第10讲导函数的导数-高阶导数及参数方程确定的函数的导数
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
上页
n −1
( n − 1)! xn
返回
1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
下页 结束 铃
首页
1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
首页
上页
返回
下页
结束
铃
导数的概念与函数的求导法则
Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α
导数性质知识点总结
导数性质知识点总结导数性质知识点总结「篇一」导数的定义：当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的.法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。
如果在(a，b)内，f'(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。
如果在(a，b)内，f'(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。
所以，当f'(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值求导数的步骤：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。
导数公式：① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n—1) (n∈Q*);熟记1/X的导数③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = — sinx;(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanxsecx (cscx)'=—cotxcscx (arcsinx)'=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)'=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=—1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)'=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=—hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)'=—tanhxsechx (cschx)'=—cothxcschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2—1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2—1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1—x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数) (Inx)' = 1/x(ln为自然对数) (logax)' =(xlna)^(—1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(—1) (1/x)'=—x^(—2)导数的应用：1.函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。
由方程所确定的函数的导数
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
求抛射例体8 在抛时射刻体t的运运动动轨速迹度的的参大数小方和程方为向xy
v1t v2t
1 2
gt
2
解 先求速度的大小
速度的水平分量与铅直分量分别为
x (t)v1 y(t)v2gt 于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
y (t) j(t)
例7
求曲线
x sin t y cos2t
在处 t 的切线方程
4
解
dy dx
yt xt
2sin 2t cost
所求切线的斜率为 dy 2 2
dx
切点的坐标为
x0
2 2
y0 0
切线方程为 y 2 2(x 2 ) 2
即
2 2x y20
1 y
y
1 2
(
1 x 1
1 x2
1 x3
x
1) 4
于是 说明
y
y 2
(
1 x1
1 x2
1 x3
1) x4
严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
Jlin Institute of Chemical Technology
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
隐函数的求导法一、隐函数的导数
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
vx = dx dt dy vy = dt
t = t0
= (v 0 t cos α )′ t = t 0 = v0 cosα 1 = (v 0 t sin α − gt 2 )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
t = t0
∴ 在时刻t0炮弹的速度为
2 2 v = v x + v 2 = v0 − 2v0 gt 0 sin α + g 2 t 02 y
1 2 (3) 令y = v0 t sin α − gt = 0 2
2v0 sin α 得 t1 = 0 , t 2 = g
当 t = t 2时,
2 v0 sin 2α 2v0 sin α x = v0 t cos α = v0 ⋅ cos α = g g
当 sin 2α = 1, 即α =
π
4
时 , x取最大值,即射程最远.
d2y 练习：求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx
⎧ x = a cos t ， 1、 ⎨ ⎩ y = b sin t ；
⎧ x = f ′( t )， 2、 ⎨ 设 f ′′(t ) 存在且不为零. ⎩ y = t f ′( t ) − f ( t ).
x0 − 8 切线的斜率 k = x0 − 3 x0 − 8 ∴k = = 2 x 0 , 得到 x 0 = 2或 x 0 = 4 x0 − 3
2 2
2
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程.
(1 ) x 0 = 2, 切点 ( 2 ,4 ), f ′( 2 ) = 4 ,
⎧ x = 2t , x 例如 ⎨ t= 消去参数 t 2 ⎩y = t , 2 2 1 x 2 x 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参数困难或无法消参数时如何求导?
高阶导数
(4)
3! = (1 + x ) 4
LL (n) n 1 ( n 1)! y = ( 1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
例4
设 y = sin x , 求y (n ) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ) = sin( x + 3 π ) 2 2 LL π (n) y = sin( x + n ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ) 2
x2 +1
【4】 第10讲 】 讲
高阶导数
一,高阶导数的定义 二, 高阶导数求法举例 三,由参数方程所确定的函数的 二阶导数
一,高阶导数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
2x 2( 3 x 2 1) y ′′′ = ( )′ = 2 2 (1 + x ) (1 + x 2 ) 3 2x ′′(0) = ∴f (1 + x 2 ) 2
x=0
2( 3 x 2 1) = 0; f ′′′(0) = (1 + x 2 ) 3
x=0
= 2.
例2
设 y = x (α ∈ R ), 求y
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
第三节高阶导数隐函数导数参数方程求导
dy dy
dx d2y
dx x x d2y
dx2 d3y
dx2 x x
d3y
dx3
dx3 x x
dny dny
dxn
dxn x x5
4.求高阶导数举例： 例1： y ax b,求y.
解：
例 2解: ：
y a, y 0.
s sint ,求s.
s cos t ,
s 2 sint .
y
2 y3
1
1 y2
,
( y 0).
注
隐函数求高阶导数，多次将方程两边分别对x求导
注意利用原方程和含一阶导数的方程，不断将结果化简。一般，
隐函数的导数仍是隐式形式。
21
三、参数方程所确定的函数的导数
设
参
数
方
程 xy
(t) (t)
t ( , )
唯 一 确 定 函 数y f ( x)
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219e2x 2x 20 19 218 e2 x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
13
例y10xex , 求y(n)
解： y ( xex ) xe x x e x ( x 1)e x
气阻力，求：
1、炮弹在时刻 t 的速度； 2、若弹着点 A 也在地平线上，求射程。
解：建立坐标系如图 1、炮弹在时刻 t 的速度；
y
v y v(t)
则
设 时 刻t 炮 弹 在x(t), y(t)，
x(t
)
v0
t
co
s
y(t)
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以用来描述函数在某一点的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法讲解导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。
示例讲解：计算常见函数在某一点的导数，如f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = ln(x)。
第二章：线性函数和多项式函数的导数2.1 线性函数的导数引入线性函数的导数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其导数为f'(x) = a。
强调线性函数导数的简洁性：线性函数的导数恒为一个常数。
2.2 多项式函数的导数引入多项式函数的导数：多项式函数的一般形式为f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + + a_1x + a_0，其导数为f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + + a_1。
示例讲解：计算多项式函数在某一点的导数，如f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4。
第三章：指数函数和对数函数的导数3.1 指数函数的导数引入指数函数的导数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
强调指数函数导数的性质：指数函数的导数恒为一个正数。
3.2 对数函数的导数引入对数函数的导数：对数函数的一般形式为f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
强调对数函数导数的性质：对数函数的导数在定义域内为正数。
第四章：三角函数的导数4.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数：正弦函数的一般形式为f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数。
4.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数：余弦函数的一般形式为f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
参数方程确定的函数的导数课件
参数方程的一般形式
参数方程的特性
参数方程可以描述曲线、曲面或更复 杂的几何对象。
$x = f(t), y = g(t)$，其中 $t$ 是参数。
参数方程与函数的关系
函数
函数是一种特殊的数学关系，它定义 了在一个集合中每个元素与另一个集 合中唯一元素之间的关系。
参数方程与函数的关系
参数方程可以用来描述函数的几何形 状，而函数的导数则描述了函数在各 个点的切线斜率。
导数的计算方法
通过链式法则和参数变化 率，将参数方程转化为导 数形式，即 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
具体计算步骤
首先对参数方程求导，得 到 dy/dt 和 dx/dt，然后 代入公式 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) 计算导数。
导数的几何意义
导数的几何表示 导数在几何上表示函数图像在该点的切线的斜率，即切线 的倾斜角正切值。
曲线的凹凸性
通过导数的符号变化，可 以判断曲线的凹凸性，进 而研究曲线的弯曲程度和 变化趋势。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，确定函数在哪 些点取得极值，以及极值 的大小和性质。
导数在物理中的应用
速度和加速度
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如速度和加速度，进而研
究物体的运动规律。
斜抛运动
参数方程的几何意 义
参数方程的几何意 义
参数方程描述了一个或多个点随参数变化而变化的轨迹，这些轨迹形成曲线或 曲面。
参数方程在几何中的应用
参数方程广泛应用于解析几何、微分几何等领域，用于描述和分析各种几何对象。
02 参数方程确定的函数的 导数
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点附近的小范围内
参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
3、由参数方程所确定的函数的导数 P107
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
例4 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
y[1(x)]
再设 x ( t)y 函 , ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 ,导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1 4
;
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
高阶隐函数导数
e xy ( y xy ' ) 3 y 2 y' 5 0
ye xy ( xe xy 3 y 2 ) y' 5 0
y'
5 xe xy
ye xy 3 y2
★ 对数求导法
观察函数
(x1)3x1 y(x4)2ex ,
yxsix n.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
解 : (e y xy )' x (sin x )' x
(e y )' x ( xy )' x cos x
e y y'x (1 y x y'x ) cos x
e y y'x y x y'x cos x
y'x
cos ey
x x
y
例 3x ln x y ) (求 y '
解 : x ' 1 ( x y )' x y
二阶导数的导数称为三阶导数,
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数称 函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
解 ycoxssin(x)
ysixn coxs 2()
sinx()s2 inx(2)
yco x sc2ox 2 s2()sinx(23)
(sx i)n (n)six nn (2 )
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
导数的定义与计算
导数的定义与计算各位同学：第二章的学习，已经进入尾声。
我们在学习了数列的极限，函数的极限，函数的连续性后，现在进入“导数”的学习。
一般来说，如果前面的内容掌握的比较好，那么对导数的学习没有原则性的困难。
一．导数的定义我们用曲线的切线，变速运动的速度，不均匀棒的线密度等实际问题，引入函数在一点处的导数的概念。
这些例子都涉及到研究非均匀变化的对象，在其变化过程中，因变量关于自变量的变化率问题，在数学上都归结为连续函数在某点出的改变量f ∆与自变量的改变量x ∆之比，在0x ∆→的极限问题。
在其他科学和工程中，类似的问题是大量的，比如比热问题，角速度问题，物体温度的变化问题，等等，都会遇到求研究对象的所谓“变化率“或”变化速率“，或”变化快慢“的问题。
这就是导数概念之所以要加以抽象的背景。
数学上，我们这样定义导数：定义一（函数在一点处的导数）设函数()y f x =在任意点0x 的某邻域中有定义，当自变量在0x 处取得该变量x ∆（0x ∆≠）时，函数随之取得函数值的改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-。
若当0x ∆→时，yx∆∆的极限存在，则成此极限为函数()f x 在点0x 处的导数，记为 0'()|x x f x =，或0'()f x ，或0'|x y 等，即00000|()()'()limlimx x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。
（1） 0'()f x 也称为函数y 在0x 对自变量x 的变化率。
若上述极限不存在，则称函数在0x 不可导。
定义二（函数的可导性）若函数()y f x =在0x 处有导数，则称该函数在0x 处可导；若()y f x =在区间(,)a b 内的每一点都可导，则称该函数在区间(,)a b 内可导。
在上述定义中，0x 是确定的一点。
事实上，0x 可是区间上的任意点，所以'()f x 就是x 的函数，所以'()f x 又称为导函数，简称导数。
求导数的一般方法与高阶导数
sin 1
ex
cos
1
( 1 )
x
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
第30页/共47页
五、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)]. 定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
nn
fi( x) fk ( x); i1k 1 ki
第6页/共47页
(u v) u v
(uv) uv uv
( u ) v
uv uv v2
推论 (Cu) Cu
第7页/共47页
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 . 解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求函数 y 3cos x lg x 的导数.
第17页/共47页
例9 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a
解 y ( x a 2 x 2 ) (a 2 arcsin x)
(a 0)
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
a
1
1 a2 x2 x 0 2x a2
2
2 2 a2 x2 2
( x) 1 2x
(arcsin x) 1 1 x2
cos2 x sin2 x cos2 x
1 cos2
sec2 x
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得
(cot x) csc2 x.
第9页/共47页
例4 求 y sec x 的导数 .
微积分10-高阶导数
,cos )(sin x x ='例,sin )(cos x x -='. sin 连续求两次导数的结果是x , sin 记为的二阶导数称为函数x x x x x sin )(cos ))((sin )(sin -='=''='' )( )( ,仍然的导函数如果函数一般说来x f x f '的二的导数为原来函数则称可导 )( )( ,x f x f '.))(()( ,''=''x f x f 记为阶导数一. 高阶导数的概念一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数f ( x) 在区间 I 上有直到n 阶的导数f (n)(x) , 且f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于n 阶的导数均连续 ), 则称f (x) 在区间 I 上n 阶连续可导, 记为如果f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数f (x) 是无穷次连续可导的, 记为1)(-='='n nxn x y 21)1()()(---='=''=''n n xn n xn y y 3)2()1()(---='''='''n xn n n y y …………………………kn k k xk n n n n yy--+---='=)1()2()1()()1()( ., 的高阶导数求幂函数+∈=Z n x y n )1(n k ≤≤解例1注意, 当 k = n 时!123)2()1()()(n n n n x n n =⋅⋅--= 综上所述：.0)( , 1 ,)(=+≥k n x n k 时当从而kn k n xk n n n x -+--=)1()1()()( )1(n k ≤≤0)()(=k n x )1(+≥n k)()())((k n k b ax y+=,1 时当n k ≤≤kkn ab ax k n n n ⋅++--=-))(1()1(, 1 时当+≥n k 0)(=k y解例2.)( 的高阶导数求nb ax y +=多项式的高阶导数.nn n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( 231202)2)(1()1(''---++--+-=n n n a x n n a x n n a y ………………!0)(n a yn ⋅=解12110)1('---++-+=n n n a xn a nxa y 例3)2()1(===++ n n yy对多项式而言,每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的n 阶导数为一常数 ;大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .求 y = e x 的各阶导数.解xey =' y = e x 的任何阶导数仍为 e xxn x ee =)()()(N n ∈xxee y y ='=''='')()(xn ey=)(例4求 y = a x 的各阶导数.解aa y xln '=运用数学归纳法可得)( )(ln )()(+∈=Z n a a a n x n x 2)(ln )ln ()(''a a a a y y x x ='=''=kx k a a y)(ln )(=例511)1()()!1()1(---+---=k k k xk k y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=k k xk )( )!1()1()(ln 1)(N n x n x y nn n n ∈--==--类似地, 有)( )()!1()1())(ln(1)(N n b ax a n b ax nn n n ∈+--=+--则故由数学归纳法得.1的高阶导数求xy =解)(ln 1'==x xy )1()()()(ln ))((ln +='=∴n n n x x y)1(1)1(!]1)1[()1(+--+-+-=n n xn )1(!)1(+--=n n xn 注意这里的方法例7解x y cos ='x y sin -=''x y cos -='''x ysin )4(=.cos , sin 的各阶导数求x y x y ==xy sin = 看出结论没有)24sin(π⋅+=x )23sin(π⋅+=x )22sin(π⋅+=x )21sin(π⋅+=x 例8运用数学归纳法可以证得)( )2sin()(sin )(+∈⋅+=Z n n x x n π类似地 , 可求得)( )2cos()cos ()(+∈⋅+=Z n n x x n π)sin (cos sin 2sin x ex ey xx-+='')sin (cos 2sin x x ex-=. ,sin y e y x''=求解xey xcos sin ='二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例10。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第10讲 几类函数的导数计算（公式、法则）一、计划学时：2节 二、内容第三章 函数的可导性与导数第二节 几类函数的导数计算（公式、法则）四、导函数的导数—高阶导数五、由参数方程确定的函数的导数三、要求 四、重点 五、难点六、教学过程：第10讲 函数的导数计算（之三）导函数的导数 高阶导数及由参数方程确定的函数的导数在直线运动中，速度是位移关于时间的变化率，而加速度则是速度关于时间的变化率。
由于对“变化率的变化率”讨论的需要引出了高阶导数的概念。
四、高阶导数-导函数的导数函数)(x f y =的导数)(x f y '='，随着点x 的改变而改变，它仍是x 的函数，若它仍然可导，则称)(x f y '='的导数叫做函数)(x f y =的二阶导数，记为)(x f y ''=''；)(x f y '='叫做函数)(x f y =的一阶导数。
如果一质点的运动方程是)(t f s =，已经知道它的变化率（即一阶导数）)(t f s '=' 是该质点运动的速度；那么，运动速度的变化率（即二阶导数）)(t f s ''=''，则是该质点运动的加速度。
二阶导数)(x f y ''=''的导数记为)(x f y '''='''，叫做函数)(x f y =的三阶导数。
事实上，我们还需要讨论更高阶的导数。
显然，函数的一阶、二阶、三阶导数的记法不便应用于更高阶的导数，于是引用新的记法，如)(x f y =的三阶导数)(x f y '''='''的导数叫做)(x f y =的四阶导数，记为)()4()4(x f y =，…，)()1()1(x fy n n --=的导数叫做)(x f y =的n 阶导数，记为)()()(x fy n n =. 并且，还可以用极限的形式给出函数)(x f y =的n 阶导数定义：)()()(x f y n n ==0Δlim→x xx fx x fn n ∆-∆+--)()()1()1(.根据以后的需要，函数)(x f y =可以记为)()0()0(x f y =，那么，上式就是函数)(x f y =的任意∈n 阶导数的定义。
函数y = f (x ) 的二阶，三阶，…，n 阶导数也分别记为n n dx y d x d y d x d y d ，，，3322，或nndx fdx d fdx d fd，，，3322.例1(P76例1) 2e x x y =，求y ''.解 222e )21(2e e 2x x x x x x y +=+=',222e )23(22e )21(e 222x x x x x x x x y +=++=''.例2(P76例2) 验证函数 x e y x sin =满足等式 022=+'-''y y y . 解)c o s (s i n e c o s e s i n e x x x x y x x x +=+=', x x x x x y x x x c o s e 2)s i n (c o s e )c o s (s i n e =-++='', 代入方程，即得0sin 2)cos (sin 2cos 222=++-=+'-''x e x x e x e y y y x x x .例3(P77例3) 求正弦函数y = sin x 的n 阶导数。
解 )2(s i n c o s )(s i n π+=='x x x ，，)23(s i n )22(c o s )(s i n ππ⋅+=⋅+='''x x x ，…………，.类似地可有 )2(c o s )(c o s)(π⋅+=n x x n .例4(P77例4) 求幂函数 μx y = 的n 阶导数。
解21)1(,---=''='μμμμμx y x y ,…… …,)1()1()1()(≥+--=-n x n y n n μμμμ .特别地，当 μ 为正整数n 时，0)(,!)()1()(==+n n x n x μμ.例5(P77例5) ax y e =，求 y 的n 阶导数。
解 ax n n ax ax a y a y a y e ,,e ,e )(2==''=' .特别地， x n x e )e ()(=.莱布尼兹(Leibniz)公式设函数u (x ) 与v (x ) 都有n 阶导数，则 v u v u uv '+'=')(，v u v u v u uv ''+''+''=''2)(，)22(s i n )2(c o s )(s i n ππ⋅+=+=''x x x )2(s i n )(s i n )(π⋅+=n x x nv u v u v u v u uv '''+'''+'''+'''='''33)(，…，利用数学归纳法可证∑==-nk k k n knn v u C uv 0)()()()( 上述求两个函数乘积的n 阶导数公式称为莱布尼兹公式。
例6(P78例6) x x y sin 2=，求y (10).解 设 2,sin x v x u ==，则0='''v ，由莱布尼兹公式知y (10))()(sin !2910)()(sin 10)(sin2)8(2)9(2)10(''⨯+'+=x x x x x x )28(s i n 90)29(sin 20)201(sin 2πππ+++++=x x x x xx x x x x s i n 90cos 20sin 2++-=.五、参数方程所确定的函数的导数设有参数方程 ⎩⎨⎧==),()(t y t x ψϕ；它可以确定变量x 与y 之间的一个函数关系y = f (x )，称此函数为由参数方程确定的函数。
很多实际问题所确定的函数关系是由参数方程给出的。
设其中)(t φx =有反函数)(1x t -=ϕ，视t 是中间变量，由复合函数概念就建立了x 与y 的函数关系))((1x y -=ϕψ。
根据复合函数求导法则，有x t x t y x t y '⋅'=''='-])([)(1ϕψ， 或 xd td t d y d x d y d =； 再根据反函数求导法则 t x x t '='1（ ），代入上式，得到 t t x x y y ''='，或 )()(t t x d y d ϕψ''=. 这就是参数方程所确定的函数的求导法则。
例7(P82例6) 已知椭圆的参数方程为 cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩求椭圆在4π=t的相应点),(00y x M 处的切线方程。
解 由 4π=t得4cos 0πa x =a 22=， b b y 224sin==π椭圆在点M 的切线方程的斜率为； 所以，所求的切线方程为 )22(22a x a b b y--=-，即2=+b y a x .如果函数x = φ (t ) 与y = ψ (t ) 具有二阶导数，则有td xd xd t d 1=ab ta tb t a t b y t t t x-=-=''='===444sin cos )cos ()sin (πππ)(1))()(()()(22t t t t d d x d t d x d y d t d d x d y d x d d x d y d y ϕϕψ'⋅''=⋅==='' 32)]([)()()()()(1)]([)()()()(t t t t t t t t t t t ϕϕψϕψϕϕϕψϕψ''''-'''='''''-'''=. 不必死记参数方程所确定函数的二阶导数计算公式，掌握了推导公式的方法，结论自然可得。
例8(P83例7) 计算摆线（图2-6）的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(,)sin (t a y t t a x所确定的函数y = f (x ) 的二阶导数)(x f ''.解 =''='t t x y x f )(2cot )cos 1(sin t t a ta =-； t t x x t t x f '⋅'='=''1)2(cot )2(cot )( 图2-6 22)cos 1(1)cos 1(12sin21t a t a t --=-⋅-= (n n t ,2π≠为整数).三 相关变化率设有可导函数)(t x x =与)(t y y =，且x 与y 之间存在某种关系，则它们的变化率 与 之间应该相应地也有某种关系，我们称td x d 与td yd 为相关变化率。
所谓相关变化率问题，就是研究这两个变化率之间的关系，以期从其中一个已知的变化率求出另一个未知的变化率。
例9(P84例8)空中2 km 处有一时速为200 km 的飞机作水平飞行，要对前方一矿山作航空探测，因飞机飞行，摄影机的镜头需随之不断的转动。
问当俯角为900时，摄影机转动的角速度是多少？解 设飞机与矿山的水平距离为x ，俯角为θ (图2-7) ，则有 x = 2cot θ . 由于x ，θ 都是时间t 的函数，所以td d t d dx θθ⋅-=2csc 2,其中td d θ即摄影机转动的角速度，td x d 即飞机飞行的速度。
∵ x 随t 的增加而减少，故 . 由已知 = -200，2πθ=，代入上式，得图2-7（rad/min 弧度/小时），所以 ππθπθ536001801002=⨯==td d (度/秒).作业：M (x ,y ) t d x d td y d 100)200(sin 21222=-⋅-===πθπθθθtd d 0<td x d td x dθ )x。