尺规作图数学史
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这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至 1837 年，万芝尔（Pierre Laurent
Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学
单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交
点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：
1.做一线段等于已知线段
2.做一角等于已知角
3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
在什么位置？
F
m
A
误作法结集成书.
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著
名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这
两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的
位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一
条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的
方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇
A 、 B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第
二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么
复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的
是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；
⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C1 ， C2 就是发射塔
Байду номын сангаас 的位置.
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条
件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应
负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出
的，向全法国数学家的挑战.
A
a
a
D'
b
b B D
【分析】 设半径为1.可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周.我们
的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个 3 的长度.设法构造斜边为 3
，一直角边为1的直角三角形， 2 的长度自然就出来了.
m n
A
B
C
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不
足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺
规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非
B D
C
O 1
解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出
尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问
题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，
⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使
已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.
【例3】 已知：直线 a 、 b 、 c ，且 a∥∥b c .
求作：正 ABC ，使得 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.
家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明 π 是一个超越数（即 π 是一个不满足任何整系数
代数方程的实数），由此即可推得根号 π(即当圆半径 r 1时所求正方形的边长）不可能用尺
规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
初中尺规作图数学史
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来
作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
2.生锈圆规作图，已知两点 A 、 B ，找出一点 C 使得 AB BC CA .
3.已知两点 A 、 B ，只用半径固定的圆规，求作 C 使 C 是线段 AB 的中点.
【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为 1.
⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 3 .
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.
（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等
分点”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是
2 .）
⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！
n 2
G
E
最后总结在《几何原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因
此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方
法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现
的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及
三等分任意角最受注意.数学家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思
路就有了更简洁的表达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672
年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，
⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用
代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称
为代数作图法.
【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.
Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学
单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交
点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：
1.做一线段等于已知线段
2.做一角等于已知角
3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
在什么位置？
F
m
A
误作法结集成书.
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著
名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这
两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的
位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一
条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的
方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇
A 、 B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第
二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么
复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的
是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；
⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C1 ， C2 就是发射塔
Байду номын сангаас 的位置.
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条
件，一是在线段 AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应
负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出
的，向全法国数学家的挑战.
A
a
a
D'
b
b B D
【分析】 设半径为1.可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周.我们
的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个 3 的长度.设法构造斜边为 3
，一直角边为1的直角三角形， 2 的长度自然就出来了.
m n
A
B
C
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不
足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺
规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非
B D
C
O 1
解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出
尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问
题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，
⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使
已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.
【例3】 已知：直线 a 、 b 、 c ，且 a∥∥b c .
求作：正 ABC ，使得 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.
家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明 π 是一个超越数（即 π 是一个不满足任何整系数
代数方程的实数），由此即可推得根号 π(即当圆半径 r 1时所求正方形的边长）不可能用尺
规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
初中尺规作图数学史
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来
作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
2.生锈圆规作图，已知两点 A 、 B ，找出一点 C 使得 AB BC CA .
3.已知两点 A 、 B ，只用半径固定的圆规，求作 C 使 C 是线段 AB 的中点.
【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为 1.
⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 3 .
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.
（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等
分点”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是
2 .）
⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！
n 2
G
E
最后总结在《几何原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因
此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方
法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现
的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及
三等分任意角最受注意.数学家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思
路就有了更简洁的表达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672
年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，
⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用
代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称
为代数作图法.
【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.