等差数列的性质，首项a1和末项an可以表示为：a1 = a1，an = a1 + (n - 1) * d。