2013高考数学(理)一轮复习教案：第八篇立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

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2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-3空间点、直线、平面之间的位置关系

跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一平面基本性质的应用例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面.

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系【编辑寄语】本教案是我对《点直线平面的位置关系》需要达到的目标进行的归总，希望对老师有所帮助。

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的平面理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直教学重点：掌握平行公理与等角定理.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

教学难点：理解异面直线的定义与所成角第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言. “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

高三数学一轮复习精品教案4：8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课前考点引领考情分析考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系．了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理．理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角.知识清单1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内1平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．课中技巧点拨题型精选题型1平面的基本性质例1 画一个正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，再画出平面ACD 1与平面BDC 1的交线，并且说明理由．备选变式（教师专享）在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．(1) 过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2) 过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？题型2 共点、共线、共面问题例2 如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥=12AD ，BE ∥=12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1) 证明：四边形BCHG 是平行四边形． (2) C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？变式训练如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1) C 1、O 、M 三点共线； (2) E 、C 、D 1、F 四点共面．题型3 空间直线位置关系问题例3 已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点． (1) 求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2) 若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．备选变式（教师专享）已知四棱锥P ABCD 的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两条对角线的交点，若AB ＝3，PB ＝4，则P A 长度的取值范围为________．疑难指津1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是两个平面的一条交线．3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理．4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键．答案例1 解：F ∈CD 1、F ∈平面ACD 1、E ∈AC 、E ∈平面ACD 1、E ∈BD 、E ∈平面BDC 1、F ∈DC 1、F ∈平面DC 1B ，则EF 为所求．备选变式（教师专享）解：(1) 连结B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线，如图(a )．∵ B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴ l ∥直线BD .图(a )(2) ∵ BD ∥B 1D 1，∴ 直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(b )．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈⎝⎛⎦⎤0，π2. 当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．图(b )例2(1) 证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥=12AD .又BC ∥=12AD ，∴ GH ∥=BC .∴ 四边形BCHG 为平行四边形．(2) 解：(解法1)由BE ∥=12AF ，G 为F A 中点知，BE ∥=FG ，∴ 四边形BEFG 为平行四边形．∴ EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，∴ EF ∥CH ，∴ EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴ C 、D 、F 、E 四点共面．(解法2)如图，延长FE 、DC 分别与AB 交于点M 、M ′，∵ BE ∥=12AF ，∴ B 为MA中点．∵ BC ∥=12AD ，∴ B 为M ′A 中点．∴ M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)．∴C 、D 、F 、E 四点共面．变式训练证明：(1) ∵ C 1、O 、M ∈平面BDC 1，又C 1、O 、M ∈平面A 1ACC 1，由公理2知，点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上，∴ C 1、O 、M 三点共线．(2) 连结EF ，A 、B 、C 、D ，∵ E 、F 分别是AB ，A 1A 的中点，∴ EF ∥A 1B .∵ A 1B ∥CD 1，∴ EF ∥CD 1.∴ E 、C 、D 1、F 四点共面．例3(1) 证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2) 解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 备选变式（教师专享）『答案』(7，5)『解析』由题意知PO ⊥平面ABCD ，AB ＝3，PB ＝4，设PO ＝h ，OB ＝x ，则P A 2＝h 2＋9－x 2＝16－x 2－x 2＋9＝25－2x 2，因为0<x <3，所以7<25－2x 2<25，所以7<P A <5.。

人教a版高考数学(理)一轮课件：8.3空间点、直线、平面间的位置关系

第3讲
空间点、直线、平面间的位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)

A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.

高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲直线、平面平行的判定与性质教学案理

【第3讲直线、平面平行的判定与性质】之小船创作一、知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，l⊆/α，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b牢记线面平行、面面平行的七个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a ⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b ⊥α，则a∥b.(3)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(6)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．二、教材衍化1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b 的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊆/α，则b∥α解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⃘α，cα，所以b∥α.2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b ∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b ∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⃘α，a⃘β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊆/平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对空间平行关系的转化条件理解不够致误；(2)对面面平行判定定理的条件“平面内两相交直线”认识不清致误；(3)对面面平行性质定理理解不深致误．1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一的与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线．故选A.2．下列条件中，能判断两个平面平行的是________．①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面．解析：由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．显然只有④符合条件．答案：④3．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．答案：平行四边形线面平行的判定与性质(多维探究)角度一直线与平面平行的判定如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．(1)证明：AD1∥平面BDC1；(2)证明：BD∥平面AB1D1.【证明】(1)因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1綊DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1∥C1D，又AD1⊆/平面BDC1，C1D平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.(2)连接D1D，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D，又因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，所以DD1綊AA1，所以BB1＝AA1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，又BD⊆/平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.角度二直线与平面平行的性质如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．【解】(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊆/平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，且G是PB的中点，所以GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.易得EF＝BC＝8，故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2·GK＝4＋82×3＝18.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊆/α，bα，a∥b⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊆/α，a⊆/β，a∥α⇒a∥β)．1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB ⊆/平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.2．如图，四棱锥P ABCD 中AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD .证明：(1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，FO 平面BEF ，AP ⊆/平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，所以OH ∥平面PAD . 又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH平面OHF ，所以GH∥平面PAD.面面平行的判定与性质(典例迁移)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊆/平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊆/平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.【迁移探究1】(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明：如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊆/平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.【迁移探究2】(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B平面A1BD1，DM⊆/平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.又DC1⊆/平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM 平面AC 1D ，所以平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明面面平行的常用方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．1.如图，AB ∥平面α∥平面β，过A ，B 的直线m ，n 分别交α，β于C ，E 和D ，F ，若AC ＝2，CE ＝3，BF ＝4，则BD 的长为( )A.65 B ．75C.85D ．95解析：选C.由AB ∥α∥β，易证 AC CE ＝BD DF .即AC AE ＝BDBF ，所以BD ＝AC ·BF AE ＝2×45＝85.2.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点，所以EG ∥SB . 又因为SB平面BDD 1B 1，EG ⊆/平面BDD 1B 1，所以直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点，所以FG ∥SD . 又因为SD平面BDD 1B 1，FG ⊆/平面BDD 1B 1，所以FG ∥平面BDD 1B 1，又EG平面EFG ，FG 平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1.平行关系中的探索性问题(师生共研) 如图，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC的值．【解】(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1⊆/平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.因为A1D1D1C1＝A1OOB，A1D1D1C1＝DCAD.又因为A1OOB＝1，所以DCAD＝1，即ADDC＝1.解决探索性问题的方法(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．(一题多解)如图，四棱锥EABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD为矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝3，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段DE上，且满足EM＝2MD，试在线段AB上确定一点N，使得MN∥平面BCE，并求MN的长．解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，且BC平面ABCD，所以BC⊥平面ABE.又AE平面ABE，所以BC⊥AE.因为BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以BF⊥AE.又因为BC∩BF＝B，BC平面BCE，BF平面BCE，所以AE⊥平面BCE，因为BE平面BCE，所以AE⊥BE.(2)法一：如图，在△ADE中过M点作MG∥AD交AE于G 点，在△ABE中过G点作GN∥BE交AB于N点，连接MN，因为NG∥BE，NG⊆/平面BCE，BE平面BCE，所以NG∥平面BCE.同理可证，GM∥平面BCE.因为MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面BCE，又因为MN平面MGN，所以MN∥平面BCE，因为N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点，AD＝6，AB＝5，BE＝3，所以MG＝23AD＝4，NG＝13BE＝1，所以MN＝MG2＋NG2＝42＋12＝17.法二：如图，过M点作MG∥CD交CE于G点，连接BG，在AB上取N点，使得BN＝MG，连接MN，因为MG∥CD，EM＝2MD，所以MG＝23 CD，因为AB∥CD，BN＝MG，所以四边形MGBN是平行四边形，所以MN∥BG，又因为MN⊆/平面BCE，BG平面BCE，所以MN∥平面BCE，又MG＝23CD，MG＝BN，所以BN＝23AB，所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点．在△CBG中，因为BC＝AD＝6，CG＝13CE＝1362＋32＝5，cos∠BCG＝255，所以BG2＝36＋5－2×6×5×255＝17，所以MN＝BG＝17.[基础题组练]1．(2020·河北衡水模拟一)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α∥β的充分条件是( )A．m∥n，mα，nβB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β解析：选B.对于A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行，也可能相交，因此A中条件不是α∥β的充分条件；对于B，因为m∥n，m ⊥α，所以n⊥α，结合n⊥β，知α∥β，因此B中条件是α∥β的充分条件；对于C，由m⊥n，m∥α知nα，或n∥α，或n与α相交，结合n∥β，知α，β可能平行，也可能相交，所以C中条件不是α∥β的充分条件；对于D，由m⊥n，m⊥α知nα，或n∥α，结合n⊥β，知α⊥β，所以D中条件不是α∥β的充分条件．综上可知．选B.2．(2020·江西红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若m∥n，nα，则m∥αB．若mα，nβ，α∥β，则m∥nC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C.若m∥n，nα，则m∥α或mα，所以选项A不正确；若mα，nβ，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C.3．(2020·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据aα，bβ，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊15BD，又EF⊆/平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊12BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊆/平面BC1D1，BC1平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．解析：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB平面ABD，MN⊆/平面ABD，AB平面ABC，MN⊆/平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD与平面ABC7．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD 的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD ∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝12AC＝ 2.答案：28.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M 在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)9.在如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系？并证明你的结论．解：(1)过点P作B′C′的平行线，交A′B′，C′D′于点E，F，连接BE，CF.作图如下：(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因为BC∥平面A′B′C′D′，又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因为EF∥B′C′，所以EF∥BC，又因为EF⊆/平面ABCD，BC平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊆/平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊆/平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊆/平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.[综合题组练]1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊆/平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.2.(2020·江西吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A. 2 B ．98C. 3D ．62解析：选B.如图1，取B 1C 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，DF ，B 1D 1，则EF ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD ，故EF ，BD 在同一平面内，连接ME ，因为M ，E 分别为A 1D 1，B 1C 1的中点，所以ME ∥AB ，且ME ＝AB ，所以四边形ABEM 是平行四边形，所以AM ∥BE ，又因为BE平面BDFE ，AM ⊆/平面BDFE ，所以AM ∥平面BDFE ，同理AN ∥平面BDFE ，因为AM ∩AN ＝A ，所以平面AMN ∥平面BDFE ，BD ＝2，EF ＝12B 1D 1＝22，DF ＝BE ＝52，等腰梯形BDFE如图2，过E ，F 作BD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFGH 为矩形，所以FG ＝DF 2－DG 2＝54－18＝324，故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2×324＝98，故选B.3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1.则以下四个说法：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.其中说法正确的是________(填序号)．解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN平面APC，所以MN∥平面APC是错误的；②由①知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，AN平面APC，所以C1Q∥平面APC是正确的；③由①知A，P，M三点共线是正确的；④由①知MN平面APC，又MN平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．答案：②③4.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以PMBD＝APAD＝13，所以PM＝13BD，又BD＝2a，所以PQ＝223a.答案：22 3a5.如图，在四棱锥PABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD的中点．(1)设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；(2)若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB.解：(1)分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB平面PAB，R∈CD平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l.(2)证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝12 AD，又AO＝12AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面PAB，又OE平面OEC，OC平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB∥平面OEC，又OQ平面OEC，所以OQ∥平面PAB.6．如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明B1D1∥l.证明：(1)由题设知BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊆/平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊆/平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.。

高考数学一轮复习第8章立体几何3第3讲空间点直线平面之间的位置关系教案理

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( )(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC .( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面解析：选D.A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D 是正确的．(教材习题改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行AD平面的基本性质[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．【证明】如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以EF 与CD 1确定一个平面α，所以E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面．若本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，又CE ⊂平面ABCD ，且D 1F ⊂平面A 1ADD 1，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． [提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明：(1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，所以P ∈平面ABC . 同理P ∈平面ADC .所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线．空间两直线的位置关系[典例引领](构造法)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若直线m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若直线m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m ，n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④若直线m ，n 在平面α内的射影互相垂直，则m ⊥n . A ．② B ．②③ C ．①③D ．②④【解析】对于①，m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与n 一定平行，故②正确；对于③，还有可能n ∥β或n 与β相交，③错误；对于④，把m ，n 放入正方体中，如图，取A 1B 为m ，B 1C 为n ，平面ABCD 为平面α，则m 与n 在α内的射影分别为AB 与BC ，且AB ⊥BC .而m 与n 所成的角为60°，故④错误．因此选A. 【答案】 A(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．[通关练习]1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．答案：②④异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：(1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．[典例引领]角度一求异面直线所成的角或其三角函数值(2017·高考全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105D.33【解析】如图所示，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C. 【答案】 C角度二由异面直线所成角求其他量四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．【解析】如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 12或32[通关练习]1．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D ．2解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE＝25＝255.2．(2018·安徽安庆模拟)正四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为16. 答案：16三个公理的作用公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．易错防范(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．(2018·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，则异面直线CD 与A 1C 1所成的角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选D.因为AC ∥A 1C 1，所以异面直线CD 与A 1C 1所成的角的平面角为∠ACD .由∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D 为AB 的中点，可知，∠CAD＝∠ACD ＝30°.5.(2018·河北邯郸调研)如图，在三棱锥S ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上都有可能解析：选B.连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，所以在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，所以G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，所以MN ∥BC ，因此可得G 1G 2∥BC ，即直线G 1G 2与BC 的位置关系是平行．故选B. 6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．答案：③④8.如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：如图，取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°.答案：60°9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC .所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.10.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．(2018·河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1和AB 的中点，平面B 1EF 交棱AD 于点P ，则PE ＝( )A.156B.233C.32D.136解析：选D.过点C 1作C 1G ∥B 1F ，交直线CD 于点G ，过点E 作HQ ∥C 1G ，交CD 、C 1D 1于点H 、Q ，连接B 1Q ，HF 交AD 于点P ，HQ ∥B 1F ，所以Q 、H 、F 、B 1四点共面，易求得HD ＝D 1Q ＝14，由△PDH ∽△PAF 可得AP PD ＝AF HD＝2，则PD ＝13，在Rt △PED 中，PE ＝19＋14＝136，故选D. 2．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ， PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．①若∠MPN ＝60°，因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.答案：60°或30°3．(2017·高考全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC ＝1，AB ＝2，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA →的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1.B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1.设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD →的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. 故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误．设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， cos β＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|. 当AB ′与a 成60°角时，α＝π3， |sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22. 因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|cos θ|＝22. 所以cos β＝22|cos θ|＝12. 因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．所以②正确，①错误．答案：②③4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线有________条．解析：法一：如图，在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有一个交点N ，当M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A 1D 1上任取一点P ，过点P 与直线EF 作一个平面α，因为CD 与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q ，连接PQ (图略)，则PQ 与EF 必然相交，即PQ 为所求直线．由点P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交．答案：无数5.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α.因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(2)取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.6.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .解：(1)因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面． (2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3) 证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)

【第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系】之小船创作基础知识整合1．平面的基本性质01两点在一个平面内，那么公理1：如果一条直线上的□这条直线就在此平面内．02不在同一直线上的三点，有且只有一个公理2：经过□平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作□05A∈α，点A不在平面α内记06A∉α.作□(2)点与线的位置关系点A在直线l上记作□07A∈l，点A不在直线l上，记作□08A∉l.(3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作□09l⊂α，直线l不在平面α内记作□10l⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a，记作□11α∩β＝a.(5)直线l与平面α相交于点A，记作□12l∩α＝A.(6)直线a与直线b相交于点A，记作□13a∩b＝A.3．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，π2. 1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A ．m ⊥nB ．m ∥nC ．m 与n 相交D ．m 与n 异面答案 A解析若β⊥α，m ⊥α，则直线m 与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m ⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D 错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a ⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.3证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EF綊12BD，GH綊23BD.∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．考向二空间两条直线的位置关系角度1两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4即不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案 D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3，∴∠A1BC1＝60°.触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．2二证：证明作出的角是异面直线所成的角.3三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝12AC，EG＝12BD.∴∠EFG为EF与AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.故选B. 5．在三棱锥S－ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则SC与AB所成角的余弦值为________．答案17 17解析如图所示，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB，连接DG，则△DFG为直角三角形．由题知AC＝2，BC＝13，SB＝29可得DE＝172，EF＝2，DF＝52，在△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC ＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案C解析将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35C.45 D ．－35答案 B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ，如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417. 由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版

② a b P
⇒α∥β

a

b
判定定如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l

l
⇒α∥β

⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;

2013年高考数学一轮复习 9.4 空间中的平行关系精品教学案(学生版) 新人教版.doc

2013年高考数学一轮复习精品教学案9.4 空间中的平行关系【考纲解读】1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两部分。

② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。

（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。

非水平平面：只要画成平行四边形。

直立的平面：一组对边为铅垂线。

相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。

C.练习：画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。

④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教学案理

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α.作用：可用来证明点、直线在平面内．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α.作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．符号表示为：P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有一个公共点：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在一个平面内，没有公共点(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____．公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用．作用：判断空间两条直线平行的依据．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．(4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．______ ________ ______ ．两个平面的位置关系表示法公共点个数，b ⊂α，l ∩立的是( )．A ．l ⊂αB ．l ⊄αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行4．设a ，b ，c 为空间三条不同的直线，下面四个命题： ①若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；②若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中真命题的序号是__________．5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC ．求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)三直线FH ，EG ，AC 共点．一、平面的基本性质【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ，D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．请做演练巩固提升5二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1.方法提炼1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．请做演练巩固提升1忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在△AEA1中，cos∠AEA1＝a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＋a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22－a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＝35.答案：35答题指导：1．(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角．②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意异面直线所成的角为锐角或直角．1．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m⊥n.其中真命题有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2012浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．设a，b，c是空间中的三条直线，下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是__________(只填序号)．5．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线(3)有且只有一条2．(1)相交直线平行直线任何 (2)a ∥c (3)相等或互补(4)异面直线锐角(或直角)3．无数个一个无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数基础自测1．A2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误；对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误；对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交、平行或异面．5．解：(1)连接EF ，GH .已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 12BD . 又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ， ∴HG 13BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG . ∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG .∴四边形EFHG 为梯形．设直线FH ∩直线EG ＝O .∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂平面ACD ，∴点O ∈平面ACD .同理点O∈平面ABC.又∵平面ACD∩平面ABC＝AC，∴点O∈直线AC.∴直线FH，EG，AC交于点O，即三直线共点．考点探究突破【例1】证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP，BP可确定一平面β，且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l⊂β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．【例2】证明：已知E是CD的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又因为AE∩BC＝F，所以F∈AE.从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.因为EC 12 AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BC AD，所以CF DG.所以四边形CFGD是平行四边形．所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.演练巩固提升1．B 解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，故③为真命题；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故④为真命题．因此真命题有2个．2．B 解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l⊂β，D 选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．3．C 解析：A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.4．①5．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．∴B，D，P三点共线．。

高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系高效演练分层突破文新人教A版

第 3 讲空间点、直线、平面之间的地点关系[ 基础题组练 ]1．已知异面直线a， b 分别在平面α，β 内，且α∩β＝c，那么直线 c 必定() A．与a，b都订交B．只好与a， b 中的一条订交C．起码与a， b 中的一条订交D．与a，b都平行分析：选 C. 若c与a，b都不订交，则 c 与 a， b 都平行，依据公义4，知a∥b，与a，b 异面矛盾．2．已知直线 a 和平面α，β，α∩β＝l ， a?α，a?β，且 a 在α，β内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的地点关系是()A．订交或平行B．订交或异面C．平行或异面D．订交、平行或异面分析：选 D. 依题意，直线 b 和 c 的地点关系可能是订交、平行或异面．应选 D.3．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，按序连结四边中点的四边形必定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形分析：选 B. 如下图，易证四边形EFGH为平行四边形．由于 E， F 分别为 AB， BC的中点，因此 EF∥ AC.又 FG∥ BD，因此∠ EFG或其补角为AC与 BD所成的角．而 AC与 BD所成的角为90°，因此∠ EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．4．已知直线a，b分别在两个不一样的平面α，β 内，则“直线a和直线b订交”是“平面α 和平面β 订交”的()A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：选 A. 若直线，订交，设交点为，则∈，∈.又? ， ?β，因此∈α，a b PP a P ba α b P P∈β，故α，β订交．反之，若α，β 订交，则a，b可能订交，也可能异面或平行．故“直线 a 和直线 b 订交”是“平面α 和平面 β 订交”的充分不用要条件．5．(2020 ·内蒙古集宁一中四模 ) 如图，在四周体 ABCD 中，E ，F 分别是 AC ，BD 的中点，若 CD ＝ 2AB ＝ 4， EF ⊥ BA ，则 EF 与 CD 所成的角为 ( )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°分析：选 A.取的中点，连结， . 则 ∥ ， ∥ . 因此 EF 与所成的角为CB G EG FG EG AB FG CDCD∠EFG ( 或其补角 ) ，由于 EF ⊥AB ，因此 EF ⊥ EG .11EG ＝ 2AB ＝ 1， FG ＝ 2CD ＝ 2，1因此在 Rt △ EFG 中， sin ∠ EFG ＝ 2，因此 EF 与 CD 所成的角为 30° . 应选 A. 6．已知棱长为 a 的正方体 -′′′′中，，分别为，的中点，则MNABCDA B C DM NCD AD 与 A ′ C ′的位置关系是．分析：如图，由题意可知∥ .又由于 ∥′′，MN AC AC A C因此 MN ∥ A ′ C ′.答案：平行7．给出以下四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面 α 内的一条直线a 与平面 β 内的一条直线b 订交，则 α 与 β 订交；③若一条直线和两条平行线都订交，则这三条直线共面；④若三条直线两两订交，则这三条直线共面．此中真命题的序号是．分析： ①正确，由于直线在平面外即直线与平面订交或直线平行于平面，因此最多有一个公共点．②正确， a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面订交．③正确，两平行直线可确立一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，因此过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线能够交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③8．如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，则异面直线AP与 BD 所成的角为．分析：如图，将原图补成正方体ABCD -QGHP ，连结 AG ，GP ，则 GP ∥ BD ，因此∠ APG 为异面直线 AP 与 BD 所成的角，在△ AGP 中， AG ＝ GP ＝ AP ，π因此∠ APG ＝ 3 .π 答案：39．如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，O 为正方形 ABCD 的中心， H 为直线 B 1D 与平面 ACD 1的交点．求证： D 1， H ，O 三点共线．证明：如图，连结BD ， B 1D 1，则 BD ∩ AC ＝ O ，由于 BB ∥DD ，1═1因此四边形 BB 1D 1D 为平行四边形，又 H ∈B 1D ，B 1D ? 平面 BB 1D 1D ，则 H ∈平面 BB 1D 1D ，由于平面 ACD 1∩平面 BB 1D 1D ＝ OD 1，因此 H ∈ OD 1. 即 D 1， H ， O 三点共线．π10. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， D 是 PC 的中点．已知∠ BAC ＝ 2 ，AB ＝ 2，AC ＝ 2 3， PA ＝ 2. 求：(1) 三棱锥 P - ABC 的体积；(2) 异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值．1解： (1) S △ ABC ＝2×2×2 3＝ 2 3，1 1 4 3 三棱锥 P - ABC 的体积为 V ＝ S △ ABC ·PA ＝×2 3×2＝.333(2) 如图，取 PB 的中点 E ，连结 DE ，AE ，则 ED ∥BC ，因此∠ ADE (或其补角 ) 是异面直线BC 与 AD 所成的角．2 2－ 2 3在△中，＝ 2，＝ 2，＝ 2， cos ∠2 ＋ 2 ＝＝ .ADE DE AEADADE 2×2×2 43故异面直线BC 与 AD 所成角的余弦值为 4.[ 综合题组练 ]1．如下图，平面α∩平面 β＝ l ， A ∈α， B ∈ α， AB ∩ l ＝D ， C ∈ β， C ?l ，则平面与平面β的交线是 ()ABCA ．直线 ACB ．直线 ABC ．直线 CDD ．直线 BC分析：选 C. 由题意知， D ∈ l ， l ? β，因此 D ∈ β，又由于 D ∈ AB ，因此 D ∈平面 ABC ，因此点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上．又由于 C ∈平面 ABC ， C ∈β，因此点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上，因此平面 ABC ∩平面 β＝CD .2. 如图，已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面， B ，C 是圆上的两点， H 是点 B 在 AC 上的射影，当点 C 运动时，点 H 运动的轨迹 ()A ．是圆B ．是椭圆C ．是抛物线D ．不是平面图形分析：选 A. 如图，过点 B 作圆的直径，连结，，则⊥ ，再过点 B 作 ⊥BD CD AD BC CD BE AD于点 E ，连结 HE ，由于 AB ⊥平面 BCD ，因此 AB ⊥ CD . 又 BC ⊥ CD ，且 AB ∩ BC ＝ B ，因此 CD ⊥平面 ABC ，因此 CD ⊥ BH .又 BH ⊥ AC ，且 AC ∩ CD ＝ C ，因此 BH ⊥平面 ACD ，因此 BH ⊥ AD ， BH ⊥ HE .又注意到过点 B 与直线 AD 垂直的直线都在同一个平面内，于是联合点 B ，E 地点，可知，当点 C 运动时，点 H 运动的轨迹是以 BE 为直径的圆．应选 A.3. 如下图， A 是△ BCD 所在平面外的一点， E ， F 分别是 BC ， AD 的中点．(1) 求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2) 若 AC ⊥ BD ，AC ＝ BD ，求 EF 与 BD 所成的角．解： (1) 证明：假定EF 与不是异面直线，则 EF 与共面，进而与共面，即BD BD DF BEAD 与 BC 共面，因此 A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与 A 是△ BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．(2) 取 CD 的中点 G ，连结 EG ， FG ，则 AC ∥FG ， EG ∥BD ，因此订交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．又由于 AC ⊥ BD ，则 FG ⊥ EG .1在 Rt △ EGF 中，由 EG ＝ FG ＝ 2AC ，求得∠ FEG ＝ 45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° .4.( 综合型 ) 如图， E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且 AE ∶ EB ＝AH ∶ HD＝m ， CF ∶ FB ＝ CG ∶ GD ＝ n .(1) 证明： E ， F ， G ， H 四点共面；(2) m ，n 知足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3) 在 (2) 的条件下，若 AC ⊥ BD ，试证明： EG ＝ FH .解： (1) 证明：由于 AE ∶EB ＝ AH ∶HD ，因此 EH ∥ BD .又 CF ∶ FB ＝ CG ∶ GD ，因此 FG ∥ BD . 因此 EH ∥ FG .因此 E ， F ， G ，H 四点共面．(2) 当 EH ∥ FG ，且 EH ＝ FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形．由于 EH AEmm＝＝，因此 EH ＝BD .BD AE ＋ EB m ＋ 1m ＋ 1n同理可得 FG ＝n ＋ 1BD ，由 EH ＝ FG ，得 m ＝ n .故当 m ＝ n 时，四边形 EFGH 为平行四边形．(3) 证明：当 m ＝ n 时， AE ∶ EB ＝CF ∶FB ，因此 EF ∥ AC ，又 EH∥ BD，因此∠ FEH是 AC与 BD所成的角(或其补角)，由于 AC⊥ BD，因此∠ FEH＝90°，进而平行四边形EFGH为矩形，因此EG＝ FH.。

讲空间点直线平面之间的位置关系一轮复习教案

讲空间点直线平面之间的位置关系一轮复习教案空间点、直线、平面的位置关系、三公理及三推论1、平面的含义2、三公理及三推论(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面丙符号表示为ALBL=L|CaAaABa公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、BC三点不共线=有且只有一个平面a,使Aa、Ba、Ca。

公理2(三推论)作用：确定一个平面的依据。

推论1、经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：PaQB=aA3=L，且PL公理3作用：判定两个平面是否相交的伊岭?！、空间中直线与直线之间的位置关系(1、空间的两条直线有如下三种关系：7、f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平徐:线/匚平俞)/内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a、b、c是三指&ab.=a/Cc/bABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，贝U异面直线EF与SA所成的角等于（）9,正方体ABCD3，A，6为其上的三个顶点，则在正方体中，/ABC的大小为3J0D,36.若A表示点，a表示直线，aB表示平面,则下列表述中，错误的是（）A.a?a,Aa?AaB.a?a,Aa?A?a图J33.如图K333ABCD 中，E为CD的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为B.A，M，O，A四点共面C.A，O，C，M四点共面D.B，B，O，M四点共面13.长方体ABCDABCD中，AA=AB=2,AD=,点E,F,G分别是DD,AB,CC的中点.求异面直线AE，GF所成角的大小.请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题.(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M3ABCD中，E,F分别是AB,AA的中点.求证：()E,C,D,F四点共面；(2)CE,DF,DA三线共点.图D63课后练习题1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是(D)A.内所有的直线都与a异面；B.D.5如图K34是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，内不存在与a平行的直线；C.内所有的直线都与a相交;6.A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a/,a/,b/C.直线a，直线bD.内的任何直线都与，且10.直三棱柱83B.C.D.4ABCABC中各侧棱和底面直线a与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（C）A.3B.2C.1D.03.给出下列命题：(1)直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；(2)直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；(3)异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；(4)若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（）A、0B、1C、2D、34.正方体ABCD33-12D1Da11.下列说法不正确的是（）13.已知直线a_L直线b,平面，则b与A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线一定共面；C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直二、填空题12.已知直线a平面，平面平面，则a与的位置关系为的位置关系为14.如图，ABC是直角三角形，ACB=90,PA平面ABC此图形中有一个直角三角形15.a、B是两个不同的平面，m、n是平面a 及B之外的两条不同直线，给出四个论断：mXX以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：若则。

空间直线平面的平行课件高三数学一轮复习

【命题说明】
考向考法
预测
高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现. 2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出现,难度中档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义直线l与平面α__没__有__公__共__点__,则称直线l与平面α平行.
角度2 平面与平面平行的性质 [例4](2023·承德模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F 在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1, 连接CN,EN,则AE=DN=1.CF=ND1=2, 因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN. 同理四边形DNEA是平行四边形, 所以EN∥AD,且EN=AD, 又BC∥AD,且AD=BC, 所以EN∥BC,EN=BC, 所以四边形CNEB是平行四边形, 所以CN∥BE,所以D1F∥BE, 所以E,B,F,D1四点共面;
对点训练如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面
PDC∩平面PBE=l.证明:
(1)DF∥平面PBE;
如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面 PDC∩平面PBE=l.证明:
(2)DF∥l. 【证明】(2)由(1)知DF∥平面PBE, 又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l, 所以DF∥l.
解题技法 1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β). 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.