例析构造函数的基本方法

例析构造函数的基本方法

一、用作差法构造函数

求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1

11 证明：设函数x x x f -+=)1ln()(，1111)(+-=-+=

'x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数，故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞，于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则，

当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，

∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++

+x x ∴111)1ln(+-

≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时

二、换元法构造函数

对任意的正整数n ，不等式3

211)11ln(n n n ->+ 都成立. 分析：从所证结构出发，只需令x n =1，则问题转化为：当0>x 时，

恒有32)1ln(x x x ->+成立，现构造函数)1ln()(23++-=x x x x h ，求导即可达到证明。

【解析】令)1ln()(23++-=x x x x h ，则1)1(31123)(232+-+=++-='x x x x x x x h 在

),0(+∞∈x 上恒正，所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h 即0)1ln(23>++-x x x ，∴32)1ln(x x x ->+

对任意正整数n ，取3211)11ln(),0(1n n n n x ->++∞∈=，则有

三、变量分离直接构造函数

已知函数()()ax x x ax x f --++=231ln .（1）若3

2为()x f y =的极值点，求实数a 的值；（2）若()x f y =在[)+∞,1上增函数，求实数a 的取值范围；

（3）若1-=a 时，方程()()x

b x x f =---311有实根，求实数b 的取值范围。 解：（1）因为32=x 是函数的一个极值点，所以0)3

2(='f ，进而解得：0=a ，经检验是符合的，所以.0=a （2）显然

(),231

2a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立，所以0≥a 且

01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31x 时递增， 故此我们只需要保证()02311≥--++='a a a f ，解得：.2

510+≤≤a （3）由于0>x ，所以()2ln x x x x b -+=32ln x x x x -+=()2321ln x x x x g -++=' ()x x x x x x g 1266212---=-+=''当67

10+<''x g 所以()x g '在

67

10+<

1+>x 时，(),0<''x g 所以()x g '在671+

>x 上递减；

又(),01='g ().6

710,000+<<='∴x x g 当00x x <<时，(),0<'x g 所以()x g 在00x x <<上递减；当10<'x g 所以10<

当1>x 时，(),0<'x g 所以()x g 在1>x 上递减；

又当+∞→x 时，(),-∞→x g ()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤-+=-+=41ln ln ln 232x x x x x x x x x x x g 当0→x 时，,041ln <+x 则(),0

四、通过多次求函数的导数构造函数 例．已知函数21()2

x f x ae x =- (1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x

解：(1)f ′(x)＝ ae x

－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，

即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立 记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e -x ，

当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数, ∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a ≥1/e,即a 的取值范围是[1/e, + ∞)

(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =)0(12

12>---x x x e x 则F ′(x)=e x -1-x, 令h(x)= F ′(x)=e x -1-x,则h ′(x)=e x

-1当x>0时, h ′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,

又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0

即F ′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x ．

小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可