新北师大版八年级下数学1.1等腰三角形(1)_图文.ppt
北师大版八年级数学(下)第一章 等腰三角形
1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。
2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
北师大版数学八年级下册1.1 等腰三角形
AD=AD (公共边)，
B
∴ △BAD≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
DC
探究新知
结论 定理 等腰三角形的两个底角相等. 这一定理可简述为：“等边对等角”.
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外， 你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
探究新知
可以作一条辅助线，运用全等三 角形的性质“对应角相等”来证.
思考：如何构造两个全等的三角形？
探究新知
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
证明： 作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论?
A
结论 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
E
D
B
C
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的中线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的
思考2:你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
探究新知 证明定理：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图,在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C.
思考：如何证明两个角相等呢？
A
B
C
探究新知 在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第四课时)课件
证明：有一个角等于600的等腰三角形是等
边三角形.
已知：如图，在 ABC中，AB AC，A 60 .
o
你 行 吗 ？
求证：ABC是等边三角形 .
情况二
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A 60o B C 120o (三角形内角和为 180o ) AB AC C B 60o (等边对等角 ) A B (等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形(等边三角形的定义 ).
C B 60o (等边对等角 ) A 60o (三角形内角和为 180o ) A B(等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
定理
在直角三角形中， 300角
所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在RtABC中， A 30o 1 BC AB.(在直角三角形中， 2 30o 角所对的直角边等于斜 边的 一半)
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A B BC AC(等角对等边) A C BC AB(等角对等边) BC AB AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
2014年3月14日星期五 22:59:40
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》优质公开课课件
达标检测二：
1、如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边 上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
C
A
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB
2、已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
B
C
证明：∵AD ∥BC（已知） ∴∠ADB= ∠CBD（两直线平行，内错 角相等）
证法二：作AD⊥BC，垂足为D
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
B
D
∠B=∠C, C AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
请同学们想一想：作等腰三角形底边上的 中线可以证明吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
例 如图，求证：如果三角形一个
外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
1
A2
B
已知：如图， D ∠CAE是△ABC
的外角， ∠1=∠2， AD∥BC C 求证：AB=AC
解：∵AD∥BC， ∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等）， ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）， ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1= ∠2 ∴ ∠B ＝ ∠C ∴AB=AC (等角对等边）
1 等腰三角形
请同学们回答下面的问题：
1、等腰三角形的性质是什么？
①有两个相等的角. ②有两条相等的边. ③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.
2、什么叫互逆命题，什么叫互逆定理？
答：在两个命题中，如果第一个命题的题设是 第二个命题的结论，而第一个命题的结论 又是第二个命题的题设，那么这两个命题 叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题经过 证明是真命题，那么它是一个定理，这两 个定理叫做互逆定理.
北师大版八年级数学下册1.1等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件
1.1 等腰三角形
等边三角形的判定及含30°角的直角 三角形的性质
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
图形
等腰三角形
两条边相等
性
两个角相等
质
三线合一
轴对称图形（1条）
等边三角形
三边都相等 三个角都是等边三角形？一个等腰三角形满足什么 条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
三边相等（定义）含30°角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一般
随堂训练
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则 △ABC的周长为_9_____cm.
2.三角形的三条边长a,b,c满足(a b)2 | b c | 0
（只填写一个条件）
A
B
C
3.在△ABC，∠A=60°。AB=AC=10cm，则 BC=10cm .
例1.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.
A
B
E
F
C
注：边相等可转换为角相等
BD=CE
例2：如图, △ABC是等边三角形,DE∥BC ，请问△ADE 是等边三角形吗?试说明理由.
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
判定2：三个角相等
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
判定3：一个角是60°的等腰三角形 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角
1.1等腰三角形第1课时课件八年级数学下册(北师大版)
已知： △ ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 方法三：作底边的高线AD.
B
AB=AC ( 已知 ), 在△BAD和△CAD中，
AD=AD (公共边) ,
D
C
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
性质2 等腰三角形的“三线合一”
已知： △ ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 方法二：作底边的中线AD.
AB=AC ( 已知 ),
B
D
C
在△BAD和△CAD中， BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
证明 性质1 等腰三角形的两个底角相等
A
D
B
C
E
F
已知：如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌ △ DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A+∠B+∠C=180°∠D+∠E+∠F=180° ，
∴∠C=180°-（∠A+∠B），
∠F=180°-（∠D+∠E）. ∵∠A=∠D,∠B=∠E，
A
D
∴∠C=∠F. 又∵BC=EF,∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF（ASA）
B
CE
F
把该等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有什么发现？ A
B
C
A
A
A
B
CD
(1) 等腰三角形是轴对称图形; (2) ∠B=∠C;
1.1 等腰三角形2 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
A
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD （公共边）
12
B
DC
你还有其 他证法吗?
∴ △BAD ≌ △CAD （AAS）
∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形是怎样定义的？
A
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。
B DC
②等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合（也称为“三线合一”）.
探究新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反 过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等吗？
3、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ A ） A.3条 B.6条 C.9条 D.7条
课堂小结
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
A
三条边都相等
边
三个角都相等，且都为60°
三
角B
C 三线合一
形
轴对称图形，有三条对称轴
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师大版 八年级下册
复习旧知
既是性质又
是判定
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
A
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第二课时)课件
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.
八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质作业课件新版北师大版
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若AB＝13，AD ＝12，则BC的长为( B )
• A．5 B．10 C．20 D．24
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则 ∠EDC等于( C )
• A．10° B．12.5° C．15° D．20°
• (2)分以下两种情况：
• ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；
• ②当0＜x＜90时，
• 若∠A为顶角，则∠B＝
；
• 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
• 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
•当
≠180－2x且180－2x≠x且
≠x，
• 即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
• 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝ __3_2_°___.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD 的延长线于点E，求证：CE＝AB.
9．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分
• A3. 2
• B．2 • C．22
• D.
别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是( B )
10
10．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上 分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，……按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则
∠A10B10O＝( B )
• 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，
• ∠B有三个不同的度数．
4．推论：等腰三角形顶角的_平__分__线_、底边上的_中__线__及底边上的_高__线____互相重合．
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的判定及反证法课件
解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形.
练习
1-1 如图，AE平分∠BAC，DE∥AB，若 AD=5，则DE的长是____5___.
知识点二：反证法
于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
【选自教材P9随堂练习第2题】
2. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个数中至少有一个大于或等于 1 . 5
证明：假设这五个数是a1，，a3，a4，a5全
∴AB = AC.
B
D
C
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
几何语言：
A
在△ABC中，
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边） B
C
例 已知：如图，AB = DC，BD = CA， BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三 角形.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师版八年级数学下册
学习目标
1、掌握并运用等腰三角形的判定定理； 2、理解反证法的含义，并运用反证法证明命 题.
回顾复习
等腰三角形的特殊性质： 等腰三角形_两__底__角__的__平__分__线__相等、_两__腰__上__的__高_ 相等、_两__腰__上__中__线__相等. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等.
A C
反证法：在证明时，先假设命题的结论不 成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的 结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
北师大版八年级数学下册课件：等腰三角形(1)
6.【例3】(人教8上P76改编)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D 在线段BC上,AD＝BD. (1)求证:∠BAD＝∠C; (2)若CA＝CD,求△ABC三个内角的度数.
(1)证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵AD＝BD,∴∠B＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠C.
(2)解:∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA, 由(1)得∠B＝∠C＝∠BAD, 设∠B＝x,则∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x, ∴∠CAD＝∠CDA＝2x, ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x,
∴在△ABC中,有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°, 解得x＝36°, ∴在△ABC中,∠BAC＝108°,∠B＝∠C＝36°.
★9.(创新题)如图,在△ABC中,AB＝AC. (1)如果∠BAD＝30°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 15° ; (2)如果∠BAD＝40°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 20° ; (3)通过以上两题,你发现在AD＝AE的条件下, ∠BAD与∠EDC之间有什么关系?并给予证明.
5.【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE＝∠BAD. 证明:∵AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC, ∴AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD. ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
8.(核心教材母题:北师8下P5、)如图,已知AB＝AC,AD＝AE. 求证:BD＝CE.
证明:如图,过A点作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC,∴BF＝CF. 又∵AD＝AE,∴DF＝EF. ∴BF－DF＝CF－EF, ∴BD＝CE.
答案图
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于北师大版和人教版教材. 本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,作为课堂例习题 呈现.
北师大版数学八年级下册1.1第2课时等边三角形的性质课件
探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
Q
P
B
C
猜想3：两条腰 上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
2 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三
角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于 60°.
可以利用等腰 三角形的性质 进行证明.
怎样证明这 一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
当堂小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于 60°.
课堂练习 1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
情景导入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边 三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台 球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？