集合数列
数列与集合的应用
算法设计：集 合的并、交、 差等运算在算 法设计中广泛
应用
数据库查询： 集合运算用于 实现数据库中 的查询和连接
操作
机器学习和数 据挖掘：集合 运算用于处理 大规模数据集， 实现分类、聚
类等算法
PART FOUR
定义：数列与集 合的交集运算是 指同时属于数列 和集合的元素组 成的集合
性质：交集运算 具有交换律、结 合律和幂等律
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
数列与集合的基 本概念
数列的应用
集合的应用
数列与集合的综 合应用
PART ONE
数列的定义：按照 一定顺序排列的一 列数
等差数列：每一项 与前一项的差等于 常数的数列
等比数列：每一项 与前一项的比等于 常数的数列
子集：一个集合中 所有元素都是另一 个集合中的元素
列举法：将集合中的元素一一列举 出来，用逗号分隔
图形法：用数轴、坐标系或韦恩图 来表示集合及其关系
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
描述法：用集合的性质或特征来描 述集合中的元素，用大括号括起来
代数法：用代数式来表示集合及其 关系
集合在概率论中的应用：用于描述 随机事件和样本空间，计算事件的 概率。
单击此处添加标题
应用场景：在数学、统计学、计算机科学等领域中，经常需要对多个数列或集 合进行并集运算，以得到更广泛的数据范围或更全面的结果
单击此处添加标题
注意事项：在进行并集运算时，需要注意去除重复元素，确保结果的准确性和 可靠性
差集运算定义：集合A和集合B的差集运算表示为A-B，结果为所有属于A但不属 于B的元素组成的集合。
学习简单的数列：数学知识点
学习简单的数列：数学知识点数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按一定规律排列的数构成。
学习数列不仅可以帮助我们更好地理解数学中的数学概念，还可以培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍数列的基本概念和常见的数列类型。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规则排列的数所构成的有序集合。
数列的每一项称为数列的项，可以用公式表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中a₁, a₂, a₃, ... , aₙ依次表示数列的第1项、第2项、第3项到第n项。
二、等差数列等差数列是数列中常见且重要的一种类型。
它的每一项与前一项之差都相等，这个差值称为等差数列的公差，表示为d。
等差数列的通项公式可以表示为an = a₁ + (n - 1)d，其中an 表示第n项，a₁表示第1项，n 表示项的位置。
三、等比数列等比数列是数列中另一种常见的类型。
它的每一项与前一项之比都相等，这个比值称为等比数列的公比，表示为r。
等比数列的通项公式可以表示为an = a₁ * r^(n-1)，其中an 表示第n项，a₁表示第1项，n 表示项的位置。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项均为1，从第3项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an = a_(n-1) + a_(n-2)，其中an 表示第n项。
五、算数平均数和几何平均数在数列中，我们经常会遇到算数平均数和几何平均数的概念。
算数平均数是指数列中所有数的和与数的个数的比值，可以用公式表示为A = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n，其中A表示算数平均数。
几何平均数是指数列中所有数的积开n次方，可以用公式表示为G = √(a₁ * a₂ * ... * aₙ)，其中G表示几何平均数。
六、数列的应用数列在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
在自然科学中，数列经常用于模拟自然现象的变化规律，比如物理学中的运动学问题和电路中的信号波形。
第二章 集合函数数列与求和(1)
定义1
定义：令A和B为非空集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰好指派B的一 个元素。 f(a)=b表示f指派给A中的元素a的唯一B中的元 素是b f:A→B，表示f是从A到B的函数
f是从A到B的函数，集合A 称为f 的定义域。集合 {b | (a, b)∈ f}, B 的一个子集, 称为f 的值域
NEC-DM
例
集合{(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)} 不是从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c}的函数 因为1 没有被指派为Y 中惟一的元素。
NEC-DM
例
NEC-DM
xn = (axn-1 + c) mod m
例：m = 11, a = 7, c = 5, s = 3 x1 = (ax0 + c) mod m = (7*3 + 5) mod 11 = 4 x2 = (ax1 + c) mod m = (7*4 + 5) mod 11 = 0 类似地，可以算出 x3 = 5, x4 = 7, x5 = 10, x6 = 9, x7 = 2, x8 = 8, x9 = 6, x10 = 3
18
NEC-DM
例
集合{1,4,5}和{2,6}是不相交的 S={{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}} 是两两不相交的
19
NEC-DM
全集，补
U：全集 X：子集 集合U﹣X称为X的补， 表示为X
20
NEC-DM
例
A={1,3,5} 如U={1,2,3,4,5} 则 A={2,4} 如给定U={1,3,5,7,9} 则 A={7,9}
数学中的数列与级数
数学中的数列与级数在数学中，数列与级数是非常重要和常见的概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数字的集合，而级数则是将一个数列中的所有项相加得到的结果。
本文将具体探讨数列和级数的定义、性质以及应用。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数字的集合。
一般来说，数列可以用公式表示，如an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
数列的性质包括有界性、单调性和有限项性质。
有界性指的是数列是否有上界或下界。
如果数列中的所有项都小于某个数M，则称该数列具有上界M；反之，如果数列中的所有项都大于某个数N，则称该数列具有下界N。
单调性指的是数列的项之间是否满足递增或递减的关系。
如果数列的每一项都大于前一项，则称该数列是递增数列；反之，如果数列的每一项都小于前一项，则称该数列是递减数列。
有限项性质指的是数列中项的个数是否有限。
如果数列只有有限个项，则称该数列是有限数列；反之，如果数列有无穷多项，则称该数列是无限数列。
二、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，尤其在各个分支领域中起着重要的作用。
1. 几何数列与等比数列几何数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项的比称为公比，通常用q表示。
几何数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
几何数列的应用十分广泛，例如在复利、人口增长模型、物理中的等比数列等方面都有应用。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列以其特殊的规律性而闻名，常用于自然界现象的描述，如植物的生长、蜂巢的排列、兔子繁殖等。
3. 调和级数调和级数是将数列的所有项求倒数并相加得到的级数。
调和级数在数学分析中扮演重要的角色，例如在极限理论和级数收敛性的研究中都有应用。
三、级数的定义与性质级数是将数列中的所有项相加得到的结果。
对于一个数列{an}，级数用符号∑(n=1到∞)an表示。
集合与数列结合的题
集合与数列结合的题
例题：
设集合A={a1,a2,a3,…,an}，其中a1,a2,a3,…,an构成等差数列，且a1>0，公差d=0。
若集合B={a11,a21,a31,…,an1}也构成等差数列，试求公差d的值。
解：
1.由于a1>0且d=0，根据等差数列的性质，我们知道an=a1
+(n−1)d。
2.对于集合B中的任意两项ak1和ak+11（其中1≤k<n），其差值
为：
ak+11−ak1=akak+1ak−ak+1=akak+1−d
3.由于集合B也构成等差数列，公差设为d′，则：
d′=ak+11−ak1=akak+1−d
4.因为d′是一个常数，不依赖于k的值，所以akak+1d也必须是
常数。
这意味着akak+1必须是一个常数，记作C（其中C>0）。
5.由此得到：
akak+1=C
(a1+(k−1)d)(a1+kd)=C
6.对于任意的k和k+1，上述等式都应该成立。
特别地，当k=1
和k=2时，我们有：
a1a2=C
a2a3=C
7.将a2=a1+d代入上述等式中，得到：
a1(a1+d)=C
(a1+d)(a1+2d)=C
8.由于C是常数，所以上述两个等式相等，化简得：a12+da1=a12+2da1+d2
0=da1+d2
d(a1+d)=0
9.由于d=0且a1>0，唯一可能的解是d=−a1。
故公差d的值为−a1。
高中数学集合知识点总结8篇
高中数学集合知识点总结8篇篇1一、集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由具有某种共同属性的事物组成的总体。
在数学中，我们常常用集合来表示一些数、点、线等的总体。
集合的基本特性包括确定性、互异性、无序性以及可表示性。
常见的集合表示方法有列举法、描述法以及图像法等。
对于集合的学习，首先要明确集合的概念及其表示方法，这是后续学习的基础。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中所有元素的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示在一个集合中但不在另一个集合中的元素组成的集合；补集则表示属于某个集合的所有元素之外的所有元素组成的集合。
在解题过程中，要根据题目的要求，选择合适的集合运算方法。
三、集合的基本关系集合之间的关系包括子集、真子集、相等集合等。
子集表示一个集合的所有元素都在另一个集合中；真子集表示一个集合是另一个集合的子集，且两者不相等；相等集合表示两个集合完全相同。
此外，还要了解空集的概念，即不含有任何元素的集合。
掌握集合的基本关系，有助于理解集合的运算及其性质。
四、数列与集合数列是一种特殊的集合，它按照一定规律排列的数序列。
等差数列和等比数列是数列中最常见的两种形式。
等差数列中的任意两项之差相等，等比数列中的任意两项之比相等。
在解决数列问题时，要充分利用数列的性质和公式，简化计算过程。
五、函数的定义域与值域与集合的关系函数的定义域与值域是函数概念的重要组成部分。
函数的定义域是指函数自变量的取值范围，值域则是函数因变量的取值范围。
这两个范围都可以用集合来表示。
在求解函数的定义域和值域时，要充分利用函数的性质，结合数轴或不等式等方法进行求解。
六、总结与应用掌握高中数学集合知识点，首先要明确集合的基本概念、表示方法以及运算性质。
在此基础上，要理解数列与集合的关系，掌握函数的定义域与值域与集合的联系。
在实际应用中，要灵活运用所学知识，解决数学问题。
数列常用的表示方法
数列常用的表示方法
数列的概念在数学中是非常重要的，它是指一组按照一定的规则排列的数值或数字的集合。
而如何表示数列，将直接影响到数学的研究和应用，因此本文将就常见的几种表示数列的方法作一个简单的介绍。
首先，最常用的数列表示方法就是递归式，即用简洁的符号表示出数列中相邻项之间的规律，比如列出数列{a_n}，如果a_n = a_{n-1} + 2,则可以用如下的表达式来表示：a_n = a_{n-1} + 2。
这种形式的表达非常适合用来表示等差数列，而不用每次都列出原始数列，可以大幅减少记录的空间。
其次，还可以用矩阵来表示数列，这一种表示数列的方法更加灵活，可以用来表示几乎任何类型的数列。
例如，一个由以下矩阵表示的数列{a_n}：
| 1 | 0 | 0 |
| --- | --- | --- |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
可以用矩阵乘法来求出数列的下一项，即，a_n = a_{n-1}[1,0,0; 0,1,0; 0,0,1]，这种表示方法除了可以用来表示等差数列以外，也可以用来描述多项式方程的解，甚至常数项的变化。
最后，对于解决定积分问题，也常用极坐标表示。
例如，求两个函数之间的定积分，可以用极坐标的形式来表示，并用集合的概念来
连接。
比如，沿着曲线y = f(x)从x=a点到x=b极点的定积分I =a^b f(x)dx，可以用极点（x, f(x)）以及其上的圆弧表示，具体地，I = {(x, f(x)): a≤x≤b}。
以上就是数列常用的表示方法，如果能正确地使用这些表示方法，不仅可以将数列写得简洁、清楚，而且可以更容易地有效地解决数学问题。
2021年北京市高考数学总复习专题7：数列与集合新定义解答题(附答案解析)
14．（2020北京石景山区4月模拟）有限个元素组成的集合 ， ，记集合 中的元素个数为 ，即 ．定义 ，集合 中的元素个数记为 ，当 时，称集合 具有性质 ．
（1） ， ，判断集合 ， 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）设集合 ， 且 ( )，若集合 具有性质 ，求 的最大值；
②对任意 ，存在 ，使得 （其中 ）．
（Ⅰ）判断 能否等于 或 ；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求 的最小值；
（Ⅲ）研究 是否存在最大值，若存在，求出 的最大值；若不在在，说明理由．
5．（2020·北京朝阳区高三一模）设数列 （ ）的各项均为正整数，且 ．若对任意 ，存在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 ．
8．（2020·北京牛栏山一中高三月考）给定数列 ．对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 的最小值记为 ， ．
（1）设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值；
（2）设 是公比大于 的等比数列，且 ．证明： 是等比数列．
（3）设 是公差大于 的等差数列，且 ，证明： 是等差数列．
9．（2020·北京高三东城区一模）已知数列 ，记集合 ．
（3）设集合 ，其中数列 为等比数列， ( )且公比为有理数，判断集合 是否具有性质 并说明理由．
15．（2020·北京海定区一模）给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项 ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 ．将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值．
（1）对于数列 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明理由．
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
数列知识点总结拓展
数列知识点总结拓展一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定顺序排列的一系列数的集合，其中每一个数称为数列的项，用通常用符号$a_1, a_2, a_3, \cdots$表示。
数列中的第一个数$a_1$称为首项，第二个数$a_2$称为第二项，依此类推，第$n$个数$a_n$称为第$n$项。
数列可以有无限多个项，也可以有有限多个项。
2. 数列的表示方式数列可以用各种形式进行表示，比如通项公式、递推公式、图形等。
其中，通项公式是某数列的第$n$项与$n$之间的函数关系，通常用$x$表示，表示为$a_n=x$；而递推公式则是某数列的后一项与前一项之间的函数关系，通常用$a_{n+1}$表示，表示为$a_{n+1}=f(a_n)$。
3. 等差数列等差数列是一种常见的数列，它的特点是每一项与它的前一项之差都是一个常数，这个常数称为公差，通常用$d$表示。
等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
4. 等比数列等比数列是另一种常见的数列，它的特点是每一项与它的前一项之比都是一个常数，这个常数称为公比，通常用$r$表示。
等比数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1r^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。
5. 特殊的数列除了等差数列和等比数列外，还有很多特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。
这些特殊的数列通常有着特定的规律和性质，在数学中有着重要的应用。
二、数列的性质1. 数列的有界性数列的有界性是指数列中的项是否有上界和下界。
如果数列的所有项都小于或等于某一数$M$，则称数列有上界$M$；如果数列的所有项都大于或等于某一数$m$，则称数列有下界$m$。
如果数列既有上界又有下界，则称数列有界；否则称数列无界。
2. 数列的单调性如果数列的每一项都大于其前一项，则称数列是递增的；如果数列的每一项都小于其前一项，则称数列是递减的。
而如果数列既有递增的部分又有递减的部分，则称数列是摆动的。
数列知识点归纳总结难点
数列知识点归纳总结难点数列作为数学中的重要概念和工具，常常在各个学科和实际问题中出现。
在学习数列的过程中，我们需要理解和掌握一系列的知识点，其中包括数列的定义、分类、通项公式、递推关系、求和公式等等。
同时，也存在一些难点和容易混淆的概念。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，并针对其难点进行深入讲解。
一、数列的定义和分类数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的有序集合。
数列中的每个数字称为数列的项，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等等。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定，等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定，递推数列是指数列中的每一项都依赖于它前面的一项或多项。
二、数列的通项公式和递推关系数列的通项公式是指可以通过项号$n$来表示数列中第$n$项的公式。
通项公式在数列的研究和分析中起到了至关重要的作用，它能帮助我们快速计算和推导数列中的各个项。
对于等差数列，通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$表示首项，$d$表示公差；对于等比数列，通项公式为$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$表示首项，$r$表示公比。
递推关系是指数列中的每一项都通过前面一项或多项进行计算得到的关系式。
通过递推关系，我们可以递推出数列中的每一项，从而不需要知道特定项号的具体值。
递推关系的建立需要根据数列的特点和规律进行分析和推导，通常可以通过观察数列前几项的变化规律来确定。
三、数列的求和公式和性质数列的求和是指对数列中的若干项进行求和运算。
求和公式是用来计算数列前$n$项和的公式。
对于等差数列，求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和；对于等比数列，求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前$n$项和。
复数,集合数列知识点,
复数 1．概念：⑶z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b ≠0(a,b ∈R) ⑷a+bi=c+di ⇔a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；⑶ z 1÷z 2 (z 2≠0) （方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）; 3．模的计算z= a + bi 则22b a z +=4. z= a + bi 的共轭复数是z= a —bi5 z= a + bi 对应到直角坐标系就是（a,b ） 集合和简易逻辑 1．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2 四种命题：⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价 2 常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或qp ⌝且q ⌝ 对任何x ，不成立存在某x ， 成立 p 且qp ⌝或q ⌝3 A 是B 的充分不必要条件：A ⇒B ，B 是A 的必要非充分条件：B ⇒A ， A 是B 的充要条件A ⇒B 且B ⇒A ， 4．逻辑连接词：⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑵或（or ）：命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真数列 1．定义：⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2n 1n n ∈≥⋅=⇔≠=⇔++a a a q q a a a n｛ )0k ,1q ,0q (kq k Sn 0,(n ≠≠≠-=⇔=⇔的常数）均为不为q c cq a n n ；2．等差、等比数列性质等差数列 等比数列 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n qa a前n 项和 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= qqa a qq a S q na S q n n n n --=--=≠==11)1(1.2;1.1111时，时， 性质 ①a n =a m + (n －m)d, ①a n =a m q n-m ;②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q③,,,232k k k k k S S S S S --成等差 ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成等比④ ,,,2m k m k k a a a ++成等差,md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++等比,mq q =' 3．数列通项的求法：⑴定义法；（2）累加法（型n n n c a a =-+1；（3）公式法：⑷累乘法（n nn c a a =+1型）；⑸变形构造法（b ka a n n +=+1、4114111=-⇒=----n n n n n n a a a a a a 等类型）； 4．前n 项和的求法： （1）倒序相加法；（2）错位相减法。
数列与数列的极限与收敛
数列与数列的极限与收敛在数学中，数列是由一列按特定规律排列的数所组成的。
数列的极限和收敛是数学分析中的重要概念，它们对于理解数学中的变化趋势和数值计算都有着重要的作用。
本文将从数列的定义开始，逐步介绍数列的极限和收敛以及它们在数学中的应用。
一、数列的定义数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
数列可以用一般形式表示为：{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中 a₁、a₂、a₃等为数列的项，n为项的序号。
每个数列都有一个递增的自然数集合作为序号集。
二、数列的极限数列的极限是数列中项的值逐渐趋近于某个确定的值的过程。
如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总能找到自然数N，使得当n大于N时，数列的第n项与L的差的绝对值小于ε，那么我们称数列的极限为L。
三、数列的收敛数列的收敛是指数列中的项逐渐趋近于某个值的过程。
如果一个数列存在极限，那么我们称该数列是收敛的。
反之，如果一个数列不存在极限，或者极限不是一个实数，那么我们称该数列是发散的。
四、数列极限的性质1. 数列的极限唯一性：对于一个数列来说，它的极限是唯一的。
2. 收敛数列有界性：如果一个数列是收敛的，那么它是有界的。
3. 收敛数列的性质：如果一个数列是收敛的，并且它的极限是L，那么数列中的所有项都会无限接近于L。
五、数列极限的计算方法1. 常数列的极限：对于一个常数c来说，它自身就是一个数列的极限，即lim(c) = c。
2. 递推数列的极限：对于一个递推数列来说，可以通过借助极限的性质和运算法则来计算极限。
3. 收敛数列的运算法则：对于两个收敛数列{aₙ}和{bₙ}来说，它们的和差、积、商仍然是收敛数列，并且满足相应的运算法则。
六、数列极限的应用1. 数学建模：在数学建模中，数列的极限和收敛是重要的工具。
通过研究数列的极限和收敛，可以推断出一些复杂问题中的规律和趋势。
2. 数值计算：在数值计算中，数列的极限和收敛可以用来进行数值逼近和数值解的计算，从而提高计算的精度和效率。
数列的知识点公式总结
数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。
通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。
数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。
当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。
数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。
当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。
数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。
而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。
等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。
例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。
这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。
如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。
等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。
即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。
三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。
等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
高考数学集合、函数、数列、三角函数公式考点(承勇整理)
高中数学第一章-集合一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、考试注意事项：三、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法与延伸 1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）（从右上角开始划线，大于取上边，小于取下边）①将不等式化为a 0(1)(2)…()>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布 一元二次方程20(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（四）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学集合总复习-数列的概念和简单表示法
数列的概念和简单表示法答案 自主梳理1．一定顺序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n2.第n 项 n 用一个公式3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝5.S 1 S n －S n －1 自我检测1．C 2.C 3.C 4.C5.1n课堂活动区例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．解 (1)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…， ∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n 4n 2－1. (2)原数列为12，－42，92，－162，252，…， ∴a n ＝(－1)n ＋1·n 22. 变式迁移1 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n ＋1.(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得12，42，92，162，252，…， 观察知，各项的分子是对应项数的平方，∴数列通项公式是a n ＝n 22.(3)将数列各项统一成f (n )的形式得2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3，5，…，0，n ＝2，4，6，…， 或a n ＝1＋(－1)n ＋12(n ∈N *)， 或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2或a n ＝sin 2n π2(n ∈N *)， 或a n ＝⎪⎪⎪⎪cos n －12π (n ∈N *)． 例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n －1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的商的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n －1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2. (2)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2.方法二 由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2a n －2＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫121a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1)2变式迁移2 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1. ∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， ……a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！.故a n ＝n ！.(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n. ∴a n －a n －1＝ln n n －1， a n －1－a n －2＝lnn －1n －2， ……a 2－a 1＝ln 21， 累加可得，a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21 ＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.例3 解题导引 a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．一般地，当a 1＝S 1适合a n ＝S n －S n －1时，则需统一“合写”．当a 1＝S 1不适合a n ＝S n －S n －1时，则通项公式应分段表示，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2. 变式迁移3 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2). (2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝⎛⎭⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122－⎝⎛⎭⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0.∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1.课后练习区1．A 2.A 3.A 4.D 5.B6.377.⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *) 8.n 2－n ＋62 9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…， ∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13， a 4＝2＋14，…， ∴a n ＝(－1)n·2＋(－1)n n (n ∈N *)．………………………………………………………(12分) 10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 故a n ＝n (n ＋1)2.……………………………………………………………………………(4分)(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12. 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，故a n ＝1n.……………………………………………………(8分)(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.…………………………………………………………(12分)11．(1)解 a 1＝S 1＝4.……………………………………………………………………(1分) 对于n ≥2有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合，∴{a n }的通项公式a n ＝4n .………………………………………………………………(3分) 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.………………………………(4分) (求b n 方法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n .……………………………………………………………………(6分)(求b n 方法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n 得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)， T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .b 1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分) 综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n .…………………………………………………………(8分)(2)证明 方法一 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，………………………………………………(10分)得c n ＋1c n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n 2.………………………………………………………………………(12分) 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43<2， ∴c n ＋1c n <12·(2)2＝1，又c n ＝n 2·25－n >0， 即c n ＋1<c n .………………………………………………………………………………(14分)方法二 由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．…………………………………………………………………(13分) 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1< c n .…………………………………………(14分)。
数列知识要点梳理
知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n}注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
高中数学专题 集合与数列综合
一. 集合（1）集合的基本概念①集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
如果a是集合A的元素；就说a属于集合A，记作a∈A。
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ。
集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性②集合可分为有限集与无限集。
③集合的表示法：列举法、描述法以及图示法。
④常见数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）。
（2）集合与集合的关系①对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B子集的个数：如果一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2n。
全集：如果一个集合含有要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。
（3）集合的性质：二. 不等式解法①含绝对值的不等式②一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集如下表。
三. 简易逻辑（1）逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题：不含逻辑联结词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
理解：“或”“且”“非”对应集合概念“并”“交”“补”复合命题中的简单命题并不要求有内容或形式上的关联。
真值表：（2）四种命题：有关结论：①互为逆否的两个命题同真同假（等价）②原命题真，其逆命题和否命题不一定真③否命题是分别对命题的条件和结论进行否定，不是对整个命题的否定（3）反证法：步骤：①假设结论的反面（否定）成立②导出矛盾（与已知条件、公理、定理等）③得出结论：假设不成立，故待证命题成立。
（4）充要条件：四. 数列（1）有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。
2°数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。
3°数列的递推公式：如果已知数列{a n}的第一项（或前n项，且任一项a n与它的前一项a n-1（或前n项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
一(集合、数列)
定 义 ： 设S是R中 的 一 个 数 集 ， 若 数满 足 ： (1)x S，有x ，即是S的上界； (2) ，x0 S，s.t.x0 ，即是S的最小上界， 则 称 数是 数 集S的 上 确 界 ， 记 作
(4)左无穷右有限区间(, b) {x | x b} (, b] {x | x b};
(5)左有限右无穷区间(a,) {x | a x } [a,) {x | a x };
(6)实数集 (,) x | x .
2、邻域
设a与是两个实数, 且 0。数集{ x x a }称为点a 的邻域 ,点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
bb
四、实数集合中的子集 1、区间 区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个 实数叫做区间的端点.
(1)开区间(a,b) x | a x b;
(2)闭区间[a, b] {x | a x b};
(3)半开半闭区间(a, b] x | a x b;
[a,b) {x | a x b};
例如：A {1,2,3,4,5,6}
(2)描述法: 用元素具有的特征表示集合的方法，
即A a | a所具有的特征。
例 如 ：A {( x, y) | x2 y2 1}
7、集合的关系与运算
(1)A是B的子集: x A x B，记作A B。
B
A
A是B的真子集: A B，且A B。 规定：空集为任何集合的子集。
(2)A与B相等: A B且B A。
(3)交集：A B x | x A且x B，简记为AB。 A AB B
(4)并集：A B x | x A或x B。