1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2．(2013年宁波模拟)已知复数z＝a＋bi(a,b∈R，
i是虚数单位)，则“a＝0”是“复数z＝a＋bi为纯 虚数”的( B ) A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝0时，z＝a＋bi＝bi可能不是纯虚数， 如b＝0时；反过来，当z＝a＋bi是纯虚数时，必 有a＝0.因此，“a＝0”是“z＝a＋bi是纯虚数” 的必要不充分条件，选B.
对于③，其逆命题是“若x＋y是偶数,则x, y都是偶数”, 是假命题.
归纳小结：
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的 关键;(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同 真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化 为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例.
③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0 有实根,其逆否命题与原命题是等价命题, 真； ④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边 三角形”, 假.
②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假；
考向二 充分条件和必要条件的判定
例 2.指出下列命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必 要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一 种作答). (1)在△ABC 中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数 x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)非空集合 A、B 中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知 x、y∈R，p：(x－1) ＋(y－2) ＝0， q：(x－1)(y－2)＝0.
变式训练 1
有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. ①③ 其中真命题的序号为________.
①的逆命题是“若x, y互为相反数,则x＋y＝0”, 真；
3．(课本习题改编)|x|>2是x>3的( B )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不<－2，故x>3⇒|x|>2，反之不 一定成立，故选B. 4．(2013年北京东城质检)“x<2”是“x2－x－2<0” 的 必要不充分 ________ 条件．
考向一------四种命题的关系及真假判断 ②④ 例1. 以下关于命题的说法正确的有________ (填写所有正确命题 的序号). ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义域内 是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x, y都是偶数,则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价. 对于①，若log2a>0，则a>1 f(x)＝logax在其定义域内是增函数;
解析：∵x2 －x－2<0，即－1<x<2，∴“x<2”是 “x2－x－2<0”的必要不充分条件．
5．(2013年厦门模拟)有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根” 的逆命题； ④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题． ① 其中真命题有________．(写出所有真命题的序 号) 解析：①正确，②③④错误．
原命题 若p则q 逆命题 若q则p
互 否
互 否
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆否命题 若﹁ q则﹁p
(3)四种命题的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真 真 假 假
真 假 真 假
真 假 真 假
真 真 假 假
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有 关系.
3.充分条件与必要条件
(1)若pq, 则p是q的____________. 充分条件
必要条件 (2)若q p, 则p是q的___________.
充要条件 (3)若q p, 则p是q的 ___________. 从集合角度理解： ( 设集合A＝{x|x满足条件p }, B＝{x|x满足条件q } ) ① pq, 相当于AB , 即 ② q p, 相当于B A, 即 ③ p q, 相当于A= B, 即
或 或
[疑难关注]
1．充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要 条件．即“p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充 分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． 2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真 假性，因而判断原命题的真假比较困难时，可 转化为判断它的逆否命题的真假．
2 2
解: (1) A B a b sin A sin B,
(2) p：x＋y＝8， q：x＝2且y＝6， 显然 q p， 但 p ¿ q,
即 q是 p的充分不必要条件， 所以p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B , 但x∈B一定有x∈A∪B , 所以p是q的必要不充分条件.
1.2 命题及其关系、 充分条件与必要条件
1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断为真 判断真假 __________的陈述句叫做命题. 其中____________的语 判断为假 句叫真命题，_____________的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系
(1) 四种命题
(2) 四种命题间的逆否关系
1．(课本习题改编)命题若“m2 ＋n2 ＝0，m， n∈R，则m＝n＝0”的逆否命题是( D ) A．若m≠n≠0，m，n∈R，则m2＋n2＝0 B．若m＝n≠0，m，n∈R，则m2＋n2≠0 C．若m≠0且n≠0，m，n∈R，则m2＋n2≠0 D．若m≠0或n≠0，m，n∈R，则m2＋n2≠0 解析：由逆否命题的含义知交换原命题的条件 与结论，并分别否定条件与结论即可，故选D.