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上海市杨浦区2018届高三上学期期末质量调研（数学文）2018.1考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足()1z i +=z =__________． 2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 . 3．函数()2log 1x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭的定义域为 . 4．已知等差数列{}n a 首项为1，公差为2．若7k a =时，则项数k = ． 5．若()121x f x a =++是奇函数，则实数a = ． 6．函数()()2sin cos f x x x =-的最小正周期是 .7．在52()x x+的二项展开式中，3x 的系数是____________（用数字作答）．8．计算：2lim123n n n→∞=+++⋅⋅⋅+ . 9．设ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．若160b c B ===，， 则角C = ．10.若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线1322=-y x 相交于不同两点A 、B ，则实数a 的取值范围是 .11．若全集U R =，不等式2300121x xx x ＞0的解集为A ，则 =A . 12．若θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则cos 2θ= . 13．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为则直线m 的倾斜角是 .14．如图，已知OAP ∆的面积为S ，1OA AP ⋅=．如果122S <<，那么向量OA 与AP 的夹角θ的取值 范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为 ( )．()2A - .()1B - . ()0C .()1D .16．“2a =”是“函数()f x x a =-在[)2,+∞上是增函数”的( )．()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.()D 即非充分也非必要条件.17． 已知点A 的坐标为()32,，F 为抛物线22y x =的焦点．若点P 在抛物线上移动，当PA PF+取得最小值时，则点P的坐标是( )．()A ()2,1 . ()B ()22,. ()C ()2,2-. ()D ()6,3. 18．已知ABC △的面积是30，内角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，1213cos A =． 若1c b -=，则a 的值是 ( )．()A 3 . ()B 4 . ()C 5 . ()D 不确定 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分） 已知函数()12x f x a-=- （0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=定义域为集合A ，集合1|||,2B x x t x R ⎧⎫=-≤∈⎨⎬⎩⎭．若A B φ=，求实数t 的取值范围． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．oA设函数()()2203f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．（1）求m n 、的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,3A m n -+． 求tan 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足条件23(1)n n S a =-，其中n N *∈． （1）求证：数列{}n a 成等比数列； （2）设数列{}n b 满足3log n n b a =．若 11n n n t b b +=， 求数列{}n t 的前n 项和． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在上海世博会期间，某工厂生产,,A B C 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种.某一天产量如下表(单位:个):现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个,其中有A 种纪念品40个. （1） 求n 的值；（2） 从B 种精品型纪念品中抽取5个,其某种指标的数据分别如下:,,10,11,9x y .把这5个数据看作一个总体, 其均值为10、方差为2,求x y -的值；（3） 用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.给定椭圆C ：22221x y a b+= ()0a b >> ，称圆心在坐标原点O 椭圆C 的“伴随圆”．（1）若椭圆C 过点),0，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；（2）如果直线x y +=C 的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点(),Q a b 轨迹的大致图形；（3）已知椭圆C 的两个焦点分别是())12,00F F 、，椭圆C 上一动点1M 满足11122M F M F +=P 是椭圆C 的“伴随圆”上的动点，过点P 作直线12l l 、使得12l l 、与椭圆C 都各只有一个交点，且12l l 、分别交其“伴随圆”于点M N 、．当P 为“伴随圆”与y 轴正半轴的交点时，求1l 与2l 的方程，并求线段MN 的长度．参考答案及评分标准说明:1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.一、填空题１．1；2．２；３．()(),01,-∞⋃+∞；４．４；５．12-；６．π；7. 10；8. 2；9. 030；10．((⋃⋃；11．[]0,2；12.文725理724-；13. 015或07514. 文,tan 44arc π⎛⎫⎪⎝⎭, 理221106x y +=;二、 选择题15．C ；16. A ；17. B ； 18. C ；三、 解答题19．解法１： 由题意得，函数()12x f x a -=- （0a >且1a ≠）值域为()2,-+∞所以，1()y f x -=的定义域为()2,A =-+∞ ．．．．．．．．．．．６分 又由1|||,2B x x t x R ⎧⎫=-≤∈⎨⎬⎩⎭ 得 1122t x t -≤≤+ ．．．．8分 A B φ= ，12,2t ∴+≤-即 52t ≤- ．．．．．．．１１分 所以，实数t 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-25,．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分解法２：由函数()12x f x a-=-得()1()log 21a y f x x -==++（0a >且1a ≠）所以，1()y f x -=的定义域为()2,A =-+∞ ．．．．．．．．．．．．６分 （以下解法同上）20．解（１） 由题可得()()211f x x a=--++而03x ≤≤．．．．．３分所以，()()11,33m f a n f a ==+==-．．．．．．．．６分 （２）文科 角β终边经过点(),A a a ，则tan 1aaβ==．．．．．．．１０分所以，tan tan3tan 231tan tan 3πβπβπβ+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-．．．．１４分 理科 角β终边经过点(),A a a ．．．．．．．．．．７分 当0a >时，r =则sin ,cos ββ====所以，sin sin cos cos sin 6664πππβββ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．．．．．１０分 当0a <时，r ==则sin,cosββ====所以，sin sin cos cos sin6664πππβββ⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭．．．．．１３分综上所述sin64πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或4．．．．．．１４分21.解：（1）由题得113()(2)2n n n n na S S a a n--=-=-≥．．．．．．．２分所以13n na a-=故有13(2)nnana-=≥．．．．．．．．．．．４分又1113(1)2S a a=-=，解得13a=，所以数列{}na成等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．６分（２）文科由（１）得3nna=，则33log log3nn nb a n===．．．．．．．．．．．．８分故有()1111nn ntb b n n+==+所以()12311111223341nt t t tn n+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+．．．．．．１０分111111111223341n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．１４分1+=nn．．．．．．．．．．．．．．１６分理科由（１）得3nna=，则33log log3nn nb a n===．．．．．．．．．８分故有3nn n nc a b n==设()1231132333133n nnT n n-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+⋅()23413132333133n nnT n n+=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+⋅．．．．．．．１０分则()123113132(3333)3313nn n nnT n n++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-所以()121334n nn T +-+=．．．．．．．．．．．．．．１４分 22. （１）解：设这一天生产的纪念品为m ，由题意得，20040,2000100300m m =∴=+ ．．．．．．．．．．．．．２分 所以2000100300150450600400n =-----=．．．．．．．．．．．４分（２）由题得 ()110119105x y ++++=则20x y +=．．．．．．．６分由于()22222211011951025x y ++++-⋅=得22208x y +=．８分从而()2222,2192x y x y xy xy +=++∴=即4x y -====．．．．．．１０分 （３）设所抽样本中有p 个精品型纪念品，则400,10005p = 2p ∴=也就是抽取了２个精品型纪念品，３个普通型纪念品．．．．１３分所以，至少有1个精品型纪念品的概率为225325710C C C -=．．．．．．．１６分 （其他解法，参照给分）２３.（１）解由题意得：222201a b+=，则25a =．．．．．．．．．．１分 又由焦距为24c =，所以 焦距为2221b a c =-=．．．．．．．２分 故所求的“伴随圆”的方程为226x y +=．．．．．．．．．．．．．４分（２）由于椭圆C 的“伴随圆”2222x y a b +=+与直线x y += 则圆心到直线的距离等于半径，即=．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分故动点(),Q a b 轨迹方程为229a b +=()0a b >>即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为３的圆上八分之一弧（除去两端点）如图．．．．１０分（３）由题意得：2a =得ac则1b =椭圆C 的方程为2213x y += “伴随圆”的方程为224x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分文科 因为“伴随圆”的方程为224x y +=与y 轴正半轴的交点()0,2P ，设过点()0,2P ，且与椭圆有一个交点的直线为2y kx =+，则22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得()22131290k x kx +++=．．．．．．．１4分 所以()2214449130k k ∆=-⨯+=，解得1k =±所以1l ，2l 的方程为2y x =+，2y x =-+．．．．．．．．．．１６分 由于1l ，2l 垂直，线段MN 的长度为４．．．．．．．．．．．１８分 理科①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l与椭圆只有一个交点，则其方程为x或x = 当1l方程为x 时，此时1l与“伴随圆”交于点)，),1-，此时经过点)（或),1-）且与椭圆只有一个公点的直线1y =（或1y =-），即2l 为1y =（或1y =-）显然直线1l ，2l 垂直；同理可证1l方程为x = ，直线1l ，2l 垂直，所以4MN =．．．．．．13分 ②当1l ，2l 都有斜时，设点()00,P x y ，其中22004x y +=。