数学分析选讲教案4

20m
f (tgx) sec 2 xdx = f (tgx)dtgx = f (u )du.
例5
∫ sec ∫ tg
6
xdx = ∫ 1 + tg 2 x dtgx = L . x sec 3 xdx = ∫ tg 4 x sec 2 d sec x = ∫ sec 2 x − 1 sec 2 d sec x = L. f (e x )e x dx = f (e x )de x = f (u )du. .
x = ln + a
x2 − a2 + c ′ = ln x + x 2 − a 2 + c, a
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讲稿部分 时间 教学过程 分配 2.
无理代换:
n1
20m
x,
n2
若被积函数是 小公倍数, 作代换
x ,L,
nk
x
的有理式时,
设 n 为 ni (1 ≤ i ≤ k ) 的最
t=n x, 有
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讲稿部分 时间 教学过程 分配
例 12
∫ sec xdx = ∫
sec x(sec x + tgx) sec 2 x + sec xtgx dx = ∫ dx = sec x + tgx sec x + tgx
20m
=∫
d (sec x + tgx) = ln | sec x + tgx | +c . sec x + tgx
1、不定积分的概念 2、两种换元法 分部积分法
主
3、不定积分计算及问题证明、运算技巧。
要 内 容
重点：概念及换元公式，分部积分公式。
重点与难点
难点：运算技巧及有关问题证明
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合 教学方法 手段 （教具） 数学分析，高等数学，2005 年数学研究生考题 2006 年高等数学考试测试题
可化被积函数为 t 的有理函数.
x = t n , dx = nt n −1 dt .
例5
∫
dx x − 3 x2
===== 6 ∫
t =6 x
t 2 dt dt = −6 ∫ (1 + t )dt + 6 ∫ =L= 1− t 1− t
t = x −1 t = 3 sin u
例2
2 + 2 x − x 2 dx = ∫ 3 − ( x − 1) 2 dx ===== ∫ 3 − t 2 dt ===== = 3∫ cos 2 udu = 3 3 u + sin 2u + c = L 2 4
=
3 x −1 x −1 arcsin − 2 + 2x − x2 + c 2 2 3
例 2
2
=L=
1 x −1 ln + c. 4 x+3
凑法 2
x k −1 f ( x k )dx =
特别地, 有
1 1 f ( x k )d ( x k ) = f (u )du . k k 1 1 f ( x 2 ) xdx = f ( x 2 )d ( x 2 ) = f (u )du 2 2
例2
∫
a 2 + x 2 dx,
解
I = x a2 + x2 − ∫ x ⋅
x a + x2
2
dx =
a2 a2 + x2
= x a +x −∫
2 2
a2 + x2 a2 + x2
dx + ∫
dx =
= x a 2 + x 2 − I + a 2 ln( x + a 2 + x 2 ) + c1 , x a2 2 2 I= a +x + ln( x + a 2 + x 2 ) + c. 2 2
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为
g (t ) = f [φ (t )]φ ′(t ) 则有
∫ g (t )dt = ∫ f [φ (t )]φ ′(t )dt = ∫ f [φ (t )]dφ (t )
====
凑法 1
x =φ (t )
∫ f ( x)dx = F ( x) + c = F [φ (t )] + c .
令
dx = a sec 2 tdt .
此时有
a 2 + x 2 = a sec t ,
x t = arctg . a
例3
∫
dx 2 + x2
.
解
令 x=
2tgt , 有 dx = 2 sec 2 tdt . 利用例 22 的结果, 并用辅助三角形, 有
I = ∫ sec tdt = ln sec t + tgt + c ′ = ln
∫ f ( x)dx 。 其中 ∫
为积分号， f (x ) 为积分函数， x 为积分变量。
不定积分的几何意义
F ( x) + c 2 F ( x) + c1
F (x)
一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标 系中的高低位置不一样, 相差一个上下平移关系
基本积分公式（ 二 基本积分公式（略） 三、 不定积分的计算
f ( x)
和
x
例3
dx = 2 f dx
( x )d
= 2∫
x.
d x 1− = 2 arcsin x + c .
2
∫
x(1 − x)
( x)
2
例4
dx xdx 1 d (x 2 ) u=x 1 1 1 ∫ x( x 2 + 1) = ∫ x 2 ( x 2 + 1) = 2 ∫ x 2 ( x 2 + 1) ==== 2 ∫ u − u + 1 du
不定积分的计算一般由三种方法： 1） （第一变量替换法）凑公式法 2） 分部积分法 2） 第二变量替换法 一 第一类换元法 ——凑公式法 第一类换元法 ——凑公式法 类换
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讲稿部分 时间 教学过程 分配
Th 若
∫ f ( x)dx = F ( x) + c,
φ (x)
连续可导,
则
20m
∫ f [φ (t )]φ ′(t )dt = F [φ (t )] + c.
二、分部积分公式的一般原则.
1. 幂
X 型函数的积分:
分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之
一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子 用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂 ⋅ X ”
型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“ X ”求导以使其成为代数函数. 例1 求 I 1 = e ax cos bxdx 和 I 2 = e ax sin bxdx,
有
x 2 − a 2 = atgt , dx = x sec t ⋅ tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法.
例4
∫ ∫
dx x2 − a2 dx x −a
2 2
, (a > 0).
x = a sec t
解
=====
∫
a sec ttgtdt = ∫ sec tdt = ln sec t + tgt + c ′ = atgt c = c ′ − ln | a | .
∫
∫
( a ≠ 0 ).
解
1 ax b I 1 = a e cos bx + a I 2 , I = 1 e ax sin bx − b I . 1 2 a a
I1 =
解得
b sin bx + a cos bx ax e + c, a2 + b2 a sin bx − b cos bx ax I2 = e + c. a2 + b2 ( a > 0 ).
凑法 6
f (arctgx) dx = f (arctgx)darctgx = f (u )du . 1+ x2
例 9
∫
arctg x x (1 + x)
dx = 2∫
t= x arctg x arctgt d x ===== 2 ∫ dt = 1+ x 1+ t2
= 2 ∫ arctgtdarctgt = (arctgt ) 2 + c = (arctg x ) 2 + c .
(
)
2
5
例6
(
)
2
凑法 4
例 7
∫ 2−e
dt
−t
. dx = f (ln x)d ln x = f (u )du. x
凑法 5
f (ln x) dx
例 8
∫ x(1 + 2 ln x) .
f (arcsin x) 1− x2 dx = f (arcsin x)d arcsin x = f (u )du;
f (ax + b)dx =
1 1 f (ax + b)d (ax + b) = f (u )du. a a
例1
∫x
∫x
2
dx dx 2 x +1 =∫ =L= arctg + c. 2 2 + 2x + 3 2 + ( x + 1) 2
dx dx 1 1 1 =∫ = ∫ − dx = ( x + 3)( x − 1) 4 x − 1 x + 3 + 2x − 3