高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》归纳整合

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专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论． 其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】 已知 的值． 解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝ ＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝ ＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边． 原式得证．
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sin 4α 2sin 2α· 2α cos ∴ ＝ 2 ＝ 1＋cos α 1＋cos 2α 1＋ 2 4 2 ＝－ 15 .
2 2 1 2×－ × 3 3
1 1＋ 3 1＋ 2
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专题二 三角函数式的化简与证明 三角函数的化简主要有以下几类：①化简与证明三角的和式， 基本思路是降幂、 消项和逆用公式； ②化简与证明三角的分式， 基本思路是分子与分母约分和逆用公式， 最终变成整式或数值； ③化简与证明二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在 具体过程中体现的则是化归的思想，这是一个“化异为同”的 过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换， 即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化单角”、“复 角化复角”等具体手段．
π π β cos2－α± ＝cos2－α∓β得到
S(α＋β)与 S(α－β)；将 S(α－β)除以
C(α－β)得到 T(α＋β)，将 S(α＋β)除以 C(α－β)得到 T(α－β)；将 S(α＋β)、C(α＋
β)、T(α＋β)中的
β 换为 α，得到 S2α、C2α、T2α.
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要点归纳 1． 本章的公式多不易记住， 解决这个问题的最好办法就是掌握 每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出 C(α－β)，再用 β 代替 C(α－β) 中的－β 得到 C(α＋β) ；接着用诱导公式 sin(α± β)＝
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高考真题 1．(2011· 课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( 4 A．－ 5 3 B．－ 5 3 C. 5 4 D. 5 )．
解析 由题意知 tan θ＝2， θ 为第一或第三象限角， cos 2θ 且 故 cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 1－22 3 ＝ 2 ＝ ＝ ＝－5. cos θ＋sin2θ 1＋tan2θ 1＋22 答案 B
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【例 4】 已知
α β 4 12 α－ ＝ ，cos －β＝－ ， sin 2 5 13 2
β α 且 α－2和2－β 分别为第二、第三象限角， α＋β 求 tan 的值． 2
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解 依题意有
6．(2010· 北京高考)已知函数 f(x)＝2cos 2x＋sin2x. (1)求
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2．熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题 α 和解决问题的能力的有效途径． 常用的角的变换有： α＝2·、 2 4α π －α π α 2 ＝2· 4－2＝ 2 、2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)、2β 2α、 ＝(α＋β)－(α－β)＝(α＋β)＋(β－α)、α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)、 α＋β α－β α＋β β α α－β β α β＝ － 、 ＝α－2－2－β、 ＝α＋2－2＋β. 2 2 2 2 这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探 索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的 关系．
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2．(2010· 福建高考)计算 1－2sin222.5° 的结果等于( 1 A.2 2 B. 2
2
)．
3 C. 3
3 D. 2
2 解析 1－2sin 22.5° ＝cos 45° 2 . ＝ 答案 B
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2 3．(2010· 全国卷Ⅱ高考)已知 sin α＝3，则 cos(π－2α)等于( 5 1 1 5 A．－ 3 B．－9 C.9 D. 3 解析 cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 答案 B
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23＋cos 4x 1 【例 2】 求证：tan x＋tan2x＝ . 1－cos 4x
2
证明
法一
4 4 sin2x cos2x sin x＋cos x 左边＝cos2x＋ sin2x ＝ sin2xcos2x
1 2 sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x 1－2sin 2x ＝ ＝ 1 1 2 sin 2x sin22x 4 4 1 2 1－ sin 2x 8－4sin22x 4＋4cos22x 4＋21＋cos 4x 2 ＝1 ＝ ＝ ＝ 1－cos 4x 1－cos 4x 1－cos 4x 1－cos 4x 8 23＋cos 4x ＝ ＝右边．∴原式得证． 1－cos 4x
2
)．
4 1 1－2× ＝－ . α)＝－ 9 9
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4．(2011· 江苏)已知 解析
π tan x x＋ ＝2，则 tan 4 tan 2x的值为________．
tan x＋1 π x＋ ＝2，∴ ∵tan ＝2，∴tan 4 1－tan x
x x x 【例 3】 已知函数 f(x)＝2sin 4cos 4＋ 3cos 2. (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值； (2)令
π g(x)＝fx＋3，判断函数
g(x)的奇偶性，并说明理由．
x x 解 (1)∵f(x)＝sin 2＋ 3cos 2
x π ＝2sin2＋3，∴f(x)的最小正周期
β 3 α－ ＝－ ， cos 2 5
α 5 sin2－β＝－ ， 13 α β 4 5 ∴tanα－2＝－3，tan2－β＝12， α＋β β α ∴tan ＝tanα－2－2－β 2 α β 4 5 tanα－2－tan2－β －3－12 63 ＝ ＝ β α 4 5 ＝－16. 1＋tanα－2tan2－β 1－3×12
π π 1 ∴sin4＋α· 4＋α＝6， cos π 1 sin2＋2α＝3，即
1 cos 2α＝3.
又
π α∈2，π，2α∈(π，2π)，
2
∴sin 2α＝－ 1－cos 2α＝－
1 2 2 2 1－3 ＝－ 3 ，
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(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因造成的 函数定义域的变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的 定义域并在这个定义域内分析问题．(3)有时会以向量为背景出 题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识．
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1 π π ∴g(x)＝2sin2 x＋3＋3 x π ＝2sin2＋2＝2cos
x . 2 x 2＝g(x)，
x ∵g(－x)＝2cos－2＝2cos
∴函数 g(x)是偶函数．
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专题四 转化与化归的思想 本章以两角差的余弦公式为基础，利用换元法将两角和的余弦 公式转化为两角差的余弦公式的形式，即 α＋β＝α－(－β)，从 而推导出两角和的余弦公式，然后利用诱导公式实现正弦向余 弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的 推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数 式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，也解决 了三角函数最值问题．
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3． 时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法， 首先是 2tan α 本章的某些公式中的角就有范围限制， tan 2α＝ 如 中的 1－tan2α kπ π π α 的限制条件是 α≠kπ＋2且 α≠ 2 ＋4(k∈Z)；其次是题中的角 的范围也是有限制的．