非线性回归方程
非线性回归方程经典题型-打印
非线性回归方程经典题型一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1. 一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6经计算得：x =16∑x i 6i=1=26，y =16∑y i 6i=1=33，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=557，∑(6i=1x i −x)2=84，∑(6i=1y i −y)2=3930，线性回归模型的残差平方和∑(6i=1y i−y ^i )2=236.64，e8.0605≈3167，其中x i ，y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1，2，3，4，5，6．(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程y =bx +a(精确到0.1)； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为y ^=0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522．(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好．(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35∘C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)． 附：一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计为b ^=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ^=y −b ^x ；相关指数R 2=1−n i=1i ^i 2∑(n y −y)2．2. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y =bx +a ，②y =ce dx 拟合，得到回归方程分别为y ^(1)=0.24x −8.81，y ^(2)=1.70e 0.022x ，作残差分析，如表：(Ⅱ)根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x n ,y n )，其回归直线y =bx +a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ^=y .−b ^x .．3. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y =c ⋅x b (b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；(2)根据测得数据作出如下处理：令v i =lnx i ，u i =lny i ，得相关统计量的值如下表：∑v i 6i=1u i∑v i 6i=1∑u i 6i=1∑v i 26i=175.3 24.6 18.3 101.4 (ⅰ)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；(ⅰ)已知优等品的收益z(单位：千元)与x ，y 的关系为z =2y −0.32x ，当优等品的质量与尺寸之比为e8时，求其收益的预报值.(精确到0.1)附：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，n)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑(n i=1v i −v)∑(n i=1v i −u)2=∑v i n i=1u i −nvu∑v i 2n i=1−nv2，a ^=u −b ^v ，e ≈2.7182．4. 某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价x i (单位：元/件，整数)和销量y i (单位：件)(i =1，2，…，8)如下表所示：售价x 3335 37 39 41 43 45 47 销量y 840800 740 695 640 580 525 460 ①请根据下列数据计算相应的相关指数R 2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大．y ^=−1200lnx +5000 y ^=−27x +1700 y ^=−13x 2+1200∑(8i=1y i −y ^i )249428.74 11512.43 175.26∑(8i=1y i −y .)2 124650(附：相关指数 R 2=1−∑(n i=1y i −y ^i )2∑(n i=1y i−y)2)5. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z =lny3.002.482.081.861.481.10下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关数加以说明；(2)求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(b^、a ^小数点后保留两位有效数字)． (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y ^=b ^x +a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i2ni=1−nx 2，a ^=y .−b ^x .，r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i −y)2．参考数据：∑x i 6i=1y i =187.4，∑x i 6i=1z i =47.64，∑x i 26i=1=139，√∑(6i=1x i −x .)2=4.18，√∑(6i=1y i −y .)2=13.96，√∑(6i=1z i −z .)2=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈−0.34．6. 为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了10个家庭，得到第i(i =1,2，…，10)个家庭月收入x i (单位：千元)与月流动资金y i (单位：千元)的数据资料如下表：∑x i 10i=1∑y i 10i=1∑ωi 10i=1∑x i 10i=1y i∑ωi 10i=1y ii i (Ⅰ)求方程y =d +c √x ；(Ⅱ)已知某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为499元的九阳豆浆机，问计划能否成功？附：对一组数据(x i ,y i )(i =1,2，…，10)，其回归直线y =b ^x +a ^的最小二乘法估计为b =∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−n(x)2，a =y .−bx .．7. 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图.在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．(1)若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在(8,16]的概率；(2)根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格． ①由散点图判断，可采用y =e a+bx 作为该交易市场二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表(表中Y i =lny i ，Y =110∑Yi 10i=1)：试选用表中数据，求出关于的回归方程；②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择． 甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的10%的佣金．假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金． 附注：①对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑u i n i=1v i −nuv∑u i 2n i=1−nu2,α^=v −β^u ；②参考数据：e 2.95≈19.1，e 1.75≈5.75，e 0.55≈1.73，e −0.65≈0.52，e −1.85≈0.16．8. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示： 1根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y =a +bx 与c ⋅d x (c,d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下 表2：车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n(n ∈N n )年才能开始盈利，求n 的值． 参考数据：其中其中υi =lgy i ,υ=17∑υi 7i=1参考公式：对于一组数据(u i ,υi )，(u 2,υ2)，…，(u n ,υn )，其回归直线υ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i ni=1υi −nuυ∑u i 2n i=1−nu2，a ̂=υ−β̂u ． 9. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y =c ⋅x b (b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量y(g)16.818.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx 0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：∑(6i=1lnx i ⋅lny i )∑(6i=1lnx i )∑(6i=1lny i )∑(6i=1lnx i )275.3 24.6 18.3 101.4(i)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；(ii)已知优等品的收益z(单位：千元)与x ，y 的关系为z =2y −0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，n)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑(n i=1v i −v)(u i −u)∑(n i=1v i −v)2=∑v i n i=1u i −nvu∑v i 2n i=1−nv2，a ^=u −b ^v ，e ≈2.7182．10. 经统计，2015年，某公路在部分界桩附近发生的交通事故次数如下表：把界桩公里数记为，公里数记为，，数据绘成的散点图如图所示，以x 为解释变量、交通事故数y 为预报变量，建立了两个不同的回归方程y (1)=29.9+50.2×1x 和y (2)=33.9+125.9e −x 表述x ，y 二者之间的关系． (Ⅰ)计算R 2的值，判断这两个回归方程中哪个拟合效果更好？并解释更好的这个拟合所对R 2的意义；(Ⅱ)若保险公司在每次交通事故中理赔60万元的概率为0.01，理赔2万元的概率为0.19，理赔0.2万元的概率为0.8，利用你得到的拟合效果更好的这一个回归方程，试预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费(理赔费精确到0.1万元)．附：对回归直线y =α̂+β̂x ，有R 2=1−∑(n i=1y i −y ^i )2∑(n i=1y i −y)2．一些量的计算值：表中：y ̂i (1)=29.9+50.2×1x i ，y ^i (2)=33.9+125.9e −x i ，140=0.025，e −40≈0．11. x(2)某同学认为，y =px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y ^=a ^+b ^x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ^=y −b ^x ．12. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据.对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图(共21个数据点)及一些统计量的值.为了进一步了解广告投入量x 对收益y 的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：表中u i =lnx i ,v i =√x i ，参考数据：√2=1.41,√10=3.16． 表一x y∑(21i=1x i −x)2∑(21i=1x i −x)(y i−y) ∑(21i=1y i −y)240 62770 250200表二μ̂ ∑(21i=1μi −μ)2∑(21i=1μi−μ)(y i −y)v∑(21i=1(v i −v)2∑(21i=1v i−v)(y i −y)3.600.499.806.35.0030.00(1)根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述x 与y 之间的关系？简要说明理由．(2)根据据(1)的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益y 关于投入量x 的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型(即更适宜作为收益y 关于投入量x 的回归方程)？说明理由： 附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，……，(x n ,y n )，其中回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率，截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i−x)2,a ̂=y −b ̂x，r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i −y)2，其中r 越接近于是，说明变量x 与y 的线性相关程度越好．13. 在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量x 与单价y 之间的关系，统计数据如表所示：日供应量x(kg) 38 48 58 68 78 88 单价y(元/kg)16.818.820.722.42425.5(Ⅰ)根据上表中的数据得出日供应量x 与单价y 之间的回归方程为y =ax b ，求a ，b 的值；(Ⅱ)该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在60kg 以下(不含60kg)，4个饭店对蔬菜的需求量在60kg 以上(含60kg)，则从这14个饭店中任取4个进行调查，记这4个饭店中对蔬菜需求量在60kg 以下的饭店数量为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：对一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1nx2，a ^=y −b ^x ∑(6i=1lnx i ⋅lny i )∑(6i=1lnx i )∑(6i=1lny i )∑(6i=1lnx i )273.524.6 18.3 101.414. 某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 与y(万元)近似满足关系式y =C 1⋅2C 2x ，其中C 1，C 2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)y k ∑(5i=1k i −k)2∑(5i=1y i −y)2∑(5i=1x i −x)(y i −y)∑(5i=1x i −x)(k i −k) 2.31.23.14.621其中k i =log 2y i ，k =15∑k i 5i=1(Ⅰ)估计该市2018年人均可支配年收入；(Ⅱ)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)…，(u n ,v n )，其回归直线方程v ∧=βu ∧+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β∧=∑(n i=1u i −u)(vv i −v)∑(n i=1u i −u)2，α∧=v −β∧u②2−0.7 2−0.3 20.1 21.7 21.8 21.9 0.60.81.13.23.53.7315. 参加数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x(元/kg) 10 20 30 40 50 60 年销量y(kg)1150 643 424 262 165 86 z =2lny14.112.912.111.110.28.9下列数据计算时可供参考：∑(6i=1x i −x)(y i −y)=−34580∑(6i=1x i −x)(z i −z)=−175.5e 6=403.43∑(6i=1y i −y)2=776840∑(6i=1y i −y)(z i −z)=3465.2e 5=148.41(Ⅰ)根据散点图判断出y 与x 和z 与x 分别是正相关还是负相关，再比较判断y 与x 和z 与x 哪一对具有较强的线性相关性？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及相关数据，选择合理模型建立y 关于x 的回归方程.(方程中的系数均保留两位有效数字)．(Ⅲ)根据由(Ⅱ)得到的回归方程，计算当定价x =30时的残差．附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ∧=n i=1i −x)⋅(y i −y)∑(n x −x)2a ∧=y −b ∧x16. 为落实“精准扶贫”战略，某县决定利用扶贫资金帮扶具有地方特色的传统手工业发展.扶贫项目组利用数据分析技术，模拟扶贫项目的未来预期，模拟结果显示，项目投资x(万元)和产品利润y(万元)关系如表所示：分析发现用模型y =bx 利润的关系．设t i =x i 2(i =1,2,3,4,5),t =15∑t i 5i=1，对数据初步处理得到下面一些统计量的值：y =b x +a(回归系数四舍五入，小数点后保留两位数字)； (II)该扶贫项目用于支付工人劳动所得资金总额用公式w =y −1.2x 计算(其中x 为项目投资，y 为产品利润，单位：万元)，并以(I)中所求回归方程预报产品利润，当工人劳动所得资金总额不少于120万元时，则认为该项目可以完成“脱贫”任务．假设政府投入该项目的扶贫资金(单位：万元)可以是区间[45,80]内的任意整数值，求可以完成“脱贫”任务的概率．附：对于具有线性相关的一组数据(x i ,y i )(i =1,2，…n)，其回归方程为y ^=b ^x +a^． 其中：b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2x =1n ∑x i,n i=1y =1n ∑y in i=1．答案和解析【答案】1. 解：(Ⅰ)依题意，n =6，b ^=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2=55784≈6.6， a ≈33−6.6×26=−138.6 ∴y 关于x 的线性回归方程为y =6.6x −138.6(Ⅱ) ( i )利用所给数据，∑(6i=1y i −y ^i )2=236.64，∑(6i=1y i −y)2=3930得， 线性回归方程y =6.6x −138.6 的相关指数R 2=1−6i=1i ^i 2∑(6y −y)2=1−236.643930≈1−0.0602=0.9398．∵0.9398<0.9522，因此，回归方程y ^=0.06e 0.2303x 比线性回归方程y ^=6.6x −138.6拟合效果更好； (ii)由( i )得温度x =35∘C 时，y ̂=0.06e 0.2303×35=0.06×e 8.0605 又∵e 8.0605≈3167， ∴y ^≈0.06×3167≈190(个)所以当温度x =35∘C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个．2. 解：(Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y ^(1)=0.24x −8.81得y ^(1)=10.39.10−10.39=−0.39．所以表中空格内的值为−0.39．(Ⅱ)模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7， 所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ^=y .−b ^x ..得回归方程为y =0.24x −8.76．3. 解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内，即yx ∈(0.302 , 0.388)则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品A 1，A 2，A 3，3件为非优等品B 1，B 2，B 3 现从任选2件，共有(A 1,A 2)、(A 1,A 3)、(A 1,B 1)、(A 1,B 2)、 (A 1,B 3)、(A 2,A 3)、(A 2,B 1)、(A 2,B 2)、(A 2,B 3)、 (A 3,B 1)、(A 3,B 2)、(A 3,B 3)、(B 1,B 2)、(B 1,B 3)、(B 2,B 3)15种方法 设任选2件恰有一件优等品为事件C ，则事件C 包含(A 1,B 1)、(A 1,B 2)、 (A 1,B 3)、(A 2,B 1)、(A 2,B 2)、(A 2,B 3)、(A 3,B 1)、 (A 3,B 2)、(A 3,B 3)共9种方法由古典概型有P(C)=915=35，故所求概率为35(2)解：对y =c ⋅x b (b,c >0)两边取自然对数得lny =lnc +blnx 由v i =lnx i ，u i =lny i ，得u =b ⋅v +a ，且a =lnc (ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有b ^=75.3−24.6×18.3÷6101.4−24.62÷6=0.270.54=12a ^=u −b ^v =(18.3−12×24.6)÷6=1，得a ^=lnc ^=1，故c ^=e所求y 关于x 的回归方程为y =e ⋅x 12(ⅰ)由(ⅰ)可知，y ^=e ⋅x 12，则z ^=2e √x −0.32x当y^x=ex 12x=√x=e8，即√x =8, x =64时 得收益的预报值z ^=16e −0.32×64≈23.0(千元)．4. 解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2．(2)①由已知数据可知，回归模型y ^=−1200lnx +5000对应的相关指数R 12=0.6035；回归模型y ^=−27x +1700对应的相关指数R 22=0.9076； 回归模型y ^=−13x 2+1200对应的相关指数R 32=0.9986．因为R 32>R 22>R 12，所以采用回归模型y ^=−13x 2+1200进行拟合最为合适． ②由(1)可知，采用方案1的运作效果较方案2好， 故年利润z =(−13x 2+1200)(x −15)，，当x ∈(0,40)时，z =(−13x 2+1200)(x −15)单调递增； 当x ∈(40,+∞)时，z =(−13x 2+1200)(x −15)单调递减， 故当售价x =40时，利润达到最大．5. 解：(1)由题意，计算x .=16×(2+3+4+5+6+7)=4.5，z .=16×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，且∑x i 6i=1z i =47.64，√∑(6i=1x i −x .)2=4.18， √∑(6i=1z i −z .)2=1.53，∴r =∑n i=1i i √∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i−y)2=47.64−6×4.5×24.18×1.53=−6.366.3954(或−6.366.40) ≈−0.99；∴z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高； (2)利用最小二乘估计公式计算b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx 2=47.64−6×4.5×2139−6×4.52=−6.3617.5≈−0.36， ∴â=z .−b ̂x .=2+0.36×4.5=3.62， ∴z 与x 的线性回归方程是z ∧=−0.36x +3.62， 又z =lny ，∴y 关于x 的回归方程是y ∧=e −0.36x+3.62； 令x =9，解得y ∧=e −0.36×9+3.62≈1.46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元； (3)当y ∧≥0.7118时，e −0.36x+3.62≥0.7118=e ln0.7118=e −0.34， ∴−0.36x +3.62≥−0.34， 解得x ≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 6. 解：(Ⅰ)由y 与x 满足函数模型y =d +c √x ，则y =d +cω， ω.=∑ωi 10i=110=8，y .=∑y i 10i=110=2，则c =∑ωi 10i=1y i −10×ωy∑ωi 210i=1−10×ω2=184−10×8×2720−10×82=0.3，则d =y .−cω.=2−0.3×8=0.4，∴y =−0.4+0.3√x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当x =9时，则y =−0.4+0.3×3=0.5，∴当某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金500元，大于499元， ∴当月收入为9千元时，当月流动资金能成功购置价格为499元的九阳豆浆机． 7. 解：(1)由频率分布直方图知，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，使用时间在(12,16]的频率为0.03×4=0.12．所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在(8,16]的概 率为0.28+0.12=0.4，…(2分)所以所求的概率为P =C 320.42⋅(1−0.4)=0.288；…(3分)(2)①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，则Y 关于x 的线性回归方程为Y =a +bx ，…(4分)由于b ̂=10i=1i −x)(Y i −Y)∑(10x −x)2=∑x i 10i=1Y i −10x⋅Y ∑x i 210i=1−10x2=79.75−10×5.5×1.9385−10×5.52=−0.3， â=Y −β̂⋅x =1.9−(−0.3)×5.5=3.55， 则Y 关于x 的线性回归方程为Y^=3.55−0.3x ，……………………………(6分) 所以y 关于x 的回归方程为y ^=e 3.55−0.3x ；………………………(7分)②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测： 使用时间在(0,4]的频率为0.05×4=0.2，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×2=e 2.95≈19.1； 使用时间在(4,8]的频率为0.09×4=0.36，对应的成交价格预测值为e 3.55−0.3×6=e 1.75≈5.75； 使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×10=e 0.55≈1.73； 使用时间在(12,16]的频率为0.03×4=0.12，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×14=e −0.65≈0.52； 使用时间在(16,20]的频率为0.01×4=0.04，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×18=e −1.85≈0.16；……………………(9分) 若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75+0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×5% =0.32166≈0.32万元；若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10% =0.29092≈0.29(万元)；……………………(11分)因为0.32>0.29，所以采用甲方案能获得更多佣金. ……………(12分)8. 解：(1)根据散点图判断，y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；(2)∵y =c ⋅d x ，两边同时取常用对数得：1gy =1g(c ⋅d x )=1gc +1gd ⋅x ；设1gy =v ，∴v =1gc +1gd ⋅x ，∵x =4,v =1.55，∑X i 27i=1=140，∴lgd =∑7i=1x i v i −7xv∑x i 27i=1−7x2=50.12−7×4×1.54140−7×42=728=0.25，把样本中心点(4,1.54)代入v =1gc +1gd ⋅x ，得：lgd =0.54，∴v̂=0.54+0.25x ，∴1gy =0.54+0.25x ， ∴y 关于x 的回归方程式：y ̂=100.54+0.25x =100.54(100.54)x =3.47(100.54)x ；把x =8代入上式：∴ŷ=100.54+0.25×8=102.54=102×100.54=347； 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；P(Z =2)=0.1；P(Z =1.8)=0.3×12=0.15；P(Z =1.6)=0.6+0.3×13=0.7；P(Z =1.4)=0.3×16=0.05所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元)由题意可知：1.66×1×12⋅n −0.66×12⋅n −80>0，n >203，所以，n 取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利．9. 解：(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(e 9,e 7)内.即yx ∈(0.302,0.388)．则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品．现从抽取的6件合格产品再任选3件，则取到优等品的件数ξ=0，1，2，3． P(ξ=0)=C 30C 33C 63=120,P(ξ=1)=C 31C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32C 31C 63=920,P(ξ=3)=C 33C 30C 63=120．E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)解：对y =c ⋅x b (b,c >0)两边取自然对数得lny =lnc +blnx ．令v i =lnx i ，u i =lny i .得u =b ⋅v +a.且a =1nc ． (i)根据所给统计量及最小二乘估计公式有：b ̂=∑v i ni=1u i −nvu ∑v i 2n i=1−nv2=75.3−24.6×18.3÷6101.4−24.62÷6=0.270.54=12， a ^=u −b ^v =(18.3−12×24.6)÷6=1，得a ^=ln c ^=1,c ^=e ，所求y 关于x 的回归方程为y =e ⋅x 12． (ii)由(i)可知y =e ⋅x 12，则z ^=2e √x −0.32x ． 由优等品质量与尺寸的比ŷx=ex 12x=√x ∈(e 9,e7)⇒√x ∈(7,9)，即x ∈(49,81)． 当t =√x =e0.32≈8.5∈(7,9)时，z ^取最大值．即优等品的尺寸x ≈72.3(mm)，收益z ^的预报值最大．10. 解：(Ⅰ)y (1)=29.9+50.2×1x 拟合时，R 12=1−0.8751821≈0.9995； y (2)=33.9+125.9e −x 拟合时，R 22=1−48.41821≈0.9734 ∵0.9995>0.9734，∴y (1)=29.9+50.2×1x 比y (2)=33.9+125.9e −x 拟合效果更好，R 12=1−0.8751821≈0.9995，表明界桩公里数解释了99.95%的交通事故发生次数的变化；(Ⅱ)界桩1040公里取x =40，由y (1)=29.9+50.2×140≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，∴预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费为31.16×1.14≈35.5万元．11. 解：(1)由题意，x =5.5，y =112.45，b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=566.8582.50≈6.87， a ^=y −b ^x =112.45−6.87×5.5≈74.67； ∴y 关于x 的线性回归方程y =6.87x +74.67；(2)某同学认为，y =px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07．当x =11时，代入回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07.可得y =142.74； 当x =11时，代入回归方程是y =6.87x +74.67；可得y =150.24； 由11岁男童身高的中位数为145.3cm ．可得回归方程是y =6.87x +74.67计算的误差比较大．故回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07模拟合效果更好． 12. 解：(1)根据散点图判断，员工①提出的模型不适合， 因为散点图中x 与y 之间不是线性关系；(2)令v =√x ，先建立y 关于v 的线性回归方程， 由于d ∧=21i=1i −v)(y i −y)∑(21v −v)2=30.005.00=6，∴c ∧=y −d ∧v =62−6×6.3=24.2； ∴y 关于v 的线性回归方程为y ∧=24.2+6v ， 因此模型②为y 2∧=24.2+6√x ；同理，令u =lnx ，建立y 关于u 的线性回归方程； f ∧=21i=1i −u)(y i −y)∑(21u −u)2=9.800.49=20，e ∧=y −f ∧u =62−20×3.60=−10， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ∧=−10+20u ， 因此模型③为y 3∧=−10+20lnx ； (i)模型②中，相关系数为 r 2=21i=1i −v)(y i −y)√∑(i=1v i −v)∑(i=1y i −y)=√5×200=310√10≈0.3×3.16=0.948； 模型③中，相关系数为 r 3=21i=1i −u)(y i −y)√∑(i=1u i −u)2∑(i=1y i −y)2=√0.49×200=710√2≈0.7×1.41=0.987； 可得1>r 3>r 2，说明变量u 与y 的线性相关程度更好， 即模型③为y 3∧=−10+20lnx 更为准确，模型③为最优模型．13. 解：(I)对y =ax b 两边同取对数得lny =blnx +lna ，令v =lnx ，u =lny ，得u =bv +lna∴b =∑v i 6i=1u i −6vu∑v i 26i=1−6v2=75.3−4.1×18.3101.4−6×4.12=12，∴lna =18.36−12×24.66=1，即a =e ．(II)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 44C 144=11001，P(X =1)=C 43C 101C 144=401001，P(X =0)=C 42C 102C 144=2701001，P(X =1)=C 41C 103C 144=4801001，P(X =1)=C 104C 144=2101001．∴X 的分布列为∴E(X)=1×401001+2×2701001+3×4801001+4×2101001=207．14. 解：(Ⅰ)因为x =15(13+14+15+16+17)=15所以：∑(5i=1x i −x)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10；关系式y =C 1⋅2C 2，其中k i =log 2y i 得：k =log 2C 1⋅2C 2x ， ∴k =log 2C 1+C 2x ，所以C 2=5i=1i −x)(k i −k)∑(5x −x)2=110∴log 2C 1=k −C 2x =1.2−110×15=−0.3所以C 1=2−0.3=0.8 所以y =0.8×2x10当x =18时，2018年人均可支配年收入y =0.8×21.8=2.8(万)(Ⅱ)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1−10%)=2520人， 很困难的学生有4200×(1−20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1−30%)+4200×20%=5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万．15. 解：(Ⅰ)根据散点图(1)知y 与x 是负相关， 根据散点图(2)知z 与x 是负相关；散点图(2)中各点都集中在一条直线附近， 即z 与x 具有较强的线性相关性；(Ⅱ)由x =16×(10+20+30+40+50+60)=35， z =16×(14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9)=11.55， ∴b ∧=6i=1i −x)(z i −z)∑(6x −x)2=−175.51750≈−0.10，由a ∧=z −b ∧x =11.55−(−0.10)×35=15.05≈15，∴z 关于x 的回归方程是z ∧=15−0.10x ， 则y 关于x 的回归方程为y ∧=e z 2=e 12(15−0.10x)， 即y ∧=e 12(15−0.10x)；(Ⅲ)x =30时，y ∧=e 12×(15−0.10×30)=e 6=403.43，当定价x =30时的残差为|403.34−424|≈11． 16. 解：(I)由题意，t =2700，y =192，∑(5i=1t i −t)2=10140000，∑(5i=1t i −t)(y i −y)=586000； ∴b ∧=5i=1i −t)(y i −y)∑(5i=1t −t)2=58600010140000≈0.06；∴a ∧=y −b ∧t =192−0.06×2700=30， 又t =x 2，∴回归方程为y ∧=0.06x 2+30；(II)由w =y −1.2x ，y =0.06x 2+30，∴w =0.06x 2−1.2x +30， 令w ≥120，得0.06x 2−1.2x +30≥120， 解得x ≤−30或x ≥50， ∴取x ≥50；又政府投入该项目的扶贫资金是区间[45,80]内的任意整数值，满足题意的x ≥50； ∴所求的概率为P =80−50+180−45+1=3136．【解析】1. 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关指数的应用问题，是难题． (Ⅰ)求出n 的值，计算相关系数，求出回归方程即可；(Ⅱ)(i)根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣；(ii)代入求值计算即可． 2. (Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y^(1)=0.24x −8.81得y ^(1)=10.39.10−10.39=−0.39，即可求表中空格内的值；(Ⅱ)求出残差的绝对值和，即可得出结论；(Ⅲ)确定残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程． 本题考查回归方程、残差分析，考查学生的计算能力，属于中档题．3. (1)由题意首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可；(2)(i)结合题中所给的数据计算回归方程即可；(ii)结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果．本题考查离散型随机变量的分布列，回归方程的计算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．4. (1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2． (2)①求出相关指数，比较可得结论；②由(1)可知，采用方案1的运作效果较方案2好，故年利润z =(−13x 2+1200)(x −15)，利用导数的方法，可得结论．本题考查相关指数，考查等高条形图，考查导数知识的运用，属于中档题．5. (1)由题意计算x .、z .，求出相关系数r ，判断z 与x 的线性相关程度；(2)利用最小二乘估计公式计算b ^、a ^，写出z 与x 的线性回归方程， 求出y 关于x 的回归方程，计算x =9时y ∧的值即可；(3)利用线性回归方程求出y ∧≥0.7118时x 的取值范围，即可得出预测结果．本题考查了线性回归方程与线性相关系数的求法与应用问题，计算量大，计算时要细心． 6. (Ⅰ)求得样本中心点(ω.,y .)，根据最小二乘法即可求得c 和d ，即可求得y =d +c √x ；(Ⅱ)当x =9时，代入即可求得y ，与0.499比较大小，即可判断答案．本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查计算能力，属于中档题．7. (1)由频率分布直方图求得对应的频率，用频率估计概率即可计算所求的概率；(2)①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，求出Y 关于x 的线性回归方程，再写出y 关于x 的回归方程；②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车预测；再分别计算采用甲、乙两种方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金值．本题考查了频率分布直方图与线性回归方程的应用问题，是难题．8. (1)通过散点图，判断y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；(2)通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次；(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；求出概率，计算期望，然后推出结果．本题考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，属于基础题．9. (1)由题意首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可；(2)(i)结合题中所给的数据计算回归方程即可；(ii)结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果．本题考查离散型随机变量的分布列，回归方程的计算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．10. (Ⅰ)计算R 2的值，即可得出结论；(Ⅱ)求出界桩1040公里取x =40，由y (1)=29.9+50.2×140≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，即可得出结论． 本题考查回归方程，考查拟合效果，考查学生的计算能力，属于中档题．11. (1)由题意求出x ，y ，∑x i 210i=1，∑x i 10i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)将x =11代入回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07和(1)问中的方程，得到的结果与145.3cm 比较，即可判断本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．12. (1)根据散点图判断员工①提出的模型不适合，散点图中的点不是线性关系；(2)令v =√x ，建立y 关于v 的线性回归方程，得模型②的线性回归方程； 令u =lnx ，建立y 关于u 的线性回归方程，得模型③的线性回归方程；计算模型②中相关系数r 2，模型③相关系数r 3，比较即可得出结论．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题． 13. (I)对y =ax b 两边同取对数得lny =blnx +lna ，令v =lnx ，u =lny ，得u =bv +lna ，利用计算公式即可得出．(II)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.利用超几何分布列计算公式即可得出．。
2023年高考数学复习：非线性回归问题
通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应 用，其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义.
例 (2021·武汉模拟)近年来，明代著名医药学家李时珍的故乡黄冈市蕲 春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主 要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃) 有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图： 现根据散点图利用 y＝a＋b x或 y ＝c＋dx建立 y 关于 x 的非线性回归 方程，令 s＝ x，t＝1x得到如下数据：
^
2 230.8－20＝2 210.8，所以z≤2 210.8，
当且仅当x＝20时等号成立， 所以当温度为20℃时蕲艾的利润最大.
能力 提升
非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据作出散点图. (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数. (3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程. (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.
解 先建立v关于x的线性回归方程. 由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
12
xi－ x vi－ v
^ i＝1
由于λ＝
12
xi－ x 2
＝71740≈0.018，
i＝1
^
^
t＝ v －λ x ＝4.20－0.018×20＝3.84，
^
所以 v 关于 x 的线性回归方程为v＝0.02x＋3.84,
i＝1
14
(1)设(ui，yi)的相关系数为r1，(xi，vi)的相关系数为r2，请从相关系数的角 度，选择一个拟合程度更好的模型；
解 r1＝
12
ui－ u yi－ y
非线性回归分析常见曲线及方程
非线性回归分析常见曲线及方程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程2ˆct=.+btas+解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[ 10];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y＝＝＝ u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y=＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y＝＝ u bv +＝a。
高中数学专题02 非线性回归方程解析版
专题2 非线性回归方程例1． 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程5081697=+ˆ..yx ； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线=bx y ae 的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程=ˆbx yae ．(a 精确到个位，b 精确到001.)． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据1(v ，1)w ，2(v ，2)w ，⋯，(n v ，)n w ，其回归直线αβ=+ˆˆˆwv 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121βαβ==--==--∑∑()()ˆˆ,()nii i nii ww v v w v vv ． ②刻画回归效果的相关指数221211==-=--∑∑()()nii i n ii yy Ryy ．③参考数据：546235≈.e ，14342≈..e ．表中101110===∑,i i ii u lny u u．【解析】解：（1）对=bx y ae 取对数，得=+lny bx lna ， 设=u lny ，=c lna ，先建立u 关于x 的线性回归方程．1011021900010883==--==≈-∑∑()().ˆ.()ii i ii xx u u bxx ， 6050108555456546=-≈-⨯=≈ˆˆ.....cu bx ，546235=≈≈ˆ.ˆc a e e ． ∴模型②的回归方程为011235=.ˆx ye ； （2）由表格中的数据，有3040714607>，即101022113040714607==>--∑∑()()iii i yy yy ，即10102211304071460711==-<---∑∑()()iii i yy yy ，∴2212<R R ，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13=x ，预测旅游人数为0111314323523523542987⨯==≈⨯=..ˆ.y e e （万人）．例2． 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了20122016-年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．已知高铁密度y 与年份代码x 之间满足关系式=(b y ax a ，b 为大于0的常数）．若对=b y ax 两边取自然对数，得到=+lny blnx lna ，可以发现lny 与lnx 线性相关．（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程ˆ(lna ，ˆb 保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米/万平方千米．参考公式：设具有线性相关系的两个变量x ，y 的一组数据为(i x ，1=)(i y i ，2，⋯⋯)n ，则回归方程ˆˆˆybx a =+的系数：121==--=-∑∑()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ，=-ˆay bx ． 参考数据：515092=-≈∑.ii i lnxlny lnx lny ，5221516=-≈∑()().ii lnx lnx ，515=≈∑ii lnx，5114=≈∑ii lny，274≈.，3034≈.ln ．【解析】解：（1）对00=>>(,)b y ax a b 两边取自然对数，得=+lny blnx lna ； 令=i i v lnx ，=i i u lny ，1=i ，2，3，⋯，n ； 得u 与v 具有线性相关关系，计算51522150920575165==-===-∑∑.ˆ..i i i ii v uvubvv ，140575122255=-=-⨯=ˆ..lna u bv ， ∴06≈ˆ.b，22≈≈.lna ， ∴0622=+ˆ..u v ，故y 关于x 的回归方程为0622+=..ˆlnx y e ， 即2206=..ˆye x ； （2）在（1）的回归方程中，0622+=..lnx y e ，高铁密度超过30千米/万平方千米； 即062230+>..lnx e ，06223034+>≈...lnx ln ，2>lnx ．274>≈.x e ，即8=x 时，高铁密度超过30千米/万平方千米；所以预测2019年，高铁密度超过30千米/万平方千米．例3． 某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x 和年销售量i y (1,2,3,4,5)i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑根据散点图判断，by a x =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（ⅰ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）参考公式：对于一组数据：11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小乘估计分别为^121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，^v u αβ∧∧=-【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5 由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15， 所以()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==， ()5.50.4P ξ==,所以：随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯= 故每件产品的平均销售利润为4元.（2）（ⅰ）由·b y a x =得，()ln ln ?ln ln by a x a b x ==+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，由表中数据可得，()()()1210.410.251.6ˆ4ni i i n i i u u v v b u u ==--===-∑∑， 则24.8716.300.25 4.15955ˆc v bu∧∧=-=-⨯= 所以， 4.1590.25v u ∧=+，即14.1594ln 4.1590.25ln ln ?y x e x ∧⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因为 4.15964e=，所以1464?y x ∧=故所求的回归方程为1464?y x =（ⅰ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=-=-设14t x =，()4256f t t t =-，则()()33'2564464f t t t=-=-当()0,4t ∈时，()'0f t >，()f t 在()0,4单调递增， 当()4,t ∈+∞时，()'0f t <，()f t 在()4,+∞单调递减. 所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.例4． 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令ln z x =，由散点图判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆy bz a =+哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（ˆb结果保留一位小数） （3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？（年销售额365L =⋅入住率⋅收费标准x ）参考数据：1221ˆ,ni i i n ii x y nx y b x nx ==-⋅=-∑∑621,200,0.45,32500,ˆˆ0ii a y bx x y x ==-===∑ 615.1,12.7,i i i z y z =≈≈∑6231158.1,148.4ii ze =≈≈∑【解析】（1）ξ的所有可能取值为0,1,2.则()0P ξ== 2426C C 62,155== ()1124268115C C P C ξ⋅===，()2P ξ== 2226C C 115= ξ∴的分布列（2）由散点图可知ˆˆˆybz a =+更适合于此模型. 其中6162216 1.070.52.0ˆ46i i i i i z y zy bz z ==--==≈--∑∑，ˆ3ˆˆay bz =-= 所求的回归方程为0.5ˆ3ylnx =-+ （3）()3650.53L lnx x =-+=3651095.2xlnx x -+ 365365365322L lnx =--+⨯'令505148.4L lnx x e =⇒=⇒=≈' ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L 最大，最大值约为27083元.例5． 已知某种细菌的适宜生长温度为10C 25C ︒~︒，为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温度x （单位：C ︒）变化的规律，收集数据如下：对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中ln i i k y =，7117i i k k ==∑.（1）请绘出y 关于x 的散点图，并根据散点图判断y bx a =+与21e c xy c =哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y 关于x 的回归方程类型（结果精确到0.1）；（2）当温度为25C ︒时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据()(),1,2,3,...,i i u v i n =，其回归线ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()121ˆ()()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-.参考数据： 5.5e 245≈.【解析】（1）绘出的散点图如图所示，根据散点图判断21c xy c e =更适合作为该种细菌的繁殖数量y 关于x 的回归方程类型；（2）∵21c xy c e=，∴21lny c x lnc =+，∴()()()71272120.50.2112i ii i i x x k k c x x ==--==≈-∑∑，1220.53.8180.5112lnck c x =-=-⨯≈， ∴0.51c e =，20.20.51c xx y c e e +==，当温度为25C ︒时，该种细菌的繁殖数量的预报值为 5.5245e ≈.例6． 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量（单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度1D 和声音能量i I （i =1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑。
非线性回归分析常见模型
非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
非线性回归方程Y=aX^b+ε参数的贝叶斯估计与应用
基金项目： 江 ’ （ 苏人才办［ 苏省 ‘ 青蓝工程” 中青年学术带头人培养基金（ 苏￣［ ２ ０ １ ０ １ ２ ７ 号） ； 江苏省第四期“ ３ ３ ３ 高层次人才培养工程”
２ ０ １ １ ］ ８ 号） 资助。
・
３ Ｏ・
连云港职业技术学院学报
１
） 。
［ 互（ 一 ） 。 ］
（ ９ ）
后验分布Ｐ（ Ｏ ｉ Ｉ
” ， Ｙ ） 中抽取一个 随机样本 ， 在
‘ ８
向量的联合概率 密度。令 Ｏ ｉ 是 向量 ０的第 ｉ 个参 数， ０ 一 表示 ０中除去 Ｏ ｉ 后剩 下的 （ 一１ ） 个 参数。
ｓ
（ １ ） 对于 ０ ： （ ０ ． － ， ０ ） ， 给予初值 ０ ‘ ∞＝ （ ｏ ｌ ∞ ，
…
而 的概率分 布 ， 则 为逆 卡平 方分 布 ， 且
文章编 号 ： １ ０ ０ ９— ４ ３ １ ８ ｛ ２ ０ １ ４ ） ０ １ —０ ０ ２ ９ —０ ３
非线性回归方程 ｙ＝ａ Ｘ ６ ＋￡参数的贝叶斯估计与应用
尤 青 ， 王亚 民
（ Ｉ ． 江阴市新桥中学 ， 江苏 江阴 ２ １ ４ ４ ２ ６ ； ２ ． 连云港职业技术学院 ， 江苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ６ ）
＋ ￡ 进行参数估计 ， 并进行 了实例演示 ， 验证 了该方法的有 效性 。
文献标识码 ： Ａ
长期 以来 ， 回归分析中对模型中的参数处理 ， 常 采用最小 二乘法 、 极 大似然法 等经典 统计方 法 ｊ 。
近 十几 年 来 ， 随着计 算 机 技术 的飞速 发 展 ， 以 及 Ｇ ｉ ｂ ｂ ｓ 、 Ｍｅ ｔ ｒ ｏ ｐ ｏ ｌ ｉ ｓ —Ｈ ａ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｓ 。 等抽样算法的引入 ， 贝 叶斯统 计 获 得 了空 前 的发 展 和应 用 Ｊ ， 为 模 型 中 的参 数估 计 开辟 了新 的途 径 和方法 。本 文仅 以双参 数 回归 方 程 ｌ ， ： ＋ｅ为 例 ， 根 据 贝 叶 斯 统 计 原
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
第23讲 非线性回归方程(解析版)
第23讲 非线性回归方程一、必备秘籍当经验回归方程并非形如y bx a =+(,a b R ∈）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习（文））人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB (1TB =1024GB )级别跃升到PB (1PB =1024TB )，EB (1EB =1024PB )乃至ZB (1ZB =1024EB )级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB ，2009年数据量为0.8ZB ，2010年增长到1.2ZB ，2011年数据量更是高达1.82ZB .下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB )及相关统计量的值：表中ln i i z y =，16i i z z ==∑.（1）根据上表数据信息判断，方程21c xy c e =⋅(e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(2c 精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据： 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈，回归方程y a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211n niii ii i nniij i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.520.38x y e +=；（2）见解析. 【分析】（1）设ln z y =，则12ln z c c x =+，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将8x =代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大小即可得解 【详解】（1）由21c xy c e =⋅，两边同时取自然对数得()2112ln ln ln c x y c e c c x =⋅=+，设ln z y =，则12ln z c c x =+. 因为 3.5x =， 2.85z =，()62117.58i i x x=-=∑，()()616.7.i i i x x z z =--=∑，所以()()()12216.730.3817.58niii nij x x z z c x x ==--==≈-∑∑，12ln 2.850.38 3.5 1.52c z c x =-=-⨯=.所以 1.520.38ln z x y =+=， 所以 1.520.38x y e +=；（2）令8x =，得 1.520.388 4.56ˆ95.58 1.825091ye e +⨯==≈>⨯=. 预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍. 【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化.((11ii nj x b ===∑∑再直接选择数据，字母x 没有((11n ii nj x b ===∑∑参考数据总选择需要的数据代入计算。
第四章 非线性回归与非线性约束
具体检验时，用来对原假设进行检验的似然比统 用来对原假设进行检验的似然比统 具体检验 计量定义为： 计量定义为： L( β R ) LR = −2(ln L( β R ) − ln L( βUR )) = −2 ln L( βUR )
LR ~ χ , m为限制条件的个数。
2 m 2 若LR大于给定显著性水平下的χ m临界值，
2
exp[−
1 2σ
2
(Yi − f ( X 1i , X 2i , L X ki , β1 , β 2 ,L β p )) 2 ]
则N个观测值的对数似然函数为 LnL = ∑ p (Yi , X i β ) = − ( N / 2) ln(2π ) − ( N / 2) ln(σ )
2
− (σ / 2)∑ (Yi − f ( X 1i , X 2i , L X ki , β1 , β 2 , L β p ))
L( β R ) 则似然比定义为λ = . L( βUR )
L( β R ) 则似然比定义为λ = . L( βUR )
L越大表明对数据的拟合程度越好，分母来自无条 越大表明对数据的拟合程度越好， 越大表明对数据的拟合程度越好 件模型，变量个数越多，拟合越好， 件模型，变量个数越多，拟合越好，因此分子小于分 似然比在0到 间 母，似然比在 到1间。分子是在原假设成立下参数的 极大似然函数值，是零假设的最佳表示。 极大似然函数值，是零假设的最佳表示。而分母则表 示在在任意情况下参数的极大似然函数值。 示在在任意情况下参数的极大似然函数值。比值的最 大极限值为1，其值靠近1， 大极限值为 ，其值靠近 ，说明局部的最大和全局最 大近似，零假设成立可能性就越大。 大近似，零假设成立可能性就越大。
设L( βUR )代表没有限制条件时似然函数 的极大值, L( β R )代表有限制条件时似然函数的极大值,
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
多元线性回归和非线性回归
２
SSR R SST
2 ˆ ( y y ) i 2 ( y y ) i i 1 i 1 n
n
,x ,x 称 y 关于 x 1 2, p 的样本复相关系数，R 的大小可以
反映作为一个整体的 x ,x ,x 1 2, p与 y 的线性相关的密切 程度.
修正多重决定系数(adjusted multiple coefficient of determination)
回归参数的估计
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
1.
2. 3.
ˆ ,b ˆ ,b ˆ, ˆ 估计回归方程 ,b 用样本统计量 b 0 1 2 p 中的 参数 b 时得到的方程 , b , b , , b 0 1 2 p 由最小二乘法求得 一般形式为
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y b b x b x b x 0 1 1 2 2 p p
ˆ, ˆ, ˆ, ˆ是 b , b , b , , b b , b 0 1 2 p 0 b 1 b 2 p
估计值 ˆ 是 y 的估计值 y
参数的最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 。即 b b , b 达到最小来求得 b 0 1 2 p
i 1
3. 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度np-1找出临界值F 4. 作出决策：若F>F ，拒绝H0
方差分析表
前面的这些计算结果可以列成表格的形式，称为方差分析表. 方差分析表
方差来源 平方和 回归 残差 总和 SSR SSE SST 自由度 p 方差 SSR / p F 值
例谈非线性回归方程的解法
例谈非线性回归方程的解法
作者：魏兰
来源：《高中生学习·高二版》2015年第12期
回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析.在现实社会经济生活中，很多现象之间的关系并不是线性关系，对这类现象的分析预测一般要应用非线性回归预测或曲线回归预测. 通常可以通过变量代换，将很多的非线性回归分析转化为线性回归分析. 因而，可以用线性回归方法解决非线性回归预测问题. 笔者根据高中数学学习实际，就该问题在高中阶段的应用进行粗浅归纳，通过对典型例题的分析，介绍两种解决这类问题的常用策略，以供大家参考.
反比例函数模型方程式为[y=a+b1x]，二次函数模型方程式为y=a+bx2，对数模型方程式为y=a+blnx，三角函数模型方程式为y=a+bsinx，这几类模型虽然包含有非线性变量，但因变量与待估计参数之间的关系是线性的，可以直接通过变量代换将其化为线性模型，换元过程和参数估计法如下表所示.。
利用典例分析非线性回归方程
183XUE SHU ZHENG MING利用典例分析非线性回归方程周培红（泉州第一中学，福建 泉州 362000）一、回归分析法所谓回归分析的方法，是指在大量掌握观察数据的基础上，利用数学统计方法构造自变量与因变量之间的回归关系的函数式（称为回归方程式）。
在回归分析中，由因变量与自变量之间因果关系的函数表达式来判断是非线性的还是线性的，分为非线性回归分析和线性回归分析。
在解题中线性回归分析法是最常用的分析方法，可以利用数学手段，将遇到非线性回归问处理方法：两边取对数：㏑y=㏑ɑ+b ㏑x，再设'ln 'y yx x== ，则原方程变成y'=㏑ɑ+bx'，再根据一次线性回归模型的方法得出㏑ɑ和b。
（2）幂函数曲线y=ɑx b处理方法：两边取对数得：㏑y=㏑ɑ+b ㏑x，再设'ln 'ln y yx x== ，则变原方程为y'=㏑ɑ+bx'，再依据一次线性回归模型的方法得出㏑ɑ和b。
（3）倒指数曲线bxy ae=处理方法：两边取自然对数得：ln ln by a x=+，再设'ln 1'y y x x ==，则变原方程为y'=㏑ɑ+bx'，再依据一次线性回归模型的方法得出㏑ɑ和b。
（4）对数曲线 y=ɑ+b ㏑x处理方法：设''ln y y x x== ，则原来的方程变成y'=ɑ+bx'，再依据一次线性回归模型的方法得出ɑ和b。
三、典型分析近日，有一旅游公司打算推出支付宝支付和微信支付旅游活动，计划安排一段时间的推广期，通过推广期内较大的优惠力度，使越来越多的人开始使用微信支付。
某景点统计了在活动推出一周内每天有多少人次使用微信，活动推出的天数用x 表示，每天使用微信支付的人次用y 表示，得到如下统计数据：x 1234567y601102103406601 0101 960y v 71iii x y=∑71i ii x v=∑100.546212.5425 35078.123.47根据以上数据，绘制了散点图。
非线性回归
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2） εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。
（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
非线性回归方程、相关性分析专题 高考数学
并求出线性回归方程.
(4)分析拟合效果：通过计算________或画________图来判断拟合效果.
(5)根据相应的变换，写出________方程.
试卷讲评课件
3.常见的变换
(1)已知函数y = ln bx + a ，左右两边同时取e的指数，得________，
选取函数y = m ⋅ x k m＞0, k＞0 作为年广告费用x和年利润额y的回归
类型.令u = lnx, v = lny，则v = lnm + ku，则对数据作出如下处理：
令ui = lnxi , vi = lnyi ，得到相关数据如表所示：
试卷讲评课件
10
10
10
10
i=1
i=1
i=1
i=1
令t =________，得________
(2)已知函数y = kx −1 + c，令t =________，得________
(3)已知函数y = ebx+a ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =
________，得________
(4)已知函数y = aebx ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =_
过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；
+ a与ොy = bz
+ a哪个更合适于
模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程；
(ොa，b的结果精确到0.1)
试卷讲评课件
(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销
有效的控制.其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中.汕头某药企
回归方程公式
回归方程公式回归方程是一种特殊的统计关系，它允许你使用数学表达式来预测变量之间的关系。
使用一个或多个自变量（例如年龄，收入，教育，种族等）来预测另一个变量，例如财富或健康状况。
归方程使用变量之间的数据来确定回归系数以及预测结果。
回归方程的公式是什么？回归方程的公式通常形式为：Y=a+bX，其中a是回归系数，b是X变量的系数，X是被预测变量，Y是预测结果。
例如，假设您正在预测财富与年龄之间的关系，则回归方程可能是Y = a + bX，其中Y 表示财富，X表示年龄，a和b表示回归系数。
求解回归方程的方法回归方程的求解分为两个主要步骤。
先，使用X变量的数据集（例如，年龄）拟合一个数学拟合曲线，称为回归曲线。
外，需要使用回归曲线对Y变量（例如，财富）求和平方差，以得出回归系数a和b。
回归曲线可以分为线性回归曲线和非线性回归曲线。
性回归曲线是具有确定性系数的线性关系，它可以明确地预测变量之间的关系。
线性回归曲线是具有不确定性系数的非线性关系，它不能明确地预测变量之间的关系。
为了求解回归方程，需要使用数据拟合技术，例如最小二乘法，线性回归和非线性回归。
小二乘法可以用来拟合线性模型，同时确定模型中每个变量的权重。
性回归可以用来拟合线性模型，而非线性回归可以用来拟合非线性模型。
由于每种拟合技术的方法不同，因此可能需要使用不同的算法来求解每种类型的回归方程。
例如，使用最小二乘法拟合线性回归模型时，可以使用最小二乘法的梯度下降算法来求解回归方程；而使用非线性回归模型时，可以使用多项式回归，神经网络或其他类似的算法来求解该方程。
回归方程的应用回归方程是统计学中常用的工具，它可以用来研究变量之间的关系，特别是当变量之间存在某种可能的统计关系时，回归方程可以帮助我们对变量之间的关系进行更详细的分析。
例如，可以使用回归方程来研究收入与教育程度之间的关系，或研究冠状动脉病变（CVD）和高血压之间的关系等。
此外，回归方程可能还可以用于模拟和预测变量之间的关系，例如通过模拟股票价格的变化，预测经济增长，或者预测政治事件对市场的影响等。
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
第四节 非线性回归模型
Y AL K e
（方法1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数，得：
ln y ln a ln L ln K
因此，在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令：
GENR LNY = log(Y)
GENR GENR LNY = log(L) LNY = log(K)
即
(2---8)
其中，V是余项与随机误差项的和；
xb 的具体结果为： 对P51模型 y a xc x b0 x b0 a0 a0 ( x b0 ) y a0 a0 b0 c0 2 x c0 x c0 x c0 ( x c0 )
=
x b0 a0 a0 ( x b0 ) a b c V 2 x c0 x c0 ( x c0 )
即x增加1个单位时，y 将增长100b% 。特别地，若x 为时间变量（如年份），则系数b 衡量了y 的年均 增长速度。 4．多项式模型 模型 y b b x b x2 b xk
0 1 2 k
设
则 模型转化成多元线性回归模型。 (Eviews实现)
i 1,2,..., k xi x y b0 b1 x1 b2 x2 bk xk
Estimation Equation: ===================== Y=C(1)*L^C(2)*K^C(3)
第四节 非线性回归模型的参数估计 (赵)
（2）利用NLS命令也可以估计可线性化的非线性回归 模型；例如，对于倒数变换模型和对数函数模型，可 以直接键入： NLS NLS Y＝C(1)＋C(2)／X Y＝C(1)＋C(2)*log(X)
但迭代估计是一种近似估计，并且参数初始值和误差 精度的设定不当还会直接影响模型的估计结果。因此， 对于可线性化的非线性模型，最好还是将其转化成线 性模型进行估计。
我国国有工业企业生产函数（ ）。例 例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾估计 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数，现建立 Cobb-Dauglas）生产函数： C-D（Cobb-Dauglas）生产函数： 转化成线性模型进行估计： （1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数， 在模型两端同时取对数，得： lny=lnA+αlnL+βlnK+ε 因此， Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令 软件的命令窗口中依次键入以下命令： 因此，在Eviews软件的命令窗口中依次键入以下命令： GENR LNY = log(Y) GENR LNL = log(L) GENR LNK = log(K) LS LNY C LNL LNK
例6 我国国有工业企业生产函数（例4续）。例4中曾 估计出我国国有独立核算工业企业的线性生产函数， 现建立C-D（Cobb-Dauglas）生产函数：
Y = ALα K β eε
（方法1）转化成线性模型进行估计： 在模型两端同时取对数，得：
ln y = ln a + α ln 窗口中点击Procs\ Make Equation； （2）在弹出的方程描述对话框中输入非线性回归 模型的具体形式： Y= C(1)*(X-C(2))/(X-C(3)) （3）选择估计方法为最小二乘法后点击OK。 说明： （1）在方程描述窗口中点击按纽Options，可以设置迭 代估计的最大迭代次数（Max Iterations）和误差精度 （Convergence），以便控制迭代估计的收敛过程。
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1 实验三
一、实验目的和要求
1.
通过非线性模型的建立，理解非线性回归的基本理论、掌握基本方法 2.
掌握非线性回归的程序 3.
熟悉和掌握Eviews 、Excel 软件的操作 4. 掌握软件输出结果的分析和理解
二、实验内容
1. 非线性回归模型
2. 税率是影响税收的原因之一，列出散点图后，用非线性模型处理
三、实验结果
四、实验总结
回归方程为：c=2434+85.7z 1-0.03z 2+0.00004z 3
c=2434+85.7x-0.03x 2+0.00004x 3
即 s=(1368.92)(7.17)(0.01)(0.000)
t=(1.79)(11.95**)(-2.77*)(9,59**)
五、对本实验的学习心得、意见和建议
掌握了非线性回归模型程序，更加熟练的操作和使用Eviews 软件，并对非线性回归的基本理论和基本方法的掌握更为熟练。