距离最短问题专题探究

合集下载

中考专题复习——最短路径问题(有答案)

B CD AL 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。

请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）张村李庄ABCD 图(2)EBDACP图(3)D OP（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN的最小值为。

第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

2015年中考数学复习专题三：最短距离问题分析[1]

专题五：最短距离问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

几何模型：条件：如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值．（4）如图，要在一条河上架一座桥MN （河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得E 、F 两地的路程最短的是A B A 'P lAB PRQ 图3A BB 图1A B C图2 P A BC D · · E F· · EF· · E F M N M N M N EM 与河岸垂直 EM ∥FN E 、M 、F 共线 FN 与河岸垂直 · · E F M N · · E F (4)题图（5）、作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？(6). （2012•台州）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（） A ．1B．3C ．2D ．31+(7)．（2012•兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（） A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°【典型例题分析】1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．23B ．26C ．3D ．62．如图，抛物线2124y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB ≤AB ； (3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.BOA·xyA D EPBCyOxP DB(40)A ，(02)C ，第4题OxyBD AC P 3.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．5.已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中A(-3,0)、B(1,0) C(0,-2).（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．A CxyB O5题图A CxyB O6.如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(03)C -，．（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°，得到四边形ADBC ．判断四边形ADBC 的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC 上是否存在一点F ，使得△FBD 的周长最小，若存在，请写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图（1），抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

小船渡河问题

船头指向与上游河岸成θ：
运动的合成与分解的应用
小船渡河问题与绳拉物牵连速度问题
合运动与分运动有什么关系？
同时性:
独立性: 等效性: 同一性:
运动的合成和分解的应用 1.小船渡河
例1:一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是v水，小船在静水中的速度是v船，求：（1）当v船>v水时，欲使航行距离最短，船应该怎样渡河？渡河时间多长？
小试牛刀
• 某人乘船横渡一条小河，船速和水速
一定，且船速大于水速，若渡河的最
短时间为t1,用最短位移渡河的时间为
t1 1 t t2,则水速与船速之比为__________ 2
2
V船
d
θ
（一）渡河时间探究
分析：假设船在静水中渡河，我们可以把v船如
图分解，从图上可以看出：真正起到渡河效果
的是v船在垂直于河岸方向上的分速度v1，故船
d d 在静水中的渡河时间为：t v v sin 1 船
V船
V1 d θ V2
注意：
① θ=900时，即船头垂直对岸行驶时，渡 d 河时间最短，且最短时间为： t
s1
200m
s
s1 200 t 50s 解： vb 4
s1 vbt 200m s2 vr t 100m
Vb V s2 Vr
s s s2 223.6m
2 1 2
解：小船该向上游与河岸 s1
200m
Vb α(
s V s2 Vr
成α行驶
vr 1 cos vb 2 60
v船
v船 v船
v水
v水
v v船船 v船
v船
θ θ

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类基本模型图:【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）．A． B.6 C. D.4【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解.【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A．22-=-【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立.【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ＝，∴DH 的最小值为112AB=OD －OH .1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.DH OD OH ≤-【针对训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（）.ABC ．D ．312.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（）.A ． B. C. D.4323. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）.A.6B.C.9D.1+3224.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）.A. B. C.5 D.213-213+9165．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（）．A B 11-1-1+6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是A ． B21+1-7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是.8．如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．。

专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)

专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。

例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小。

作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。

2.连A’B 。

3.交点P 就是要求点。

连线长A’B 就是PA+PB 最小值。

【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。

初中数学最值问题01专题-将军饮马模型与最值问题(含答案)

初中数学最值问题专题1 将军饮马模型与最值问题【模型导入】什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）B 将军军营河P【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

二次函数压轴题专题一最短路径问题

二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。

常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ．（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3．由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。

初中数学_中考专题复习——最短路径问题教学设计学情分析教材分析课后反思

中考专题复习教学目标知识与技能1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.借助特殊四边形、一次函数、反比例函数以及二次函数的图像等这些基本图形，运用对称变换的方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、“桥梁”作用，感悟转化思想，一题多解，一题多变的思想。

过程与方法经历探索最短路径过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，培养学生的解题技能技巧。

情感态度与价值观体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会异侧直接连，同侧找对称点，提高学生的学习兴趣。

重点利用轴对称数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。

掌握解决问题的方法和技巧。

难点综合运用轴对称数学知识，将同侧的两定点通过轴对称变换转化到已侧，从而借助两点之间线段最短解决线段和（周长）最小值问题。

活动一：旧知回顾师生行为设计意图问题1 A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。

使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？问题2相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？师生集体宣誓师：提出问题。

生：讨论交流，板书作图过程师：提出问题导入课题。

师：请思考问题1和问题2的相同点是解决的那类问题？不同点是什么？解决问题的方法和技巧是什么？1、活跃课堂气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习。

2、复习两点之间线段最短，从而引出课题3、渗透转化思想，了解解题方法和解题技巧。

4、建立数学模型：将军饮马问题5、探究解题方法：异侧直接连，同侧找对称点6、发现解题技巧活动二：典题赏析类型一：四边形中的最短路径问题培养学生善于思考、善于观察的良好习惯例1 生：一生读题一生解答师：配合学生完成审题过程师：提出新问题若本题其它条件不变。

七下探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题

七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题解答七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题解答一．解答题（共30小题）1．（2012•聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．观察计算：（1）在方案一中，d1=_________km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=_________ km（用含a的式子表示）．探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1_________d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1_________d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），m+n＞0，∴（m2﹣n2）与（m﹣n）的符号相同．当m2﹣n2＞0时，m﹣n＞0，即m＞n；当m2﹣n2=0时，m﹣n=0，即m=n；当m2﹣n2＜0时，m﹣n＜0，即m＜n．2．（2012•溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是_________；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD 的周长最小，则点D的坐标应该是_________；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC 周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）3．（2011•岳池县模拟）如图，欲在河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短．试用尺规作图法确定水泵站P的修建位置（不写作法，但须保留清晰的作图痕迹）4．（2010•莆田质检）某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为_________；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．5．（2010•江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD 的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）6．（2009•昌平区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，直接写出的最小值．7．河北三元公司响应市政府“打造食品安全最放心城市”“提升省会城市形象”的号召，在省会街头、社区建立了“便民奶屋”．如图是该公司即将在联盟路旁边修建的一个奶屋，向居民区A、B提供牛奶，奶屋应修建在联盟路的什么地方，才能使从居民区A、B到它的距离之和最短，请在联盟路上找出奶屋的位置M，并说明理由．（保留作图痕迹）8．传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：军官从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会（如图），应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？请画图说明．9．下图是西部大开发重点建设项目﹣﹣涩宁兰管线乐都段的一部分示意图，假设要在这段管线附近修建一个气站C，分别向张庄和李庄供气，问气站C修在管线边的什么地方时，可使所用的输气管道最短？请用你所学的知识找出这个地点C的位置（保留作图的痕迹），并作简单的说明．10．如图，已知A、B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河的距离分别为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂P，向A、B两村供水，已知铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河流CD 上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省（只需正确找出P点位置即可，不需证明），并求出此时的总费用．11．如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A，B，现要在公路旁建一个液化气站，画图说明：（1）液化气站的气能同时到达居民小区A，B，这个液化气站P应建在什么地方？（2）液化气站到A、B的距离和最短，这个液化气站Q应建在什么地方？12．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．13．认真画一画，培养你的作图能力．如图，现要在河边a修建一水泵站，分别向A、B两村供水，水泵站应建在河边的什么位置，可使使用的水管最短．（保留作图痕迹，不要求写作法）14．如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（3，﹣3）．（1）利用尺规作图，在y轴上求作一个点P，使PA+PB最小（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求出点P的坐标；（3）连接AP、BP、AB，求△ABP的面积．15．已知平面直角坐标系中有A（﹣2，1），B（2，3）两点．（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；（2）在x轴上找一点N，使得△ABN为等腰三角形，并通过画图说明使△ABN为等腰三角形的点N有多少个？16．作图题：如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？请在图中作出该点（不写作法，保留作图痕迹）．17．如图，草原上两个居民点A、B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水．汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点．18．已知：如图，某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？（1）请你在图上画出这一点．（保留作图痕迹）（2）根据图示，求出最短路程．19．如图，A、B是小河同侧的两个村庄，为解决饮水问题，两村决定合资在河边修建一个供水站，为使村庄里的管道总长最短，求供水站的位置．20．（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR 的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是_________．21．如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）22．一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．（2）请你求出他至少要走_________路程．23．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？24．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）25．如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B两村与该河的距离分别为100米、700米，且C，D之间的距离为600米．现要在河边建一自来水厂，铺设水管的工程费用为每米200元，请你在河边CD上选择水厂位置P，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用是多少元？26．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP=∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．27．如图所示，A、B两村在一条小河的同一侧，现要在河边建一水厂P向两村供水，若要使自来水厂P到两村的距离和最短，厂址应选在哪个位置最合适？（并保留作图痕迹）28．为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO 桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，∠AOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）29．如图，直线l表示草原上一条河的河堤，在河堤的一侧有两个村庄A、B，它们到河堤l的距离分别为AC=30km，BD=40km，两个村庄A、B之间的距离为50km．有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水．（1）在图中标出使牧民行驶距离最短的饮水点P；（2）若他在上午8点出发，以每小时30km的平均速度前进，则他能否在上午10点30分之前到达B村．30．如图，在街道上修个牛奶站，使牛奶站到A，B的距离最短．七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题解答参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2012•聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．观察计算：（1）在方案一中，d1=a+2km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1＜d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1＞d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），m+n＞0，∴（m2﹣n2）与（m﹣n）的符号相同．当m2﹣n2＞0时，m﹣n＞0，即m＞n；当m2﹣n2=0时，m﹣n=0，即m=n；当m2﹣n2＜0时，m﹣n＜0，即m＜n．=2，，，2．（2012•溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD 的周长最小，则点D的坐标应该是（2，0）；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC 周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）=AE=3．（2011•岳池县模拟）如图，欲在河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短．试用尺规作图法确定水泵站P的修建位置（不写作法，但须保留清晰的作图痕迹）4．（2010•莆田质检）某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值．=AB=AE=E=．PA+PB=B=5．（2010•江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD 的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法）6．（2009•昌平区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，直接写出的最小值．AP=BP=2，AP=，BP==．7．河北三元公司响应市政府“打造食品安全最放心城市”“提升省会城市形象”的号召，在省会街头、社区建立了“便民奶屋”．如图是该公司即将在联盟路旁边修建的一个奶屋，向居民区A、B提供牛奶，奶屋应修建在联盟路的什么地方，才能使从居民区A、B到它的距离之和最短，请在联盟路上找出奶屋的位置M，并说明理由．（保留作图痕迹）8．传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：军官从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会（如图），应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗？请画图说明．9．下图是西部大开发重点建设项目﹣﹣涩宁兰管线乐都段的一部分示意图，假设要在这段管线附近修建一个气站C，分别向张庄和李庄供气，问气站C修在管线边的什么地方时，可使所用的输气管道最短？请用你所学的知识找出这个地点C的位置（保留作图的痕迹），并作简单的说明．10．如图，已知A、B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河的距离分别为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂P，向A、B两村供水，已知铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河流CD 上选择水厂的位置P，使铺设水管的费用最节省（只需正确找出P点位置即可，不需证明），并求出此时的总费用．11．如图所示，在公路a同侧有两个居民小区A，B，现要在公路旁建一个液化气站，画图说明：（1）液化气站的气能同时到达居民小区A，B，这个液化气站P应建在什么地方？（2）液化气站到A、B的距离和最短，这个液化气站Q应建在什么地方？12．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PB1+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．13．认真画一画，培养你的作图能力．如图，现要在河边a修建一水泵站，分别向A、B两村供水，水泵站应建在河边的什么位置，可使使用的水管最短．（保留作图痕迹，不要求写作法）14．如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（3，﹣3）．（1）利用尺规作图，在y轴上求作一个点P，使PA+PB最小（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，求出点P的坐标；（3）连接AP、BP、AB，求△ABP的面积．，得，15．已知平面直角坐标系中有A（﹣2，1），B（2，3）两点．（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；（2）在x轴上找一点N，使得△ABN为等腰三角形，并通过画图说明使△ABN为等腰三角形的点N有多少个？16．作图题：如图，草原上两个居民点A、B在河流l的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？请在图中作出该点（不写作法，保留作图痕迹）．17．如图，草原上两个居民点A、B在河流L的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水．汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点．18．已知：如图，某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？（1）请你在图上画出这一点．（保留作图痕迹）（2）根据图示，求出最短路程．==20BP+AP=CP+AP=20km19．如图，A、B是小河同侧的两个村庄，为解决饮水问题，两村决定合资在河边修建一个供水站，为使村庄里的管道总长最短，求供水站的位置．20．（1）如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．请你在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10．请你在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使得△PQR 的周长最小．要求：画出图形，并计算这个最小值是10．=．21．如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）22．一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．（1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．（2）请你求出他至少要走1300m路程．=130023．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？=170024．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）25．如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B两村与该河的距离分别为100米、700米，且C，D之间的距离为600米．现要在河边建一自来水厂，铺设水管的工程费用为每米200元，请你在河边CD上选择水厂位置P，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用是多少元？26．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP=∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM+AN与BM+BN的大小关系．27．如图所示，A、B两村在一条小河的同一侧，现要在河边建一水厂P向两村供水，若要使自来水厂P到两村的距离和最短，厂址应选在哪个位置最合适？（并保留作图痕迹）28．为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO 桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，∠AOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）29．如图，直线l表示草原上一条河的河堤，在河堤的一侧有两个村庄A、B，它们到河堤l的距离分别为AC=30km，BD=40km，两个村庄A、B之间的距离为50km．有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水．（1）在图中标出使牧民行驶距离最短的饮水点P；（2）若他在上午8点出发，以每小时30km的平均速度前进，则他能否在上午10点30分之前到达B村．=10，30．如图，在街道上修个牛奶站，使牛奶站到A，B的距离最短．。

专题12最短路径—阿氏圆（PAk·PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

专题12最短路径—阿⽒圆（PAk·PB型）定圆型轨迹问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究2020深圳中考数学6⽉冲刺专题最短路径阿⽒圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究知识精讲在平⾯上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平⾯内的定点A、B，若平⾯内有⼀动点P满⾜PA:PB＝1，则P点轨迹为⼀条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个⽐例不为1，P点的轨迹⼜会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平⾯轨迹》⼀书中，便已经回答了这个问题。

接下来，让我们站在巨⼈的肩膀上，⼀起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。

对于平⾯内的定点A、B，若在平⾯内有⼀动点P且P满⾜PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是⼀个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿⽒圆”，如图所⽰：⼏何“PA+k·PB”型的最值问题．如图2所⽰，O的半径为r，点A，B都在圆外，P为O上的动点，已知r=k·OB，连接PA，PB，则当“PA+k·PB”的值最⼩时，P点的位置如何确定?如图3所⽰，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPOPCO，即k·PB=PC．因此，求“PA+k·PB”的最⼩值转化为求“PA+PC”的最⼩值，即A，P，C三点共线时最⼩(如图4所⽰)．图2图3图4专题导例1.如图，已知正⽅形ABCD的边长为2，以点A为圆⼼，1为半径作圆，E是A上的任意⼀点，将点E绕点D按逆时针⽅向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最⼩值．⽅法点睛“阿⽒圆”解题⼀般步骤:(1)连接动点P⾄圆⼼O(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆⼼相连接)，即连接OP，OB;(2)计算出所连接的这两条线段OP，OB的长度;(3)计算这两条线段长度的⽐;(4)在OB上取点C，使得，即:半径的平⽅=原有的线段×构造线段;(5)连接AC与圆O的交点即为点P．要点：如图5，构造△PABCAP，得到PA2=AB·AC，即：半径的平⽅=原有线段×构造线段⼝决：路径成最短，折线变直线导例答案：2-1．典例精讲类型⼀：圆中的阿⽒圆问题例1如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，C的半径为4，点D是C上的动点，连接AD，连接AD、BD，则的最⼩值为.⽅法⼀：阿⽒圆模型对⽐⼀下这个题⽬的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另⼀个定点M使得PM:PA=1:2，这就是把“阿⽒圆”的条件与结论互换了⼀下；⽽且这种问题⾥，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的⽐例等，往往都是搭配好的！P点轨迹圆的圆⼼C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM==1，即可确定M点位置．如果对这个结果不是很放⼼，不妨再取个特殊的位置检验⼀下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满⾜PM:PA=1:2．⽅法⼆:构造相似三⾓形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPACMP，故PA：PM=2:1，即PM=．问题转化为PM+PB最⼩值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这⾥为什么是？答：因为圆C半径为2，CA=4，⽐值是1:2，所以构造的是，也只能构造．（2）如果问题设计为PA+kPB最⼩值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之⽐为2:3，k应为．类型⼆：与抛物线有关的阿⽒圆问题例2．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA，AB，已知OA=OB=2，AOB=120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CEOB，垂⾜为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三⾓形与△AOE 相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转⾓为α（0°＜α＜120°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最⼩值．【分析】（1）根据AO=OB=2，AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进⽽利⽤待定系数法求⼆次函数解析式；（2）EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′QOBE′，推出==，，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最⼩值就是线段AQ的长；专题突破1.如图，正⽅形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上⼀动点，则的最⼩值为，的最⼤值为.2.如图，在平⾯直⾓坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB 外部的第⼀象限内⼀动点，且BPA＝135o，则2PD＋PC的最⼩值是.3如图，已知菱形ABCD的边长为4，B＝60°，B的半径为2，P为B上⼀动点，则的最⼩值为. 4.如图9所⽰，点A，B在O上，且OA=OB=6，且OAOB，C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在O上，则PD+2PC的最⼩值为．5.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的⼀个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三⾓形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三⾓形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转⾓在0°到90°之间）；探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），⽆论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最⼩值．6．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有⼀动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转⾓为α（0°＜α＜90°），连接AE′、BE′，求AE′+BE′的最⼩值．7.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，C半径为2，P为圆上⼀动点，连结AP、BP，求AP＋BP的最⼩值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下⾯给出⼀种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，⼜PCD＝BCP，PCD∽△BCP．＝，PD＝BP，AP＋BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP＋BP的最⼩值为．（2）⾃主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP的最⼩值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上⼀点，求2PA＋PB的最⼩值．专题⼗⼆：最短路径——阿⽒圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究答案例1.连接CD，在BC上取点E，使得CE＝2，连接AE、ED，如图所⽰：CD＝4，BC＝8，CE＝2，，，BCD＝BCD，CDE∽△CBD，，，BD＝2DE，，，根据两点之间，线段最短，当点D在AE上时，AD＋DE最⼩，最⼩值就是AE的长，，ACB＝90o，的最⼩值是.例2．（1）过点A作AHx轴于点H．AO=OB=2，AOB=120°，AOH=60°．OH=1，AH=．A点坐标为（﹣1，），B点坐标为（2，0）．将两点代⼊y=ax2+bx,得解得抛物线的解析式为：y=x2﹣x；（2）如图，C（1，﹣），tan∠EOC==．EOC=30°．POC=90°+30°=120°．AOE=120°，AOE=∠POC=120°．[来源:学+科+⽹Z+X+X+K]OA=2OE，OC=，当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似．OP=，OP′=．点P坐标为（0，）或（0，）．（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．==，QOE′=∠BOE′，OE′Q∽△OBE′．==．E′Q=BE′．AE′+BE′=AE′+QE′．[来源:学&科&⽹]AE′+E′Q≥AQ，E′A+E′B的最⼩值就是线段AQ的长，最⼩值为=．专题突破1.在BC上取⼀点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所⽰：PBG＝PBC，PBG∽△CBP，，，在△PDG中，DP＋PG≥DG，当D、G、P共线时，的值最⼩，最⼩值为；当点P在DG的延长线时，的值最⼤，如图所⽰：此时最⼤值也是DG，最⼤值为5.2.依题意可得OA＝OB＝2，BPA＝135o，点P的轨迹是以原点为圆⼼，OA长为半径的圆O上的劣弧AB，构造圆O，连接OP，在OC上截取OE＝1，连接PE、ED，过点D作DFOC于点F，如图所⽰：，POC＝EOP，POC∽△EOP，，，，当E、P、D三点共线时，PD＋PE的值最⼩，最⼩值为DE的值，DF⊥OC于点F，则DF＝2，EF＝2，，的最⼩值为2DE.3.在BC上取⼀点G，使得BG＝1，过点D作DFBC的延长线交于点F，连接DG、BP，如图所⽰：PBG＝PBC，PBG∽△CBP，，当D、G、P三点共线时，的值最⼩，最⼩值为DG，在Rt△CDF中，DCF＝60o，CD＝4，，在Rt△GDF中，的最⼩值为.4.4．提⽰：如图，作O关于A的对称点E，连接ED交圆O于点P．5.（1）在y＝x+中，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣6，B（0，），A（﹣6，0），把B（0，），A（﹣6，0）代⼊y＝﹣x2+bx+c得，所以抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2﹣x+，令y＝0，则0＝﹣x2﹣x+，x1＝﹣6，x2＝1，C（1，0）；（2）点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BGDE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，DM+DG＝GM＝OB，m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三⾓形；（3）存在，如图2．ON＝OM′＝4，OB＝，NOP＝BON，当△NOPBON时，＝＝，不变，即OP＝ON＝×4＝3，P（0，3）；N在以O为圆⼼，4为半径的半圆上，由知，=，NP＝NB，（NA+NB）的最⼩值＝NA+NP，此时N，A，P三点共线，NA+NB的最⼩值＝＝3．6．如图，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有⼀动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数解析式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转⾓为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求AE′+BE′的最⼩值．（1）解：将A（4,0）代⼊抛物线y=ax2+（a+3）x+3，16a+4（a+3）+3=0.解得a＝--，抛物线解析式为-.当x=0时，y=3，所以B（0,3），设直线解析式为y=kx+b，将A，B点的坐标代⼊得解得y＝-.PM⊥AB，PEOA，PMN=∠AEN.∵∠PNM=∠ANE，PNM∽△ANE.∴=.∵NE∥OB，.∴AN＝(4－m).抛物线的解析式为-.PN=--m2＋m＋3-(--m＋3)=--m2＋3m.＝m＝2.（3）如图，在y轴上取⼀点M′，使得OM′=,连接AM′,在AM′取⼀点E′，使得OE′=OE，OE＝OE′＝2，OM′·OB=×3=4.2=OM′·OB.∵∠BO∠M′OE′,∴△M′OE∽△OB.∴=＝.M′E′=B.∴AE′+E′=AE′+M′E′=AM′，此时AE′+E′最⼩(两点之间线段最短，A,M′，E′三点共线)在Rt△AOM′中，AO=4，OM′=，AM′=，AE′+E′最⼩值为.（1）如图1，连结AD，AP＋BP＝AP＋PD，要使AP＋BP最⼩，AP＋AD最⼩，当点A，P，D在同⼀条直线时，AP＋AD最⼩，即：AP＋BP最⼩值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，，AP＋BP的最⼩值为；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，，PCD＝ACP，PCD∽△ACP，，PD＝AP，AP＋BP＝BP＋PD，同（1）的⽅法得出AP＋BP的最⼩值为；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，OE＝OC＋CE＝12，连接PE、OP，OA＝3，，AOP＝AOP，OAP∽△OPE，，EP＝2PA，2PA＋PB＝EP＋PB，当E、P、B三点共线时，取得最⼩值为：.。

最短路径专题含答案

最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点B，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的P点上有一只蜘蛛，PA=3cm，在棱BB1的Q点上有一只苍蝇，QB2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到Q点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45∘，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=√2，求AD的长．10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60∘，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点Dʹ处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCEDʹ是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PDʹ+PB的最小值．11. 已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．12. 已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2−2x−3a，若抛物线C1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为√(x2−x1)2+(y2−y1)2）（1）求抛物线C1的顶点坐标．（2）已知实数x>0，请证明x+1x ≥2，并说明x为何值时才会有x+1x=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90∘，m>0，n<0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．16. 已知圆锥的底面半径为r=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45∘．（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点B处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AʹGC和往墙面BBʹCʹC爬行的最近路线AʹHC，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙M与DʹCʹ相切，圆心M到边CCʹ的距离为15dm，蜘蛛P 在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线．若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60∘，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=时，四边形CEDF是矩形；②当AE=时，四边形CEDF是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF=∘，当点E与点A重合时，∠DEF=∘；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形EPFD的边长．（2）深入探究若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E，F分别在AD，DC边上，请直接写出AP的最小值．（3）拓展延伸若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AM与线段DE的长度相等?若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线y=−x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）连接CD，BC，求∠DBC的余切值；（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF= BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．27. 如图，在△MNQ中，MN=11，NQ=3√5，cosN=√5．在矩形ABCD中，BC=4，CD=3，5点A与点M重合，AD与MN重合，矩形ABCD沿着MQ方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点Q重合时停止运动．（1）MQ的长度是；（2）运动秒，BC与MN重合；（3）设矩形ABCD与△MNQ重叠部分的面积为S，运动时间为t，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围．的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为28. 如图1，对称轴为直线x=12A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=2√3，将矩形沿对角线AC剪开，请解决以下问题：（1）将△ACD绕点C顺时针旋转90∘得到△AʹCDʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹCDʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹCDʹ沿CB向左平移的长度为t(0<t<2√3)，设平移后的图形与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．30. 如图甲，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/ s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，当四边形PQPʹC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形?31. 如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1>x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1，x2是方程x2−2x−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1与y轴相交于点A，点B与点O关于点A4对称．（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k<0与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点Cʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0<t<2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC ?（2）设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPʹC，那么是否存在某一时刻，使四边形PQPʹC为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG，CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角(0∘<β<180∘)，如图2，连接AG，CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化?若不变化，求出∠EMB 的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m)，翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE．设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使EA ?若存在，直接写出P的坐标，若不存在，说明理由．PM=1236. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180∘，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1 中是否存在与AB相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90∘，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．37. 如图，顶点为C(−1,1)的抛物线经过点D(−5,−3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点Q的坐标；（2）若抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=32（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点 A 作 AF ⊥BC ，垂足为 F ，得到 ∠AFB =∠BEA ，从而可证 △ABF ≌△BAE （如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF 与 △BAE 全等的条件是（填" SSS "、 " SAS " 、" ASA" 、 " AAS “或”HL "中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，D 为 BC 的中点，E 为 DC 的中点，点 F 在AC 的延长线上，且 ∠CDF =∠EAC ，若 CF =2，求 AB 的长；（3）如图 4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120∘，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上，且 AD =kDB （其中 0<k <√33），∠AED =∠BCD ，求 AE EC 的值（用含 k 的式子表示）．39. 如图，已知二次函数 y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点 A (3,1)，点 C (0,4)，顶点为点 M ，过点 A 作 AB ∥x 轴，交 y 轴于点 D ，交该二次函数图象于点 B ，连接 BC ．（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m (m >0) 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 △ABC 的内部（不包括 △ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P ，点 C ，点 M 所构成的三角形与 △BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是边BC上的动点（与端点B，C不重合），过点D作直线y=−1x+b交边OA2于点E．（1）如图（1），求点D和点E的坐标（用含b的式子表示）；（2）如图（2），若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=√3AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为Bʹ．点Bʹ从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点Bʹ停止移动，连接BBʹ．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点Bʹ的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠ABʹB；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．43. 如图1，△ABC中，∠C=90∘，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图 2 所示（其中0<x≤m，1<x≤m，m<x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线y=12（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．（1）应用：如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（i）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（ii）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．（2）探究：在△ABC中，∠A=30∘，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△AʹCD，若△AʹCD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为(60,0)，OA=AB，∠OAB=90∘，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0<t<30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90∘，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．47. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0)，与y轴的交点为B(0,3)，其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．48. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ(0∘<θ<90∘)，连接AC1，BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1= kBD1．请直接写出k的值和AC12+(kDD1)2的值．49. 如图，四边形ABCD为一个矩形纸片．AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C?（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?（3）求出y与x的函数表达式．50. 如图，以点P(−1,0)为圆心的圆，交x轴于B，C两点（B在C的左侧），交y轴于A，D两点（A在D的下方），AD=2√3，将△ABC绕点P旋转180∘，得到△MCB．（1）求B，C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB，MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ，QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化?若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为OPOA =13．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA长为半径画圆，点B是⊙O上任意一点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为12，求证：直线BC是⊙O的切线．②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是−2．52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=14（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=4．设OP=x，△CPF的面积为y．5（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的自变量x的取值范围；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．x2+bx+c与x轴分别相交于点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，顶54. 如图，抛物线y=−12点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．（i）当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；（ii）是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5cm，∠BAC=60∘，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒√3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．（1）【特例探究】如图1，当tan∠PAB=1，c=4√2时，a=，b=；如图2，当∠PAB=30∘，c=2时，a=，b=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC= 3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3√5，AB=3，求AF的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15∘的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?58. 如图，在坐标系xOy中，已知D(−5,4)，B(−3,0)，过D点分别作DA，DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A，C两点．动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴59. 如图，抛物线y=−12交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．60. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B为小正方形边的中点，C，D为格点，E为BA，CD的延长线的交点．（1）CD的长等于；（2）若点N在线段BE上，点M在线段CE上，且满足AN=NM=MC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8,4)，连接AC，BC．（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标是(8,6)，点P是边AB上的一个动点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在点Q处．（1）如图①，当点Q恰好落在OB上时，求点P的坐标．。

九年级数学上册复习专题15二次函数中最短路径问题(1)

专题15二次函数中最短路径问题【做题思路】：一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。

【做题步骤】：①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；③连接对称点与另一个定点；④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；【变换类型】求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】1．直线y＝23x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（）A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－52，0)D．(－32，0)【答案】C【解析】【分析】【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．直线y=23x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），所以2=-3k+b-2=b⎧⎨⎩，解得：4k=-3b=-2⎧⎪⎨⎪⎩，即可得直线CD′的解析式为y=﹣43x﹣2．令y=﹣43x﹣2中y=0，则0=﹣43x﹣2，解得：x=﹣32，所以点P的坐标为（﹣32，0）．故答案选C．考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（）A ．12B ．1C D ．2【答案】B 【解析】【分析】先作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．【详解】解：如图，作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值，最小值为M′N 的长． ∵菱形ABCD 关于AC 对称，M 是AB 边上的中点， ∴M′是AD 的中点，又∵N 是BC 边上的中点， ∴AM′∥BN ，AM′=BN ， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP 的最小值为1，故选B ．3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是．【答案】（﹣1，0）．【解析】试题分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．试题解析: 作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，，A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），，C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：21 {23k bk b-+=+=-解得1 {1 kb=-=-．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，，P点的坐标是（﹣1，0）．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．4．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为_________．【答案】305⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】【分析】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,再用待定系数法求出直线'AB 的解析式，进而求出点C 的坐标即可. 【详解】先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,则点'B 的坐标为(0,1)-由两点之间线段最短可知，'AB 的长即为AC BC +的长，因为AB 是定值，所以此时△ABC 的周长最小设直线'AB 的解析式为y kx b =+ 将(3,4),'(0,1)A B -代入解析式得341k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得531k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线'AB 的解析式为513y x =- 当0y = 时，5103x -=，解得35x = ∴点3(,0)5C故答案为：305⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查周长的最小值，能够作出点B 的对称点，掌握待定系数法是解题的关键.1．如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y= 12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标__________.【答案】31-22（，）【解析】分析:易得点A，0，1），那么把A，B 坐标代入y=12x 2+bx+c 即可求得函数解析式,然后求出对称轴,找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．详解: ，1）将A，0，1，，B，1，0）坐标代入y=12x 2+bx+c, 得1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩, 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解折式为y=12x 2-32x+1， ∴抛物线的对称轴为x=32， ∵B，C 关于x=32对称， ∴MC=MB，要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大．易知直线AB 的解析式为y=-x+1∴由132y x x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴M，32，-12，，点睛: 本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点,求两条线段和或差的最值，要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．2．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．【答案】（﹣1，2）．【解析】【分析】因为点B 关于对称轴的对称点为点A ，连接AC ，设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，再求得点M 的坐标即可，【详解】∵抛物线y =，x 2，2x +3与x 轴交于A ，B 两点，令y =0，得，，x 2，2x +3=0，解得，x =，3或x =1，∴点A ，，3，0，，C ，0，3，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A ，，3，0，，C ，0，3）分别代入直线y =kx +b ，得，303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得，13k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 解析式为y =x +3，设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，把x =，1代入直线y =x +3得，y =2，∴M ，，1，2，，即当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（﹣1，2，，故答案为，，1，2，，【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC 的解析式是解答本题的关键， 3．如图，已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)．在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，求出点M 的坐标___【答案】31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．【详解】解：将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212y x bx c =++ 1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解折式为213-122y x x =+ ∴抛物线的对称轴为x ＝32，∵B 、C 关于x=32对称， ∴MC=MB ，要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大．易知直线AB 的解析式为y=-x+1321x y x ⎧=⎪∴⎨⎪=-+⎩ ∴3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了抛物线与直线的问题，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．阅读材料：例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．P （x ，0）是x 轴上P 与点A （0，1P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式【答案】（1）B（2，3）或（2，－3）；（2）10．【解析】试题分析：（1（2P （x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．试题解析：（1的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，±3）的距离之和，故答案为：B（2，3）或（2，－3）；（2∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，﹣7），A′C=6，A B'==，故答案为：10．BC=8，∴10考点：1．轴对称-最短路线问题；2．坐标与图形性质；3．探究型．已知()()1,2,7,4A B ，M ，N 是x 轴上两动点（M 在N 左边），3MN =，请在x 轴上画出当AM MN NB ++的值最小时，M ，N 两点的位置．【答案】见解析【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【详解】如图，作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质和最短路线问题，准确计算是解题的关键．1.如图1，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于点A ，对称轴与抛物线交于点()2,2B -，与x 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式．（2）点D 是y 轴上的动点，求DAB ∆的最小周长．（3）如图2，点P 是抛物线上一个动点，,PA PO 分别与BC 交于点,M N ．①若动点P 在第一象限，问MC NC -的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由． ②若动点P 在第二象限，请给出①中类似的关于MC 与NC 长的结论（不必证明）．【答案】（1）2122y x x =-；（2）；（3）①MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝，理由见解析；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝．【解析】【分析】（1）将表达式写为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）取A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，此时ABD △的周长最小，再利用勾股定理计算即可；（3）①设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，利用待定系数法求出直线PO 、直线PA 的表达式，从而求出MC 、NC 计算即可；②以①为基础求出MC 、NC 计算即可．【详解】解：（1）由题意，点()2,2B -是顶点，解析式可写为()222y a x =--，又∵抛物线经过原点，∴420a -=， ∴12a =，∴解析式为()21222y x =--，即2122y x x =-；（2）由21202x x -=，得0x =，或4x =， ∴()4,0A ，如图，取()4,0A 关于y 轴的对称点()4,0A '-，连接BA '与y 轴交于点D ，此时CD A D '=，∴CD BD A D BD A B ''+=+=，由“两点之间线段最短”可知，此时ABD △的周长最小，最小周长等于AB A B '+==（3）①MC NC －的值不发生变化，理由如下：设()21,242P m m m m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，直线PO 为y kx =，直线PA 为y k x n '=+，将P 点坐标代入直线PO ，得：2122km m m =-， ∴122k m =-， ∴直线PO 为122y m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当2x =时，4y m =-，∴4NC m =-，将点,P A 的坐标代入直线PA ，得：212240m m mk n k n ⎧-=+⎪⎨⎪+='⎩'，解得：12k m '=，2n m =-， ∴直线PA 为122y mx m =-，当2x =时，2y m m m =-=-，∴MC m =，∴4MC NC －＝，∴MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝，理由如下：以①为基础，当点P '在第二象限时，0m ＜，直线P O '为122y m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线P A '为122y mx m =-， ∴P O '与BC 的交点为()2,4N m -，P A '与BC 的交点为()2,M m -，∴(4)NC m =--，MC m =-，∴4NC MC －＝．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数及轴对称，熟练掌握待定系数法求表达式是解题的关键．2．已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -,、()0,2C -．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得PBC ∆的周长最小．若存在请求出点P 的坐标．若不存在请说明理由．【答案】（1）224233y x x =+-；（2）存在，P(-1，43-) 【解析】【分析】（1）将点()30A -,，()0,2C -和对称轴公式代入即可求出a 、b 、c 的值，从而求出结论；（2）点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，由对称的性质可得此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC ，根据两点之间线段最短即可求出此时△PBC 的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，即可求出结论．【详解】解：（1）函数()20y ax bx c a =++≠过点()30A -,，()0,2C -，且对称轴为1x =-，则：129302b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩224233y x x ∴=+- （2）答：存在点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，∴PA=PB此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC根据两点之间线段最短可得此时△PBC 的周长最小设直线AC 为1y kx b =+，代入()30A -,和()0,2C -得：11302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 为：223y x =-- 将1x =-代入223y x =--中， 24(1)233y =-⨯--=- ∴P （-1，43-）【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式和轴对称性质的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和轴对称的性质是解决此题的关键．3．如图，已知直线33y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使ABP ∆的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM ∆为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标.【答案】（1）223y x x =+- ；(2) ；（3）存在，1(1M -，2(1,M -，3(1,0)M -，4(1,1)M --.【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得A 、B 两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；（2）连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标，即可求解.（3）分MA=AB ，MB=AB ，MB=MA 三种情况进行讨论.【详解】解：（1）直线y 3x 3x ,y A,B =-分别交轴轴于两点()()1,0,0,3A B 可得∴-，把A ，B 两点的坐标分别代入2y x bx c =++得：10233b c b c c ++==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩解得 ∴抛物线的解析式为223y x x =+- (2)连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.易求直线BC 的解析式为3y x =--，抛物线对称轴为直线1x =-，当P(-1，-2)（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：()1,M 1,m :x =--假设存在满足题意讨论：①当MA=AB 时，∵OA=1，OB=3:AB m ∴==解得((12,1,M M --,②当MB=AB 时， 34:0,6m m ===-解得（不合题意） ()31,0M -,③当MB=MA :1m 解得==- ()41,1M --, 故共存在四个点 ((()()1234,1,,1,0,1,1ΔABM M M M M -----使为等腰三角形.【点睛】考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在解题中的应用.4．如图，一元二次方程x2+2x，3=0的两根x1，x2，x1，x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A，3，6，，，1）求此二次函数的解析式；，2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为，G点坐标为，，3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2，抛物线顶点P的坐标为（﹣1，，2，，G点坐标为（﹣1，2，，，3，M点坐标为（0，0，【解析】【分析】，1）可先根据一元二次方程求出x1，x2的坐标，也就求出了B，C两点的坐标，然后可用交点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，根据已知的A点的坐标求出二次函数的解析式．，2）根据（1）二次函数解析式可得出顶点P的坐标和对称轴的解析式，G点就是直线AC与抛物线对称轴的交点，可先根据A，C的坐标，用待定系数法求出AC所在直线的解析式，然后将P点的横坐标代入求得的一次函数的解析式中即可求出G的坐标．，3）本题的关键是先确定M点的位置，可先做A关于x轴的对称点A′然后连接A′C，与x轴的交点就是点M，那么可根据A′，C两点的坐标求出A′C所在直线的解析式，又已知了M在x轴上即可求出M点的坐标．【详解】解：（1）解方程x2+2x，3=0得x1=，3，x2=1，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C，，3，0，，B，1，0，，设抛物线的解析式为y=a，x+3，，x，1，，∵A，3，6）在抛物线上，∴6=a，3+3，•，3，1，，∴a=1 2，∴抛物线解析式为y=12x2+x，32，，2）由y=12x 2+x，32=12，x+1，2，2， ∴抛物线顶点P 的坐标为（﹣1，，2），对称轴方程为x=，1，设直线AC 的解析式为y=kx+b，∵A，3，6，，C，，3，0）在该直线上，∴3630k b k b +⎧⎨-+⎩＝＝ , 解得：k=1,b=3,∴直线AC 的解析式为：y=x+3，将x=，1代入y=x+3得y=2，∴G 点坐标为（﹣1，2，，，3）作A 关于x 轴的对称点A′，3，，6，，连接A′G，A′G 与x 轴交于点M 即为所求的点．设直线A′G 的解析式为y=kx+b，∴362k b k b +-⎧⎨-+⎩＝＝，解得：02b k ⎧⎨-⎩＝＝， ∴直线A′G 的解析式为y=，2x ，令x=0，则y=0，∴M 点坐标为（0，0，，【点睛】考查了用待定系数法求一次函数与二次函数解析式的方法．确定M 点的位置是解题的关键．5．如图，以D 为顶点的抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点A ，(6,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21262y x x =-++；（2）点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，当Q 的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCD 相似．【解析】【分析】（1）将点B 和点C 的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）先求出点A 的坐标，利用待定系数法求出BC 的解析式，作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B ，根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小，求出点O ′的坐标，利用待定系数法求出AO ′的解析式，联立方程即可求出结论；（3）求出顶点D 的坐标，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出CD 、BC 、CD 和AC ，根据勾股定理的逆定理证出△BCD 是直角三角形，然后根据相似三角形的对应情况分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出结论．【详解】解：（1）将点B 和点C 的坐标代入2y ax 2x c =++中，得036126a c c =++⎧⎨=⎩解得：126a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）把y=0代入21262y x x =-++中，得 210262=-++x x 解得：x 1=-2，x 2=6，∴点A 的坐标为（-2,0）设直线BC 的解析式为y=kx ＋b将点B 和点C 的坐标代入，得066k b b =+⎧⎨=⎩解得：16k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为6y x =-+作点O 关于BC 的对称点O ′，连接AO ′交BC 于点P ，连接OP ，O ′B根据对称可得PO=PO ′，OB=O ′B此时PO PA +='+PO PA =O A '根据两点之间线段最短，此时PO PA +最小∵OB=OC=6，∠BOC=90°∴∠OBC=45°∴∠OBO ′=90°∵OB= O ′B =6∴点O ′的坐标为（6,6）设直线AO ′的解析式为y=mx ＋n将点A 和点O ′的坐标代入，得0266m n m n =-+⎧⎨=+⎩解得：3432m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AO ′的解析式为33y x 42=+ 联立63342y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得：187247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 的坐标为1824,77⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）∵21262y x x =-++=()21282--+x ∴点D 的坐标为（2,8）∴======CD BCBD =AC∴CD 2＋BC 2=80=BD 2∴△BCD 为直角三角形，且∠BCD=90°点Q 在点A 左侧时，△QAC 为钝角三角形，∴△QAC 不可能与△BCD 相似∴点Q 必在点A 右侧，设点Q 的坐标为（q ，0），则AQ=q －（-2）=q ＋2∵tan ∠CAO=632==CO AO ，tan ∠BDC=3==BC CD ∴∠CAO=∠BDC当△CQA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ BD CD= 解得：q=0∴点Q 的坐标为（0,0）；当△QCA ∽△BCD 时， ∴=AC AQ CD BD=解得：q=18∴点Q 的坐标为（18,0）；综上：点Q 的坐标为(0,0)或(18,0)．【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数和图形的综合大题，掌握利用待定系数法求出二次函数解析式、一次函数解析式、两点之间线段最短、联立方程求交点坐标、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数的性质是解决此题的关键． 6．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)． (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--, D (32, 258-);（2）△ABC 是直角三角形,证明见解析; （3）M （2441，0）. 【解析】试题分析：，1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；，2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；，3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M 点是对称轴与BC 的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：(1)∵点A (−1,0)在抛物线22y x bx =+-上， ∴()()2111202b ⨯-+⨯--=，解得 32b =-， ∴抛物线的解析式为213 2.22y x x =-- ∵221313252()22228y x x x =--=--， ∴顶点D 的坐标为325,.28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)△ABC 是直角三角形，理由如下：当x =0时，y =−2，∴C (0,−2)，则OC =2.当y =0时, 21320.22x x --= ∴121,4,x x =-= 则B (4,0)，∴OA =1，OB =4，∴AB =5.222222225,5,20AB AC OA OC BC OC OB ==+==+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是直角三角形；(3)由题意A. B 两点关于对称轴对称，故直线BC 与对称轴的交点即为点M .由B (4,0),C (0,−2)设直线BC :y =kx −24k −2=0，1.2k = 所以直线1: 2.2BC y x =- 当32x =时,1352.224y =⨯-=- 所以35,.24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A，，1，0，B，3，0）两点，与y轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．，1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；，2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；，3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】，1）抛物线解析式为y=，x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3，，2）点M的坐标为（0，3，，，3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，，139，，【解析】分析：（1）设交点式y=a，x+1，，x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C，0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；，2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；，3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a，x+1，，x，3，，即y=ax2，2ax，3a，∴，2a=2，解得a=，1，∴抛物线解析式为y=，x2+2x+3，当x=0时，y=，x2+2x+3=3，则C，0，3，，设直线AC的解析式为y=px+q，把A，，1，0，，C，0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，，2，∵y=，x2+2x+3=，，x，1，2+4，∴顶点D的坐标为（1，4，，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′，，3，0，，∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3，，，3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=，13x+b，把C，0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=，13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209，，过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=，x+b，把A，，1，0）代入得13+b=0，解得b=，13， ∴直线PC 的解析式为y=，13x，13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，，139，. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为，73，209，或，103，，139，. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．8．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为2122y x x =-;抛物线的对称轴为直线x ;P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴232a-=⨯-12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=-，∵212222bxa=-=-=⨯，∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x=--.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A-，//AC x轴，∴AC=3OC=，∴11322AOCS OC AC∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQS S∆∆=，∴3AOQ AOCS S∆∆==设Q点坐标为21(,)2m m，如图情况一，作QR CA⊥，交CA延长线于点R，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形∴221111m)3()222222m m m ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --+=，化简整理得2180m -=，解得1m =，2m =-∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.9．如图，直线43y x =与抛物线268y x x =-+交于A ，B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点B 的坐标为()6,8，在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，求满足条件的点F 的坐标．【答案】233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】作B 点关于对称轴的对称点B′，过点B '作B M BC '⊥于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．再通过解直角三角形求出NF 的长，进而即可找出点F 的坐标．【详解】解：如图，作点B 关于对称轴的对称点B '，交抛物线对称轴于点N ，过点B '作B M BC '⊥交直线BC 于点M ，交对称轴于点F ，连接BF ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．易得抛物线268y x x =-+的对称轴为直线3x =．∵直线BC 的解析式为43y x =， ∴点C 的坐标为()3,4．∵FM BC ⊥， ∴3tan tan 4OE FCM OCD CE ∠=∠==． ∴3sin 5FM FCM FC ∠==，即35FM CF =． ∵B 、B '关于对称轴对称，∴BF B F '=． ∴35BF CF B F FM '+=+．当点B '、F 、M 三点共线且B M FM '⊥时，B F FM '+的值最小，∵点B 的坐标为()6,8，抛物线对称轴为直线3x =，∴点B '的坐标为()0,8．又∵B M BC '⊥，∴NB F FCM '∠=∠． ∴3tan 4NF NB F B N '∠=='． ∴9tan 4NF B N NB F ''=⋅∠=． ∴点F 的纵坐标为：923844-=． ∴点F 的纵坐标为233,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、解直角三角形、轴对称的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意寻找F 点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F 的位置．。

第1讲：立体表面最短路线问题

- 1 -专题1：立体表面的最短路线问题班级_____ 姓名_____________ 学号______ 评分_________【经验分享】 1.数学思想：转化思想（将立体图形转化为平面图形然后再运用“两点之间，线段最短”求解。

）2.几何变换：可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。

3.图形构造：构造直角三角形，利用勾股定理求解。

【归类探究】类型一：正方体问题例1：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是_______________ 类型二：长方体问题例2：如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为4,2,1的长方体顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处，则最短路线长为______________变式1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是。

类型三：台阶问题例3：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路长为_____________ 类型四：圆柱问题例4：有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为_________变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短长度为___________变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。

2013中考数学求最短距离大全含答案解读

2013求最短距离问题大全一、填空题（共6小题）1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________．2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm．3、（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为_________．4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表面到D点的最短距离为_________．5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________．6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米．二、解答题（共4小题）7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．三、选择题（共4小题）11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（）A、4B、8C、10D、512、（2003•贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（）A、B、C、D、13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（）A、12B、4πC、D、14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A 、750米B 、1000米C 、1500米D 、2000米用轴对称求最短距离最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

距离最短问题专题探究
第25题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
3 时，求正方形的边长.
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1
例一、（１）在直线l的异侧有A、B两点，在直线l求点P，使AP+BP最小。

（２）在直线l的同侧有A、C两点，在直线l求点P，使AP+CP最小。

例二、如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP 之和最小。

例三、（1）如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为；
（2）几何拓展：如图2, △ABC中，AB=2，∠BAC=300,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；
（3）代数应用：求代数式
4
)
4(
12
2+
-
+
+x
x
（0≤x≤4）的最小值.
例四、如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O,点E为BC边的中点，连长为2cm,在BD上找点P，使EP+CP之和最小。

例五．圆O内点P和圆上哪一点的距离最小，理由是什么。

分析：过点P作直径AB,则AP、BP中较短者即为点P到圆的最短距离。

理由也是由“两点之间，线段最短”得出的“三角形中，两边之和大于第三边”推出的。

例六．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？。