积的算术平方根的性质
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1:二次根式的定义:形如()0≥a a 的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,a 才有意义.【例1】下列各式()511,()52-,()232+-x ,()44,()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-,()a -16,()1272+-a a 其中是,二次根式的是_________(填序号).变式:1、下列各式中,一定是二次根式的是()A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义,则x 的取值范围是. 变式:1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是() A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=变式:1、若11x x ---2()x y =+,则x -y 的值为()A .-1B .1C .2D .3 2、当a 取什么值时,代数式112++a 取值最小,并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分,b 是5的小数部分,求12a b ++的值。
变式:1、若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。
2、若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求yx 12+的值. 知识点2:2、双重非负性:a a ()≥0是一个非负数.即①0≥a;②0≥a3、平方的形式(双胞胎公式):(1)()()a aa 20=≥;(2)a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()().公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系:(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的. 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=.变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数,则()2017b a -=。
(1)二次根式基础知识点
32
2000
32
2001
______________
思路点拨:二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.
类型六、化简求值 12、已知 4x +y -4x-6y+10=0,求(
2
2
+y
2
)-(x
2
-5x
)的值.
思路点拨:本题首先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x-1) +(y-3) =0,即 x= 式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,•再合并同类二次根式,最后代入求值. 举一反三
1 1 1 a 2 2 ,其中 a= ”,甲、乙两个学生的解答不同. + 2 a 5 a
甲的解答是:
1 1 1 1 2 49 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = + -a= a + 2 a a a a a 5 a a 1 1 1 1 1 1 1 a 2 2 = + ( a)2 = +a- =a= + 2 a a a a 5 a a
知识点三、二次根式的除法法则: 要点诠释:
,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.
(1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意,其中
,因为 b 在分母上,
故 b 不能为 0. (2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号.
2
2
,y=3.其次,根据二次根
【变式 1】先化简,再求值.(6x
+
)-(4y
+
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算:(1)(2014 秋•闵行区校级期中) ×(﹣2 )÷
.
(2)(2014 春·高安市期中) a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解:(1) ×(﹣2 )÷
举一反三: 【变式】下列式子中二次根式的个数有( ).
(1)
1 ;(2) 3
3 ;(3)
x2 1 ;(4)3 8 ;(5)
( 1)2 ;(6) 1 x( x 1 ) 3
A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. (2016•贵港)式子
在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( )
= ×(﹣2 )×
=﹣
=﹣
=﹣ .
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算,注意最终结果要化简.
举一反三:
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质:
的同时,复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简.
.
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义:
我们已经知道:每一个正实数有且只有两个平方根,一个记作a,称为a的。
算术平方根;另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式,根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数围,负实数没有平方根,因此只有当被开方数是非负实数时,二次根式才在实数围有意义.
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果,具有以下特点:
(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式);
(2)被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式,叫作最简二次根式.
注意:①化简二次根式时,最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时,最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时,可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外(注意:从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1.二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3): a ·b =ab (a ≥0,b ≥0).观察这个式子的左边和右边,得出等号的左边是两个二次根式相乘,等号右边是得到的积,仍是二次根式.由此得出:二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点:①要满足a ≥0,b ≥0的条件,因为只有a ,b 都是非负数,公式才能成立. ②从运算顺序看,等号左边是先分别求a ,b 两因数的算术平方根,然后再求两个算术平方根的积,等号右边是将非负数a ,b 先做乘法求积,再开方求积的算术平方根.③公式a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况.④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形,或将有的因式适当改变移到根号外边,或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.当二次根式根号外都含有数字因数时,可以仿照单项式的乘法法则进行运算:系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.即m a ·n b =mn ab (a ≥0,b ≥0).【例1】计算:(1)0.4×3.6;(2)545×3223.分析:第(1)小题的被开方数都是小数,先将被开方数进行因数分解,第(2)小题的根号外都含有数字因数,可以仿照单项式的乘法.解:(1)0.4× 3.6=0.4×3.6=0.4×0.4×9=0.4×3=1.2. (2)545×3223=5×32×45×23=152×3×15×23=15230.2.积的算术平方根的性质 (1)ab =a ·b (a ≥0,b ≥0).用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.(2)注意事项:①a≥0,b≥0是公式成立的重要条件.如(-4)×(-9)≠-4·-9,实际上公式中的a,b是限制公式右边的,对公式的左边,只要ab≥0即可.②公式中的a,b可以是数,也可以是代数式,但必须是非负的.(3)利用这个公式,同样可以达到化简二次根式的目的.(4)ab=a·b(a≥0,b≥0)可以推广为abc=a·b·c(a≥0,b≥0,c≥0).计算形如(-4)×(-9)的式子时,应先确定符号,原式化为4×9,再化简.【例2】化简:(1)300;(2)21×63;(3)(-50)×(-8);(4)96a3b6(a>0,b>0).分析:根据积的算术平方根的性质:ab=a·b(a≥0,b≥0)进行化简.解:(1)300=102×3=102×3=10 3.(2)21×63=3×7×7×9=3×72×32=3×7×3=21 3.(3)(-50)×(-8)=50×8=202=20.(4)96a3b6=42·6·a2·a·(b3)2=4ab36a.3.二次根式的除法法则对于两个二次根式a,b,如果a≥0,b>0,那么ab=ab.这就是二次根式的除法法则.(1)二次根式的除法法则:①数学表达式:如果a≥0,b>0,则有a b =ab.②语言叙述:两个二次根式相除,将它们的被开方数(式)相除,二次根号不变.(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中,条件a≥0,b>0与二次根式乘法的条件a≥0,b≥0是有区别的,因为分母不能为零,所以被除式可以是非负数,而除式必须是正数,否则除法法则不成立.知识点拓展:(1)二次根式的除法法则中的a ,b 既可以代表数,也可以代表式子;(2)m a ÷n b =m a n b =mnab (a ≥0,b >0,n ≠0),即系数与系数相除,被开方数与被开方数相除.点拨:在进行二次根式的除法运算时,应先确定商的符号,然后系数与系数相除,被开方数与被开方数相除,二次根号不变,但应注意的是当被开方数是带分数时,首先要把带分数化为假分数,再进行计算,并且计算的最终结果一定要化为最简形式,此外当数字与字母相乘时,要把数字放在字母的前面,如-26a 不能写成-2a 6.【例3】如果x x -1=x x -1成立,那么( ). A .x ≥0 B .x ≥1C .0≤x ≤1D .以上答案都不对解析:本题考查二次根式的除法法则成立的条件.要求x ≥0,x -1>0,则x >1.故选D.答案:D点拨:(1)逆用二次根式的除法时,一定要满足条件a ≥0,b >0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法:一是运用二次根式的性质和除法运算;二是运用二次根式的性质及乘法运算.4.二次根式除法的逆用 通过计算:(1)1625=(45)2=45,1625=45,显然1625=1625;(2)81121=(911)2=911,81121=911,显然81121=81121,从而我们可以发现:二次根式的除法法则也可以反过来运用,即如果a ≥0,b >0,那么a b =ab,也就是说,商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.名师归纳:二次根式的除法法则的逆用: (1)数学表达式:如果a ≥0,b >0,则有a b =ab;(2)语言叙述:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根;(3)逆用二次根式除法法则,可以把二次根式化为最简形式.(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内. (1)535; (2)-2a 12a ;(3)-a-1a ; (4)xyx (x <0,y <0).分析:将根号外的因数(式)移到根号内时,要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式),如5=52,实际上是运用了公式a =a 2(a ≥0).同时,此题还运用了公式a ·b =ab (a ≥0,b ≥0).如果根号外有负号,那么负号不能移入根号内,移到根号内的因数(式)必须是正的,但有些字母的取值范围需由隐含条件得出,如(2),(3)小题.解:(1)535=52×35=52×35=15.(2)∵12a >0,∴a >0. ∴-2a 12a =-(2a )2·12a =-(2a )2·12a =-2a .(3)∵-1a >0,∴a <0. ∴-a -1a =(-a )2·-1a=(-a )2·(-1a )=-a .(4)∵x <0,y <0, ∴x y x=-(-x )2y x=-(-x )2·y x =-xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内,应运用公式a =a 2(a ≥0)及a ·b =ab (a ≥0,b ≥0);(2)根号外的负号不能移到根号内,如果根号外有字母,那么要判断字母的符号,如果符号是负的,那么负号要留在根号外.5.最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. ①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母,即被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2,即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式-33a +b 与2a +bb 是最简同类二次根式,求a ,b 的值.分析:最简同类二次根式是指根指数相同,根号内的因式相同且不能开方的二次根式.解:由题意,得⎩⎨⎧ a +b =2,3a +b =b ,解得⎩⎨⎧a =0,b =2.所以a ,b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解.最简同类二次根式是指根指数相同,根号内的因式相同且不能开方的二次根式.6.二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序:二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同,按照从左到右的顺序计算,有括号的先算括号里面的.(2)公式、法则:整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用. (3)运算律:整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用.乘法分配律是乘法对加法的分配律,而不是乘法对除法的分配律.在进行二次根式的运算时常见的错误是:①忽略计算公式的条件; ②不注意式子的隐含条件;③除法运算时,分母开方后没写在分母的位置上; ④误认为形如a 2+b 2的式子是能开得尽方的二次根式. 【例6】计算下列各题: (1)9145÷(3235)×12223; (2)2ab a 2b ·3a b ÷(-121a ).分析:二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同,按从左到右的顺序进行运算,不同的是在进行二次根式的乘除运算时,二次根式的系数要与系数相乘除,被开方数与被开方数相乘除.解:(1)9145÷(3235)×12223=(9÷32×12)145÷35×83 =(9×23×12)145×53×83=3881=322×292=3×292=232; (2)2ab a 2b ·3a b ÷(-121a )=[2ab ·3÷(-12)]a 2b ·a b ÷1a=-12aba 2b ·a b·a =-12ab a 4=-12ab ·a 2=-12a 3b .7.二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法:①如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,然后把分母化为有理式.②如果被开方数是整数或整式,先将它分解因数或因式,然后把它开得尽方的因数或因式开出来.(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式.“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时,要注意写在分母的位置上.“三化”即化去被开方数的分母.(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号,其依据是分式的基本性质,关键是分子、分母同乘以一个式子,使它与分母相乘得整式.②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘,它们的积不含有二次根式.a与a;a+b与a-b;a+b与a-b;a b+c d与a b-c d.③化去分母中的根号时,分母要先化简.(4)在进行二次根式的运算时,结果一般都要化为最简二次根式.【例7】(1)当ab<0时,化简ab2,得__________.(2)把代数式x-1x根号外的因式移到根号内,化简的结果为__________.(3)把-x3(x-1)2化成最简二次根式是__________.(4)化简35-2时,甲的解法是:35-2=3(5+2)(5-2)(5+2)=5+2,乙的解法是:35-2=(5+2)(5-2)5-2=5+2,以下判断正确的是().A.甲正确,乙不正确B.甲不正确,乙正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确解析:(1)在ab2中,因为ab2≥0,所以ab·b≥0.因为ab<0,b≠0,所以b<0,a>0.原式=b2·a=-b a.(2)因为-1x≥0,又由分式的定义x≠0,得x<0.所以原式=-(-x)-1x=-(-x)2(-1x)=--x.(3)化简时,需知道x,x-1的符号,而它们的符号可由题目的隐含条件推出.∵(x-1)2>0(这里不能等于0),∴-x3≥0,即x≤0,1-x>0.故原式=(-x)2·(-x)(1-x)2=-x1-x-x.(4)甲是将分子和分母同乘以5+2把分母化为整数,乙是利用3=(5+2)(5-2)进行约分,所以二人的解法都是正确的,故选C.答案:(1)-b a(2)--x(3)-x1-x-x(4)C8.二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目,如:(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种,通常有作差法、作商法等.对于比较含有二次根式的两个数的大小,一种方法是把根号外的数移到根号内,通过比较被开方数的大小来比较原数的大小;二是将要比较的两个数分别平方,比较它们的平方数.(2)化简求值对于此类题目,不应盲目地把变量的值直接代入原式中,一般地说,应先把原式化简,再代入求值.在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件,如开平方时注意被开方数为非负数,分式的分母不能为零等.再者,有些二次根式的化简,从形式上看是特别麻烦的,让人一看简直无从下手,但仔细分析又是有一定规律和模式的.(3)探索规律适时运用计算器,重视计算器在探索发现数学规律中的作用. 如:借助于计算器可以求得 42+32=__________, 442+332=__________, 4442+3332=__________, 4 4442+3 3332=__________, ……__________.解析:利用计算器我们可以分别求得42+32=25=5, 442+332= 3 025=55, 4442+3332=308 025=555, 4 4442+3 3332 =30 858 025=5 555,2011555个.答案:5 55 555 5 555 2011555个【例8-1】已知9-x x -6=9-xx -6,且x 为偶数,求(1+x )x 2-5x +4x 2-1的值.分析:式子a b =ab ,只有a ≥0,b >0时才能成立.因此得到9-x ≥0且x-6>0,即6<x ≤9,又因为x 为偶数,所以x =8.解:由题意,得⎩⎨⎧ 9-x ≥0,x -6>0,即⎩⎨⎧x ≤9,x >6.∴6<x ≤9.∵x 为偶数,∴x =8. ∴原式=(1+x )(x -4)(x -1)(x +1)(x -1)=(1+x )x -4x +1=(1+x )x -4x +1=(1+x )(x -4). ∴当x =8时,原式的值为4×9=6. 【例8-2】观察下列各式: 223=2+23,338=3+38.验证:223=233=23-2+222-1=2(22-1)+222-1=2+222-1=2+23;338=338=33-3+332-1=3(32-1)+332-1=3+332-1=3+38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路,猜想4415的变形结果并进行验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式,并给出证明.分析:本题是利用所学过的根式变形,去发现变形的规律,由于这种变形方法比较陌生,必须认真阅读所提供的素材,即学即用.解:(1)4415=4+415. 验证:4415=4315=43-4+442-1=4(42-1)+442-1=4+442-1=4+415.(2)猜想:nnn2-1=n+nn2-1(n≥2,n为正整数).证明:因为nnn2-1=n3n2-1=n3-n+nn2-1=n(n2-1)+nn2-1=n+nn2-1,所以nnn2-1=n+nn2-1.11 / 11。
二次根式的性质(积的算术平方根)
课题:二次根式的性质(积的算术平方根)课型:新授课学习目标:1、学习2a (a ≥0)的性质并能利用这一性质解决一些简单的问题2、学习二次根式的性质:积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积。
并能利用这一性质进行二次根式的化简。
一、自主探究:(阅读课本126—127页回答下列问题)1、当a ≥0时二次根式2a 的值是什么?计算2)4(-= 2)21(-= 2)44(-=你能发现什么?2、思考2a 与(a )2有怎样的相同点和不同点?3、积的算术平方根的性质:公式:语言叙述为: 二、合作交流成果展示1、交流上面的问题,教师点拨2、例题:(当a ≥0时2a =a 的运用):(1)已知=-2)4(a a —4成立, 则a 的范围为(2)已知1≤x ≤3 化简2)1(-x +4-x3、例题:(积的算术平方根的运用):(1)已知式子)2)(1(--x x =21-⨯-x x 成立,则x 的范围为(2)化简:①259⨯ ②216a ③300 ④y x 2三、利用规律巩固新知:1、已知=-2)21(a 21--a 成立, 则a 的范围为 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值3、判断下列各式是否成立:(1)94)9()4(-⨯-=-⨯- (2)5121322=-(3)b a b a +=+22 (4)323)2(2-=⨯-4、化简下列式子:(1)188⨯ (2)225253⨯⨯ (3)2)4(9-x (4)428n m(5)2243+ (6)32a a + (7))()(223b a b a --选做题:1、化简:325025m m +=2、将根号外的因式移入根号内 aa 1= 四、课堂小结,检测反馈1、通过这节课的学习你的学习目标完成了吗?2、检测:(1)已知式子)2)(1(x x -+=x x -⨯+21成立,则x 的范围为(2)化简下列各式: 4625⨯ b a 316 3)2(8-x 221213-选做题: 1、将根号外的因式移入根号内 a a1-= 2、若x ≤0 化简y x 28=五、课外自评:课本随堂练习2以及试一试六、教后反思:。
平方根1
6.1平方根【探索发现】:学校要举行美术作品比赛,扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少分米?这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题?它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题,我们就有了算术平方根的概念. 【知识全解】: 知识点:算术平方根如果一个正数的平方等于a ,那么这个正数叫做a 的算术平方根.为了书写方便,我们把a ,读作“根号a ”.注:1.a 叫作被开方数,被开方数恒为非负数。
2.规定:0的算术平方根是0.请同学们结合算术平方根的概念填空:正数3的平方等于9,我们把正数3叫做9的 . 说说6和36这两个数之间的关系?说说1和1这两个数呢? 【探索发现】: 计算下列各式=22______;=23______;=28______;=224______=-2)2(______;=-2)3(______;=-2)8(______;=-2)24(______总结:1.当0≥a 时,=2a ______;当0<a 时,=2a ______;即=2a ______。
2.若a x =2,则=x ______。
【基础巩固】:1.求下列各数的算术平方根: (1)4964; (2)0.0001. 根号被开方数a2.填空:(1)因为_____2=64,所以64的算术平方根是______,即64=______;(2)因为_____2=0.25,所以0.25的算术平方根是____________;(3)因为_____2=1649,所以1649的算术平方根是____________.3.求下列各式的值:=______;______;______;______;=______;______; (7)2)3(-=______; (8)若2x =3,则x=______.4.根据112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,162=256,172=289,182=324,192=361,填空并记住下列各式:_______,_______,_______,_______,_______,_______,_______,_______,_______.5.辨析题:卓玛认为,因为(-4)2=16,所以16的算术平方根是-4.你认为卓玛的看法对吗?为什么?6. 比较50与7的大小。
二次根式经典总结
1.二次根式:一般地,式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意:(1)若0a ≥这个条件不成立,则 不是二次根式;(2)是一个重要的非负数,即;≥0.2.重要公式:(1))0a (a )a (2≥=,(2)⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ;注意使用)0a ()a (a 2≥=。
3.积的算术平方根:)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公式,对字母的取值范围一般都有要求。
4.二次根式的乘法法则:)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5.二次根式比较大小的方法:(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小;(3)分别平方,然后比大小.6.商的算术平方根:)0b ,0a (ba b a >≥=,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则:(1))0b ,0a (b a b a>≥=; (2))0b ,0a (b a b a >≥÷=÷;(3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式。
8.常用分母有理化因式:a a 与,b a b a +-与, b n a m b n a m -+与,它们也叫互为有理化因式。
9.最简二次根式:(1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,① 被开方数的因数是整数,因式是整式,② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母;(3)化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10.二次根式化简题的几种类型:(1)明显条件题;(2)隐含条件题;(3)讨论条件题.11.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.12.二次根式的混合运算:(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的,在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用;(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简,例如:化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式(1)二次根式中,被开方数必须是非负数。
平方根与算术平方根的应
平方根与算术平方根的应用xx年xx月xx日•平方根与算术平方根的基础知识•平方根的应用•算术平方根的应用•平方根与算术平方根在科学计算中的应用目•平方根与算术平方根在生活中的应用•总结与展望录01平方根与算术平方根的基础知识平方根的定义与性质平方根的定义:对于任何一个非负数x,它的平方根记作√x,即若a²=x,则a为x的平方根。
•非负性:对于任何实数x,它的平方根有2个,记作±√x。
平方根的性质•对于正数a,它的算术平方根记作√a,即√a≥0。
算术平方根的定义与性质算术平方根的定义:对于任何一个正数x,它的算术平方根记作√x。
•正数a的算术平方根记作√a,即√a>0。
算术平方根的性质•对于非负数x,它的算术平方根记作√x,即若√x²=x,则√x≥0。
平方根与算术平方根的异同•相同点•都是用来求解x的方程的方法。
•对于正数a,它们的结果相同,即√a=a。
•不同点•定义范围不同:平方根定义在实数范围内,而算术平方根定义在正数范围内。
•结果的符号不同:平方根有正负两个值,而算术平方根只有一个正值。
•处理方式不同:求解方程ax²=b时通过平方根来求解,求解方程ax=b时通过算术平方根来求解。
02平方根的应用利用平方根的性质对一元二次方程进行求解,例如将方程$ax^2+bx+c=0$ 转化为 $x^2=(b^2-4ac)/4a$,再利用平方根求得方程的根。
代数方程的求解利用平方根进行等式的变换,例如将 $x^2-9=0$ 转化为$(x+3)(x-3)=0$,从而简化计算。
等式变换利用平方根进行等式变换计算面积和体积利用平方根可以计算矩形、正方形和圆形等形状的面积,以及圆柱体、圆锥和球体等形状的体积。
测量和计算利用平方根可以测量和计算一些实际生活中的问题,例如通过测量房间的面积来计算需要多少平方米的壁纸。
利用平方根解决实际问题统计学在统计学中,平方根常被用于计算标准差等指标。
人教版七年级数学下册第六章《平方根--算术平方根》公开课课件
身边小事
为了趣味接力比赛,要在运动 场上圈出一个面积为100平 方米的正方形场地,这个正方
形场地的边长为多少? 10米
因为 10 2=100
§6.1 平方根
身边小事
学校要举行美术作品比赛,小欧很 高兴,他想裁出一块面积为25dm2 的正 方形画布,画上自己的得意之作参比 赛,这块正方形画布的边长应取多少?
• 15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年7月2021/7/202021/7/202021/7/207/20/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题,却需要有创造性的想像力,而且标志着科学的真正进步。2021/7/202021/7/20July 20, 2021
5 dm
因为 5 2=25
§6.1 平方根 (第一课时) 算术平方根
正方形 的面积
边长
1
9
学 科网
1
3
16 36
0.25
4
6 0.5
已知一个正数的平方, 求这个正数的问题.
概念引入
象5 2=25, 那么5叫做25的算术平方根;
10 =2100, 那么10叫做100的算术平方根;
x a x a 一般地,如果一个正数 的平方等于 , 即 =2 = , x a 那么这个正数 叫做 的 算术平方根.
≥0 ≥0
算术平方根的非负双重性.
试一试
2.你知道下列式子表示什么意思吗? 你能求出它们 的值吗?
25 =5
1 4
=
1 2
0.81 =0.9
0 =0
试一试
积根的运算(讲解)
请猜想
(1) 4 9 25 (2) 36 49 81
§21.2.2 积的算术平方根
法则:积的算术平方根, 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81
扩充:
abc a b c
(其中a,b,c均为非负数)
类比 5>3
8 12
-5<-3
即 1 200 2 3 5
思考题
已知: (99 x)( x 99) 99 x x 99
求: ( x 1) x2 2x 1 的值 x1
D
C
2000
A
B
连线:
49 25 9 25 4
25 9 4 9 25 4
§21.2.2 积的算术平方根
法则:积的算术平方根, 等于各因式算术平方根的积。
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
a b a b(a 0,b 0)
16 9 ≠ 16 9 25 9 ≠ 25 9
abc a b c
(3) 2715 9 9 5 9 5
(其中a,b,c均为非负数)
(1) 4 9 4 9 (2) 4 25 4 25 (3) 81 4 81 4
化简:
1 8 4 12 7 4a3
2 18 5 27 8 a5
3 50 6 20 9 27a3
不要忽略我 让我来计算:
Ø例: 化简 , 使被开方数不含完全平 方的因数
(1) 12 (2) 27
(3) 27 15
§21.2.2 积的算术平方根
法则:积的算术平方根, 例:
等于各因式算术平方根的积。 解:(1) 12 4 3 2 3
《算术平方根》课件
06 总结与回顾
本课重点回顾
01
02
03
04
算术平方根的定义:非负实数 的平方根。
平方根的性质:正数有两个平 方根,互为相反数;0的平方 根是0;负数没有实数平方根
。
平方根的表示方法:使用 “√”符号表示,读作“根号
”。
平方根的运算性质:平方根具 有交换律、结合律和分配律。
学习心得分享
掌握了算术平方根的基本概念 和性质,能够正确判断一个数 的平方根。
平方根近似值的实际应用
大数开方
在处理大数时,直接计算其平方 根可能超出计算机的表示范围, 此时需要使用近似值进行计算。
科学计算
在物理、工程、金融等领域中,经 常需要计算平方根,近似值可以满 足实际应用的需求。
数学建模
在数学建模中,平方根的近似值可 以用于解决一些实际问题,如求解 线性方程、优化问题等。
开方运算的性质
开方运算具有非负性,即对于任何实数a,其算术平方根√a都是非负的。此外, 开方运算还具有正值性,即对于任何正实数a,其算术平方根√a都是正的。
开方运算的规则
开方运算的运算法则
在进行开方运算时,需要注意运算法则的运用。首先,对于 任何实数a,都有√(a^2) = |a|。此外,对于任何实数a和b, 都有√(a^2 + b^2) = √(a + b)^2 = |a + b|。
通过实例练习,加深了对平方 根运算的理解和应用。
在学习过程中,遇到了一些困 难,但通过与同学讨论和请教 老师,最终克服了困难。
下一步学习计划
深入学习平方根的性质和应用, 掌握更多关于平方根的运算技巧
。
学习其他与数学相关的内容,如 乘方、开方等,以扩展数学知识
平方根、算术平方根和立方根
唯一性
对于非负实数$a$,其算 术平方根是唯一的。
递增性
随着$a$的增大, $sqrt{a}$也增大。
算术平方根的运算规则
乘法运算
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$($a geq 0$,$b geq 0$)。
加法运算
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(a + b)^2 - ab}$($a geq 0$,$b geq 0$)。
能够正确计算各种平 方根、算术平方根和 立方根的值。
02 平方根的概念和性质
平方根的定义
平方根
如果一个数的平方等于给定的数, 则这个数称为给定数的平方根。
算术平方根
非负数的平方根称为算术平方根, 表示为√。
立方根
如果一个数的立方等于给定的数, 则这个数称为给定数的立方根。
平方根的性质
01
02
03
平方根、算术平方根和立方根
目 录
• 引言 • 平方根的概念和性质 • 算术平方根的概念和性质 • 立方根的概念和性质 • 平方根、算术平方根和立方根的应用 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
平方根
平方根是数学中的一个概念,它表示一 个数的平方等于给定值。例如,4的平方 根是±2,因为2^2=4和-2^2=4。
例如
如果 $a^3 = b$,则 $a$ 是 $b$ 的立 方根。
立方根的性质
非负性
01
一个数的立方根总是非负的。
奇偶性
02
如果一个数是奇数,那么它的立方根也是奇数;如果一个数是
偶数,那么它的立方根也是偶数。
连续性
03
在实数范围内,任何两个不相等的实数都有唯一的介于它们之
二次根式的乘除[1]
二次根式的乘除(第1课)【预习引领】计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1=,;(2=,;(3,;【要点梳理】)0,0a b=≥≥即:两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.例1计算下列各题:(1(2;(3(4(5);(6).【课堂操练】1.计算下列各题:(1)(2(3;(4;(5;(62.等式=成立的条件是.【要点梳理】2.积的算术平方根的性质:)0,0a b=≥≥即:两个非负数的积的算术平方根,等于这两个因数的算术平方根的乘积.例2化简:(1);(2;(3;(4【课堂操练】1. 化简:(1(2;(3(4【要点梳理】例3化简:(1;(2(3;(4(5)(--.【课堂操练】1.化简:(1;(2(3;(4(5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是.2==3.=4.比较大小:-5.把根号-外的因式移到根号内得62=,那么必须满足的条件是()A.a取全体实数B.0a≥C.a>0D.a<07.计算10253⋅的结果应该是()A.300B.C.D8.下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9.在下列运算:=-==()3515==-⨯-=5===中,准确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个10.已知为正实数,下列等式中,一定成立的是()A=B22a b=+C.2a b=+D a b=-11.化简:(1;(2(3;(4(5) ;(6) ;(7) .12.填空(1=(2=(3=(4=(5=(6= (7= (8= (9=(10= (11)×= (12= 13.判断下列各式是否准确,不准确的请改正: (1(2=4×=414.若直角三角形两条直角边的边长分别为,•那么此直角三角形斜边长是 ( ) A .cm B .cm C .9cm D .27cm15.化简( ) ABC .D .16.等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是( )A .x ≥1B .x ≥-1C .-1≤x ≤1D .x ≥1或x ≤-117.下列各等式成立的是 ( ) A .8B .C .D .=18. 自由落体的公式为S=12gt 2(g 为重力加速度,它的值为10m/s 2),若物体下落的高度为720m ,则下落的时间是_________. 19.计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20.大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-.这个性质反过来同样成立,请使用上述结论,将下列根号外的因式移至根号内.(1) ;(2) -.21.cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23.一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水,•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm ,铁桶的底面边长是多少厘米?(设计人:周海燕)二次根式的乘除(第2课)【预习引领】计算下列各式,观察计算结果,你发现了什么规律?(1=;(2=,.【要点梳理】1.二次根式的除法法则:=0a≥,b>0)即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.例1 计算下列各题:(1;(2;(3;(4);【课堂操练】1.计算下列各式:(1;(2(3;(4(52.商的算术平方根的性质:=(0a≥,b>0)例2 化简:;练习:化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ;(6) .例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想;(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为自然数,且2n≥)表示的等式,并证明它成立.2.最简二次根式满足下列条件:(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式,哪些不是?,,(8)a>b)【课后盘点】1)A.27B.27CD2.阅读下列运算过程:====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”,()A.2 B.6 C.13D3.如果(y>0)是二次根式,那么,化为最简二次根式是()A(y>0)By>0)C(y>0)D.以上都不对4.把(a-1中根号外的(a-1)移入根号内得()A B.D.5.在下列各式中,化简正确的是()A B±12C D.6的结果是()A.-3B.C.-3D.7.分母有理化: (1)66=_________;(2) ;(3) =______.8.已知x=3,y=4,z=5,最后结果是_______.9.(x ≥0)10.化简二次根式号后的结果是___ .11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为.14.·(-)÷(m>0,n>0)15.-3÷()×(a>0)16.若y且x、y为实数,17.=,且x为偶数,求(1+x)的值.18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-,其中a=,b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21.已知a阅读下面的解答过程,请判断是否正确?若不正确,•请写出正确的解答过程:解:-aa-a·1a=(a-122. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24.观察下列各式,通过分母有理数,把不是最简二次根式的化成最简二次根式:121=--1,32=-=-,同理可得:,……从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算(+++……))的值.(设计人:周海燕)BAC。
积的算术平方根的性质
积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》
积的算术平方根是指积中各项的算术平方根的乘积。
它有许多有趣的性质,这些性质对于理解积有着重要的意义。
首先,积的算术平方根是乘积的算术平方根。
如果a和b是两个正数,则a*b的算术平方
根为√(a*b),即a和b的算术平方根的乘积。
其次,积的算术平方根是乘积的算术平方根的函数。
如果a和b是两个正数,则a和b的
算术平方根的乘积是一个函数,它的值是a*b的算术平方根。
最后,积的算术平方根是乘积的算术平方根的近似值。
如果a和b是两个正数,则a和b
的算术平方根的乘积是a*b的算术平方根的近似值,它比a*b的算术平方根的实际值要小。
积的算术平方根是乘积的算术平方根的乘积、函数和近似值,它对于理解积有着重要的意义。
数学算术平方根
一个数的算术平4的非负平方根。
算术平方根的性质
01
02
03
04
非负性
算术平方根总是非负的,即对 于任何实数a,√a≥0。
唯一性
对于非负实数a,其算术平方 根是唯一的。也就是说,如果
b是a的算术平方根,那么 b^2=a。
递增性
对于任意实数a和b,如果 a<b,那么√a<√b。
详细描述
公式法适用于任何正实数,可以通过使用算术平方根的公式 来求解。算术平方根的公式为sqrt(x) = x^(1/2),其中x为正 实数。使用公式法可以快速准确地求得任何正实数的算术平 方根。
03
CATALOGUE
算术平方根的应用
在几何学中的应用
勾股定理
勾股定理是几何学中一个重要的定理,它涉及到直角三角形的边长关系,其中一个直角边 的平方等于另一直角边和斜边的平方和。算术平方根在勾股定理中起到关键作用。
02 03
函数值域
在确定函数值域时,算术平方根可以用于确定函数的下界和上界。例如 ,对于非负函数,其最小值可以通过求最小正数解的算术平方根来得到 。
参数取值范围
在解决与参数取值范围相关的问题时,算术平方根可以用于确定参数的 最小值和最大值。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑行业中,测量是必不可少的环 节。算术平方根可以帮助计算建筑物 的面积、体积以及材料用量等。
配方法
总结词
配方法是一种通过配方将原式转化为完全平方形式,从而求得算术平方根的方 法。
详细描述
配方法适用于一些复杂的平方数,可以通过配方将原式转化为完全平方形式, 然后开平方求得算术平方根。例如,求9的算术平方根,可以先将9配方为(3)^2 ,然后开平方得到3。
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《积的算术平方根的性质》教 学案
年级: 九 学科: 数学 主备人: 关雯清
教学目标:
1.理解并掌握积的算术平方根的性质:b a ⋅=a ·b (a ≥0,b ≥0).
2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
教学重点:
积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
教学难点:
将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
教学过程
一、温故互查:
二、设问导读: 自主预习教材P6~P7的内容,完成下列各题。
1.用式子表示积的算术平方根的性质:b a ⋅=__________(a ≥0,b ≥0).
2.化简 79⨯=___________, y x 2(x ≥0,y ≥0)=_________.
利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴ 12; ⑵ 27; ⑶ b a 3
9(a ≥0,b ≥0); ⑷ 242a a +(a ≥0).
议一议:化简二次根式的一般步骤是什么
【归纳总结】
⑴ 将被开方数分解,化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.
⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意:移到根号外的数必须是___________).
三、自学检测:
3
127)4(32)3()2(123)1(3⨯-⋅⋅⨯ a b ab x x
1.化简下列二次根式:
⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2
⨯- ⑷ 3253⨯
(5)188⨯ (6) 225253⨯⨯ (7) 428n m (8) 2)4(9-x
四、巩固练习:
1、选择题
(1)等式1112-=-•+x x x 成立的条件是( )
A .x ≥1
B .x ≥-1
C .-1≤x ≤1
D .x ≥1或x ≤-1
(2)下列各等式成立的是( ).
A .45×25=85
B .53×42=205
C .43×32=75
D .53×42=206
(3)二次根式6)2(2⨯-的计算结果是( )
A .26
B .-26
C .6
D .12
3、判断下列各式是否成立:
(1)94)9()4(-⨯-=-⨯- (2)5121322=-
(3)b a b a +=+22 (4)323)2(2-=⨯-
4、化简(1(2)(3)(4)
5、化简二次根式:
(1))0(182≥x x (2(3)b a 236;(4)4625⨯ (5) b a 316
(6) 221213-(7)2243+ (8)32a a + (9))()(223b a b a --
(10)2257⨯ (11) 8116⨯ (12)3
a (a ≥0) (13
6、计算下列各式:(1);)π14.3(2- (2)化简(2x <)
7、下列各式成立的条件是什么
(1)22)(a a = (2) 3392-⋅+=
-x x x ,
(3)x x x x --=--6)4()4)(6(2 (4)()22)()(x y y x y x -=--
(5)3323+-=+x x x x
8、已知=-2)21
(a 2
1--a 成立, 则a 的范围为 五、拓展延伸:
1.设a ≥0,b ≥0,化简下列二次根式:
⑴ 3
28b a ⑵ 3222b ab b a ++ ⑶ 24ab ⑷ 5250b a
2.当b <0时,化简二次根式2
49b a .
板书设计:
课堂小结:
(10,0)b ab a b =≥≥
(2)积的算术平方根:(0,0)a b a b =
≥≥ 作业布置:
1. 化简下列二次根式,其中.0,0≥≥b a
⑴ 54
⑵ 3527b a ⑶ 2232ab b a a ++ ⑷ 2518 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值 课后反思:。