平面向量的数量积
平面向量的数量积
泥土中……接着，一棵浅绿色鸡尾模样的贪婪巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇浅绿色灵芝模样的僵死巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵亮红色小鱼模样的炽热巨蕾恐怖
地钻了出来……随着紫葡萄色水母模样的狠毒巨花狂速盛开，无数淡橙色牛屎模样的变态花瓣和葱绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数亮蓝色钉子模样的贪婪果实从巨花
斯玻爱杀手见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇牙齿的水青色古怪果冻朝东南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我随便找出一件都比你们的强……
”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异脑袋的锅底色超级闪电追了上去……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的蝴蝶缸须神！这
（a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0
7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0
两式相减得：
2
a
·b
=
b
2，代入其中任一式中得:
2
a
2=
b
例3、求证：直径所对圆周角为直角
• 证明：设AC是圆O的一条直径，
C
∠ABC为圆周角，如图
2 已知 |a| =12，|b| =9，a · b =-54√2，求a和 b3的、夹已角知 △ A B C 中 ， a = 5 ， b = 8 ， C = 6 0 0 ， 求 BC · CA A
B
C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹
角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求
神飞去，变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……蝴蝶缸须神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得
原创1：5.3 平面向量的数量积
A．|a|＝ a·a
B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b
D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|
＝|a||b|，可知选项 B 是错误的．
4．(2015·湖北武汉调研)已知向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2 3，
平面向量的夹角与模(高频考点) 向量数量积的综合应用
考点一 平面向量数量积的运算
(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量 a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则xx12＋ ＋yy12的值为( B )
2 A.3
B．－23
C.56
D．－56
(2)(2014·高考江苏卷) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已
[解] (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋sin2x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈[0，π2 ]，从而 sin x＝12，所以 x＝π6 .
(2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6 )＋12，
故|A→B＋A→G＋A→C|的最小值为83.
[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. 2．求两个非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于 0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数 量积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且 两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积和向量积推导
平面向量的数量积和向量积推导平面向量的数量积和向量积是向量运算中常用的两个操作。
它们在几何学、物理学等领域中有广泛的应用。
本文将对平面向量的数量积和向量积进行推导和说明。
一、平面向量的数量积数量积（也称为点积或内积）是两个向量的乘积的数量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
由此可见，数量积的结果是一个实数。
它有以下几个性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c3. 数乘结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)二、平面向量的向量积向量积（也称为叉积或外积）是两个向量的乘积的向量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的向量积为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b均垂直的单位向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于平面，由右手法则确定。
由此可见，向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a × b = - (b × a)2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3. 数乘结合律：(k * a) × b = k * (a × b) = a × (k * b)三、数量积和向量积之间的关系数量积和向量积之间存在一个重要的关系，即向量积的模长等于数量积的模长和夹角的正弦值的乘积：|a × b| = |a| * |b| * sinθ此外，还可以通过向量积来求得两个向量之间的夹角θ：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)四、应用举例1. 面积计算：对于平行四边形，以两边为相邻边的一条对角线为底，可以使用向量积求得其面积。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
5.3 平面向量的数量积
5．3平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a 与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b 在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于___________________________________________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________；③分配律：______________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|||a－||b|________||a＋||b．3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________．②a⊥b⇔____________．③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________．特别地，a·a＝____________或||a＝____________．④cosθ＝____________．⑤||a·b≤____________．4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝____________；a2＝_______________；||a＝________________．②a⊥b⇔____________________．③||x1x2＋y1y2≤________________________．自查自纠：1．||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①|a|cosθ②a·b＝0③|a||b|－|a||b||a|2a·a④a·b|a||b|⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x21＋y21x21＋y21②x1x2＋y1y2＝0③x21＋y21x22＋y22已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是() A．|a|＝|b|＝1B．a·b＝1C．当a，b反向时，a＋b＝0D．当a，b同向时，a＝b解：因为a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，有|a|＝|b|＝1，则A正确；对于B，a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，则B错误；对于C，当a，b反向时，有a＋b＝0，则C正确；对于D，当a，b同向时，有a＝b，则D正确．故选B．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4 B．3 C．2 D．0解：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故选B．(长沙周南中学2018届高三三模)已知非零向量a，b，满足|a|＝22|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为() A．π4B．π2C．3π4D．π解：非零向量a，b，满足|a|＝22|b|，且(a＋b)· (3a －2b)＝0，所以3a2＋a·b－2b2＝0，设a，b的夹角为θ，所以3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以3×12|b|2＋22|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝22，θ＝π4，所以a与b的夹角为π4．故选A．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 解：|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23．故填23．已知AB →＝(2，1)，点C (－1，0)，D (4，5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解：因为点C (－1，0)，D (4，5)，所以CD →＝(5，5)，又AB →＝(2，1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322．故填322．类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． 解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则 cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②． (2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为 ( ) A ．32 B ．32 C ．3 D．－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形．且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，所以∠C＝π3，∠B ＝π6，所以AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32．故选A ．点 拨： 数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．(1) (2017·北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝ |m |·|n |cos 〈m ，n 〉＜0的充要条件是cos 〈m ，n 〉＜0．因为λ＜0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉 ＜0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n ＜0”；而由“m ·n ＜0”，可推得“cos 〈m ，n 〉＜0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，故不能推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．故选A ．(2)(广东汕头潮南2018届高考冲刺改编)已知向量a ，b 满足|b |＝5，|a ＋b |＝4，|a －b |＝6，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ( )A ．1B ．－1C ．5D ．－5 解：由题意可得(a ＋b )2＝16，(a －b )2＝36，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝16，a 2＋b 2－2a ·b ＝36，两式相减可得a ·b ＝－5，则向量a 在向量b 方向上的投影为 a ·b |b |＝－55＝－1．故选B ． 类型二 数量积的基本运算(1)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．5解：由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1．故选A ．(2)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量， a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________． 解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝⎛⎭⎫－12－2＝0，解得k ＝54．故填54．(3)(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解：设A (a ，2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 中点得C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，易得⊙C ：(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，与y ＝2x 联立解得点D 的横坐标x D ＝1，所以D (1，2)(或由AB →·CD →＝0及圆的几何性质知BD ⊥AD ，则l BD ：y ＝－12(x －5)，与y ＝2x 联立即可求得D (1，2))．所以AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a ，由AB →·CD →＝0得(5－a )(1－a ＋52)＋(－2a )(2－a )＝0，a 2－2a －3＝0，a ＝3或a ＝－1，因为a >0，所以a ＝3．故填3．点 拨：平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角；②坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量；④运用平方的技巧．(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b | 等于 ( )A ．5B ．4C ．3D ．1 解：向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝ －1(舍去)或|b |＝4．故选B ．(2)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．解：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6．故填－6．(3)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则 ( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3 解：因为I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →，因为AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3， 所以OB →与CA →所成角为钝角， 所以I 1－I 2<0，即I 1<I 2． 因为I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|·cos ∠COD＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA <OC ，OB <OD ， 所以I 1－I 3>0，即I 1>I 3． 所以I 3<I 1<I 2．故选C ．类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)(安徽定远重点中学2018届高三模拟)已知向量m ＝(－2，1)，n ＝(1，1)．若(m －2n )⊥ (a m ＋n )，则实数a ＝________． 解：向量m ＝(－2，1)，n ＝(1，1)，则m － 2n ＝(－4，－1)，a m ＋n ＝(－2a ＋1，a ＋1)， 又(m －2n )⊥(a m ＋n )，则(m －2n )·(a m ＋n )＝ －4×(－2a ＋1)＋(－1)×(a ＋1)＝0，解得a ＝57．故填57．(2)(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则 ( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解：因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，整理得4a ·b ＝0，所以a ⊥b ．故选A ．点 拨：两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．(1)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以 m a －b ＝(m ，0)－(－1，m )＝(m ＋1，－m )，由a ⊥ (m a －b )得a ·(m a －b )＝0，所以a ·(m a －b )＝m ＋ 1＝0，即m ＝－1．故填－1． (2)(2018·河南商丘高三二模)已知平面向量 a ＝(－1，2)，b ＝(k ，1)，且a ⊥b ，则a ＋b 在a 方向上的投影为 ( )A ． 5B ．2C ． 2D ．1 解：因为a ⊥b ，所以a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝a 2＋a ·b |a |＝55＝5．故选A ．1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别 在数的乘法中，若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0．但在向量的数量积中，由a ·b ＝0不能推得a ＝0或b ＝0，因为当两个非零向量a ，b 垂直时，也有a ·b ＝0．应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立．3．注意向量0与实数0的区别：0a ＝0≠0， a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向． 4．注意两个非零向量a ，b 的夹角与a ，b 所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是[0，π]，后者的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2． 5．求向量模的常用方法是利用公式||a 2＝a 2即|a |＝a 2将模的运算转化为向量的数量积．6．利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解．如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷．1．(2018·四川高三春季诊断性测试)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝ ( )A ．0B ．4C ．－92D ．－172解：由条件可得2k －1－4k ＝0，k ＝－12，m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，m ·n ＝－2×4－12＝－172．故选D ． 2．(2017·东北联考) 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 ( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3解：因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12．又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12．因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．故选C ．3．设a ，b 是非零向量，“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ·b ＝|a ||b |，则cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0，可得a ∥b ；若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，此时a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |．故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A ．4．(2018甘肃兰州高三二模)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．3π4解法一：设a 与b －a 的夹角为θ． 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a ＋b |2＝|a －b |2，即|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，所以a ·b ＝0．因为a ，b 为非零单位向量，所以(b －a )2＝2，即|b －a |＝2．因为a ·(b －a )＝a ·b －a ·a ＝－1＝|a ||b －a |cos θ，所以cos θ＝－11×2＝－22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4．解法二：几何法．如图，|a ＋b |与|a －b |分别表示以a ，b 为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b －a 知所求为3π4．解法三：坐标法．由|a ＋b |＝|a －b |得a ⊥b ，又a ，b 为单位向量，则在平面直角坐标系中取a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则b －a ＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a 与b －a 的夹角为3π4．故选D ．5．(2018·上海黄浦高三二模)在给出的下列命题中，是假命题的是 ( )A ．设O 、A 、B 、C 是同一平面上的四个不同的点，若OA →＝m ·OB →＋(1－m )·OC →(m ∈R )，则点A 、B 、C 必共线B ．若向量a ，b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为c ＝ λa ＋μb (λ，μ∈R )，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA →、OB →、OC →满足|OA →|＝ |OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a ，b ，c ，d ，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直解：由OA →＝m ·OB →＋(1－m )·OC →⇒OA →－OC →＝m ·(OB →－OC →)⇒CA →＝m ·CB →，则A 、B 、C 必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；对OA →＝－OB →－OC →两边平方得cos ∠BOC ＝－12，同理，所以∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝120°，即△ABC 是等边三角形，故C 正确；令a ＝(0，1)，b ＝(0，2)，c ＝(1，0)，d ＝(2，0)，则(a ＋b )·(c ＋d )＝0，故D 错误．故选D ．6．(湖北黄冈2019届模拟)在△ABC 中，AB →·BC →＝0，|AB →|＝2，|BC →|＝23，D 为AC 的中点，则BD →·DA →＝ ( )A ．2B ．－2C ．2 3D ．－2 3解法一：由题意可得|BD →|＝|AD →|＝|AB →|＝2，所以△ABD 为等边三角形，所以∠ADB ＝60°，所以BD →·DA →＝|BD →|·|DA →|cos120°＝－2．解法二：依题意知AB ⊥BC ，则以B 为原点，BC →为x 轴正方向，BA →为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (0，2)，C (23，0)，由D 为AC的中点知D (3，1)，则BD →＝(3，1)，DA →＝(－3，1)．故BD →·DA →＝3×(－3)＋1＝－2．故选B ．7．(2018·湖南衡阳高三二模)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE →·BF →的值是________．解：由题得AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →·⎝⎛⎭⎫BC →－12AB →＝AB →·BC →＋12BC →2－12AB →2－14AB →·BC →＝0＋2－2－0＝0．所以AE →·BF →＝0．另解：建立适当的平面直角坐标系，写出各点的坐标，从而用向量的坐标求解．故填0．8．(2018吉林长春高三质监三)已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足AE →＝12ED →，点F为CD 的中点，若AD →·BE →＝－2，则CD →·AF →＝________．解：如图建立平面直角坐标系，设C (t ，0)，则A (－t ，0)，B (0，－1)，D (0，1)，E ⎝⎛⎭⎫－23t ，13，F ⎝⎛⎭⎫t 2，12，故AD →＝(t ，1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23t ，43，CD →＝(－t ，1)， AF →＝⎝⎛⎭⎫3t 2，12．因为AD →·BE →＝－2，所以－23t 2＋43＝－2，解得t 2＝5，CD →·AF →＝－32t 2＋12＝－7．故填－7．9．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，所以c ＝4a ＋b ＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)． 所以b ·c ＝2×6－2×6＝0，所以(b ·c )a ＝0·a ＝0．(2)a ＋λb ＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝52．(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ．所以|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×（－2）22＋（－2）2＝－222＝－22． 10．已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°．(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16． (1)①因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b |＝43．②因为|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a －2b |＝163． (2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7． 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．11．(湖北宜昌2018届高三适应性训练)在△ABC 中，AB ＝3AC ＝9，AC →·AB →＝AC →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，求P A →·BC →的值．解：由AC →·AB →＝AC →2，得AC →·CB →＝0， 所以BC →⊥AC →，即∠C ＝π2，则BC ＝AB 2－AC 2＝62．以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A (3，0)，B (0，62)，设P (x ，y )， 则P A →2＋PB →2＋PC →2＝(x －3)2＋y 2＋x 2＋(y －62)2＋x 2＋y 2＝3x 2－6x ＋3y 2－122y ＋81 ＝3[(x －1)2＋(y －22)2＋18]， 所以当x ＝1，y ＝22时取得最小值，此时P (1，22)，则P A →·BC →＝(2，－22)·(0，－62)＝24．(2018·河北唐山高三二模)在△ABC中，∠C ＝90°，|AB |＝6，点P 满足|CP |＝2，则P A →·PB →的最大值为 ( )A ．9B ．16C ．18D ．25解：取AB 的中点D ，连接CD ，令PC →与CD →的夹角为α．P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝22＋PC →·2CD →＝4＋2PC →·CD →＝ 4＋2|PC →||CD →|cos α＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α，所以当α＝0时，P A →·PB →的最大值为16．故选B ．。
平面向量的数量积
∴ （a – b）·（a + 3 b）=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2
∴|a+b| =2|b|
例2、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直，求a与b的夹角。 cosθ=
|
• • 特别地：a · a=| a |
2
或 |a|=
• （4）cosθ=
（5）| a· b|≤|a||b
|
3、平面向量的数量积满足的运算率 （1） (交换律） a ·b = b ·a （2）（实数与向量结合律）
（λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
（3）（分配律）（a + b ）· c =a· c+b· c
2 已知 |a| =12，|b| =9，a ·b =-54√2，求a和b 的夹角 3、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求BC · CA
A
B C
4、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹 角为
三、典型例题
• 例1、 已知（a – b）⊥（a + 3 b），求 证： ab + b（ |= 23 |b b | 解：∵ （| a– ）⊥ a+ ）
四、巩固练习
1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a· b<0, a· b=0时， △ABC各是什么样的图形？ 2、已知| a |=3，| b |=4，且a与b的夹角θ=1500，求a · b， ( a + b )2，| a + b | 3、设a是非零向量，且b ≠ c，求证：a · b=a· c的充要 条件是a⊥（b - c） 4、若b =（1，1）且a · b =0，（a – b）2=3，求向量a的模 5、证明： （λ a ）· b =λ（a · b ）=a · （λb ）
平面向量的数量积和向量积的角度
平面向量的数量积和向量积的角度平面向量的数量积和向量积是向量的两种重要运算，它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和向量积的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，表示为两个向量的点乘结果。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，计算方法为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积的计算方法可以看出，它是一个实数。
当两个向量夹角为锐角时，数量积的值为正；当夹角为直角时，数量积的值为零；当夹角为钝角时，数量积的值为负。
这一特点使得数量积在判断向量之间的夹角关系时非常有用。
数量积的应用广泛，其中一个典型的应用是计算向量的投影。
通过数量积，我们可以得到一个向量在另一个向量方向上的投影的长度。
这在物理学中特别重要，比如我们可以通过数量积计算物体在某一方向上的运动速度。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，表示为两个向量的叉乘结果。
设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，计算方法为|a×b| = |a| |b|sinθ n，其中|a×b|表示向量积的模长，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的计算方法可以看出，它是一个向量，方向垂直于原来的两个向量所在的平面。
向量积的模长等于两个向量模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
向量积也具有一些重要的应用。
例如，在物理学中，它可以用来求解力矩，力矩是一个向量，方向由向量积确定。
此外，向量积还可以用于求解平面的面积，通过向量积可以得到由两个向量所确定平面的面积。
三、平面向量的数量积和向量积的角度关系对于平面向量a和b，其数量积和向量积之间存在一定的角度关系。
设数量积的结果为N，向量积的结果为V，则有以下关系式：N = |a| |b| cosθ|V| = |a| |b| sinθ根据三角函数的定义，我们可以得到tanθ = |V| / N这说明向量积的模长和数量积之间的关系可以通过夹角的正切值来表示。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
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性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
平面向量数量积
a=0 时成立．× 7．对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
二、平面对量旳数量积旳运算律：
数量积旳运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b旳夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
2
2
a a b 6b
| a |2 | a || b | cos 6 | b |2 72
(a b)2
2
a
2a
b
2
b
|
a
|2
2 | a || b | cos | b |2
28
| a b |2 (a b)2 28 | a b | 28 2 7
例5 已知ａ=７,ｂ=４，ａｂ 9 求ａｂ.
即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b ·b =0
7a ·a - 30 a ·b + 8 b ·b =0
两式相减得： 2 a ·b = b 2， 代入其中任一式中得: a 2= b 2
练习题：a b 1, a与b夹角为1200，问t取何值 时，a tb 最小？
平面向量数量积及其几何意义
平面向量数量积及其几何意义平面向量的数量积，也称为点积、内积，是向量运算中的一种运算，用于比较两个向量的方向以及大小关系。
平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦的乘积。
可以表示为：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A和B是平面上的两个向量，A·B表示它们的数量积，A，和，B，表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积具有以下几何意义：1.比较两个向量的方向：数量积大于0时，表示两个向量的方向相近；数量积小于0时，表示两个向量的方向相反；数量积等于0时，表示两个向量垂直。
2.比较两个向量的大小关系：根据数量积公式，可以看出如果夹角θ固定，向量A、B的模越大，数量积就越大。
因此，数量积可以衡量两个向量的大小关系。
3.求角度：根据数量积公式，可以反推夹角θ的大小。
通过解反三角函数可以求得θ的值。
4.计算投影：根据数量积的几何意义，可以推导出计算一个向量在另一个向量上的投影的公式。
投影表示一个向量在另一个向量上的阴影长度，可以用于解决现实中的很多问题，如力的分解、力的合成等。
5.判断两条直线的关系：如果两条直线的法向量相同，那么它们是平行的；如果两条直线的法向量垂直，那么它们是垂直的。
6.判断图形的性质：根据向量的数量积可以判断图形的性质。
如两个向量垂直，则表示两个直线垂直；两个向量平行，则表示两个直线平行。
除了以上几何意义外，数量积还有一些其他重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.数量积为0时，向量垂直：如果两个向量的数量积为0，即A·B=0，那么向量A和向量B垂直。
3.数量积的性质：(aA)·B=a(A·B)，(A+B)·C=A·C+B·C总结来说，平面向量的数量积可以用来比较两个向量的方向和大小关系，求解向量的夹角和投影，判断直线和图形的性质。
它在几何学中具有重要的应用，也是向量运算中的基础概念之一。
平面向量的数量积与投影
平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。
若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。
根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。
二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。
设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。
投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。
2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。
当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。
投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。
三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。
4.3平面向量的数量积
已知点 F(1,0)， P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴上运动． 点 点 设 → → → → P(0，b)，M(a,0)且PM·PF＝0，动点 N 满足 2PN＋NM＝0. (1)求点 N 的轨迹 C 的方程； (2)F′为曲线 C 的准线与 x 轴的交点，过点 F′的直线 l 交曲线 C 于不同的两点 A、B，若 D 为 AB 中点，在 x 轴上存 → → → → 在一点 E，使AB·(AE－AD)＝0，求|OE|的取值范围(O 为坐标 原点)．
k2≠0， 2 2 2 2 k x ＋2(k －2)x＋k ＝0，由 Δ＞0
⇒0＜k ＜1，
2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)， 2－k2 2 则 x0＝ k2 ，y0＝ k ，
→ → → ⇒→ → ∵AB·(AE－AD)＝0⇒AB⊥DE， 2 1 2－k 2 故直线 DE 方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， k k k 2 令 y＝0，得 xE＝1＋ 2(0＜k2＜1) k → ∴x ＞3，即|OE|的取值范围是(3，＋∞)．
2
【例5】已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) 0<α < β < π （1）求证：a+b与a－b互相垂直； （2）若|ka+b|=|ka－b|，求α－β（其中k ∈ R且k≠ 0） － （ （3）|ka+b|= 3 |a-kb|,其中k>0. ①用k表示a·b； ②求a·b最小时，a与b的夹角.
【解】 (1)P(0，b)，M(a,0)，设 N(x，y)， 2 → → 由PM·PF＝0⇒a＋b ＝0，① 由
→＋NM＝0⇒2x＋a－x＝0， → 2PN ⇒ 2(y－b)－y＝0
a＝－x， ⇒ 1 b＝2y.
平面向量的数量积和向量投影
平面向量的数量积和向量投影平面向量是在平面内具有大小和方向的箭头表示的量，它可以通过数量积和向量投影来进行运算和分析。
本文将介绍平面向量的数量积和向量投影的概念、计算方法以及应用场景。
一、数量积的概念和计算方法数量积（也称为点积或内积）是两个向量之间的一种运算，用来计算两个向量之间的相似程度。
对于平面向量A和B来说，其数量积的表示形式为A·B，计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
通过数量积，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 当A·B > 0时，表示向量A和B之间的夹角小于90°，即两个向量的方向趋于一致；2. 当A·B < 0时，表示向量A和B之间的夹角大于90°，即两个向量的方向趋于相反；3. 当A·B = 0时，表示向量A和B之间的夹角为90°，即两个向量互相垂直。
二、向量投影的概念和计算方法向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，表示了一个向量在另一个向量方向上的影响力。
对于平面向量A和B来说，向量A 在向量B上的投影长度的计算公式为：projB(A) = |A| cosθ其中，|A|表示向量A的模长，θ表示A和B之间的夹角。
通过向量投影，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 当向量A在向量B上的投影长度等于向量B的模长时，说明向量A与向量B的方向一致；2. 当向量A在向量B上的投影长度为0时，说明向量A与向量B 的方向垂直；3. 当向量A在向量B上的投影长度小于向量B的模长时，说明向量A的方向与向量B的方向夹角小于90°；4. 当向量A在向量B上的投影长度大于向量B的模长时，说明向量A的方向与向量B的方向夹角大于90°。
三、数量积和向量投影的应用场景1. 平面向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，进而帮助我们判断两个向量之间的关系，如平行、垂直等；2. 数量积还可以用来计算向量在某个方向上的分量，可以应用于力学、工程等领域的力分析问题；3. 向量投影可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度，常用于物理学中的力分析问题和数学中的几何分析问题。
数学复习：平面向量数量积的计算
数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。
平面向量的数量积和叉积的三角函数表示
平面向量的数量积和叉积的三角函数表示在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的物理量，常用于描述平面上的位移、力等概念。
数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们可以通过三角函数进行表示和计算。
一、平面向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。
设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的数量积表示为a∙a，满足以下公式：a∙a = |a| |a| cos a其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模长，而a表示向量a和a之间的夹角。
从公式可以看出，数量积的结果是一个标量（仅有大小，没有方向）。
它的值等于两个向量模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
二、平面向量的叉积叉积，也称为叉乘或向量积，是平面向量的另一种运算。
设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的叉积表示为a×a，满足以下公式：a×a = a₁a₂ - a₂a₁叉积的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量组成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
三、三角函数表示在平面向量的数量积和叉积中，三角函数被广泛应用来表示向量之间的关系。
1. 数量积的三角函数表示根据数量积的公式，a∙a = |a| |a| cos a，我们可以通过三角函数来表示数量积，即：cos a = a∙a / (|a| |a|)其中，a是向量a和a之间的夹角。
2. 叉积的三角函数表示叉积不能直接表示为三角函数的形式，但可以通过数量积和叉积之间的关系来推导。
设有两个向量a和a，它们的夹角为a，则数量积为a∙a = |a| |a| cos a。
根据叉积的定义，叉积的大小为a×a = |a| |a| sin a。
由于数量积和叉积之间满足a×a = |a| |a| sin a，我们可以推导出：sin a = (a×a) / (|a| |a|)根据三角函数的性质，我们还可以进一步推导出：cos a = sqrt(1 - sin^2a)这样，我们可以利用向量的叉积和模长来计算夹角a，并通过三角函数来表示。
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
平面向量的数量积和向量积的计算
平面向量的数量积和向量积的计算平面向量是应用广泛的数学工具之一，在物理、工程学和计算机科学等领域都有重要的应用。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的计算方法。
本文将介绍平面向量的数量积和向量积的计算方法及其应用。
一、数量积的计算方法数量积（又称点积或内积）是两个向量的乘积与两个向量之间夹角的余弦值的乘积。
对于平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的数量积可以通过以下公式计算：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，“·”表示数量积，“|A|”表示向量A的模长，“|B|”表示向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
例如，对于向量A(3,-2)和向量B(5,4)，它们的数量积可以计算如下：A·B = |A| * |B| * cosθ= √(3^2 + (-2)^2) * √(5^2 + 4^2) * cosθ= √13 * √41 * cosθ二、向量积的计算方法向量积（又称叉积或外积）是两个向量的乘积与两个向量所在平面的法向量的模长的乘积。
对于平面向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的向量积可以通过以下公式计算：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中，“×”表示向量积，“|A|”表示向量A的模长，“|B|”表示向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位法向量。
例如，对于向量A(3,-2)和向量B(5,4)，它们的向量积可以计算如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n= √(3^2 + (-2)^2) * √(5^2 + 4^2) * sinθ * n= √13 * √41 * sinθ * n三、数量积和向量积的应用1. 数量积：数量积在很多物理应用中起到重要的作用。
例如，在力学中，当两个力的夹角为零时，数量积表示力的乘积，可以用来计算功和能量；当两个力的夹角为90°时，数量积为零，表示两个力垂直，可以用来判断力的正交性。
平面向量的数量积与向量积
平面向量的数量积与向量积在解决平面向量问题时，数量积与向量积是两个重要的概念。
它们通过运算和计算，帮助我们研究向量之间的关系和性质。
本文将分别介绍数量积和向量积的定义、性质以及应用。
一、数量积的定义和性质数量积，又称点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
对于给定的两个向量u和v，其数量积记作u·v，满足以下定义和性质：1.定义：数量积u·v等于u和v的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积，即u·v=|u||v|cosθ，其中θ为u和v之间的夹角。
2.性质：（1）交换律：u·v=v·u。
（2）分配律：(u+v)·w=u·w+v·w。
（3）数量积与向量的平行关系：当两个向量u和v平行时，其数量积u·v的值为0。
（4）数量积的几何意义：数量积u·v的值等于u在v方向上的投影与v的模的乘积。
通过使用数量积，我们可以计算向量的模、夹角、是否平行以及向量在某个方向上的投影。
二、向量积的定义和性质向量积，又称叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。
对于给定的两个向量u和v，其向量积记作u×v，满足以下定义和性质：1.定义：向量积u×v是一个向量，其模的大小等于u和v的模的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积，方向垂直于u和v所在的平面。
2.性质：（1）反交换律：u×v=-(v×u)。
（2）分配律：(u+v)×w=u×w+v×w。
（3）向量积与向量的垂直关系：当两个向量u和v垂直时，其向量积u×v的模的大小为|u||v|，方向与u和v构成的平面垂直，并遵循右手法则。
（4）向量积的几何意义：向量积u×v的模的大小等于以u和v为边的平行四边形的面积。
向量积在计算平行四边形的面积、判断向量之间的垂直关系、计算三角形的面积等方面具有广泛的应用。
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C． 1 6
D． 1 6
5．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a =（2，0），| b |=1，则| a +2 b |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C．4 D．12
6．设 a (sin ,
3)
，
b
(cos ,
1)
，且
a
//
b
，则锐角
为（
）
3
3
A． 300 B． 600 C． 750 D． 450
(1)求 a, b 所成角的大小； (2)求 3a b 的值. 15．已知 O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且 0＜ ＜π． （1）若| OA OC | 7 ，求 OB 与 OC 的夹角；
（2）若 AC BC ，求 tan 的值．
a 1．若〈 ， b 〉=60°，| b |=4，( a +2 b )·( a ―3 b )=―72，则向量 a 的模是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
2．若向量 a =（1，2）， b =（1，―1），则 2 a + b 与 a ― b 的夹角等于（ ）
A． 4
B． 6
C． 4
D． 3 4
等于（ ）．
A．25 B． 25 C．50 D． 50
9．已知〈 a ， b 〉=30°，| a |=2，| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积 a · b =____．
10.已知 a ， b 均为单位向量，〈 a ， b 〉=60°，那么| a +3 b |=
.
11.已知| a |=4，| b | 1 ，| a －2 b |=4,则 cos〈 a ， b 〉=
7.设 A(a,1) ，B(2, b) ，C(4,5) 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 OA 与 OB 在 OC 方
向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为( ) A. 4a 5b 3 B. 5a 4b 3 C. 4a 5b 14
D. 5a 4b 14
8．平面上三点 A、B、C ，若| AB | 3,| BC | 4,| CA | 5 ，则 AB BC BC CA CA AB
.
12.设向量 a ，b ， c 满足 a + b + c =0,( a - b )⊥ c , a ⊥ b ,若| a |=1，则| a |2+| b |2+| c |2 的
值是
．
13．以原点和 A（5，2）为两个顶点作等腰 Rt△OAB，使∠B=90°，求点 B 和向量 AB 的坐
标
14．设向量 a,b 满足 a b 1 及 3a 2b 7
3．若| a |=1，| b |=2， c = a + b ，且 c ⊥ a ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．已知 a =（－3，2），b =（―1，0），向量 a + b 与 a ―2 b 垂直，则实数 的值为（ ）
A． 1 7
B． 1 7