几种构造辅助函数的方法及应用
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
导，以ｏ）：以１）：ｏ，ｌ卸畔：１．求证：（１）存 例６设，（戈）在［０，１］上连续，在（０，１）内可 一（茗一告）２
在叩∈（专，１）使八叩）＝１７；（２）对任意实数Ａ，存
在拿∈（０，叩），使厂（ｅ）一Ａ［八乎）一手］＝１．
３８
成都纺织高等专科学校学报
２００７年４月
分析：（１）ｆＨ连续函数的零点定理，证明起来
比较直观．（２）目的是要证（厂（∈）一拿）７一Ａ（ｆ（车） 一车）＝０．由构造函数的待定因子法，令：
Ｆ（戈）＝Ｐ（石）（．厂（石）一菇），得：
∥（石）＝Ｐ’（ｚ）（厂（戈）一ｚ）＋尸（戈）（厂（戈）一戈）７
＝ｋ（（八戈）一菇）７一Ａ（／．（石）一戈））
分析：将结论中的车换成菇后，可得厂（戈）∥ （石）一ｇ（菇）厂（菇）＝Ｏ，对等式左端求积分可得一 簇函数Ｇ（戈），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝』
嗽菇）矿（菇）一ｇ（茗）厂（戈）］ｄｘ＝厂（菇）９７（舅）一ｇ
（ｘ）ｆ（名），可得ｒ（ｘ）＝火ｘ）９７（戈）一ｇ（ｘ）厂（菇）． 证明令Ｆ（茹）＝“石）９７（并）一ｇ（茗）／（菇），
（名）戈一赢～＝Ｏ，对等式左端，，求积分可得一簇函 数Ｇ（石），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝『［厂
（茗）戈一志一嘉彤髫）戈一忐一１］ｄ菇＝厂（茹）戈一去’，可
得Ｆ（石）＝．厂（茹）茹一赢～．
证明令Ｆ（ｘ）＝八ｘ）ｘ一赢～， 则Ｆ（石）在［口，６］上连续，在（口，ｂ）内可导，且：
Ｆ（口）＝Ｆ（ｂ）＝０． 由罗尔定理知，存在ｅ∈（口，ｂ），使得ｒ（拿）＝０， 另一方面：
构造辅助函数Ｆ（戈）：△型来试一试．
证明令Ｆ（茁）：丛型．
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
一元微积分学中的构造辅助函数法
一、什么是构造辅助函数法？
构造辅助函数法是一元微积分学的简易方法。
它的作用是帮助学生快速找出一元微积分的原函数。
构造辅助函数法把几何形状分解成可以快速被积分的函数，从而实现快速求微积分的目的。
二、构造辅助函数法的运用
构造辅助函数法在一元微积分学中被广泛应用。
一般来说，不论曲线形状是什么，都可以用构造辅助函数法来积分。
具体来说，学习者要做的就是观察图形，分解出可以被分解处理的函数，由此能够获得较为准确的结果。
例如，当内接圆的半径是a的时候，可以把它分解为一个关于y的抛物线，然后通过微积分的方法计算出半径为a的内接圆的面积。
三、构造辅助函数法的优势
1.构造辅助函数法相比其它方法较快。
构造辅助函数法可以让学生在计算微积分的过程中少把精力花在一般的函数上，而多放在观察函数的几何形状上，从而更快的获得结果。
2.构造辅助函数法能够更好的理解函数的几何形状。
构造辅助函数法是一个抽象的概念，
但是它可以让学生用简单的描述来更好的理解一元函数的几何形状。
3.构造辅助函数法可以更快的求出极限。
用构造辅助函数法可以更加有效的求出一元微积分变量x进行极限求法，而且更容易理解。
总结
以上就是构造辅助函数法在一元微积分学中的用法，该方法的优势是方便、高效，可以辅助学生们解决许多一元微积分的问题。
运用微分方程构造辅助函数的证题方法
运用微分方程构造辅助函数的证题方法微分方程是数学中非常重要的一种工具，它用来描述变量之间的关系，特别是在自然科学和工程领域中常常被广泛应用。
然而，有时候微分方程的解并不容易求得，或者求解过程十分复杂。
在这种情况下，我们可以使用辅助函数的方法来构造微分方程的解。
构造辅助函数的证题方法是一种非常常见且实用的方法，它基于以下基本思想：通过假设一组函数作为微分方程的解，并利用这些函数的性质来推导出微分方程的具体形式。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：假设辅助函数首先，我们需要根据已知条件和问题的要求，假设一个辅助函数。
可以根据问题中的已知条件选择一个具有合适性质的函数作为辅助函数。
步骤二：求取辅助函数的导数对辅助函数求导，并根据导数的性质和微分方程的形式，推导出微分方程中含有未知函数的表达式。
步骤三：代入微分方程将步骤二中得到的表达式代入微分方程，化简得到一个新的方程。
步骤四：解新方程对新方程进行求解，得到未知函数的表达式。
步骤五：判别解的合理性将得到的未知函数的表达式代入原微分方程，验证所得解是否满足微分方程的要求。
如果满足，则证明得到的辅助函数是微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明辅助函数的证题方法。
例题：求解一阶线性微分方程dy/dx + y = e^x + 1解法思路：1.首先，假设辅助函数y1=e^x是微分方程的解。
2.对辅助函数求导，得到y1'=e^x3.将辅助函数和导数代入微分方程，得到e^x+1+e^x=e^x+1，化简得到等式恒成立。
4.验证得到的辅助函数是否满足原微分方程，通过对辅助函数求导和代入微分方程，可以验证等式左右两边相等。
5. 因此，辅助函数y1 = e^x是原微分方程dy/dx + y = e^x + 1的解。
在实际应用中，辅助函数的构造往往需要根据问题的具体条件和求解的要求来选择。
选择合适的辅助函数能够极大地简化求解的过程，提高求解的效率。
同时，在构造辅助函数的过程中，我们也需要注意验证得到的辅助函数是否满足原微分方程，以确保解的正确性。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
龙源期刊网
罗尔定理中辅助函数的构造与应用
作者：郭欣红
来源：《消费导刊·理论版》2008年第14期
[摘要]构造辅助函数是解决罗尔定理问题的一种重要方法，本文介绍了几种巧妙构造辅助函数的有效方法。
[关键词]罗尔定理辅助函数
微分中值定理中的罗尔定理是高等数学中的一个重要内容，因为它的应用非常广泛，而构造辅助函数是解决罗尔定理问题的最主要的方法。
若辅助函数构造得合理巧妙,满足定理的三
个条件，则问题很快就能迎刃而解。
本文将主要讨论几种构造辅助函数的常用方法。
一、归纳法构造辅助函数
参考文献
[1] 汪诚义. 高等数学与微积分[M]. 群言出版社
[2] 微积分辅导.[M].华中科技大学高等数学教研室.华中科技大学出版社
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
浅谈辅助函数的构造及其应用
浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
构造函数法证明不等式的八种方法
...构造函数法证明不等式的八种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是1【例2】已知函数 f (x) ln( x 1)x ，求证：当x 1时，恒有x x1 ln( 1)x 1近几年高考的热点。
1 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1g( x) ln( x 1) ，从其导数入手即x 1可证明。
解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
1、从条件特征入手构造函数证明【例1】若函数y= f ( x) 在R上可导且满足不等式x f (x) >－ f (x) 恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：．a f (a)>b f (b)3、作差法构造函数证明12 x【例3】已知函数ln .f (x) x 求证：在区间(1,) 上，函数 f ( x) 的图象在函数223g(x) x 的图象的下方；3分析：函数 f (x) 图象在函数g( x) 的图象的下方不等式f ( x) g( x) 问题，设F (x) g( x) f (x) 【变式1】若函数y= f ( x) 在R上可导且满足不等式 f (x) > f (x) ，且y f (x) 1为奇函数.求不等式 f ( x) <xe 的解集.4、换元法构造函数证明...【例4】（2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(1n1)12n13n都成立.【变式2】若函数y= f ( x) 是定义在,0 上的可导函数且满足不等式2f ( x) xf (x) >2x .1分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令xn，则问题转化为：当x 0时，恒有23ln( x 1) xx2 f x f求不等式(x2015) ( 2015) 4 ( 2) 0的解集.3 x2 x成立，现构造函数h( x) x ln( 1) ，求导即可达到证明。
求中值定理证明的几种构造函数的方法
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学中 ,有些概念或命题具有特殊的几何意义 。比如函数在某点处的导数值为曲线对应点处切线的斜率 ; 定积 分的几何意义为曲边梯形的面积 ; 罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等 。有些问题 ,根据其 几何意义构造函数 ,然后利用已有知识便迎刃而解 。
f = 0) 于是得
(ξ )
) g (ξ
=
(ξ ) f″ 。 (ξ ) g″
a+ b
例 2. 2 设函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b) 内可导 ,且 f ( a) f ( b) > 0 , f ( a) f (
(ξ ) ξ∈( a , b) 使得 = f ′ = k 。 ) f (ξ (ξ ) - kf (ξ ) = 0。 分析 : 显然只需证存在 ξ∈( a , b) 使得 f ′
ξ ξ ξ (ξ ) - ke - k ) = 0 ,即 ( e - kx f ( x ) ) ′ 上式的两端乘以 e - k 得 e - k f ′ f (ξ | x =ξ = 0 。
2
) < 0. 试证 : 对任意实数 k ,存在
令 F ( x ) = e - kxf ( x ) ,由题设及介值定理易知 : 存在点 c1 , c2 ,使
( x) > 0 。证明 : 存在唯一的 ξ∈( a , b) 使曲线 y = f ( x ) 例 1. 1 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,在 ( a , b) 内可导 ,且 f ′ ) 所谓成的图形面积 S 1 是 y = f ( x ) 与直线 x = b 及 y = f (ξ ) 所围成的面积 S 2 的三倍 。 与直线 x = a 及 y = f (ξ
几种构造辅助函数的方法及应
几种构造辅助函数的方法及应构造辅助函数是在编程过程中，为了简化代码、提高可读性和可维护性而创建的功能函数。
它们通常用于处理常见的、重复的或复杂的操作，以减少重复性代码的编写和维护工作。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的方法及其应用。
1.检查函数参数的有效性在函数内部，可以构造一个辅助函数用于检查传递给函数的参数的有效性。
这种辅助函数可以验证参数的类型、范围和必要性，并返回一个布尔值或抛出一个异常来指示参数的有效性。
通过使用这种辅助函数，可以减少代码重复，提高代码的可读性和可维护性。
例如，考虑以下函数：```pythondef divide(a, b):if isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0:return a / belse:raise ValueError("Invalid arguments")```这里可以构造一个辅助函数来检查参数的有效性：```pythondef check_valid_args(a, b):if not (isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0):raise ValueError("Invalid arguments")def divide(a, b):check_valid_args(a, b)return a / b```2.格式化数据```pythondef format_date(date):year = date[:4]month = date[4:6]day = date[6:]return f"{year}-{month}-{day}"```这里可以构造一个辅助函数来处理日期的格式化：```pythondef format_date(date):return f"{date[:4]}-{date[4:6]}-{date[6:]}"def format_data(data):formatted_data = []for date in data:formatted_date = format_date(date)formatted_data.append(formatted_date)return formatted_data```3.实现常用算法或数据结构为了简化代码，可以构造辅助函数来实现常用的算法或数据结构。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF即:()()θθθf f -='.证毕2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF亦即： ()()ξξξf ab f '⋅-= 证毕2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
构造辅助函数
如何构造辅助函数在编程中，辅助函数是一种非常有用的工具，它可以帮助我们更好地组织代码，提高代码的可读性和可维护性。
一个好的辅助函数可以让我们的代码更加简洁、高效，同时也可以避免代码中的重复性工作。
本文将介绍如何构造辅助函数，帮助读者更好地理解和应用辅助函数。
一、什么是辅助函数辅助函数是指在程序中用来完成特定任务的函数，它通常不是主程序，而是被其他函数或模块所调用。
辅助函数通常用来实现一些通用的功能，比如字符串处理、文件操作、数据转换等。
二、为什么需要辅助函数在编程中，我们经常会遇到一些重复性的工作，比如字符串拼接、数据转换等。
如果每次都要手动完成这些工作，不仅效率低下，而且容易出错。
而辅助函数就是为了解决这些问题而存在的。
通过编写一个通用的辅助函数，我们可以将这些重复性的工作封装起来，让代码更加简洁、高效。
三、如何构造辅助函数1.确定函数的功能在编写辅助函数之前，我们需要先确定函数的功能。
一个好的辅助函数应该具有通用性，可以在多个场景下使用。
同时，我们也需要考虑函数的输入和输出，以及函数的返回值类型等。
例如，我们需要编写一个辅助函数用来计算两个数的和。
这个函数的输入应该是两个数字，输出应该是这两个数字的和。
2.编写函数代码在确定函数的功能之后，我们就可以开始编写函数代码了。
在编写代码时，我们需要注意以下几点：（1）函数的名称应该简洁明了，能够清晰地表达函数的功能。
（2）函数的输入和输出应该明确，可以通过注释或者函数签名来表示。
（3）函数的代码应该简洁、高效，并且易于理解。
例如，我们可以编写如下的辅助函数：```pythondef add(x, y):"""计算两个数的和:param x: 第一个数:param y: 第二个数:return: 两个数的和"""return x + y```3.测试函数代码在编写完函数代码之后，我们需要对函数进行测试，以确保函数的正确性。
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。
1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。
更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。
可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。
反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。
2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。
如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。
具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。
然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。
具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。
如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。
这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。
3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。
例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。
辅助函数的构造
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
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由于点 的纵坐标分别为
有向线段 的重数
于是就有拉格朗日中值定理的结论
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]杨根学.待证结论构造辅助函数法[J].天水师院学报，2001，（5）：55-56
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1986.
分析：由 知， 是下凸函数.
由图1知：
即：
即：切线总在曲线的下方（几何意义）.
由图2知：
即：
证明：方法一：有分析及（1）知
取 时
即：
方法二：由（2）知，令 ，则(2)式变为
再次引进辅助函数，
则 递增，
即：
微分方程法
所谓“微分方程法”是指遇到诸如“求证存在 ，使得 ”之类的问题时，可先解微分方程 ，得其通解： ，则可构造辅助函数
辅助函数可取：
证明： 则由题设可知 上满足柯西中值定理，于是，
因为
所以，
再令 上满足柯西中值定理，于是，
由（1），（2）得何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。
例4设函数 在 内可导， 试证明：在
(1)将要证的结论中的
(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;
(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;
(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.
例2:
分析:
可令
证明:作辅助函数
在
故 在 上满足罗尔定理的条件
例5设 在 上连续,在 内可导,且
证明：对 .
分析：将结论中的 换成 ，得可分离变量的微分方程：
，
即
其通解为 ，即：
于是可是辅助函数为
则
由Rolle定理知，至少存在一点 使得
即：
常数k值法
此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数 的具体步骤如下：
（1）从结论中分离出常数部分，将它令为k；
于是， ，使
亦即：
证毕
设置变量法
当结论中含两个中值 时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数 。即：将结论中的 或 看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。
例3：设函数 在 且 在 内 可导,且 .试证明:
分析:欲证等式
将 均看作变量,则上式写成
则上式的左端显然是关于a,b的对称式.令其为k,得
于是，可令
证明：作辅助函数
（其中 ）
由题设条件可知
并且
可见, 于是,
即 .
亦即
弧弦差法
利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采用种方法 ，现以拉格朗日中值定理为例：(原定理叙述略)
题7： 有向线段 的函数，设直线AB的方程为
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用
许生虎
（西北师范大学数学系，甘肃兰州730070）
摘要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数弧弦差法原函数法几何直观法微分方程法
1.引言
在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
（2）做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b和f(b)构成的代数式；
（3）分析端点a,b的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x，相应的函数值f(a)(或f(b))改为f(x)，则关于x,f(x)的表达式即为索求的辅助函数F(x).
例6：
分析：分离a,b与 ，则待证式
2.构造辅助函数的七中方法
“逆向思维法”
例1：设 在 上可微，且满足 ，证明在 内至少有一点 ，使 .
证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.
将 变为 ,联想到 ,可考虑辅助函数
因为 ,
而对于 ,有 ,
所以, ,由罗尔定理知,至少存在一点 ,使得
即: .
证毕
2.2原函数法
在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: