数学分析PPT电子课件教案第十八章 极值与条件极值

数学分析PPT电子课件教案-第十八章极值与条件极值

1、第十八章:极值与条件极值,第一节极值与最小二乘法,一、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(微小值).,例如:,在点(0,0)有微

小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和微小值,统称为极值,,使函数取得极值的点称为极值点.,,的某邻域内有,说明:使偏导数都为0的点称为驻点.,例如,,定理1(必要条件),函数,偏导数,,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,,取得极值,取得极值,但驻点不肯定是极值点.,有驻点(0,0),,但在该点不取极值.,且在该点取得极值,

2、,则有,存在,故,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,若函数,二、最值应用问题,,函数f在闭域上连续,函数f在闭域上可到达最值,,最值可疑点,稳定点，偏导数不存在的点,边界上的最值点,特殊,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,,为微小值,,为最小值,(大),(大),根据,第二节条件极值与拉格朗日乘数法,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法1代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,,还有其它条件限制,例如,,

3、,方法2拉格朗日乘数法.,如方法1所述,,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,,极值点必满足,设,记,例如,,故,故有,引入帮助函数,帮助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,,则极值点满足:,,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,例1.求满足约束条件,的最大值。,解：作拉格朗日函数：,令,即，稳定点：,由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，因此唯一的稳定点就是最大值点。故球内接长方体中以正方体的体积最大。,例2.求在约束条件,下的微小值；,并证明不等式：,解：作拉

4、格朗日函数：,令,即，稳定点：,下面判别稳定点是极值点,记,则,故方程,在稳定点附近可唯一确定可微数,令,如今用二元函数取极值的充分条件判别,是的极值点。,由约束条件得：,从而,故在点有,.因此在取微小值,,这等价于在取微小值,分析约束集,是一无界集。当在内远离原点时，函数将趋于正无,穷。因此，函数的唯一微小值点是函数的最小值点，即,代入得，,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极

值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,,内容小节,1.函数的极值问题,

第一步利用必要

5、条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简洁问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,,解方程组,第二步判别,?比较驻点及边界点上函数值的大小,?依据问题的实际意义确定最值,第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,,习题,例1.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(–

3,0),(–3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为微小值

6、;,解方程组,,,,的极值.,求二阶偏导数,,,,,在点(?3,0)处,不是极值;,在点(?3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,,例2.商量函数,及,是否取得极值.,解:明显(0,0)都是它们的驻点,,在(0,0)点邻域内的取值,,因此z(0,0)不是极值.,因此,为微小值.,,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,例3.,解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,依据实际问题可知最小值在定义域内应存在,,的有盖长方体水,问

7、当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,例4.有一宽为24cm的长方形铁板,,把它折起来做成,解:设折起来的边长为xcm,,则断面面积,,一个断面为等腰梯形的水槽,,倾角为?,,,,积最大.,为,,问怎样折法才能使断面面,,令,,解得:,由题意知,最大值在定义域D内到达,,而在域D内只有,一个驻点,,故此点即为所求.,,,,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,,令,解方程组,解:设x,y,z分别表示长、宽、高,,下水箱外表

8、积,最小.,z使在条件,,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,补充题,已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),,试在椭圆,圆周上求一点C,使,△ABC面积S△最大.,解答提示:,设C点坐标为(x,y),,则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点C与E重合时,三角形,面积最大.,,,作业,P102:2.4.6,