尺规作图数学史

初中尺规作图数学史

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来
解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出
尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问
题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，
最后总结在《几何原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因
此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方
法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第
二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么
复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的
作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至 1837 年，万芝尔（Pierre Laurent
Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学
家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明 π 是一个超越数（即 π 是一个不满足任何整系数

代数方程的实数），由此即可推得根号 π(即当圆半径 r ?1时所求正方形的边长）不可能用尺
规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现
的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及
三

等分任意角最受注意.数学家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错
误作法结集成书.
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著
名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不
足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺
规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非
负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出
的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
　用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形

2.生锈圆规作图，已知两点 A 、 B ，找出一点 C 使得 AB ? BC ? CA .

3.已知两点 A 、 B ，只用半径固定的圆规，求作 C 使 C 是线段 AB 的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思
路就有了更简洁的表达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672
年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，
单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交
点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：
1.做一线段等于已知线段
2.做一角等于已知角
3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这
两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的
位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一
条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交

点来解作图题的
方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇

A 、 B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建
在什么位置？
F
m
A
B D

C
O 1
m n
A
B


C
n 2
G
E
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条

件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应
是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；


⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C1 ， C2 就是发射塔

的位置.


⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用
代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称
为代数作图法.


【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】 设半径为1.可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周.我们
的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个 3 的长度.设法构造斜边为 3

，一直角边为1的直角三角形， 2 的长度自然就出来了.

【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为 1.

⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 3 .

⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.
（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等

分点”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等

腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是

2 .）

⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！


⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使
已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.


【例3】 已知：直线 a 、 b 、 c ，且 a∥∥b c .

求作：正 ?ABC ，使得 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.

A
a
a
D'
b
b B D

c
c C


【分析】 假设 ?ABC 是正三角形，且顶点 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.作 AD ? b 于

D ，将 ?ABD 绕 A 点逆时针旋转 60? 后，置于 ?ACD' 的位置，此时点 D' 的位置可以确

定.从而点 C 也可以确定.再作 ?BAC ? 60? ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形
可以作出.

【解析】 作法：

⑴ 在直线 a 上取一点 A ，过 A 作 AD ? b 于点 D ；

⑵ 以 AD 为一边作正三角形 ADD' ；
⑶ 过 D' 作 D'C ? AD' ，交直线 c 于 C ；

⑷ 以 A 为圆心， AC 为半径作弧，交 b 于 B (使 B 与 D' 在 AC 异侧).

⑸ 连接 AB 、 AC 、 BC 得 ?ABC .

?ABC 即为所求.
⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条
件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放
大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.

【例4】 已知：一锐角 ?ABC .

求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在 BC 边上， F 在 AC 边上， G 在 AB 边上.

A A

G F
G'
F'

B C B D' D E' E C

【分析】 先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件，作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D'E 'F 'G '，

然后利用位似变换将正方形 D'E

'F 'G '放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形

DEFG .

【解析】 作法：

⑴ 在 AB 边上任取一点 G ' ，过 G ' 作 G 'D' ? BC 于 D'

⑵ 以 G 'D' 为一边作正方形 D'E 'F 'G '，且使 E ' 在 BD' 的延长线上.

⑶ 作直线 BF ' 交 AC 于 F .

⑷ 过 F 分别作 FG∥F 'G ' 交 AB 于 G ；作 FE ∥F 'E ' 交 BC 于 E .

⑸ 过 G 作 GD∥G 'D' 交 BC 于 D .

则四边形 DEFG 即为所求.


⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个
三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不
变，从而完成所作图形.

【例5】 如图，过 ?ABC 的底边 BC 上一定点， P ，求作一直线 l ，使其平分 ?ABC 的面积.