21.2.2积的算术平方根
初中常用平方根口诀表
初中常用平方根口诀表
2019-09-13 09:56:42 文/颜雨 平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实 平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。接下来给大家分享初中常用=144 √12 = 3.464
13²=169 √13 = 3.605
14²=196 √14 = 3.741
15²=225 √15 = 3.872
16²=256 √16 = 4
17²=289 √17 = 4.123
18²=324 √18 = 4.242
19²=361 √19 = 4.358
初中常用平方根表
平方表 平方根
1²=1
√1 = 1
2²=4
√2 = 1.414
3²=9
√3 = 1.732
4²=16 √4 = 2
5²=25 √5 = 2.236
6²=36 √6 = 2.449
7²=49 √7 = 2.645
8²=64 √8 = 2.828
9²=81 √9 = 3
10²=100 √10 = 3.162
20²=400 √20 = 4.472
平方根口诀
（1）11-19的平方：原数加尾数，尾平方；逢10进位 例如：132=? 13+3=16 32=9 132=169 （2）41-49的平方：尾加15，10减尾再平方，占2位 例如：432=？ 3+15=18 10-3=7 72=49 432=1849 （3）51-59的平方：尾加二十五，尾平方占2位 例如：542=？ 4+25=29 42=16 542=2916 （4）91-99的平方：尾数乘2加80；10减尾数再平方，占2位 例如：952=? 5×2+80=90 10-5=5 52=25 952=9025
2 二次根式的乘除第1、2课时PPT课件(华师大版)
A．x＜0 B．x≤0 C．－3≤x≤0 D．x 为任意实数
10．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，那么此直
角三角形斜边长是( B )
A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm
11．设 a＝ 2，b＝ 3，用含 a，b 的式子表示 0.54，
4．等式 x＋1· x－1＝ x2－1成立的条件是( A )
A．x≥1 B．－1≤x≤1 C．x≤－1 D．x≤－1 或 x≥1
5．下列式子正确的是( D )
A.
219＝ 2×
1 9
B. （－9）×（－4）＝ －9× －4＝(－3)×(－2)＝6 C. x2＋y2＝ x2＋ y2＝x＋y D. （－7）2×6＝7 6
18．小强在计算机课上设计了一幅长 140π cm，宽 35π cm 的矩形图
片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．
解：设圆的半径为 r cm，则 140π× 35π＝πr2， ∴70π＝πr2，∴r＝ 70，即圆的半径为 70 cm
19．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
解：－xyz2 3y
16．比较大小： (1)5 3与 6 2；
解：(1)5 3＞6 2
(2)－3 5与－4 3； (2)－3 5＞－4 3
(3)2 27， 17与12 62. 解：2 27＜12 62＜ 17
17．先化简，再求值：a2－2a2－ab2＋b b2÷(1b－1a)，其中 a＝2 130，b＝－5 425. 解：化简得原式＝12ab，当 a＝2 130，b＝－5 425时，原式＝－25 3
解：a a2－a 1＝ a＋a2－a 1，
常用的平方根表立方根表
常用的平方根表立方根表在数学的世界里，平方根和立方根是非常重要的概念。
它们在各种数学计算、科学研究以及实际生活中都有着广泛的应用。
为了方便计算和查询，人们常常会编制平方根表和立方根表。
平方根，简单来说，就是一个数的平方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的平方根。
例如，2 的平方是 4，所以 2 是 4 的平方根。
同时，因为（－2) 的平方也是 4，所以－2 也是 4 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数在实数范围内没有平方根。
立方根则是指一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
比如，2 的立方是 8，所以 2 是 8 的立方根。
与平方根不同的是，任何实数都有唯一的一个立方根。
平方根表通常列出了从 1 到某个较大整数的平方根的值。
以常见的平方根表为例，它会依次给出 1 到 100 这些整数的平方根。
比如，1 的平方根是 1，4 的平方根是 2，9 的平方根是 3 等等。
在实际使用中，如果我们要计算一个不是整数的数的平方根，比如 25 的平方根，我们可以先找到最接近 25 的两个整数的平方根，然后通过插值的方法来估算。
立方根表的编制方式与平方根表类似，也是列出从 1 到一定整数的立方根的值。
比如，1 的立方根是 1，8 的立方根是 2，27 的立方根是3 等等。
那么，这些平方根表和立方根表在哪些方面有用呢？在数学计算中，它们可以大大提高计算速度和准确性。
特别是在一些复杂的计算中，如果需要多次用到某个数的平方根或立方根，直接从表中查找可以节省时间，避免繁琐的计算过程。
在科学研究中，平方根和立方根的概念经常出现。
比如在物理学中，计算物体的速度、加速度等常常会涉及到平方根；在化学中，计算物质的密度、体积等可能会用到立方根。
有了平方根表和立方根表，科学家们可以更高效地进行数据处理和分析。
在工程领域，如建筑、机械制造等，也经常需要用到平方根和立方根的计算。
【练闯考】华师版九年级数学上册全章学案：第21章%E3%80%80二次根式
第21章 二次根式21．1 二次根式1.a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a ，即有：(1)a __≥__0(a ≥0)；(2)(a )2＝__a __(a ≥0)． 2．形如a __(a ≥0)__的式子叫做二次根式．3.a 2＝|a |＝⎩⎨⎧ a （a ≥0）－a （a <0）知识点1：(a )2＝a (a ≥0) 1．计算：(2015)2＝__2015__；(53)2＝__53__． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)7＝；(2)8.3＝；(3)112＝；(4)t ＝t ≥0)． 知识点2：二次根式的概念3．下列式子：①4；②12；③－5；④38；⑤（－1）2.其中二次根式的个数有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列式子中，一定是二次根式的有( C ) a ，－22，－x 2＋1，（－13）2，3－2，32x 2，π.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 知识点3：二次根式有意义的条件5．(2014·武汉)若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 6．(2014·巴中)要使式子m ＋1m －1有意义，则m 的取值范围是( D ) A ．m >－1 B ．m ≥－1C ．m >－1且m ≠1D ．m ≥－1且m ≠17．下列四个式子中，x 的取值范围为x ≥2的是( C )A.x －2x －2 B.1x －2C.x －2D.2－x8．使二次根式－（x －1）2有意义的x 的取值范围是__x ＝1__． 知识点4：二次根式的性质 9．计算（－3）2的结果是( B ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．9 10．如果（3a －2）2＝2－3a ，则( B ) A ．a <23 B ．a ≤23C ．a >23D ．a ≥2311．化简下列各式： (1)4； 解：2 (2)49； 解：7(3)2025； 解：45(4)（－5）2； 解：5 (5)－（13）2； 解：－13(6)4×10－4. 解：2×10－212．已知－1≤a ≤1，下列是二次根式的为( C ) A.a －12B.1－1aC.1－a 2D.a13．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( B )A ．5B ．6C ．7D ．814．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为( A )A ．7B ．－7C ．2a －15D ．无法确定15．已知点P (x ，y )在函数y ＝1x 2＋－x 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·张家界)若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2014等于( B ) A ．－1 B ．1 C ．2014 D ．－2014 17．使代数式2x －13－x有意义的x 的取值范围是__x ≥12且x ≠3__．18．(2014·德州)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y)y ＝__14__．19．x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)x ＋1－2－x ； 解：－1≤x ≤2 (2)53－2x； 解：x<32(3)41－x . 解：x ≥0且x ≠120．(1)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，试求x 2015－y 2015的值．(2)若a ，b 为实数，且a ＝b －7＋14－2b ＋2，求a ＋b 的平方根．解：(1)由已知得1＋x ＋(1－y )1－y ＝0，由于1＋x ≥0，1－y ≥0，故根据非负数的性质可得：1＋x ＝0，1－y ＝0，解得x ＝－1，y ＝1，代入则有x 2015－y 2015＝(－1)2015－12015＝－1－1＝－2 (2)由于b －7≥0，14－2b ≥0，则有b ≥7，b ≤7，故b ＝7，所以a ＝2，所以a ＋b 的平方根为±321．甲、乙两位同学做一道相同的题目： 化简求值：1a ＋1a 2＋a 2－2，其中a ＝15. 甲同学的解法是：原式＝1a ＋（1a －a ）2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝10－15＝495. 乙同学的解法是：原式＝1a＋（a －1a ）2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15.请问哪位同学的解法正确？请说明理由． 解：甲同学的解法是正确的，理由如下：∵1a2＋a 2－2＝（a －1a ）2＝|1a－a|，且a＝15，即1a ＝5.∴1a >a.∴1a －a>0.∴|1a －a|＝1a －a.乙同学在去绝对值时忽略了1a 与a 的大小关系，导致错误21.2 二次根式的乘除21．2.1 二次根式的乘法 21．2.2 积的算术平方根1.a ·b ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的__积__的算术平方根．2.ab ＝a __≥__0，b __≥__0)．即：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的__积__．知识点1：二次根式的乘法 1．计算：(2014·河北)8×12＝__2__；2×18＝__6__；35×16920＝__34__． 2．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( C ) A ．x >1 B ．x <－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 6 4．计算： (1)98×2； 解：14(2)52×10； 解：5(3)36×167；解：1242(4)6a 3×3a2(a ≥0)． 解：3a 25．王老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地考察，为了考查一下同学们的数学应用能力，他把长方形的基地设计长为8020米，宽为345米，请同学们算出这块实验基地的面积．解：这块实验基地的面积为8020×345＝240900＝240×30＝7 200(平方米)知识点2：积的算术平方根6．化简二次根式（－3）2×6得( B ) A ．－3 6 B ．3 6 C ．±3 6 D ．67．若等式9－x2＝3－x·3＋x成立，则x的取值范围是( A )A．－3≤x≤3 B．x>－3C．x<3 D．－3<x<38．化简：(1)48＝；(2)－72＝；(3)－135＝．9．化简：(1)108；解：63(2)（－5）×（－90）；解：152(3)292－212；解：20(4)18x2yz3(x≥0，y≥0，z≥0)．解：3xz2yz10．下列化简正确的是( B )A.（－4）×（－9）＝－4×－9＝6B.12×27＝4×81＝18C.16＋4＝16＋4＝4＋2＝6D.414＝4×14＝2×12＝111．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边长是( B )A．3 2 cm B．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm12．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示54，则下列正确的是( A ) A ．3ab B ．2ab C ．ab 2 D ．a 2b 13．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5<m <6 B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－514．若点P (x ，y )在第二象限内，化简x 2y 的结果是． 15．比较大小：(1)23__<__32；(2)－211__>__－3 5. 16．将根号外面的因数移到根号内：35＝，212＝；－656＝，a －1a＝． 17．若20n 是整数，则正整数n 的最小值是__5__． 18．计算： (1)15×60； 解：23 (2)6×1218； 解：33(3)3220×(－1215)×(－1324)． 解：15219．化简： (1)3200；解：402 (2)－21×（－28）； 解：143(3)43×92×5；解：725 (4)1327x 2y 3z 4(xy ≥0)．解：xyz 23y20．小强在计算机课上设计了一幅长140π cm ，宽35π cm 的矩形图片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．解：设圆的半径为r cm ，则140π×35π＝πr 2，35×4×35π2＝πr 2，∴70π＝πr 2，∴r 2＝70，∴r ＝70，即圆的半径为70 cm21．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 338＝3＋38. 验证： 338＝32×38＝338＝33－3＋332－1＝3（32－1）＋332－1＝3（32－1）32－1＋332－1＝3＋38 同理可得：4415＝4＋415，5524＝5＋524，……通过上述探究你能猜测出：a aa 2－1＝a >1)，并验证你的结论． 解：a aa 2－1＝a ＋a a 2－1，验证：a aa 2－1＝a 2·a a 2－1＝a 3a 2－1＝a 3－a ＋aa 2－1＝a 3－a a 2－1＋aa 2－1＝a （a 2－1）a 2－1＋aa 2－1＝a ＋aa 2－121.2.3 二次根式的除法1.a b＝a __≥__0，b __>__0)．即：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的__商__的算术平方根．2.a b ＝a __≥__，b __>__0)．即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根与除式的算术平方根的__商__．3．被开方数中不含__分母__，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于__2__的二次根式称为最简二次根式．4．二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个__恰当的二次根式__就可以了，这种化简过程称为分母有理化．知识点1：二次根式的除法 1．计算：10÷2＝( A ) A.5 B ．5 C.52 D.1022．菱形ABCD 的面积为27，对角线AC 的长为23，则对角线BD 的长为( D ) A.92 B ．9 C.32D ．3 3．等式x x －2＝xx －2成立的条件为__x>2__．4．计算下列各题： (1)60÷5；解：23 (2)2423；解：2 (3)45÷215； 解：6 (4)2a 2bb(a ≥0)．解：2a知识点2：商的算术平方根5．下列各式计算正确的是( C )A.－4－9＝－4－9＝－2－3＝23B.429＝213 2C.4×225＝25 2D.1249＝7126．(2014·济宁)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( B )A．①②B．②③C．①③D．①②③7．化简：(1)11549；(2)6316；(3)25a481b2(b>0)．解：(1)87(2)374(3)5a29b知识点3：最简二次根式8．下列式子中，属于最简二次根式的是( B )A.9B.7C.20D.139．把下列各个二次根式化为最简二次根式．(1)8a2b3(a≥0)；解：2ab2b(2)83；解：236(3) 4.8；解：2305(4)3y32x2(x>0)．解：y 2x6y10．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16 B.326＝13C.3663＝22D.698＝27 11．下列二次根式中：12，12a ，30， 1.6，a 2－b 2，5a 3，a 2，a2，9x ＋18y ，最简二次根式有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．在化简323时，甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是：甲：原式＝3×23＝3×2×33×3＝6；乙：原式＝3×69＝3×69＝6；丙：原式＝32×23＝ 6.其中解答正确的是( D )A ．甲B ．乙C ．丙D ．都正确13．设2＝a ，3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.24，则下列表示正确的是( B ) A ．2ab B ．0.2ab C ．0.1ab 2 D ．0.1a 2b14．计算：(1)3850＝__65__；(2)26315＝15；(3)－3227＝__3；(4)12＋13＝6．15．已知点A (x 1，－3)，B (22，y 2)都在反比例函数y ＝－32x的图象上，则x 1＝__，y 2＝__－32__．16．把(a －b )1b －a的根号外的因式移到根号内的结果是． 17．计算： (1)18÷8×272；解：946(2)30×32223÷2212； 解：32 (3)945÷212×32223. 解：54318．先化简，再求值：xx 3－2x 2÷x －2x －2，其中x ＝8. 解：原式＝1x，当x ＝8时，原式＝2419．进行二次根式化简时，有时会碰到像53，23＋1这样的式子，其实还可以将其进一步化简：53＝5×33×3＝533；23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－12＝3－1. 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23＋1还可以这样化简：23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.请选择适当的方法化简：(1)13－1；(2)25＋3；(3)143－7.解：(1)13－1＝3＋1（3－1）（3＋1）＝3＋12(2)25＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－3(3)143－7＝43＋7（43－7）（43＋7）＝43＋7－1＝－43－721.3二次根式的加减1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果__被开方数相同__，这几个二次根式就叫做同类二次根式．2．二次根式相加减时，先把各个二次根式__化简__，再将__同类二次根式__合并．知识点1：同类二次根式1．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是( C )A.12 B.8 C.12 D.182．下列各式中与3是同类二次根式的是( C )A.24B.23 C.27 D.0.33．如果最简二次根式3a－8和17－2a是同类二次根式，那么a＝__5__．知识点2：二次根式的加减4．下列计算正确的是( C )A．43－33＝1 B.2＋3＝ 5C．212＝ 2 D．3＋22＝5 25．(2014·哈尔滨)计算：12－3＝．6．计算：(1)45－1480＋515－53145；解：25(2)(30.5－613)－(218－20－2927)． 解：2－433＋25知识点3：二次根式的运算与乘法公式7．若x ＝a －b ，y ＝a ＋b ，则xy 的值是( D ) A ．2a B ．2b C ．a ＋b D ．a －b8．已知a ＝22＋3，b ＝22－3，则：(1)a ＋b ＝； (2)a －b ＝__6__； (3)ab ＝__－1__； (4)a 2＋b 2＝__34__；(5)a 2－2ab ＋b 2＝__36__． 9．计算：(1)(2＋3)(2－3)； 解：－1 (2)(2－12)2； 解：12(3)(5＋32)2. 解：23＋610知识点4：二次根式的混合运算 10．(2014·台湾)算式(6＋10×15)×3之值为何？( D ) A ．242 B ．12 5 C ．1213 D ．18 211．计算：24－18×13＝．12．计算：(1)(54－12＋1)÷3； 解：32－2＋33(2)45×35＋3(5－2)． 解：3＋1513．计算412＋313－8的结果是( B ) A.3＋2 B.3 C.33D.3－ 2 14．下列计算正确的是( D ) A ．(22－3)(2＋3)＝－1 B ．(2＋5)(2－5)＝1 C.6÷(2－3)＝3－ 2D.27－123＝9－4＝115．计算32×12＋2×5的结果估计在( A ) A ．7到8之间 B ．8到9之间 C ．9到10之间 D ．10到11之间16．已知a ＝5＋2，b ＝5－2，则a 2＋b 2＋7的值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．计算：(26＋5)2015×(26－5)2016＝．18．工厂因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m 2，18 m 2，32 m 2的正方形铁框，则焊工师傅需用钢材的总长度为19．计算：(1)(212－6118＋348)×52；解：806－10(2)(318＋1550－412)÷32； 解：2(3)(2014·荆门)24×13－4×18×(1－2)0. 解：220．已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值： (1)ab 2＋a 2b ；解：原式＝ab (b ＋a )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝67(2)a 2－2ab ＋b 2；解：原式＝(a －b )2.当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝16(3)a 2－b 2.解：原式＝(a ＋b )(a －b )．当a ＝7＋2，b ＝7－2时，原式＝8721．阅读下列解题过程：12＋1＝1×（2－1）（2＋1）（2－1）＝2－1， 13＋2＝1×（3－2）（3＋2）（3－2）＝3－ 2.请回答下面的问题：(1)观察上面的解题过程，请直接写出1n ＋n －1的值；(2)利用上面的规律计算： (11＋2＋12＋3＋13＋4＋…＋12013＋2014＋12014＋2015)×(1＋2015)． 解：(1)1n ＋n －1＝n －n －1 (2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…2014－2013＋2015－2014)×(1＋2015)＝(2015－1)(2015＋1)＝(2015)2－12＝2014综合练习 二次根式的化简与运算1．(2014·徐州)下列运算中错误的是( A ) A.2＋3＝5 B.2×3＝ 6 C.8÷2＝2 D ．(－3)2＝3 2．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11333．估算50＋232的值在( C ) A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 4．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．55．等式（4－x ）2（6－x ）＝(x －4)6－x 成立的条件是( B ) A ．x ≥4 B ．4≤x ≤6 C ．x ≥6 D ．x ≤4或x ≥66．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，那么a ＋b 等于( D ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．107．若a ＝3－10，则代数式a 2－6a －2的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.108．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝__1__．9．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝__－6__．10．已知等腰三角形的两边长为32和45，则此等腰三角形的周长为． 11．观察下列各式：32－1＝2×4，42－1＝3×5，52－1＝4×6，…，请写出满足上述规律的用n (n 为任意自然数，且n ≥3)表示的等式：__．12．计算：(1)32－212－418＋348； 解：22＋83(2)(0.5－213)－(132－75)； 解：382＋1333(3)212÷1550×1234； 解：322(4)(548＋12－627)÷3； 解：4(5)(3＋2－5)(3－2－5)． 解：6－21513．化简：18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.解：原式＝32－322－(1＋2)＋1＋|1－2|＝32－322－1－2＋1＋2－1＝322－114．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算※如下：a※b＝a＋ba－b，如3※2＝3＋23－2＝5.求8※12的值．解：8※12＝8＋128－12＝20－4＝25－4＝－5215．已知x－1＝3，求代数式(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：原式＝(x＋1－2)2＝(x－1)2，当x－1＝3时，原式＝(3)2＝316．已知x，y为实数，且y＝3－x＋4x－12＋1，化简(5－x)2|y－3|－y2－8y＋16.解：∵3－x≥0，4x－12≥0，∴x＝3，y＝1，∴原式＝(5－x)(3－y)－（y－4）2＝(5－x)(3－y)－(4－y)＝(5－3)×(3－1)－(4－1)＝2×2－3＝4－3＝117．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，E点在AB上，DE＝AE＝EB＝ 5.求▱ABCD的周长和面积．解：∵DE ⊥AB ，DE ＝AE ＝5，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝（5）2＋（5）2＝10.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，DC ＝AB ＝2 5.∴▱ABCD 的周长为AD ＋DC ＋CB ＋AB ＝2(10＋25)＝210＋4 5.▱ABCD 的面积为AB ×DE ＝25×5＝1018．已知a －b ＝5＋3，b －c ＝5－ 3. (1)求a －c 的值；解：a －c ＝(a －b )＋(b －c )＝25(2)求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值．解：a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]＝1819．已知等式|a －2014|＋a －2015＝a 成立，求a －20142的值． 解：∵a －2015≥0，∴a ≥2015.∴|a －2014|＝a －2014.∴a －2014＋a －2015＝a.∴a －2015＝2014.∴a －2015＝20142.∴a －20142＝201520．已知11－1的整数部分是a ，小数部分是b ，试求(11＋a )(b ＋1)的值． 解：∵3<11<4，∴2<11－1<3，故11－1的整数部分是2，即a ＝2，∴11－1的小数部分是11－1－2＝11－3，即b ＝11－3.∴(11＋a )(b ＋1)＝(11＋2)(11－3＋1)＝第21页 (11＋2)(11－2)＝(11)2－22＝721．观察下列等式及验证过程： 12－13＝1223；12（13－14）＝1338； 13（14－15）＝14415. 验证：12－13＝222×3＝1223； 12（13－14）＝12×3×4＝32×32×4＝1338. (1)请按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想14（15－16）的变形结果及验证过程； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n 表示的等式，并验证．(n 为自然数) 解：(1)14（15－16）＝15524 验证：14（15－16）＝14×5×6＝54×52×6＝15524(2)1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1 验证：1n （1n ＋1－1n ＋2）＝1n ·（n ＋1）（n ＋2）＝n ＋1n （n ＋1）2（n ＋2）＝1n ＋1n ＋1n （n ＋2）＝1n ＋1n ＋1（n ＋1）2－1。
22.2.2积的算术平方根(1)
（a≥0，b≥0） ab a b
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 ( 2) 27 15 (3) 4a
3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12
43 2 3 2 3
2
(2) 2715 9 3 3 5
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６ ( 2) 5 7 35 =
探究
(4) (9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， 有什么关系？
a 与 b
ab
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b
ab（a≥0,b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x x
3
Байду номын сангаас
b 1 (3)2 ab 3 ( 4) 27 a 3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2) x x x x x x
3 3 4
2
b b 2 (3)2 ab 3 (2 3) ab 6 b 6b a a
2
x
3 2 1 计算： 30 2 2 2 2 3 2
3 8 5 解 : 原式 2 30 2 3 2
3 8 5
3 2 5 2
2
3 22 2 52
30 2
梳理
a b ab
（a≥0，b≥0）
ab a b（a≥0，b≥0）
最简二次根式。
3
x 2
2
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
积根的运算(讲解)
请猜想
(1) 4 9 25 (2) 36 49 81
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
a b a bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 0,b 0)
扩充：
abc a b c
（其中a,b,c均为非负数）
D
C
2000
A
B
连线：
49 25 9 25 4
25 9 4 9 25 4
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
a b a b(a 0,b 0)
16 9 ≠ 16 9 25 9 ≠ 25 9
(1)
a3b2c
(2) 4m3
(3) 75xy3
(4) 27ab2c2
比较下列各组二次根式的大小
(1) 1 200和2 3 5
（2） - 5 6 和- 6 5
§21.2.2 积的算术平方根
法则：积的算术平方根， 应例用：
等于各因式算术平方根的积。
ab a b
解 一：(1)般12
（2） 27
4 9
32 3
3特殊3 3
(a 0,b 0)
扩充：
（3） 2715 9 9 5 9 5
abc a b c
（其中a,b,c均为非负数）
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
解：
1 200 1 200
5
25
2 3 4 3 12
21.2.2 积的算术平方根(课件)华东师大版数学九年级上册 - 副本
21.2.2 积的算术平方根
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根据积的算术平方根化简二次根式
重 ■题型
难
题
例
化简：（1） · ； （2）
×
； （3
型
突
破 ） ×× ．
21.2.2 积的算术平方根
重
难
题
型
突
破
［解析］（1）将原式变为
× 计算即可；
21.2.2 积的算术平方根
● 考点清单解读
● 重难题型突破
21.2.2 积的算术平方根
■考点
积的算术平方根
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考
点
公式
= · （a≥0，b≥0）
清
单
解 文字叙述 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积
读
· ⋯ · = · · ·…· （a，
推广
b，c，…，n≥0）
21.2.2 积的算术平方根
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归纳总结
考
点
（1）公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必
清
单 须满足a≥0，b≥0（若积的因数或因式不是非负数，应先将
解
读 其化为非负数，再运用性质进行化简）；
（2）当被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方数有完全平方因数或因式时，常用积的算
术平方根进行二次根式的化简计算，要避免出现
− = - 的错误.
21.2.2 积的算术平方根
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
化简：
（1） ； （2） × ；
（3） （ − ） × （ − ）.
初中数学平方根口诀表
初中数学平方根口诀表
平方根又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
下面整理了记忆平方根的口诀，供大家参考。
平方根表
巧记平方根口诀
负数方根不能行，零取方根仍为零。
正数方根有两个，符号相反值相同。
2 作根指可省略，其它务必要写明。
负数只有奇次根，算术方根零或正。
注：方根均指平方根。
平方根公式
如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，（a≥0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为√a ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
负数在实数系内不能开平方。
只有在复数系内，负数才可以开平方。
负数的平方根为一对共轭纯虚数。
例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。
规定：i²=-1或i=√-1，-i=-√-1。
一般地，“√￣”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。
规定：0的算术平方根为0。
积的算数平方根.2.2《积的算术平方根》ppt课件 (2)
（ 2 32）=____；（ 49 36）=____；
2 2
猜一猜：通过对上述问题的思考，你 能猜想出 a b 的结论是什么？说 说你的理由。
a b a b (a 0, b 0)
积的算术平方根:
积的算术平方根，等于各因式算术 平方根的积。
利用这个性质 可以进行二次 根式的化简
例题欣赏 例1 化简 12 ，使被开方数不含完全平方的 因数。
解： 12= 22 3 = 22 3 =2 3
这里，被开方数12=22×3，含有完全平方 的因数22，通常可以根据积的算术平方根的 性质，并利用 a 2 =a a 0 ， 将这个因数“开方”出来。
例2 化简（） 1 4a b
2 4
2
拓展
（1）
9 a b (a b ) (a 0,b 0)
3 2 3
（2）
a a b
4 2
2
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你
有哪些新的认识和体会？ 获得哪些解决二次根式问题的方法？ 你还有哪些问题？请与同伴交流。
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
2 3
1 . ( 2) 3x xy 3
练习
(1) 49 121 77 (2) 4 y 2 y (3) 16ab c 4bc ac
2 3
(4) ( 36) 16 ( 9) 72 (5) 5 12 13
2 2
(6) 8 x x ( x 0) 2x 2 4x
2. 积的算术平方根
学习目标
1、理解积的算数平方根的性质：
a b
a b ( a 0, b 0 )
华师大版九年级上册课件：2121二次根式的乘法;2122积的算术平方根(1) 省优获奖课件ppt
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵” 总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
计算
4 9 4 25 16 9 100 0.01
=
49 4 25 16 9 100 0.01
=
= =
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它 们被开方数的积的算术平方根.
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
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积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》
积的算术平方根是指积中各项的算术平方根的乘积。
它有许多有趣的性质，这些性质对于理解积有着重要的意义。
首先，积的算术平方根是乘积的算术平方根。
如果a和b是两个正数，则a*b的算术平方
根为√(a*b)，即a和b的算术平方根的乘积。
其次，积的算术平方根是乘积的算术平方根的函数。
如果a和b是两个正数，则a和b的
算术平方根的乘积是一个函数，它的值是a*b的算术平方根。
最后，积的算术平方根是乘积的算术平方根的近似值。
如果a和b是两个正数，则a和b
的算术平方根的乘积是a*b的算术平方根的近似值，它比a*b的算术平方根的实际值要小。
积的算术平方根是乘积的算术平方根的乘积、函数和近似值，它对于理解积有着重要的意义。
初中数学知识点精讲精析 二次根式的乘除 (2)
21.2 二次根式的乘除学习目标1.掌握二次根式的乘除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘除法运算。
2.体会用类比的思想研究二次根式的乘除法。
知识详解1.二次根式的乘法=a≥0，b≥0），这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。
注意：在上式中，a、b都表示非负数，在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数。
2.积的算术平方根积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积，利用这个性质可以进行二次根式的化简。
=a≥0，b≥0）3. 二次根式的除法二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相除，只把被开方数相除，结果仍然作为被开方数。
商的算术平方根：商的算术平方根等于各算术平方根的商。
4. 最简二次根式化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式。
二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了。
5. 理解二次根式除法法则的四点注意（1）二次根式除法法则中的a,b既可以是数，也可以是代数式。
（2）在运算中应注意约分要彻底。
（3）若法则中a,b为带分数时，则一定要先化为假分数,再运用法则进行运算。
（4）运算过程中，注意符号变化，结果要化成最简二次根式。
6. 二次根式化成最简二次根式“四步法”（1）转化：把根号下的带分数或小数化成假分数。
（2）分解：被开方式是多项式的要进行分解因式。
（3）化简：将被开方式中开得尽方的因数或因式，根据二次根式的性质，用它的算术平方根代替后移到根号外，并化去分母中的根号。
（4）约分：约去可以约分的数或因式。
【典型例题】例1：如果ab 1，那么（ ） A ．a=bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．ab=1【答案】A【解析】把a 1，计算后再与b 进行比较，确定有理化因式，把a 中的分母去掉是解题的关键。
1==，1∴a=b ．例2：如果a=1+a 与b （ ） A ．互为倒数B ．互为相反数C ．互为有理化因式D ．相等【答案】D【解析】将b 中的二次根式的分母有理化，即可知a 与b 的关系。
二次根式乘法与积算术平方根
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
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谢谢
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(2) 6 15 10 6 1510 233552 (2 3 5)2 302 30
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ab a • b;(a 0,b0)
积的算术平方根法则：
积的算术平方根，等于各因式算术平 方根的积。
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例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15 (3) 4a3
2
2
(3). 2 3 2 1 3 2 2
3 2 2 3 2 6
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例题讲解
计算：
(1) 3 12 (2) x x3
(3)2 ab 3 b (4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2) x x3 x x3 x4 x2
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分析
二次根式的乘法：根式和根式按公式
相乘。
m a n b mn ab（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结
果的系数。
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例题1：计算
(1). 7 6
(2). 1 32 2
(3). 2 3 2
解：（1） 7 6 6 7 42
(2). 1 32 1 32 16 4
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何用a，b 表示？成立的条件是什么?
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2
5
2
3
2
D
5 3
2
＝ 5＋3
8、化简 1218 得：（ C ）
A 36 6 B 6 6
2
C
6 6
D 36
6
9、计算 3
A 7
4
2
得： （ B ）
C± 7 D±5
B 5
10、下列计算正确的有（ B ） ⑴ (4) (9) = 4 9 =(-2)(-3)=6 ⑵ (4) (9) =
21.2.2 积的算术平方根
请完成下列填空：
⑴
49
=
6 2
，
4 9
1 36 9
=
6
2
，
1 = 36 9
，
=
，
⑵根据填空你可以得出什么结论？一般情况下，当
a 0,b 0时，ab与 a b 有什么关系？
请你猜想一下。
ab
=
a b
ab =
a b
(a≥0，b≥0）
积的算术平方根，等于积 中各因式的算术平方根的积。
， b≥0
；
a
2
＝a,则 a ≥0
2、等式 3、
x( x 3) ＝ x x 3 成立的条件是
＝
X≥3
56 5 ， 300 ＝ 10 3 2 2 4、 (16) (25) ＝ 20 ， 40 24 ＝ 32
5、化简
3
49 64 5
xy
3 2
＝ xyΒιβλιοθήκη x，49a ( x3) (X≥3)＝
⑶ 52 42 = 5 4 ⑷ 52 42 = 2 2 5 4 A 1个 B 2个
4 9 =2×3=6
54 = 3 =5-4=1
C 3个
D 4个
利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简 与计算。
例1 ⑴ ⑵ ⑶
2
化简
7 5
29
2
2
=
7 5 =7×5=35
(29 21)(29 21) =
2
2
16 81 = 16 81 =4×9=36
2 21 =
50 8 =
5 = 10 2
400 =20 5 = 20
⑷ 2000 = 102 22 5 = 2 2 10 2
5
小结：当被开方数是数字时，要把被开方数中开得
尽方的数移到根号外面来。
试一试
化简
⑴ (49) (121 ) = 49121= 49 121=7×11=77
⑵ 255 = 15 =15
2
⑶ 18 = 32 2 =
3
2
2
=3 2
⑷ 27 15 = 3 32 3 5 =
3
2
3 5 =
2
3 3 5 = 3 3 5 =9 5
2
2
化简
⑴
a (bc)
2
2
2
=
a (bc) =a(b+c)
2 2
⑵ ab
(c1)
2
= a
b (c1) = b(c 1) a
2 2
化简二次根式的一般方法，先将被开方 数进行因数分解或因式分解，然后把能 开得尽 方的因数或因式，用它们算术平 方根代替，移到根号外。
我的收获
1、积的算术平方根的性质： ab＝ a b （a≥0,b≥0)★★★ ① a≥0,b≥0 是公式成立的条件 ②公式中的字母a,b既可以是数，也可 以是代数式，但都必须是非负数。 2、会利用此性质化简二次根式。★★★ 2 3、公式 a ＝a(a≥0)★
1、若 若
ab ＝
a b
则
a≥0
1、我们已经知道 2 、 7 、 2 7 都是二次根 式，那么 2 、 7 是二次根式吗？ (2) (7) 呢？ 2、请你比较 a 、 b 中 a、b的取值与 b的取值有什么不同？
ab 中 a、
（ a 、 b 中的a、b都必须是非负数，而 ab 中， 只要ab 0即可，因此a、b同号或a、b至少有一 个为零即可）
2
7a( x 3) a
选择题 6、化简
x x （x＞0）正确的是（ D ）
4 2
A X2+X
B X2+1
C x2 x2 1
D
x
x
2
1
7、下列各式成立的是（ A B C
B
）
(3) (5) ＝ 3 5
(3)
2
(5) ＝
2
(3) (5)
2
2
5
2
3 ＝
2