第二章 解线性方程组的迭代法
第2章解线性代数方程组的迭代法
第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。
迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。
山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。
那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。
因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。
2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。
为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。
计算方法3_线性方程组迭代解法
计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。
该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。
线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。
本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。
雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。
雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。
雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。
2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。
3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。
4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。
超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。
超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。
第二章解线性方程组迭代法
A=(D-L)-U
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• 收敛条件
迭代格式X=GX+g 对任意的初值X0和向量g，收敛的充要条
件是G的谱半径 (G)<1。
下面我们看一些充分条件：
0 a12
0
U
0
a1n
0 an1n
0
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易知，Jacobi迭代有
(D L U )x b Dx (L U )x b
x D1(L U )x D1b
定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A，
①若A为行或列强对角占优阵，则Jacobi和Gauss-Seidel迭代都收敛；
② 若A对称正定阵，则Gauss-Seidel迭代收敛；
③ 若A对称正定阵，且2D A也为对称正定阵，则Jacobi迭代收敛。
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将方程组变形，化为：
11x1 x2 2x1 12x2
6x3 x3
4 1
x1 3x2 15x3 2
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解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
第二章迭代法的一般原理知识分享
第二章迭代法的一般原理知识分享迭代法是一种解决问题的常用方法，其基本原理是将问题分解为一系列子问题，并通过逐步逼近的方式逐步求解，直到达到预期的解决方案。
迭代法通常由以下几个步骤组成：初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果。
迭代法的一般原理可以总结为以下几点：1.初始化：迭代法通常需要一个初始解，该解可能是问题的近似解或一个具有特定条件的解。
这个初始解将作为迭代的起点，进而逐步逼近最终的解。
2.迭代：在每一次迭代中，通过使用前一次迭代的结果作为输入来计算下一次迭代的结果。
迭代过程可以使用数学公式、算法或其他适当的方法来进行计算。
3.判断停止条件：在每一次迭代中，需要判断是否满足停止条件。
停止条件通常与所求解的问题有关，可以根据预先设定的要求来判断是否已经达到了足够的精度或满足了特定的条件。
4.更新：根据迭代的结果，需要更新迭代变量的值。
这个更新可以是简单的赋值操作，也可以是需要进行复杂计算或使用迭代公式来进行计算。
5.输出结果：当满足停止条件时，迭代过程结束，并输出最终的解。
这个解可能是问题的数值解、近似解或其他形式的解决方案。
迭代法的优点在于它可以通过逐步逼近的方式不断提高解的精度，不需要一次性找到完美的解决方案。
这使得迭代法在处理复杂问题时非常有用，因为往往很难找到问题的精确解。
迭代法的应用非常广泛，可以用于解决数值计算、优化问题、图像处理、机器学习等领域的问题。
例如，在求解非线性方程时，可以使用牛顿迭代法来逼近方程的根；在求解线性方程组时，可以使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法来逼近方程的解。
需要注意的是，迭代法并不是万能的，不是所有问题都适合使用迭代法来解决。
在选择是否使用迭代法时，需要考虑问题的特性和求解方法的适用性。
总结起来，迭代法是一种通过逐步逼近的方式来解决问题的方法。
它的基本原理是通过初始化、迭代、判断停止条件、更新和输出结果等步骤来逼近最终的解决方案。
迭代法广泛应用于各个领域，是解决复杂问题的常用手段之一。
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
解线性方程组的迭代法实际应用
解线性方程组的迭代法实际应用
现今，互联网行业的发展速度越来越快，数据和信息的传播变得越来越重要，因此，熟练掌握并利用数据和信息变得越来越必要。
迭代法是解决线性方程组最重要的算法之一，在互联网行业中也有广泛的应用。
迭代法能够有效的求出不同的近似解，而且计算速度较快，能够满足互联网行业的快速发展。
比如运行在分布式环境中的搜索引擎，其中有大量的系统参数，如摆放有系统服务器到网络以及运行配置等，这些参数有很多线性方程组，这些线性方程组很难使用传统的数学方法来求解，而使用迭代法可以快速得到这些方程组的答案，为搜索引擎提供良好的运行环境。
另外，现代的宽带技术和视频技术极大的提高了节目的传输效率。
它们的实现依赖于复杂的线性方程，迭代法可以有效的帮助实现技术的快速发展。
此外，依靠迭代法的快速求解，将抗性算法转换为原始算法，也可以有效改进网络的性能，比如入侵检测算法中，使用迭代引入抗性算法来更新原始算法，结合专业技术确定加密规则，从而更有效的防止非法攻击。
总之，迭代法在互联网行业中发挥着重要作用，在搜索引擎、宽带技术和入侵检测算法等方面，迭代法及其所需技术都可以极大地提升网络系统的效率，确保互联网系统的可靠性和安全性，完善互联网的运作环境。
线性方程组求解的迭代算法
线性方程组求解的迭代算法线性方程组是数学中常见的问题之一，求解线性方程组是很多科学和工程领域中必需的基本任务。
而迭代算法是一种常见的求解线性方程组的方法之一，通过不断逼近线性方程组的解来达到求解的目的。
本文将介绍一些常见的线性方程组迭代算法及其原理。
一、雅可比迭代法雅可比迭代法是最早被提出的线性方程组迭代算法之一。
其思想是通过不断迭代，在每一步都利用先前求得的近似解来逼近方程组的解。
具体算法如下：假设给定的线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
1. 首先，将方程组转化为x=D^-1(b-Rx)，其中D为一个对角矩阵，R为矩阵A的剩余部分。
2. 设定一个初始解向量x0。
3. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 计算下一次迭代的解向量：x_k+1 = D^-1(b-Rx_k)，其中k为当前迭代的次数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
雅可比迭代法的收敛性与系数矩阵A的特征值有关。
当A是严格对角占优矩阵时，迭代法收敛。
二、高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。
在每一次迭代中，新的解向量x_k+1的计算会利用到之前已经计算得到的近似解向量的信息，从而加快迭代的速度。
具体算法如下：1. 设定一个初始解向量x0。
2. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 对于每个方程i，计算下一次迭代的解向量的每个分量：x_k+1[i] = (1/A[i][i]) * (b[i]-Σ(A[i][j]*x_k[j]，其中j为1到i-1之间的所有整数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
高斯-赛德尔迭代法相比于雅可比迭代法，在每一次迭代中都会利用到之前计算得到的近似解向量的信息，因此收敛速度更快。
三、超松弛迭代法超松弛迭代法是对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的进一步改进。
通过引入松弛因子ω，可以加速迭代的收敛速度。
第二章解线性方程组的迭代法
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解线性方程组的迭代法
直接法得到的解是理论上准确的，但是它们的计算量都是
n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适 （n<400），但是在很多实际问题中，我们要求解的方程组n很
是否是原来的方程的解？
A=(D-L)-U
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• 收敛条件
迭代格式X=GX+g 对任意的初值X0和向量g，收敛的充要条
件是G的谱半径 (G)<1。
下面我们看一些充分条件：
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迭代法的收敛性
定理：迭代法X(m+1)=GX(m)+g 收敛的充分必要条 件是迭代矩阵G为收敛矩阵，即G的谱半径
(G)<1。
定理： 迭代法X(m+1)=GX(m)+g 的迭代矩阵G的某种范数 ||G||＝q<1,那么： 1）对任意初值X(0)及g右端向量，迭代格式收敛于X*; 2) ||X(m) X*||qm ||X(1) –X(0)||/(1-q); 3) ||X(m) X*||q ||X(m) – X(m-1)||/( 1-q).
(
k
1)
1 a11
(a12
x2
(k
)
1 a22
(a21x1(k )
a1n xn(k ) a23x3(k )
b1) a1n xn(k )
线性方程组的迭代法
1 20 D 1b
1 8
24 1.2 12 1.5 1 15 30 2
x1( k 1) 0 0.1 0.15 x1( k ) 1.2 ( k 2) x ( k ) 1.5 0 0.125 2 x2 0.125 ( ( x3k 1) 0.133 3 0.2 0 x3k ) 2.0
将方程组AX=b的系数A分解成 A=D+L+U 其中D=diag(a11,a22,,ann) ，L和U分别是A的 对角线下方元素和上方元素组成的严格下三角 阵与严格上三角阵. 即
0 0 a2 1 0 A a n1 an 2
0 a1 1 0 0 0 a1 2 0 0 a2 2 0 0 0 0 0 0 an n 0 0
k 1 r k 1 0 0 (k )
所以Gauss-Seidel迭代 法收敛.
定理 超松弛法收敛的必要条件为 0<<2
证 设其迭代矩阵G的特征值为1,2,, n , 由于迭代收敛,故有 max i 1 1 i n 从而 det G 12 n (max i ) n 1
a
j 1 j i
n
ij
aii
n
(i 1,2, , n )
aij aii 1
故
GJ
max
1i n j 1 j i
从而Jacobi迭代收敛
* * * * 设方程组的精确解为 X ( x1 , x2 , xn )
第二章 迭代法的一般原理
第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上，都比线性方程组复杂得多。
一般的非线性方程组很难求出解析解，往往只能求出其数值解，且往往只能借助于迭代法。
本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。
2-1 迭代法与不动点定理设n n R R D →⊂:f ，考虑方程()0=x f (2-1)若存在D *∈x ，使()0=*x f ，则称*x 为方程(2-1) 的解。
用迭代法求解(2-1) ，先将(2-1)化为等价的方程()x g x = (2-2)这里映象n n R R D →⊂:g 。
方程(2-2)的解*x (即()**x g x =)称为映象g 的不动点。
因此用迭代法解方程(2-1)，就是求(2-2)中映象g 的不动点。
这样以及g 是否存在不动点自然就是我们关心的问题。
定理2-1 若n n R R D →⊂:g 为有界闭集D D ⊂0上的严格非膨胀映象，()00D D ⊂g ，则g 在0D 内有唯一不动点。
证 唯一性 设g 在0D 内至少有两个不动点1x ，2x ，则()()2121x x x g x g x x 21-≤-=-α 因1<α，所以由上式推得21x x =。
唯一性得证。
记()()x g x x -=ϕ，由g 及泛数的连续性可知1:R R D n →⊂ϕ连续。
因0D 为有界闭集，故ϕ在0D 上有最小值。
设0D *∈x 为最小点，即()()x g x x -=∈min 0D x *ϕ则*x 为g 的不动点。
因为若不然，则有()**x g x ≠，再由g 严格非膨胀，可得()()()()()***x g g x g x g -=ϕ()()***x x g x ϕ=-<这与*x 为ϕ的最小点相矛盾，故*x 为g 的不动点。
注 定理中0D 的有界闭性、g 的压缩性和g 映0D 入自身，此3个条件缺一不可。
例如，()xx x g 1+=在[)+∞=,D 10上严格非膨胀，但它在0D 中却没有不动点。
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• 收敛条件
迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径<1。对于Jacobi迭代， 我们有一些保证收敛的充分条件
定理：若线性方程组AX=b的系数矩阵A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。
① A为行对角占优阵 ② A为列对角占优阵
③ A满足
aii aij
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Jacobi迭代
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
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Gauss－Seidel迭代
在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值
( k 1) x1 x2 ( k 1) ( k 1) xn
xi
( k 1)
1 (k ) (k ) (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 ( k 1) (k ) (k ) (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 ( k 1) ( k 1) (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
与初值的选取无关
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定义5.1：设G为n阶方阵，若Gk0，则称G为收敛矩阵 定理：
G k 0 (G) 1
即矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1 由
j i i j
a jj aij
1
a
i j
aij
ii
④ 若A对称正定阵，且2D-A也为对称正定阵，则Jacobi迭代收敛。
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证明：
G D1 ( L U ) aij G max 1 aij aii i j i aii j i aij G 1 max 1 i i j aii
格式很简单：
xi
( k 1)
n 1 i 1 (k ) (k ) ( aij x j aij x j bi ) aii j 1 j i 1
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② A为列对角占优阵，则AT为行对角占优阵，有
( I D1 AT ) 1
( I D1 A) ( I D1 AT ) 1
＃证毕
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Jacobi迭代法的收敛性
• 迭代矩阵
记
0 a11 D 0 a nn
A D L U
0 0 a21 0 L 0 a a 0 nn 1 n1
x( k 1) G x( k ) g
若 x ( k ) x * x* G x * g Ax* பைடு நூலகம் b 同时： ( k 1) (k ) (k )
x
x* Gx
Gx* G( x
x*)
G k 1 ( x(0) x*)
k 所以，序列收敛 G 0
1、输入系数矩阵A和向量b，和误差控制eps 2、x2={1,1,…..,1} //赋初值 3、while( ||A*x2-b||>eps) { for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<i;j++) { x2[i] += A[i][j]*x2[j] } for(j=i+1;j<n;j++) { x2[i] += A[i][j]*x2[j] } x2[i]=-(x2[i]-b[i])/A[i][i] } } 4、输出解x2
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迭代矩阵为
0 1 G 3 11 6
6 0 1 6
1 2 5 0
G的特征值为：1=4.02408, 2=2.01204 3.10115 i, 1=4.02408； 2,3=3.69668 G的谱半径(G)=4.0197>1. Jacobi迭代不收敛。
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( k 1) x1 x2 ( k 1) ( k 1) xn
1 (k ) (k ) (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (k ) (k ) (k ) (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (k ) (k ) (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
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此时迭代矩阵为
0 1 G 6 1 15
1 11 0 1 5
6 11 1 12 0
定理： 迭代法X(m+1)=GX(m)+g 的迭代矩阵G的某种范数 ||G||＝q<1,那么： 1）对任意初值X(0)及g右端向量，迭代格式收敛于X*; 2) ||X(m) X*||qm ||X(1) –X(0)||/(1-q); 3) ||X(m) X*||q ||X(m) – X(m-1)||/( 1-q).
x1 x2 xn 1 (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
G的特征值分别为： 0.308507, 0.154254 + 0.18304 i, 0.154254 0.18304 i
G的谱半径(G)= 0.308507 <1.Jacobi迭代收敛。
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解线性方程组的迭代法
直接法得到的解是理论上准确的，但是它们的计算量都是 n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适 （n<400），但是在很多实际问题中，我们要求解的方程组n很 大，而系数矩阵中含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用 直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们有必要引 入一类新的方法：迭代法。 迭代法是一种逐次逼近的方法，其基本思想是：使用某个固 定的公式，对解的近似值进行反复校正，从而得到一个近似解序 列，使之收敛于方程组的解。
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练习
讨论用雅可比(Jacobi)迭代法求解下列线性方程 组的收敛性。若收敛，求其解；若发散，作适当 变换使其收敛并求解。
2 x1 12x2 x3 1 x1 3 x2 15x3 2 11x x 6 x 4 1 2 3
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将方程组变形，化为：
11x1 x2 6 x3 4 2 x1 12x2 x3 1 x 3 x 15x 2 2 3 1
(D L U ) x b Dx ( L U ) x b
x D1 ( L U ) x D1b G D1 ( L U ) I D1 A , g D1b
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a1n 0 a12 0 U 0 an 1n 0 0
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