系统工程第三章系统的预测

第三章 系统预测3.1 基本概念系统预测就是根据系统过去和现在的发展变化规律，通过一定的科学理论和方法及手段，对系统事物未来发展趋势和状况进行推测、估计和分析，形成科学的假设和判断。

系统预测是系统工程的重要内容，是系统决策和系统设计的基础。

常用的预测方法可分为定性预测、时间序列分析预测和因果关系预测三大类型。

定性预测方法主要依靠人们的经验和判断分析能力，对系统事物的发展变化作出判断。

时间序列预测方法是根据系统对象随时间变化的历史资料，考虑系统变量随时间的发展变化规律，对其未来状态作出预测的方法。

时间序列预测方法主要包括移动平均法、指数平滑法、趋势外推法以及Box -Jenkins 方法等。

因果关系预测方法主要是针对系统变量之间存在的某种前因后果关系，找出影响某种结果的一个或几个因素，建立起它们之间的数学模型，然后根据自变量的变化来预测结果变量的变化的预测方法。

因果关系预测方法主要有线性回归分析法、马尔可夫法、状态空间预测法、计量经济预测法以及系统动力学方法。

3.2 定性预测方法定性预测方法主要用于缺乏历史统计数据的系统对象。

这类方法主要有特尔菲（Delphi ）法、主观概率法和领先指标法等。

下面介绍其中的特尔菲（Delphi ）法。

特尔菲法就是专家调查法，即根据所要预测的问题和必要的背景材料，拟好调查表，用通信的形式征询有关专家的意见。

得到答复后，把各种意见经过综合归纳、整理后再反馈给专家，进一步征询意见。

如此反复多次（一般需要进行4轮），直到预测的问题得到较为满意的结果。

在调查过程中，专家互不见面，并以匿名方式回答问题，因此可以消除相互间的影响。

选择合适的专家、科学地提出预测问题并制定出合理的调查表是实施特尔菲法的关键步骤。

此外，要根据预测问题的性质，采取科学的统计分析方法对调查结果进行定量处理。

主观概率法和记分法是2种常用的方法。

主观概率法是由专家对某一方案作出概率估计，然后计算其数学期望值。

设共有n 名专家，p i 为第i 名专家估计的概率，则预测的平均概率P 为：（3-1）因预测的概率是根据人们的经验主观判断得来的，故称为主观概率。

记分法是由专家对各种方案给出评分（一般为1~10范围内的数），然后根据下式计算第j 方案的综合得分：（3-2）式中：W j ——第j 方案的最终得分；X ij ——第i 位专家给第j 方案的评分； m ——专家人数；n ——方案数目；np P ni i ∑==1∑∑∑====n j mi ij mi ij j j X X L W 111L j ——积极性系数，即m j ——对方案作出预测的专家数。

积极性系数L j 的作用是减弱少数人评分的影响，使结果充分反映多数人的意见。

3.3 一元线性回归模型一元回归和后面将要介绍的多元回归模型都属于因果关系预测模型。

一元线性回归分析是研究分析两个相关变量之间的关系，或者说，一个自变量X 对因变量Y 的影响的一种回归方法。

例如，某一地区某一时期的化肥施用量X 与农作物产量Y 之间有表3-1的统计资料。

表3-1 化肥施用量与农作物产量为了研究它们之间的相互关系,首先以X 为横坐标,Y 为纵坐标,以表3-1中的数据为数据点绘出相关图,可以发现这些数据大致落在一条直线上,但并不完全与直线重合,说明农作物产量与化肥施用量有一定关系,而又不完全依赖于化肥施用量,还有一些其他因素。

这里主要研究化肥施用量和农作物之间的相互关系，其他一些因素的影响均归并到误差项中。

根据表3-1所列数据，可以假设农作物产量和化肥施用量之间有以下相关形式，其模型结构为ε++=bX a Y (3-3)式中 Y —农作物产量；X —化肥施用量； ε--除化肥施用量之外其他影响因素的总和，称为残差。

3.3.1 回归方程设x 为自变量，y 为因变量。

如果已知n 组样本数据为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），满足下式：i i i bx a y ε++= (3-4)式中i ε相互独立，服从同一正态分布N （0，σ），那么就认为y 与x 近似为线性关系，其数学期望为E （y ） = a + bx ，据此可建立如下一元线性回归预测模型： （3-5） 在x -y 坐标系中绘制样本数据的散点图，如图3-1 所示。

如果y 与x 近似为线性关系，则这些数据点基本分布在一条直线附近。

m m L jj =bx ay +=ˆ图3-1 样本数据散点图3.3.2 参数估计由式（3-5）知，对于n 组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ）中的任意一点（y i ，x i ），其预测值为（3-6） 预测值 与实际值y i 之间的差值为 。

下面以所有数据点的预测误差的平方和为衡量预测模型性能的指标，即有：（3-7）Q 实际上代表了预测总误差。

根据最小二乘法原理，参数a 、b 的值应使总误差Q 最小，令解此联立方程组，得 （3-8）（3-9）式中： ，为简化记号，令（3-10）（3-11）i i bx a y +=ˆi y ˆ)ˆ(i i y y -∑∑==--=-=ni i i n i i i bx a y y y Q 1212)()ˆ(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂∑∑==n i i i i n i i i x bx a y b Q bx a y a Q110)(20)(2∑∑∑∑====--=n i n i ii n i n i ii i x x x y x y x b 11211x b y a -=∑==n i i x n x 11∑==n i iy n y 11222)(1)())((1))((∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=i i i i i i xx i i ii i i i i i i xy x n x x x l y x n y x y y x x liy i y ˆiy则最小二乘估计为(3-12)将表3-1中数据代入式(3-8)和(3-9)，可得29.032.34==b a得相关回归方程：x y 29.032.34+=3.3.3 显著性检验建立回归模型的前提是y 与x 具有线性关系，但是这种假设是否成立，还要进行相关性检验。

假设y 与x 具有线性关系，从统计上将也就是必须随的变化而线性变化，即式（3-5）中的b 不能等于零，所以问题就变成了去检验假设b = 0是否为真。

记（3-13）称S T 为总的偏差平方和，它反映了各y i 的波动大小。

由式（3-5）可知故（3-14）其中，S R 反映了由于x 的变化所引起的波动大小，称为回归平方和；S 剩反映了观测值与回归直线间的偏离，这是由其他一切因素引起的，称为剩余平方和（或残差平方和）。

若回归方程是有意义的，总希望S 剩尽可能小，S R 尽可能大。

在假定各εi 相互独立，且服从N （0，σ2）分布的条件下，可以证明： ⑴ S 剩/σ 2 ~ X 2（n -2）；⑵ 在b = 0的条件下，S R /σ 2 ~X 2（1）； ⑶ S 剩与S R 相互独立。

⎪⎩⎪⎨⎧=-=xx xy l l b xb y a ∑-==ii xyT y y l S 2)()ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ()ˆˆ()(2222y y y y y y yy y y y y y y S i i i i i i i i i i i ii ii T --+-+-=-+-=-=∑∑∑∑∑0))(()ˆ)(ˆ(=-+--=--∑∑y bx a bx a y y y y y ii i i i i i i Rii i i i i i T S S y y y y y y S +=-+-=-=∑∑∑剩222)ˆ()ˆ()(2)ˆ(i i y y S -=∑剩∑-=ii R y y S 2)ˆ(其中X 2（k ）表示自由度是k 的X 2分布。

由此可以知道，在b = 0为真时，这里F （n 1，n 2）表示自由度为n 1，n 2的F 分布。

对给定的显著性水平α，当F > F α（1，n-2）时，认为b = 0不真，其中F α（1，n-2）表示自由度为1，n-2的F 分布的上侧α分位点。

这种用F 检验对回归方程作显著性检验的方法称为方差分析。

3.3.4 预测区间的确定经过检验并通过的回归模型可用于预测。

但是，由于回归预测模型是经数理统计方法得到的，有一定误差，因而预测结果有一定的波动范围，这个范围就是置信区间。

根据正态分布理论，当置信度为95%时，预测区间为其中，S 为标准离差：3.3.5 非线性回归有时候因变量y 和自变量x 之间存在某种非线性关系。

对于某些类型的非线性关系，可通过变量变换的方法，把非线性问题转化为线性问题，从而可以利用线性回归方法建立预测模型。

⑴ 当y 与x 之间存在对数关系时，即：令 ，则上式变为：从而可以根据变换后的数据用一元线性回归方法建立预测模型。

⑵ 当y 与x 之间存在指数关系时，即：对等式两边取对数，有：令 ，则上式变成线性关系： 从而可以用一元线性回归方法进行处理。

⑶ 当y 与x 之间存在幂指数关系时，即：等式左右两边取对数，有：令 ，则上式化为以下线性关系： )2,1(~)2/(--=n F n S S F R剩)2ˆ,2ˆ(00S y S y--∑--=2)ˆ(21i i y y n S x b a y ln ˆ+=x x ln '='ˆbx a y +=bx ae y =ˆbx a y +=ln ˆln a a y y ln ˆ,ln ˆ''==bx a y+=''ˆb ax y=ˆx b a y lg lg ˆlg +=x x a a y y lg ,lg ,ˆlg ˆ'''==='''ˆbxa y +=⑷ 当y 与x 之间存在双曲线关系时，即：令 ，则上式化为3.4 多元线性回归模型3.4.1 回归方程设系统变量y 与k 个自变量x 1，x 2，…，x k 之间存在统计关系，且可表示为若给定n 组样本数据点，即（y 1，x 11，x 21，…，x k 1），（y 2，x 12，x 22，…，x k 2），…，（y n ，x 1n ，x 2n ，…，x kn ），则其满足设εi ~N （0，σ）（i =1，2…，n ），那么可由最小二乘法获得多元线性回归模型： （3-15）3.4.2 参数估计由式（3-15）知，对于n 组样本数据（y 1，x 11，x 21，…，x k 1），（y 2，x 12，x 22，…，x k 2），…，（y n ，x 1n ，x 2n ，…，x kn ）中的任意一点y i 的预测值为所有预测值 与实际值y i 之间差值的平方和Q 为为使Q 最小，令：即k k x b x b x b a y ++++= 2211),,2,1(2211n i x b x b x b a y i ki ki i i i =+++++=εk k x b x b x b a y ++++= 2211ˆik k i i i x b x b x b a y ++++= 2211ˆi y ˆ∑∑==-----=-=n i ik k i i i n i i i x b x b x b a y y y Q 12221112)()ˆ( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00i b QaQ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑iik ik k i ik i ik ik i i ik i k i i i i i i ik i k i i i i iik k i i y x x b x x b x x b x a y x x x b x b x x b x a y x x x b x x b x b x a y x b x b x b an 222112222212121121221112211 xb a y +=ˆ1xx y y 1,ˆ1ˆ''==''ˆbx a y +=解此联立方程组，得AB = C （3-16） 式中：由式（3-16）有，B = A -1C如果自变量只有两个，这时就是二元回归模型： （3-17）其参数为（3-18）（3-19）（3-20）3.4.3 显著性检验对多元回归方程的线性相关关系的检验是指检验假设 H 0：b 1 = b 2 = … = b k = 0当H 0为真时，说明不管x 1，x 2，…，x k 如何变化，E （y ）并不随之而改变；而当H 0不真时，说明b 1，b 2，…，b k 中至少有一个不等于零，从而y 至少随x 1，x 2，…，x k 之一的变化而线性变化。