2017年春季学期新版新人教版八年级数学下学期19.2.1、正比例函数导学案19

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人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数性质的重要内容。

本节课的主要内容是正比例函数的定义、图像和性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握正比例函数的概念，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于正比例函数的定义和性质，以及如何运用正比例函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 教学目标1.理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质。

2.能够根据正比例函数的性质，解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的定义和性质。

2.如何运用正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正比例函数的定义和性质。

2.利用多媒体辅助教学，展示正比例函数的图像，帮助学生直观地理解正比例函数的性质。

3.通过实例分析，让学生学会如何运用正比例函数解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正比例函数的相关教学素材，如PPT、例题、练习题等。

3.学生分组合作的准备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如速度与时间的关系，引导学生思考这些实例背后的数学规律。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数的定义，引导学生通过观察实例，总结正比例函数的性质。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生通过合作解决问题，进一步理解和掌握正比例函数的性质。

4.巩固（10分钟）针对学生掌握的情况，进行针对性讲解，巩固学生对正比例函数性质的理解。

5.拓展（10分钟）利用正比例函数的性质，解决实际问题。

人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数导学案

庙渠初中“三环四步”导学案年级八科目数课题19.2.1正比例函数主备人周次教学辅助手段导学目标1.理解正比例函数的解析式，熟练地求正比例函数的解析式。

2.会画正比例函数的图象，理解正比例函数的性质。

重点难点1、正确理解正比例函数的概念，正比例函数的图象和性质。

2、根据已知条件写出正比例函数解析式。

导学模式自学--------展示-------反馈导学策略及学法指导（师生互动设计）导学过程四步设计自主学习【自主学习】一、复习：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有个变量x和y，对于变量x 的每一个值，变量y都有的值和它对应，我们就把x称为，y 是x的。

如果当x=a时y=b, 那么b 叫做当自变量的值为a时的。

【合作探究】1、问题：问题1、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300km/h.（1）列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需小时，（结果保留一位小数）（2）列车的行程y（单位：km）是与运行时间t（单位：h）的函数吗?它们之间的数量关系是：。

（注意：实际问题要给出自变量的范围）（3）由（2）中的关系式求出当t=2.5时，y= ;当y=1200时，t= .（4）列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站?问题2、下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，写出函数解析式：（1）圆的周长L随半径r的变化而变化。

（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位：g)随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化。

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化。

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃,物体的温度T（单位：℃）随时间t（单位：min）的变化而变化。

2、以上问题中的函数都是常数与自变量的的形式。

定义：形如的函数叫做正比例函数，其中k 叫做，k必须满足的条件是，变量x的指数是。

人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数(第1课时)导学案

1 19.2.1《正比例函数》（第1课时）导学案一、学习目标1．理解正比例函数的概念．掌握正比例函数解析式特点，并能准确判断正比例函数。

2．经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．二、预习内容自学课本86页至87页，完成下列问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318，设列车的平均速度为300，考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站。

约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程（单位：）与运行时间（单位：）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h 后，是否已经过了距始发站1100km 的南京站？三、合作探究：完成课本P86页的“思考”下列问题中，变量之间的对应关系是对应关系吗如果是，请写出函数解析式。

（1）圆的周长 l 随半径r 的大小变化而变化.（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的大小变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5 cm ，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化.（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．（1）________________________ ；（2）________________________ ；（3）________________________ ；（4）________________________ ；四、巩固测评（一）基础训练：1.下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？并指出正比例系数k 的值． 2x y（1）y=-0.1x（2）（3）y=2x2（4）y2=4x（5）y=-4x+3 （6）y=2(x－x2 )+2x2判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为x cm，周长为y cm.（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x cm ，体积为y cm3.（二）变式训练：判断下列说法是否正确的1、若y=kx，则y是x的正比例函数（）2、若y=2x2，则y是x的正比例函数（）3、若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）4、若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（）（三）综合训练：1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.2.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.3.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.4、已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．5、若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.（1）求出y与x的关系式；（2）当x=6时，求出对应的函数值y.学习心得。

八年级数学下册 19.2.1.2 正比例函数的性质导学案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年

.2正比例函数的性质预习案一、学习目标1．会画正比例函数的图象；2．能根据正比例函数的图象、解析式等, 理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性；3．用数形结合的方法，通过画图、观察,概括正比例函数的图象特征及正比例函数的性质的活动，发展数学概括能力，体会数形结合的思想。

二、预习内容课本正比例函数的性质。

2.正比例函数的图像有什么特点？3.如何简单快速的画出正比例函数的图像。

三、预习检测1.若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）A．0 B．-2 C2.已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（）A．1 B．2 C.33.如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（）A．k1＜k2＜k3＜k4 B．k2＜k1＜k4＜k3 C．k1＜k2＜k4＜k3 D．k2＜k1＜k3＜k4探究案一、合作探究（15分钟）本课重点：画正比例函数的图像,探索性质及其应用。

本课难点：探索正比例函数图象的性质及其运用．同学们独立的认真阅读教材第87-89（练习之前）的内容，注意正比例函数的特征有哪些，8分钟后完成检测：1、画出下列函数的图象：（1）（2）2、正比例函数的图象过第二、四象限，则k ___0,y随x的增大而____.3、正比例函数的图象经过（3,4），则k=_____例1：画正比例函数y =2x 的图象2.描点3.连线观察上图，正比例函数y= kx (k≠0)的图象有什么特征和性质？1、一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过_____的直线2、当 k>0时，直线y=kx经过第____象限，从左向右上升,即随着x的增大y也增大；当k ＜0时,直线y=kx 经过第____象限,从左向右下降,即随着x 的增大y 反而减小。

已知正比例函数11,,5,533y x y x y x y x ==-==-（1）哪些函数图像经过第一、三象限？（2）哪些函数的函数值y 随着自变量x 的减小而增大？（3）如果正比例函数y=-5x 的图像上有两点，()111,A y -和()222,A y ，那么y 1与y 2有怎样的大小关系？你是怎样判断出来的？通过以上学习，画正比例函数图象有无简便的办法？归纳：正比例函数 (0)y kx k =≠ 的图象是经过原点____和点________的一条直线。

八年级数学下册 19.2.1.1 正比例函数导学案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册

.1 正比例函数预习案一、学习目标（1）理解正比例函数的概念；（2）会用正比例函数表示实际问题中的数量关系，会解决简单的实际问题和相关的数学问题二、预习内容（1）．阅读课本（2）正比例函数概念中对比例系数k 有怎样的限制条件？（3）请举一个生活中正比例函数的实例.三、预习检测1．下列关系中的两个量，成正比例函数关系的是( )A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量D ．人的体重与身高2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝x ＋123．函数y ＝(k ＋1)xk 2是正比例函数，则常数k 的值为____．4．已知y 与x 成正比例，且x ＝2时，y ＝6，则函数关系式为_________，当x ＝4时y ＝____．探究案一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行合作探究、讨论。

探究（一）：感知概念问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站南站到终点站某某虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y （单位：km ）与运行时间t （单位：h ）之间有何数量关系？（3）这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．（4）对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？（5）如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程y（单位：km）和运行时间t （单位：h）是什么关系？（6）京沪高铁列车从南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的某某南站？追问1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．追问2 请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？探究（二）：形成概念问题2 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．（1）圆的周长l随半径的变化而变化．（2）铁的密度为/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．问题3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？追问1：函数y=kx（k是常数，k≠0）中，对于自变量x和函数y的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？二、小组展示（7分钟）每小组口头或利用投影仪展示, 一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）三、归纳总结一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．四、课堂达标检测1、函数 x m y )3(-= 是正比例函数，则m 的取值X 围是___________.2、函数12m y x -= 是正比例函数，则m 的取值X 围是________.3、已知：y=(k+1)x+k-1是正比例函数，则 k=____4、已知一个正比例函数的比例系数是-5，则它的解析式为___________。

人教版八下数学19.2.1 课时2正比例函数的图像和性质教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质教案【教学目标】知识与技能目标1.能够画出正比例函数的图象.2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象．过程与方法目标在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质．情感、态度与价值观目标学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想．【教学重点】正比例函数图象的画法和性质的理解.【教学难点】利用正比例函数图象与性质灵活解题.【教学准备】教师准备教学中出示的例题；学生准备坐标纸、学习用具.【教学过程设计】一、情境导入导入一:当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?[设计意图]以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.导入二:1.在下列函数中,哪些是正比例函数?并指出正比例系数分别是多少?①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4,⑤y=,⑥y=-x ,⑦y=-2x.2.画函数图象需要经历哪些步骤?3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?[设计意图]通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.二、新知构建1.画正比例函数的图象[过渡语]你能用描点法画正比例函数的图象吗?思路一画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.(1)y=2x;(2)y=-2x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y-6 -4 -2 0 2 4 6描点,连线,画出图象,如图所示:(2)列表:y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6描点,连线,画出图象,如图所示.练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x;(2)y=-x.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.思路二1.正比例函数的图象问题画出下列正比例函数的图象:①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.[设计意图]通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.2.正比例函数的性质思路一提问:观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.两个函数图象的共同点:都是经过原点的直线.不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x 增大y反而减小.学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:比较两个函数图象可以看出:两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx.(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.(2)性质:当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.提问:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.思路二问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y= 2x的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y 随x的增大而;③函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;④函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;⑤函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.师生共同归纳总结:正比例函数y=kx(k≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).思考:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.[知识拓展](1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.3.例题讲解例1(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是.〔解析〕(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,∴2k-3<0,∴k<.故k的取值范围是k<.[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.例2(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.(1)求k的值;(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;(3)若A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.〔解析〕(1) 把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解;(2)把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质进行求解.解:(1)∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)由k=-2可得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.(3)y=-2x,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,∴y3<y1<y2.[设计意图]通过设计正比例函数的简单应用,让学生根据正比例函数的解析式和性质进行求解,及时复习正比例函数的性质.例3(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x, y=x;(2)y=-1.5x, y=-4x.〔解析〕根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.解:(1)列表,得:x0 1y=2x0 2y=x0描点,连线,即为函数y=2x, y=x的图象(如下图).(2)列表,得:x0 1y=-1.5x0 -1.5y=-4x0 -4描点,连线,即为函数y=-1.5x, y=-4x的图象(如下图).[设计意图]通过设计正比例函数图象的简单画图,让学生知道利用两点确定一条直线来作图,体验数形结合思想的应用.三、教学小结师生一起总结正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小..【板书设计】19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质1.画正比例函数的图象2.正比例函数的性质3.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是()A.xy=-2B.y+8x=0C.3x=4yD.y=-x解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1解析:∵函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减小,∴1-k<0,解得k>1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为.解析：因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=3600×2×0.05x=360x.故填y=360x.4.直线y=x经过(0,),(,2),且过第象限,y随x的增大而.解析:由y=x可知当y=2时,x=3,故直线y=x经过(0,0),(3,2).由k=>0可知直线y=x 过第一、三象限,y随x的增大而增大.答案:03一、三增大5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,那么k=. 解析:∵函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,∴∴k=-5.故填-5.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式;(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?解:(1)y=5×x=0.75x.(2)列表,得:x0 1y=0.75x0 0.75描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如下图).(3)当x=220时,y=0.75×220=165(元).【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质学案【学习目标】1．理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的性质．3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．【学习重点】正比例函数的图象和性质．【学习难点】利用正比例函数的图象和性质解答有关问题．【自主学习】一、知识链接1.已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= .2.画函数图象的步骤有：、、.二、新知预习1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，13y x=；（2）y=-1.5x，y=-4x.2.函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是__________________________；函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是____________________________.3.自主归纳：(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的；（2）k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；（3）k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而；k<0时，函数值y随自变量x 的增大而.三、自学自测1.函数y=－3x的图象是经过点（0，__）和（1，___）的一条______，图象经过第___、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______.2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）．四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的图象问题1：正比例函数的图象什么？画正比例函数的图象只需要确定几个点？【典例探究】例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）-3y x=；（2）3.2 y x =方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可. 例2已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.知识点2：正比例函数的性质问题2：在函数y=x，y=3x，12y x=-和-4y x=中，随着x的增大，y的值分别如何变化?要点归纳：在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而________;当k<0时，y的值随着x值的增大而________.例3已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大三、归纳总结正比例函数y=kx(k≠0)图象正比例函数的图象是一条过原点的直线.k>0 k<0图象是自左向右上升的，经过第一、三象限图象是自左向右下降的，经过第二、四象限|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【学习检测】1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）2.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限A(解析:∵正比例函数y=2x中,k=2>0,∴正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限.)3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2 C．k＞2D．k≥24.已知正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,则k的值是()A.±3B.±2C.2D.-2D(解析:由正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,可得故k=-2.)5.正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.-2C.4D.-4B(解析:∵正比例函数y =mx 的图象经过点A (m ,4),∴m 2=4,∴m =±2.又∵y 的值随x 值的增大而减小,∴m <0,∴m =-2.故选B .)6.函数y=-7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点_______，y 随x 的增大而_______.7.已知正比例函数y =kx (k ≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y 随x 的增大而 .(填增大或减小)减小(解析:∵点(2,-3)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上,∴2k =-3,解得k =-,∴正比例函数解析式是y =-x ,∵k =-<0,∴y 随x 的增大而减小.)8.点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)是正比例函数y =x 的图象上两点,且x 1<x 2,则y 1 y 2.(填“>”“=”或“<”号)<(解析:由k =>0可知y 随x 的增大而增大,故当x 1<x 2时,y 1<y 2.故填<.) 9.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m_______，函数图象经过第一、三象限；（2）当m_______，y 随x 的增大而减小；（3）当m_______，函数图象经过点（2，10）.10.如图分别是函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=，x k y 4=的图象. （1）k 1 k 2，k 3 k 4(填“>”或“<”或“=”)；（2）用不等号将k 1， k2， k 3， k 4及0依次连接起来．11.已知函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,求正比例函数的解析式,并画出函数图象.解:∵函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,∴|a |-3=0,∴a =±3,当a =3时,y=6x+6(舍);当a=-3时,y=-6x.∴正比例函数的解析式为y=-6x.列表,得:x0 -1y0 6描点,连线即可得到函数y=-6x的图象,如图所示.12.已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象;(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx,∵当x=-2时y=-4,∴-2k=-4,∴k=2,∴y与x的函数关系式为y=2x.(2)列表,得:x0 1y=2x0 2描点,连线得到函数y=2x的图象,如图所示.(3)∵点(a,-2)在这个函数图象上,∴2a=-2,∴a=-1.(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,那么y的取值范围为0≤y≤10.13.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.解:存在.理由如下:因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2,设点P的坐标为(n,m),因为△OAP的面积为4,所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,所以m=±4,当m=4时,把x=n, y=m=4代入y=2x,得4=2n,所以n=2,此时点P的坐标为(2,4),当m=-4时,把x=n, y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).。

(人教版)数学下八年级导学案：19.2.1正比例函数

课型新授课课题 19.2.1正比例函数学习目标1、理解正比例函数的概念，会用描点法画正比例函数图象，2、掌握正比例函数的性质．3、会应用正比例函数的概念和性质解决问题，初步形成数学建模的思想重点难点教学重点：理解正比例函数意义及解析式特点．掌握正比例函数图象的性质特点．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．【学习范围】86页至89页【知识回顾】1、函数的三种表示方法______ _;_____ _;______ _. 2、描点法画函数图象的一般步骤____ __;____ ___;______ __.3、用描点法画出函数(1) y=x ；y=2x ；y=12x (2) y=-x ； y=-2x ； y=-12x 的图象。

（同桌的同学各选一组）【探究新知】<探究1>阅读教材86页，“思考”将答案写在下面：探究意图：什么形式的函数叫做正比例函数！1、____________________2、_________________________3、____________________4、_________________________ 分析：它们的共同点是：都有几个变量_________；都没有___________项。

归纳：归纳：一般地，形如y=_____（___________）的函数，叫做正比例函数，其中___叫做________ _【例1】指出下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？（1）x y 3= （2） 2x y =（3）xy 3= （4）2r S π=<探究2>在下面平面直角坐标系中作出下列函数图像。

探究意图：正比例函数的图像性质！第一组：（当K___________0）设计意图1、y=x ；2、y=2x ；3、y=12x 分析图像的共同点：1、它们的图像是：__________________；2、它们的图像都经过______________点；3、经过__________________象限4、图像的增减性_____________________5、当K=1时，它的图像是：_____________ 第二组：（当K___________0） 1、y=-x ；2、y=-2x 3、y=-12x 分析图像的共同点：1、它们的图像是：__________________；2、它们的图像都经过______________点；3、经过__________________象限4、图像的增减性_____________________5、当K=-1时，它的图像是：_____________综合分析：__________________决定了图像的增减性，当k_________时，y 随x 的增大而增大；当k_________时，y 随x 的增大而减小。

八年级数学下册19.2.1正比例函数学案新人教版

19.2 一次函数19．2.1 正比例函数01 课前预习要点感知1一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．预习练习1－1已知一个正比例函数的比例系数是－3，则它的解析式为y＝－3x．要点感知2正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线；我们称为直线y＝kx。

当k＞0时,直线y＝kx经过第一、三象限，y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y ＝kx经过第二、四象限，y随着x的增大而减小．预习练习2－1正比例函数y＝－x经过二、四象限，y随x的增大而减小．要点感知3因为正比例函数的图象是过原点的一条直线，所以画正比例函数图象时,只需确定两点，通常是(0，0）和（1，k）．预习练习3－1函数y＝kx（k≠0）的图象过M（1，3），则k＝3，图象过一、三象限．02 当堂训练知识点1 认识正比例函数1．(上海中考)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（C）A．y＝x2B．y＝错误!C．y＝错误!D．y＝错误! 2．下列问题中,是正比例函数的是(D）A．矩形面积固定，长和宽的关系B．正方形面积和边长之间的关系C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D．匀速运动中,速度固定时,路程和时间的关系3．若y＝（m－1)x｜m｜＋n－1是y关于x的正比例函数，则m＝－1，n＝1．知识点2 正比例函数的图象及性质4．(南宁中考）已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为（B）A.13B．3 C．－错误!D．－35．(铜仁中考）正比例函数y＝2x的大致图象是(B)6．正比例函数y＝（k2＋1）x(k为常数，且k≠0)一定经过的两个象限是（A) A．一、三象限B．二、四象限C．一、四象限D．二、三象限7．已知在正比例函数y＝(k－1)x的图象中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（A) A．k〈1 B．k〉1 C．k＝8 D．k＝68．关于正比例函数y＝－2x，下列结论正确的是（C)A．图象必经过点（－1，－2)B．图象经过第一、三象限C．y随x的增大而减小D．不论x取何值，总有y＜09．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，－6），则y随x的增大而减小．10．(贺州中考)已知P1（1，y1），P2（2,y2)是正比例函数y＝错误!x的图象上的两点,则y1＜y2（填“＞”“＜”或“＝")．知识点3 求正比例函数的解析式11．(钦州中考)已知正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，则k＝2.12．如图,正比例函数图象经过点A，该函数解析式是y＝3x．03 课后作业13．（北海中考）正比例函数y＝kx的图象如图所示,则k的取值范围是（A）A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜114．(陕西中考）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m＝(B)A．2 B．－2 C．4 D．－415．在正比例函数y＝3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m,5)在（A) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（广州中考)已知正比例函数y＝kx(k<0）的图象上两点A（x1,y1）,B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(C）A．y＋y2＞0 B．y1＋y2＜01C．y－y2＞0 D．y1－y2＜0117．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B（x2,y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是(D）A．m＜0 B．m＞0C．m＜错误!D．m＞错误!18．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m)，B(n,3），那么一定有（D）A．m〉0，n〉0 B．m>0，n〈0C．m〈0，n>0 D．m〈0，n<019．在函数①y＝错误!x；②y＝2x－3;③y＝错误!;④y＝2x2;⑤y＝3(2－x）；⑥y＝错误!中，正比例函数有①⑥．(只填序号)20．如果y＝（1－4t）x9t2是正比例函数，且图象经过第一、三象限，那么这个函数的解析式是y＝错误!x．21．已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0），当－3≤x≤1时，对应的y的取值范围是－1≤y≤13，且y随x的减小而减小，则k的值为错误!．22．已知正比例函数y＝kx的图象过点P（－错误!,错误!）．(1）写出函数关系式；(2）已知点A(a，－4)，B(－22，b）都在它的图象上，求a，b的值．解:(1）∵正比例函数y＝kx的图象过点P（－错误!，错误!），∴错误!＝－错误!k,即k＝－1.∴该函数关系式为：y＝－x。

人教版八年级下册数学导学案：19.2.1 正比例函数

19.2 一次函数19.2.1 正比例函数一、新课导入1.导入课题两个变量x,y 成正比例，且比例系数是k(k ≠0)，你能写出y 与x 的关系式吗?学生回答后板书关系式，由此导入课题.(板书课题)2.学习目标（1）知道什么样的函数是正比例函数，能根据正比例函数的定义确定字母系数的值.（2）会画正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.（3）熟记正比例函数的性质，并能运用正比例函数的性质解题.3.学习重、难点重点：正比例函数的意义和图象.难点：正比例函数的图象和性质.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：P86到P87练习以上的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：思考课本问题（1）~（4）的列式根据，观察这些表达式的结构形式有什么共同特点.（4）自学参考提纲：①思考中的四个解析式有什么共同特点？②请叙述正比例函数的定义.你认为定义中容易忽视的是什么？③完成P87的练习.④成正比例与正比例函数有什么异同？⑤如果y=(m －2)23m x －是正比例函数，那么m ＝-2.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生在完成提纲②、⑤时存在的疑点和出现的问题.②差异指导：对个别在确定⑤中m的值时有困难的学生进行点拨引导.（2）生助生：小组研讨，帮助解决疑点.4.强化（1）正比例函数的定义及k≠0的条件.（2）展示练习的答案，并点评.（3）成正比例关系的列式结构特点.（4）字母系数的确定依据.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：P87练习以下到P89练习以上的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学要求：比较图19.2-1和19.2-2的两个函数中k值与图象从左到右的升降之间有何关系.（4）自学参考提纲：①正比例函数的图象是什么？画正比例函数的图象只需描几个点？为什么?②说出k>0和k<0时正比例函数y=kx的图象经过哪几个象限?③观察例1的图象，分别说说当k>0和k<0时正比例函数y=kx的性质.④完成P89练习.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生是否找到正比例函数的图象特点，k值与图象的位置关系.②差异指导：a.指导学生找到y=kx(k≠0) 的图象的共性;b.指导认识k值与函数图象从左到右的升降关系.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化（1）点评画正比例函数图象的简单方法.（2）展示练习的答案，并点评.（3）总结正比例函数的图象和性质.（4）展示本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习表现、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课中的学习态度、成果等进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).从本节课开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引导学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指名方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数.教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力以及解题能力.评价作业(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列函数中，y是x的正比例函数的是(B)A.y＝2x－1B.y=x3C.y＝2x2D.y＝－2x+12.(10分)下列关系中，是正比例关系的是(D)A.当路程s一定时，速度v与时间tB.圆的面积S与圆的半径rC.正方体的体积V与棱长aD.正方形的周长C与它的边长a3.(10分)关于函数y=12x，下列结论正确的是(D)A.函数图象必经过点(1，2)B.函数图象经过第二、第四象限C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大4.(10分)已知正比例函数y=(3k－1)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是(D)A.k＜0B.k＞0C.k＜13D.k＞135.(10分)正比例函数y=(m－4)x的图象经过第一、第三象限，则m的取值范围是m＞4.6.(20分)画出下列函数的图象：（1）y=12x；（2）y=－12x.二、综合应用（20分）7.已知：y－3与x成正比例，当x=2时，y＝7.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求当x=4时，y的值；(3)求当y=4时，x的值.解：（1）y=2x+3;(2)y=11;(3)x=1 2 .三、拓展延伸（10分）8.如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是(C)A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.b＞a＞cD.b＞c＞a。

八年级数学下册19.2.1正比例函数第1课时导学案新版新人教版2

19.2.1正比例函数(第一课时)学习目标：1、我能理解正比例函数的概念与解析式。

2、我会根据已知条件写出正比例函数的解析式。

学习重点：正比例函数的概念学习难点：根据已知条件写出正比例函数的解析式。

一、自主学习：1.函数的定义是。

2.成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商），这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例的关系。

3、问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300hkm/。

考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需小时？（结果保留小数点后一位）（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）是运行时间t（单位：h）的函数吗？它们之间的数量关系是。

（注意：实际问题要给出自变量的取值范围）（3）由（2）中的关系式求出当t=2.5时，y= ;当y=1200时，t= .（4）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经超过了始发站1100km的南京南站？4、完成书本86--87页思考：观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。

思考：为什么强调k是常数，k≠0 ？(3)、列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？二、合作探究：（1）、下列函数哪些是正比例函数？① y=x3② y=3x③ y=-12x+1 ④ y=2x ⑤y=x2+1 ⑥ y=(a2+1)x+2(2)、若y=5x3m-2是正比例函数，则m= .(3)、若y=(m-2)x m-3是正比例函数，则m= .(4) 、如y=5x m2-3+m-2是正比例函数，则m= 。

（5）、已知y 与2+x 成正比例，且61-==y x 时。

（1）求y 与 x 之间的函数关系式；（2）若点（a ，2）在函数图像上，求a 的值。

八年级数学下册19.2.1正比例函数(第1课时)教案新人教版

19.2。

1 正比例函数（第1课时）【教材分析】
【教学流程】
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人教版八下数学19.2.1 课时1正比例函数的概念教案+学案

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念教案【教学目标】知识与技能目标认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点．过程与方法目标能利用正比例函数知识解决相关实际问题．情感、态度与价值观目标通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心．【教学重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【教学难点】掌握正比例函数的解析式的求法.【教学过程设计】一、情境导入导入一:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.导入二:一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.教师总结,全班讲评.一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈202(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:y=202×45=9090(千米).以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.二、新知构建1.正比例函数概念思路一下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化;(4)冷冻一个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T (单位: ℃)随冷冻时间t (单位:分)的变化而变化.学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析: (1)l =2πr ;(2)m = 7.8V ;(3)h =0.5 n ;(4)T =-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.函数解析式常数自变量函数 (1)l =2πr2π r l (2)m =7.8V7.8 V m (3)h =0.5n0.5 n h (4)T =-2t -2 t T提问:这些函数有什么共同点?学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y =300t ,y =200x 的形式一样.教师归纳:一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.[设计意图] 由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.思路二前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?(1)y =3x ; (2)y =-6x ; (3)y =x ; (4)y =-x.师生共同分析:上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 教师强调:(1)常量:k ,变量:x ,y ,自变量取值范围:全体实数;(2)正比例函数的函数y 与自变量x 之间就是正比例关系的量.[设计意图] 通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.2.例题讲解例1 (补充)下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.① y =31x ;② y =x32;③ y =﹣x 6;④ y =2x ;⑤y =x 2+1;⑥ y =5x +2. 〔解析〕观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y =kx 的形式来求解.解:① y =31x 是正比例函数,正比例系数k =31. ④ y =2x 是正比例函数,正比例系数k =2.②,③,⑤,⑥ 都不是正比例函数.[设计意图] 通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.例2 (补充)①若y =(k -1)x 是正比例函数,则 ;②若y =2x m 是正比例函数,则m = .③在函数y =(k －2)中,当k = 时,为正比例函数.〔解析〕根据正比例函数定义,利用比例系数k ≠0,或者x 的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y =(k -1)x 是正比例函数,∴k -1≠0,∴k ≠1.②∵y =2x m 是正比例函数,∴m =1.③∵函数y =(k -2)为正比例函数,∴∴k =-2.答案:①k ≠1 ②1 ③-2[设计意图] 通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.例3(补充)若y 与x -2成正比例关系,且x =4时,y =5.求y 关于x 的函数关系式. 〔解析〕先根据y 与x -2成正比例关系可设y =k (x -2),再把x =4时,y =5代入求出k 的值即可.解:设y =k (x －2),则有k (4－2)=5,解得k =25. 所以y 关于x 的函数关系式为y =25x －5. [设计意图] 通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.三、教学小结本节课学习了正比例函数的概念:形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.【板书设计】19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数课时1正比例函数的概念1.正比例函数概念2.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下面四个小题中两个变量成正比例的是( )A.儿童的身高和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a 的正方形,它的体积和高解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C 不正确;由题意知长方体的体积=a 2×高,且a 为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D .2.若y =5x 3m -2是正比例函数,则m = .解析:根据正比例函数定义,得3m -2=1,解得m =1.故填1.3.y =(k -2)x 2+5x 是正比例函数,则k 的值为 .解析:根据正比例函数定义,得k -2=0,解得k =2.故填2.4.下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.(1)y =-0.1x ; (2)y =53x ; (3)y =2x 2; (4)y 2=4x ;(5)y =-4x +3; (6)y =2(x -2x 2)+2x 2.解:(1) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =-0.1.(2) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =53.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数. 5.如果y =kx (k ≠0),当x =4时,y =2;那么x =-3时,y 的值是多少?解:∵y =kx ,当x =4时,y =2,∴4k =2,∴k =21,∴y =21x ,∴当x =-3时,y =23.【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念学案【学习目标】1．理解正比例函数的概念；2．会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题．【学习重点】正比例函数的概念及其简单应用．【学习难点】会求正比例函数的解析式．【自主学习】一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m（元）与销售量n（千克）成比例，其比例系数为.2.举例说明什么是函数及自变量.二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量的形式.2.自主归纳：一般地，形如（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是；(2)当n 时，y=2x n 是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数. 四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？【典例探究】例 1 已知函数 y=(m-1)2m x 是正比例函数，求m 的值.方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.知识点2：求正比例函数的解析式例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.知识点3：正比例函数的简单应用问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km 所需油费是多少？方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为y=kx （k 是常数，k≠0）的形式.【跟踪练习】1.(1)若y=(m-2)x |m|-1是正比例函数，则m= ；(2)若y=(m-1)x+m 2-1是正比例函数，则m= . 2.已知y 与x 成正比例，当x 等于3时，y 等于-1.则当x=6时，y 的值为____________.【学习检测】1.下列说法正确的打“√”,错误的打“✕”(1)若y =kx ,则y 是x 的正比例函数. ( )(2)若y =26x 2,则y 是x 的正比例函数. ( ) (3)若y =2(x -1)+2,则y 是x 的正比例函数. ( )(4)若y =2(x -1),则y 是x -1的正比例函数. ( )(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√(解析:先把所给的代数式化成最简形式,再根据正比例函数定义进行判断求解.)2.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（）A.圆的面积S 与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（）4.填空（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______.（2）如果y=kx k-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.（4）若23=-是关于x的正比例函数，m=_____.(2)my m x-5.汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数解析式为, y是x的函数.y=40x正比例(解析:根据路程=速度×时间和正比例函数的定义进行判断.) 6.填空(1)若函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,则a =;(2)若y=(k+3)是y关于x的正比例函数,则k=;(3)若y与x-2成正比例,当x=3时,y=-4.试求出y与x的函数关系式.解析:由正比例函数解析式为y=kx,根据题意列方程或不等式进行求解.解:(1)∵函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,∴a=-3.(2)∵y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数,∴k=3.(3)∵y与x-2成正比例,∴设y=k(x-2),∵当x =3时,y =-4,∴k =-4,∴y 与x 的函数关系式为y =-4x +8.7.已知函数y =2x 2a ＋3+a +2b 是正比例函数,则a = ,b = .﹣1 21 8.若x ,y 是变量,且函数y =(k +1)是正比例函数,则k = .1(解析:由正比例函数定义,可知故k =1.)9.若y =kx +2k -3是y 关于x 的正比例函数,则k = .(解析:由正比例函数定义可知2k －3=0,且k ≠0,故k =23.) 10.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.11.已知y -6与x +3成正比例,且x =1时,y =26,试写出y 与x 的函数关系式. 解:∵y -6与x +3成正比例,∴设y -6=k (x +3).又∵x =1时,y =26,∴4k =20,∴k =5,∴y -6=5(x +3),∴y 与x 的函数关系式为y =5x +21.12.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y （单位：公顷）与收割时间x （单位：时）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.13.汽车由天津驶往相距120千米的北京,s (千米)表示汽车离开天津的距离,t (小时)表示汽车行驶的时间,如图所示.(1)汽车用几小时可到达北京?速度是多少?(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?解:(1)由图象可知:s与t成正比例,设s=kt,当t=4时,s=120.即120=k×4,∴k=30.∴s=30t.∴汽车用4小时可到达北京,速度是30千米/时.(2)当t=1时,s=30×1=30(千米).∴汽车行驶1小时,离开天津30千米.(3)当s=100时,100=30t,t=(小时).∴当汽车距北京20千米时,汽车出发了小时.。

八下数学19.2.1正比例函数导学案

19.2.1正比例函数学案一、导学目标：知识与技能：1、理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数图象性质2、能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图像3、能够利用正比例函数解决简单的数学问题过程与方法：学生通过探究实际问题中函数关系归纳得出正比例函数的概念，再通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。

学生在探究合作中交流，体验知识的形成过程。

情感态度与价值观：通过教师的主导作用，提高学生的合作学习效率，让学生体会合作学习的好处。

导学过程：一、知识回顾1、一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。

2、练一练（1）、下列函数哪些是正比例函数？① y=x3② y=3x③ y=-12x④ y=2x ⑤y=x2+1⑥ y=5x+2(2)、若y=5x3m-2是正比例函数，则m=___________.(3)、若函数(4)y m x=-是关于x的正比例函数，则m 二、探究新知（一）1、用描点法画出下列函数的图像（1）、 y=2x （2）、 y=-2x2、观察上面两个函数的图像（1）、它们有什么相同点与不同点？（2）、试归纳正比例函数的性质。

①正比例函数是一条，它一定经过。

②因为过点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（，）和（，）③当k > 0时，直线经过象限，从左到右呈趋势，即y 随x 的增大而当k 〈0时，直线经过象限，从左到右呈趋势，即y 随x 的减小而3、试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像（1）、 y=-3x （2） y=21x三、巩固提升已知函数2(3)2(3)y a x a x =-+-是关于x 的正比例函数（！）求正比例函数的解析式（2）画出它的图象（3）若它的图象有两点1122(,),(,)A x y B x y ，当12x x 时，试比较12,y y 的大小四、课堂小结本节课你有哪些收获？请在小组内交流。

八年级数学下册 19.2.1 正比例函数导学案 (新版)新人教版

一次函数19.2.1 正比例函数1.认识正比例函数的意义.2.掌握正比例函数解析式特点.3.理解正比例函数图象性质及特点.自学指导：阅读教材86页至87页，独立完成下列问题：知识探究（一）归纳：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.自学反馈（一）下列函数中，y是x的正比例函数的是( C )A.y=4x+1B.y=2x2C.y=-5xD.y=x根据正比例函数的定义去判定.自学指导：阅读教材P111-112的“例1”，独立完成下列问题：知识探究（二）归纳：(1)正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，也称它为直线y=kx；(2)画y=kx的图象时，一般选原点和任意一点画直线，简称两点法.自学反馈（二）下列图象中，是正比例函数y=2x的图象的是( B )正比例函数必过原点，据此可排除A、C、D.自学指导：阅读教材87页至89页，独立完成下列问题：知识准备在同一坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y=32x; (2)y=-32x.可利用两点法来画图象.知识探究（三）归纳：(1)当k>0时，直线y=kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大.(2)当k<0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小.根据正比例函数解析式的比例系数的取值判断该函数图象位置，也可以根据正比例函数图象的位置判断该函数比例系数的取值.自学反馈（三）若函数y=kx(k≠0)的图象经过P(-2，6)，则k=-3，图象经过二，四象限.将P点的坐标代入解析式可求出k值，再根据正比例函数图象的性质判断出图象所经过的象限.活动1 学生独立完成例1 (1)若函数y=(k-1)x|k|(k为常数)为正比例函数，求k的值；(2)y与x2成正比例函数，且x=-1时，y=6，求y与x的关系式.解：(1)∵y=(k-1)x|k|(k为常数)为正比例函数，∴110.kk=-≠⎧⎨⎩，解得k=-1.(2)设y=kx2(k≠0)∵x=-1时，y=6，∴(-1)2k=6.∴k=6.∴y=6x2.(1)y、x的次数为1，x系数不为0；(2)根据正比例函数的定义，可设出一般形式，然后再把所给的值代入，转化成方程问题来解决.例2 根据下列条件求函数的解析式：函数y=(k2-9)x2+(k+1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小.解：由题意，得k2-9=0.∴k=3或k=-3.∵y随x的增大而减小,∴k+1<0.∴k=-3.∴y与x的函数关系式是y=-2x.此题考查了两个知识点，一是正比例函数的定义，二是正比例函数图象的性质.活动2 跟踪训练1.下列函数中，是正比例函数的是( B )A.y=3xB.y=4xC.y=3x+9D.y=2x22.若函数y=-6x1-n是正比例函数，则n=0.3.已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6，求y与x的函数关系式.解：y=-2x-4.此类正比例函数概念的考查问题，主要从自变量的指数为1，比例系数不为0两个方面来考虑.4.关于函数y=-2x，下列判断正确的是( C )A.图象必经过点(-1，-2)B.图象经过第一、三象限C.y随x的增大而减小D.不论x为何值，总有y<05.某函数具有下列性质：①它的图象是经过原点(0，0)的一条直线；②y值随x的值增大而减小，请你写出一个满足上述两个条件的函数解析式答案不唯一，如：y=x，该函数经过第二、四象限.6.若函数y=(2m+6)x2+(1-m)x是正比例函数，则其解析式是y=4x，该图象经过一，三象限，y随x的增大而增大.当x1<x2时，则y1与y2的关系是y1＜y2.活动3 课堂小结学生尝试小结：这节课你学到了什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。