数学分析PPT电子课件教案第十八章 极值与条件极值
函数的极值与最值PPT课件
(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的
图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求 解.
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
所有极值连同端点函数值进行比较， 最大的为最大值，最小的为最小值
※典型例题6
求 函 数 f ( x ) 6 1 2 x x 3 在 3 ， 3 上 的 最 值 .
解：f ' x123x2 x3,3 1、求出所有导数为0的点；
令f ' x 0,解得：x2或x2 2、计算；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令 f′(x)＝0. 由题设，知 x1＝1 与 x2＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴－23a＝1－23，b3＝1×(－23)． ∴a＝－12，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
《函数的极值与导数》课件
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析极值与条件极值
3(1 1 1)1 3 3xyz , x, y, z 0 xyz
解：作拉格朗日函数：L(x, y, z) xyz (1 1 1)
xyz
令 Lx yz x2 0,
Ly xz y2 0,
Lz xy z2 0,
1 1 1 1, xyz r
x y z 3r
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
第二节 条件极值与拉格朗日乘数法
三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
条件极值的求法:
还有其它条件限制
方法1 代入法. 例如 ,
穷。因此，函数 f 的唯一极小值
点是函数的 最小值点，即
xyz (3r)3, (x, y, z) D , r (1 1 1)1
xyz
代入得，3(1 1 1)1 3 3xyz , x, y, z 0
xyz
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有
存在
fx (x0, y0 ) 0 , f y (x0, y0 ) 0
证:
取得极值 , 故
取得极值 取得极值
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
数学分析第十八章课件极值与条件极值
第二步 判别
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
习题
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
故 g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 点有
a11 6r 0 . 因此
D
a11 a12
a12 a22
27r 2 0
g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 取极小值 ,
3
这等价于 f ( x, y, z ) 在 (3r ,3r ,3r ) 取极小值
f (3r,3r,3r ) (3r )
z
2
即，稳定点：
(3r ,3r ,3r )
x y z 3r
1 1 1 1 , x y z r
下面判别稳定点是极值点 记
1 1 1 1 F ( x, y, z ) x y z r
1 则 Fz (3r,3r,3r) 2 z
0
z 3 r
故方程
1 1 1 1 1 1 1 1 F ( x, y, z ) 0 ( ) x y z r x y z r
如方法 1 所述 , 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数 y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故 极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
《条件极值》课件
在控制系统设计中，经常需要找到使得系统性能达到最优的控制策略。例如，飞行器控制系统设计时需要找到使得飞行性能最优的控制策略。条件极值理论可以用来解决这类问题，通过找到使得性能指标函数取得极值的控制输入，来制定最优的控制策略。
控制系统设计
用到条件极值理论来解决一些实际问题。例如，在医学图像处理中，需要找到使得图像处理效果最佳的参数设置；在生物力学中，需要找到使得生物组织性能最优的参数设置。
《条件极值》ppt课件
目录
条件极值的概念条件极值的求解方法条件极值的应用条件极值的扩展知识总结与展望
CONTENTS
条件极值的概念
条件极值是指在某些特定条件下，函数取得极值的点。
它是在一定约束条件下，函数表现出的最值状态。
这些特定条件可以是函数的变量范围、函数的性质以及其他相关限制。
在特定条件下，函数达到的极值点是唯一的。
总结词：雅可比矩阵和海色矩阵是用于描述函数在某点的切线信息的矩阵，对于求解条件极值问题具有一定的帮助。
总结词：函数的一阶导数和二阶导数是描述函数单调性和凹凸性的重要指标，对于求解条件极值问题具有指导意义。
函数的单调性和凹凸性是描述函数变化趋势的重要属性，对于求解条件极值问题具有指导意义。
总结词
VS
无约束条件的极值问题是指函数在没有限制条件的约束下达到极值的点。
详细描述
无约束条件的极值问题是在没有任何约束条件的情况下，寻找函数达到极值的点。这些问题通常使用导数来解决，通过求导数并找到导数为零的点来确定可能的极值点。然后，通过检查这些点的函数值和一阶导数值来确定是否达到极值。
总结词
约束条件的优化问题是指在满足某些约束条件下，寻找函数的最优解。
环境科学
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
2014数学分析3课件---18.4条件极值介绍
截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 2 2 x y z 0, x y z 1 0
应用拉格朗日乘数法，
2 2
下的最大值、最小值问题. 作拉格朗日函数
2 2
L( x, y, z , , ) x y z
{ ( x, y, z ) | x 2 y 2 z , x y z 1 }
上连续， 故所求问题存在最大值与最小值.
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计算 得： 计算 得
1 3 1 3 f( , , 2 3) 2 2
9 5 3,
1 3 1 3 f( , , 2 3) 2 2
再解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
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条件极值问题转化为拉格朗日函数的极值后，
理论上不难建立条件极值的充分条件．但在一般情
况下，特别是在应用问题中，常常根据问题的实际
意义来判定拉格朗日函数的稳定点是否为条件最大
（小）值.
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例1
要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱,
的限制下，求目标函数
y f ( x1 , x2 , , xn )
的极值.
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V 例如，在上述例子中，由条件 xyz V , 解出 z xy
代入目标函数
条件极值的一种求解方法是代入法.
S 2( xz yz ) xy
1 1 S 2V ( ) xy y x
2
2 z 3 2 yz 2 z yy , 4 y
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函数极值PPT演示文稿
谢谢大家
学生练习:
求下列函数极值
1 y x 7 x 6 3 2 y x 27 x
2
王新敞
奎屯 新疆
思考讨论：
函数y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值， 求a、b的值.
小 结
（1）本节从函数图象出发阐述了函数的极 大值、极小值、极值、极值点的定义；
（2）利用导数求函数的极大值和极小值的 方法； （3）函数极值点的导数为0，但导数为零 的点不一定是极值点 。
（5）在区间上的单调函数没有极值。
（6）极值点处导数为0，但导数为0的点不一定是 极值点。
3 f x x 探索: x =0是否为函数 的极值点? y f(x)x3
O
x
f(x0) =0
x0 是函数f(x)的极值点
3.函数极值与导数的关系
y
y
几何说明：曲线在极值点 处的切线斜率为0，极大值 点左侧切线斜率为正，右 侧为负；极小值点反之。
函数值 自变 量
（4）极值点：极大值点与极小值点统称为极值点。
2.定义再理解
y
识图说出 极值点？
m
x1
x2
o
n
x3 x4
x5
x
（1）极值是一个局部概念。 （2）函数的极值不是唯一的 。 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 。
&4.1.2 函数的极值
复习回顾
f x 0
' '
f x 0
增 减
冲浪运动模拟
1.函数极值
观 察：
y y
y=f(x)
数学分析教案(华东师大版)第十八章隐函数定理及其应用
第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。
教学时数：14学时§1 隐函数一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.1.2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件:ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续;ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件);ⅲ> 在D内存在连续的偏导数ⅳ> .的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在则在点某区间内的隐函数⑴,时()且.在区间内连续 .⑵函数四.隐函数可微性定理:满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内Th 2 设函数存在且连续 . 则隐函数. ( 证)在点满足隐函数存在例1 验证方程唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1. 其中为由方程所确定例2的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿)在点的某邻域内例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数有连续的导函数函数, 并求反函数的导数. P151例4五. 元隐函数: P149 Th3. 验证在点存在是例4§２隐函数组一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二.隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组*在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件, 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.例1P154例1.三.反函数组和坐标变换:1.反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理) P155 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 P156—157例2 , 3 .§3 几何应用平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有一..,切线方程为法线方程为例1求Descartes叶形线在点处的切线和二.空间曲线的切线与法平面:曲线由参数式给出: .1.切线方程为.法平面方程为.的方程为2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线点在上. 推导切线公式. [1]P209.切线方程为.法平面方程为.例2P161例2 .三.曲面的切平面与法线:的方程为, 点在上. 推导切面公设曲面式.1]P211.切平面方程为.法定义域线方程为.例3P162例3 .§4 条件极值一.条件极值问题: 先提出下例:的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使例要设计一个容积为水箱的表面积最小 . 分别以、为: 在约束条件之下求函数二. 条件极值点的必要条件:之下求函数的极值 . 当满足约束条件设在约束条件的点存在条件时, 由方程的极限点, 有.代入, 就有, 、、、均表示相应偏导数在点的值 . )( 以下即—可见向量(, )与向量, )正交. 注意到向量, ), )与向量, )线性相关,即存在实数, 使(, ) + , ).亦即二.Lagrange乘数法:在约束条件之下的条件极值由上述讨论可见, 函数点应是方程组的解.倘引进所谓Lagrange函数为Lagrange乘数), ( 称其中的实数则上述方程组即为方程组以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1例1抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆例2到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2求函数在条件例3下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3。
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数学分析PPT电子课件教案-第十八章极值与条件极值
1、第十八章:极值与条件极值,第一节极值与最小二乘法,一、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(微小值).,例如:,在点(0,0)有微
小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和微小值,统称为极值,,使函数取得极值的点称为极值点.,,的某邻域内有,说明:使偏导数都为0的点称为驻点.,例如,,定理1(必要条件),函数,偏导数,,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,,取得极值,取得极值,但驻点不肯定是极值点.,有驻点(0,0),,但在该点不取极值.,且在该点取得极值,
2、,则有,存在,故,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,若函数,二、最值应用问题,,函数f在闭域上连续,函数f在闭域上可到达最值,,最值可疑点,稳定点，偏导数不存在的点,边界上的最值点,特殊,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,,为微小值,,为最小值,(大),(大),根据,第二节条件极值与拉格朗日乘数法,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法1代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,,还有其它条件限制,例如,,
3、,方法2拉格朗日乘数法.,如方法1所述,,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,,极值点必满足,设,记,例如,,故,故有,引入帮助函数,帮助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,,则极值点满足:,,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,例1.求满足约束条件,的最大值。
,解：作拉格朗日函数：,令,即，稳定点：,由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，因此唯一的稳定点就是最大值点。
故球内接长方体中以正方体的体积最大。
,例2.求在约束条件,下的微小值；,并证明不等式：,解：作拉
4、格朗日函数：,令,即，稳定点：,下面判别稳定点是极值点,记,则,故方程,在稳定点附近可唯一确定可微数,令,如今用二元函数取极值的充分条件判别,是的极值点。
,由约束条件得：,从而,故在点有,.因此在取微小值,,这等价于在取微小值,分析约束集,是一无界集。
当在内远离原点时，函数将趋于正无,穷。
因此，函数的唯一微小值点是函数的最小值点，即,代入得，,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极
值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,,内容小节,1.函数的极值问题,
第一步利用必要
5、条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简洁问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,,解方程组,第二步判别,?比较驻点及边界点上函数值的大小,?依据问题的实际意义确定最值,第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,,习题,例1.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(–
3,0),(–3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为微小值
6、;,解方程组,,,,的极值.,求二阶偏导数,,,,,在点(?3,0)处,不是极值;,在点(?3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,,例2.商量函数,及,是否取得极值.,解:明显(0,0)都是它们的驻点,,在(0,0)点邻域内的取值,,因此z(0,0)不是极值.,因此,为微小值.,,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,例3.,解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,依据实际问题可知最小值在定义域内应存在,,的有盖长方体水,问
7、当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,例4.有一宽为24cm的长方形铁板,,把它折起来做成,解:设折起来的边长为xcm,,则断面面积,,一个断面为等腰梯形的水槽,,倾角为?,,,,积最大.,为,,问怎样折法才能使断面面,,令,,解得:,由题意知,最大值在定义域D内到达,,而在域D内只有,一个驻点,,故此点即为所求.,,,,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,,令,解方程组,解:设x,y,z分别表示长、宽、高,,下水箱外表
8、积,最小.,z使在条件,,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,补充题,已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),,试在椭圆,圆周上求一点C,使,△ABC面积S△最大.,解答提示:,设C点坐标为(x,y),,则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点C与E重合时,三角形,面积最大.,,,作业,P102:2.4.6,。