排列组合题型总结

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排列组合题型总结

排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个基础概念，涉及概率统计、离散数学和组合数学等学科。

在生活和工作中，排列组合也有广泛应用，如抽奖、组队、排班、挑选花样等。

下面是一些常见的排列组合题型：
1. 从n个不同元素中选择r个元素，一共有多少种选择方式？（组合）
2. 从n个不同元素中按照一定顺序选择r个元素，一共有多少
种选择方式？（排列）
3. 有n个球，其中k个红球，其余的都是蓝球。

从这些球中选择r个球，其中至少包含m个红球，一共有多少种选择方式？（条件选择排列组合）
4. 将n个不同的元素分成k个不同的集合，一共有多少种分法？（划分）
5. n个人坐在一张圆桌周围，一共有多少种不同的座位安排方式？（圆排列组合）
6. 在一个4*4的格子里，从左上角开始，向右或向下走，到右下角一共有多少种不同的走法？（组合数）
7. 有A、B、C、D、E、F六个人，排成一排，其中A和B不
能相邻，一共有多少种排法？（条件限制排列）
这些题型在考试、工作和日常生活中都有出现的可能，对于掌握排列组合的基本概念和运算方法有很大的实用价值。

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合是高中数学中的一个重要知识点，也是各类数学竞赛常见的题型之一。

它在实际生活中有着广泛的应用，如排队、选材、抽奖等。

因此，对排列组合的掌握至关重要。

下面将对排列组合的概念、性质、计数原理以及常见题型进行总结。

一、排列与组合的概念1. 排列：对给定的一组元素，按照一定的顺序进行排列。

有放回的排列叫做重复排列，不放回的排列叫做不重复排列。

2. 组合：从给定的一组元素中，取出一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。

有放回的组合叫做重复组合，不放回的组合叫做不重复组合。

二、排列组合的性质1. 排列性质：(1) 重复排列：对于n个不同元素，重复排列数为P(m, n) =n^m。

(2) 不重复排列：对于n个不同元素取m个元素进行不重复排列数为A(m, n) = n! / (n-m)!2. 组合性质：(1) 重复组合：对于n个不同元素，从中取出m个元素进行重复组合，共有C(m+n-1, m)种组合方式。

(2) 不重复组合：对于n个不同元素取m个元素进行不重复组合，共有C(m, n)种组合方式。

三、排列组合的计数原理1. 乘法原理：当某件事情分为几个步骤进行，并且每个步骤的选择数目不受前一步骤选择的限制时，总的选择数目等于各个步骤选择数目的乘积。

2. 加法原理：当某件事情可以分为几种情况进行，并且这些情况没有重叠部分，总的选择数目等于各种情况选择数目的和。

3. 减法原理：当某件事情总的选择数目已知，但其中某些选择数目不符合要求时，可以采用总的选择数目减去不符合要求的选择数目得到符合要求的选择数目。

四、常见排列组合题型1. 对于排列问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行排列有多少种方法？(2) 字母排列问题，例如：用字母ABCDF构成几位无重复、有重复的排列？(3) 位置固定的排列问题，例如：某实验有4个步骤，进行3次，每个步骤有多少种选择方法？(4) 特殊位置的排列问题，例如：某分队有4名队员，第一、二名只能选A或B，第三名只能选C或D，第四名只能选E 或F，共有多少种分队方法？2. 对于组合问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行组合有多少种方法？(2) 元素重复的组合问题，例如：甲、乙、丙、丁四个人挑选队员，队员不多于2人，共有多少种选择方法？(3) 特定条件下的组合问题，例如：某公司有5个经理、7个主管、10个员工，要从中选取3个人组成考核小组，其中至少一人是经理，共有多少种选择方法？(4) 若干元素组成一个团队，其中必须包含A，B两人，并且团队至少需要5人，共有多少种选择方法？以上只是排列组合题型的几个常见例子，实际应用中还会出现更复杂的题型。

排列组合题型总结

排列组合题型总结
【一】特殊对象问题：
在处理排列问题时，所要研究的对象有两组，一是要被排列的对象，一是位置，在这两组对象中有时候会出现一个或者多个特殊的对象：若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象优先进行处理，然后再对其他的没有特殊要求的对象进行全排列；
特殊对象问题：
如果出现了两个特殊要求，一般使用分类的方法处理，针对其中的一个的位置不同进行分类来处理，再或者用间接法例1、有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？例2、有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？
【十一】相对顺序固定问题
相对顺序固定问题，常用两种方法：（1）一般要先处理掉没有相对顺序要求的元素，再把剩下的有相对顺序要求的元素按照要求摆放，（2）先随意地进行排列，再除以随意摆放过程中相对顺序固定部分的顺序
【十一】相对顺序固定问题
例1、书架上6本不同的书，现在要放上去3本，但要保持原来6本的相对顺序不变，有多少种放法？
【五】不相邻问题
例1、某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少种情况？例2、8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？例3、8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？例4、某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？
【六】成双成对问题

【二】名额分配问题
这种问题处理时，要注意两个特征： 1、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么当问题中要求分配时每人至少一个时，只需要在所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙，放入相同的挡板即可若问题中没有具体分配要求时，可以补上和人数相同的名额转化成第一组问题来处理

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。

在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。

1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。

解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。

公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。

2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。

解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。

公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。

3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。

解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。

公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。

4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。

解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。

公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。

排列组合知识总结经典题型

(1)知识梳理1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类〞有关，要注意“类〞与“类〞之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步〞有关，要注意“步〞与“步〞之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：〔1〕规定0! = 1〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 那么S的排列个数等于.例如：数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排〞，后者是“并成一组〞，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔1〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲、乙站在两端；〔6〕甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？〔1〕男运发动3名，女运发动2名；〔2〕至少有1名女运发动；〔3〕队长中至少有1人参加；〔4〕既要有队长，又要有女运发动.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.〔1〕恰有1个盒不放球，共有几种放法？〔2〕恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？〔3〕恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔〕A.360B.288C.216D.96参考答案：例1 解：〔1〕方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：方法三：假设对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：〔2〕方法一：先把甲、乙作为一个“整体〞，看作一个人，和其余4人进展全排列有种站法，再把甲、乙进展全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有种方法，最后让甲、乙全排列，有种方法，共有〔3〕因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法〞，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档〔含两端〕中，有种站法，故共有站法为也可用“间接法〞，6个人全排列有种站法，由〔2〕知甲、乙相邻有种站法，所以不相邻的站法有.〔4〕方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站队，有种，故共有站法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大〞元素与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进展排列，有种方法，故共有站法.〔5〕方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种，再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有种站法，由分步乘法计数原理共有站法.〔6〕方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种，故共有站法.例2 解〔1〕第一步：选3名男运发动，有种选法.第二步：选2名女运发动，有种选法.共有种选法.〔2〕方法一至少1名女运发动包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二“至少1名女运发动〞的反面为“全是男运发动〞可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运发动的选法有种.所以“至少有1名女运发动〞的选法为.〔3〕方法一：可分类求解：“只有男队长〞的选法为；“只有女队长〞的选法为；“男、女队长都入选〞的选法为；所以共有种选法. 9分方法二：间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长〞的选法为种. 9分〔4〕当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运发动的选法共有种.例3 解〔1〕为保证“恰有1个盒不放球〞，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？〞即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有〔2〕“恰有1个盒内有2个球〞，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球〞与“恰有1个盒不放球〞是同一件事，所以共有144种放法.〔3〕确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成〔3，1〕、〔2，2〕两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法.故共有种.当堂检测答案1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种 B.80种 C.100 种 D.140 种解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有=70种，解题策略：合理分类与准确分步的策略。

排列组合常考题型

排列组合常考题型排列组合是数学中研究事物的安排方式的一门学问，常用于计算不同的组合可能性数量。

在考试和竞赛中，排列组合的题目类型多样，以下是一些常见的题型：1. 排列题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘。

- 有重复元素的排列问题，如n个a和m个b的排列方式。

- 带有限制条件的排列问题，例如要求某些元素必须相邻或者某些位置上的元素必须满足特定条件。

2. 组合题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，公式为C(n, m) = n! / [m! * (n-m)!]。

- 组合数的性质和应用，如集合的子集个数、二进制数的1的个数等。

3. 分堆问题：- 将n个物品分成k个非空组的方法数。

- 把n个物品分成任意数量的非空组的方法数。

4. 分配问题：- 将不同类型的物品分配到不同组或位置的问题，可能涉及多重集合的排列组合。

5. 错排问题（Derangement）：- 求没有任何一个元素出现在原位置上的排列数，记为D(n)。

6. 利用包含与排除原理计算至少满足一个条件的情况数。

7. 使用递推关系和母函数解决复杂的排列组合问题。

8. 概率与统计中的应用，比如桥牌、彩票中奖计算等。

9. 利用组合几何学解决空间中的排列组合问题，例如线段、圆周上的点分布等。

10. 置换群、轨道和稳定化子等高级组合结构问题，常见于高等数学和组合数学领域。

这些题型通常需要学生掌握基本的排列组合概念、性质以及解题技巧，并能根据具体问题的约束条件灵活运用公式和策略来解决问题。

排列组合的21种经典题型及解法

排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。

2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。

3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。

4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。

5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。

6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。

解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。

7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。

解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。

8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。

9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。

11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。

12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有47A 种方法。

排列组合十四种题型归纳梳理非常完美

排列组合十四种题型归纳梳理目录专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】18+38=56．【例2】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A 种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A 种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448（个)．故选：C ．【例3】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．类型二、乘法原理【例1】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有4416种【例2】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464不同的放法，故答案为：64．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ，故答案为120．【例3】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C （种)．答案为：40【例4】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y mn 中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11Bx y x ，，且||9}y 内的椭圆个数为（） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，mn ，所以有两类，一类是m ，n 从{1，2，3，6，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6，7，8}中选一个方法是：2816，所以满足题意的椭圆个数是：561672，故选：B ．【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析： ①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A 种选法，则可以组成520100个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法， ②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，则可以组成566180个数字允许重复的三位数；类型三、基本计数原理的综合应用【例1】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：2323A A ；另一类是首位是偶数，有：322322()A A A ，则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A ．故答案为：20．【例2】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)nn n 均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336个．综上，小于1000的“良数”的个数为393648个，故选：D ．【例3】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．【例4】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A ．504B ．210C ．336D ．120 【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789504，故选：A ．【例5】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172根据分类计数原理知共有25672328故选：B ．专题2 排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法，第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法，故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A ，故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C AD ．2274C A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ．例5．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有（）种，甲不站在正中间的排法有（）种．（2）甲、乙相邻的排法有（）种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有（）种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有（）种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有（）种．（4）甲乙不站两头的排法有（）种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有（）种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有（）种．（6）女生互不相邻的排法有（）种，男女相间的排法有（）种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有（）种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有（）种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．例6．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A = 320种不同的排法．（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A = 400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A = 400种不同的排法．（4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -= 000种不同的排法．（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法．例7．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A =种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A =种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A =种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A =种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A =种例8．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A 种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A 种情况，则共有5353720A A ⨯=种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A 种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A 种情况，则共有43451440A A =种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A种站法，则共有7257354320A A A -=种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法．例9．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A =种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法．专题3 数字问题例1．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A ．288 B ．360 C ．480 D ．600【解析】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有13A 种取法，首位数字不能为0，有14A 种取法，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，则五位奇数共有113344288A A A =，故选：A ．例2．用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（）个A ．175B ．174C ．180D ．185【解析】分以下三种情况讨论：①首位数字为3或4，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为352120A =；②首位数字为5，百位数字不是4，则百位数字可以在0、1、2、3中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合条件的数的个数为124448C A =；③首位数字为5，百位数字为4，则符合条件的数有5401、5402、5403、5410、5412、5413、5420，共7个.综上所述，大于3000，小于5421的四位数的个数为120487175++=.故选：A.例3．将数字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（）A ．216B ．72C ．266D ．274【解析】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是1、2、3、4的全排列，共44A 种，现考虑第一行数字的排列为()1,2,3,4，则第二行数字的排列可以是：()2,1,4,3、()2,3,4,1、()2,4,1,3、()3,1,4,2、()3,4,1,2、()3,4,2,1、()4,1,2,3、()4,3,1,2、()4,3,2,1，共9种.由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有449924216A =⨯=种.故选：A.例4．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（）．A ．7200B ．6480C ．4320D ．5040【解析】第一类，偶数数字取0先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，有315440C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有11333354A A A =种排法所以本类满足条件的五位数有4054=2160⨯个第二类，偶数数字不取0，先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，有325460C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列，即有143472A A =种排法，所以本类满足条件的五位数有6072=4320⨯个综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480，故选：B例8．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（）A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种【解析】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选：B ．例5．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A ．72B ．84C ．96D ．120【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复.故共有961284-=种.故选：B.例6．由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A ．36个B ．42个C ．48个D ．120个【解析】分两类：一、若五位数的个位数是0，则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形；二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形，依据分步计数原理可得23618n =⨯=种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=，应选B ．例7．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有1299972648A A =⨯=个；（2）当百位为1时，共有299872A =⨯=个数；当百位为2时，共有299872A =⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A +=个数，所以315是第727212156++=个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A =个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有1218841792A A A =个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；（4）当选出的偶数为0时，共有1335180A A =个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A =个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；（5）当挑出两个数时，渐减数共有210C 个，当挑出三个数时，渐减数共有310C 个，⋅⋅⋅，当挑出十个数时，渐减数共有1010C 个，所以这样的数共有23101001101010101021013C C C C C ++⋅⋅⋅+=--=个. 例8．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【解析】（1）个位是0时，有2412A =个；个位是2时，有339⨯=个；个位是4时，有339⨯=个.故共有30个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况.共有：12123322223320C A C A A A ⨯+⨯++=个.（3）当百位是2时，共有112328A A ⨯+=个；当百位是3时，共有2412A =个；当百位是4时，共有2412A =个；故共有32个.专题4 分堆问题例1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 【解析】①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误，②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ，故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确，故选：D ．例2．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（）A ．116B ．100C ．124D ．90【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，故有101525+=种分组方法．第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A 医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法，则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法．故选：B ．例3．高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A 、B 、C 、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【解析】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解的个数， ∴方程又等价于不定方程12345=11x x x x x ++++的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为410210C =，∴共有210种分配方案.（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有3464480C A =种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有221146421422221080C C C C A A A ⨯⨯=种方法.共有48010801560+=种方法.（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有63729=种不同的方案. 例4．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）【解析】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618C C ==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818-=. 例5．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解析】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况，即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =。

排列组合题型方法归纳

排列组合1、加法（分类）1.甲、乙、丙、丁参加4×100比赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒2、减法（对立或重复）2.0、1、2、3、4、5组成四位数3.从5个黑球3个白球中取出3个球，至少有一个白球3、乘法（分步）4.{1,2,3,4,5}的子集5.集合A有m个元素，求其子集个数4、除法（定序、均分）6.A、B、C、D、E、F排队，其中A、B必须从左向右排列7.A、B、C、D、E、F排队，其中A、D、E必须从左向右排列8.把4个不同的小球均分成两份9.把14个不同的小球均分成7份，数量分别为3，3，2，2，2，1，1（只列式不计算）5、捆绑法（相邻）10.10人排队，其中甲、乙必须相邻11.11人排队，其中甲、乙、丙必须相邻6、插空法（不相邻）12.10人排队，其中甲、乙、丙不相邻7、隔板法13.10个相同小球分给3个小朋友（每人至少一个）14.x+y+z=20有多少组正整数解15.10个相同小球分给3个小朋友（无限制）16.x+y+z=20有多少组非负整数解8、转化法17.如图所示，由A到B的最短路径有几条？变式1由A到B过C的最短路径有几条？变式2由A到B不过C的最短路径有几条？变式3由A到B的最短路径有几条？18.凸n边形的对角线在其内部最多有多少个交点9、常见分配问题19. 10个老师→3个学校20. 4个老师→3个学校（每个学校至少一名）21. 6个老师→3个学校（每个学校至少一名）10、错位问题22. 将1,2填在中，每个数都与编号不同23. 将1,2，3填在中，每个数都与编号不同11、涂色问题24. 如图所示，给下图涂色，相邻区域颜色不同，共4种颜色。

排列组合知识点总结

排列组合知识点总结排列组合题型总结一．直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。

三．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324A C ）,2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）四．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

排列组合题型方法总结

排列组合题型方法总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，是组合数学的一部分。

在实际问题中，排列组合经常用于解决具体的计数问题。

在本文中，我将总结一些常见的排列组合题型及解题方法。

一、排列题型排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，其中每个元素只能使用一次。

在排列题中常见的有以下几个题型：1. 线性排列：将不同的元素排成一列，求出排列的总数。

解题方法：根据要求确定对应的元素个数，并使用乘法法则计算排列的总数。

2. 圆排列：将不同的元素排成一个圆，求出排列的总数。

解题方法：将圆转成线性排列问题，然后使用相应的公式计算总数。

3. 重复排列：将一组相同的元素排列，求出排列的总数。

解题方法：根据相同元素的个数和元素总数使用组合计数的方法求解。

4. 位置固定：将一组元素排列，其中有一些元素的位置是固定的，求出排列的总数。

解题方法：先将固定位置的元素排列，再将剩余的元素排列，最后将两部分排列的总数相乘。

二、组合题型组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合，其中元素的顺序不重要。

在组合题中常见的有以下几个题型：1. 选取固定元素数量：从一组元素中选取固定数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：根据选取数量使用排列计数的方法求解，然后除以固定元素的排列数。

2. 选取至少/至多元素数量：从一组元素中选取至少或至多数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：分别计算满足要求的最少元素数量和最多元素数量的组合数，再将两者相加。

3. 选取按顺序：从一组元素中按照一定的顺序选取元素，求出组合的总数。

解题方法：根据顺序确定每个元素的选取范围，然后使用乘法法则计算总数。

4. 选取排除元素：从一组元素中选取一部分元素，其中不能包含某些特定的元素，求出组合的总数。

解题方法：先计算从总元素中选取的组合数，再计算不包含特定元素的组合数，最后将两者相减。

三、应用题在实际问题中，排列组合常常用于解决具体的计数问题。

下面列举几个常见的排列组合应用题：1. 手环问题：将不同颜色的手环依次戴在手上，求出不同戴法的总数。

排列组合题型方法总结

排列组合题型方法总结在数学中，排列组合是一种常见的题型，出现在各个学段的数学教材和考试中。

掌握好排列组合的解题方法对于学生而言至关重要。

在本文中，我将总结一些常见的排列组合题型以及解题方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、排列问题1.基本排列问题基本的排列问题是指从给定的一组元素中，按照一定的顺序或规则选择若干个元素进行排列。

其中，元素的顺序会影响最终的排列结果。

例如，有5个球分别用字母A、B、C、D、E表示，要求从中任意选取3个球进行排列，则有5P3种排列方式。

公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n表示元素的总个数，r表示选择的元素个数。

2.带重复元素的排列问题有些排列问题中，元素可能存在重复。

那么在计算排列的总数时，需要考虑重复元素带来的影响。

例如，有5个球分别用字母A、A、B、C、D表示，要求从中任意选取3个球进行排列，则有5!/2！种排列方式。

公式可以改写为：P(n,r) = n! / (n1! * n2! * ... * nr!)其中，n表示元素的总个数，n1、n2...nr表示重复元素的个数。

二、组合问题组合问题是指从给定的一组元素中，按照一定的顺序或规则选择若干个元素进行组合。

与排列不同的是，组合中元素的顺序不影响最终的组合结果。

1.基本组合问题基本的组合问题是指从给定的一组元素中，任意选择若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。

例如，有5个球分别用字母A、B、C、D、E表示，要求从中任意选取3个球进行组合，则有5C3种组合方式。

公式为：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n表示元素的总个数，r表示选择的元素个数。

2.带重复元素的组合问题与带重复元素的排列问题类似，组合问题中也可能存在重复的元素。

同样需要考虑重复元素带来的影响。

例如，有5个球分别用字母A、A、B、C、D表示，要求从中任意选取3个球进行组合，则有5!/2! / 3!种组合方式。

公式可以改写为：C(n,r) = (n! / (r! * (n1! * n2! * ... * nr!)) / r!其中，n表示元素的总个数，n1、n2...nr表示重复元素的个数。

排列组合18种题型

排列组合18种题型排列组合是数学中常见的问题，主要涉及到对元素进行排序和分组。

以下是18种常见的排列组合题型：1. 基础排列：给定n个不同的元素，要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

2. 基础组合：给定n个不同的元素，要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

3. 排列与重复元素：给定n个不同的元素和m个相同的元素，要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

4. 组合与重复元素：给定n个不同的元素和m个相同的元素，要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

5. 排列与分组：给定n个不同的元素，要求将它们分成m组，计算有多少种不同的分组方式。

6. 组合与分组：给定n个不同的元素，要求从中选择r 个元素，要求将它们分成m组，计算有多少种不同的分组方式。

7. 排列与限制条件：给定n个不同的元素和某些限制条件（如相邻元素不相邻等），要求排列成一行，计算有多少种不同的排列方式。

8. 组合与限制条件：给定n个不同的元素和某些限制条件（如相邻元素不相邻等），要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

9. 排列与区间：给定一个长度为n的区间和m个操作（如插入、删除、替换等），要求计算有多少种不同的操作序列。

10. 组合与区间：给定一个长度为n的区间和m个操作（如插入、删除、替换等），要求从中选择r个操作，计算有多少种不同的操作序列。

11. 排列与嵌套：给定一个嵌套的集合结构（如树、图等），要求计算有多少种不同的遍历顺序。

12. 组合与嵌套：给定一个嵌套的集合结构（如树、图等），要求从中选择r个元素，计算有多少种不同的组合方式。

13. 排列与错位：给定一个错位的序列，要求计算将序列重新排列为正确顺序的方法数。

14. 组合与错位：给定一个错位的序列，要求从中选择r个元素，计算将序列重新排列为正确顺序的方法数。

15. 排列与映射：给定一个集合和另一个集合的映射关系，要求计算映射到另一个集合后有多少种不同的排列方式。

2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳(解析版)

排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号“A m n ”表示A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)A n n ＝n ！；(2)0！＝1C m n ＝A m nm ！组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号“C m n ”表示C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(n ，m ∈N *，且m ≤n )(1)C n n ＝C 0n ＝1；(2)C m n ＝C n －m n ；(3)C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：2024年高考数学专项复习排列组合12种题型归纳（解析版）【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．722.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．483.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A ．40320种B ．5040种C ．20160种D ．2520种3.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对【题型三】人坐座位模型3：染色（空间）:【典例分析】如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【变式演练】1.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．352.在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．3.用五种不同颜色给三棱台ABC DEF的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【题型四】书架插书模型【典例分析】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．168B．260C．840D．560【变式演练】A aB bC cD d1.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按(),(),(),()先后顺序，但大小写可以交换位置，如AaBc或aABc都可以），这样的情况有__________种．（用数字作答）2.．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法3.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种【题型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150B．240C．390D．1440【变式演练】1.将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种2.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为A．17B．16C．625D．7243.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（）A．15B．30C．20D．42【题型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球（1,2,...,10i ），则不同放法的总数是A ．101940C B ．91940C C ．101949C D ．91949C 【变式演练】1.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．482.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.A ．39C B ．319C C ．3494C AD ．143205C C 3.将7个相同的小球放入A ，B ，C 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的放法．A ．60种B ．36种C ．30种D ．15种【题型七】相同元素排列模型1：数字化法【典例分析】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓才加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A ．5B ．25C ．55D ．752.跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种3.如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点A 到B ，乙从点C 到D ，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（）.A ．37B ．57C ．514D ．1321【题型八】相同元素排列模型2：空车位停车等【典例分析】1.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．240B．360C．480D．7202.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有种【变式演练】1.某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是A．48B．54C．72D．842.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.3.地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.【题型九】相同元素排列模型3：上楼梯等【典例分析】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种B．55种C．89种D．144种【变式演练】1.斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n f n n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（）种上楼方法.A ．377B ．610C ．987D ．15972.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步走完，则从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．663.某人从上一层到二层需跨10级台阶.他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步.从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶.则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A ．6B ．8C ．10D ．122010年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题【题型十】多事件限制重叠型【典例分析】班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为A ．217B ．316C ．326D ．328【变式演练】1.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（）A ．864B ．1009C ．1225D ．14412.2019年11月19日至20日，北京师范大学出版集团携手北师大版数学教材编写组在广东省珠海市联合举办了以“新课程，我们都是追梦人”为主题的北师大版中小学数学教材交流研讨会，会议期间举办了一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是（）A ．1860B ．1320C ．1140D ．10203.有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）【题型十一】多重限制分类讨论【典例分析】高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图1），她准备每次走1级或2级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图2）原来在13级处有一宽度达1.5米的平台，这样原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的15级()123+楼梯按分2段的走法与原来一次性走15级的走法相比较少了______种．【变式演练】1.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排),现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为______；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为______.（用数字作答）2.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有()种．A ．120B ．156C ．188D ．2403.甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》．《星火》的票价为50元/人，每人限购一张票．甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞．他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．（）A ．720B ．360C ．180D ．90【题型十二】综合应用【典例分析】设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需Ti 分钟，假设Ti 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少()A ．从Ti 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从Ti 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近Ti 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变【变式演练】1.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．162.设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．843.为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A．34B．23C．56D．12【经典题专练】1.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．472.将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是A．540B．480C．420D．3603.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（）A．512B．712C．914D．5144.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C A B ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 5.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．3606.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A ．28B ．24C ．18D ．167.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为A ．16B ．18C ．32D ．728.校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）9.如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止.则下列说法正确的是（）A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有64种C ．甲､乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲､乙两人相遇的概率为1210.有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.11.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为1P ，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为2P ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为3P ，则满足123P P P <<的分配方案的概率为（）A ．13B ．23C ．120D ．3412.如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A ．24种B ．20种C ．16种D ．12种13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A C C ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +14.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A ．87B ．95C ．100D ．10315.如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M、的值为（）N，则M NA．10B．14C．15D．16排列组合12种题型归纳1．排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号“A m n”表示A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)A n n＝n！；(2)0！＝1C m n＝A m nm！组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号“C m n”表示C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)(1)C n n＝C0n＝1；(2)C m n＝C n－m n；(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n【题型一】人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，2242 3245 C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

排列组合问题题型方法总结

排列组合常用方法题型总结【知识内容】1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事,完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成,这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示．排列数公式:A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，,并且m n ≤．全排列:一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘,用!n 表示．规定:0!1=．⑵组合:一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ,并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．(规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚,不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法:某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素"内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法:n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板,有11m n C --．7．分组、分配法:分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆(组），必须除以n !，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法:以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置；③间接法:先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复;④对于元素相邻的条件，采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．【排列组合题型总结】直接法1 。

排列组合题型方法归纳

排列组合题型方法归纳总结一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30乙甲丁丙位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A种方法。