八年级数学正比例函数1
八年级同步第14讲：正比例函数的图像及性质.doc
1 / 15正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．一、 正比例函数的图像1、 一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =； 2、 图像画法：列表、描点、连线．正比例函数的图像及性质知识结构模块一：正比例函数的图像知识精讲内容分析2/ 15【例1】 已知正比例函数2y x =．x…… 2- 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =…………描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =； （2）14y x = ；（3）32y x =-；（4）32y x =． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】 函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 （1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =(0)k ≠的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例5】 已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明(416)-，是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 一个正比例函数的图像经过点A (13)-，，B (1)a a ---，，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-．(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问点A (62)-，关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】x【例11】 已知点(60)A -，，并且点(1)B m -，在直线3y x =-上，求OAB ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例12】 正比例函数的图像经过点（-2，5），过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐标是（0，-3），求点A 的坐标与AOB ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】 已知直线y kx =过点1(3)2，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例14】 如图，长方形OABC 的边BC = 6，AB = 3， (1) 直线x 交边AB 于点P ，求k 的取值范围；(2) 直线0x <把矩形OABC 的面积分成两部分，靠近x 轴的一部分记作S ，试写出S 关于k 的解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】6/ 15二、正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，的性质： （1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【例15】 直线(2)y m x =-经过一、三象限，则m ________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 已知正比例函数()52y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围.【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】 若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______.【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：正比例函数的性质【例18】 (3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______.【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】 当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限.【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】已知0mn <，那么函数my x n=经过______象限，y 的值随x 的值增大而______.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】如果正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______.【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 （1）已知y ax =是经过第二、四象限的直线，且 求a 的取值范围．（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第二、四象限． (1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】已知函数2y x =-，自变量x 的取值范围是4556x <<，求y 的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 已知在正比例函数()()22723mf x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小.（1）求m 的值；（2）求23f ⎛⎫⎪⎝⎭（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x 取何值时，2y ≤-？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】已知正比例函数过A (2，-4)，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0，4），且8ABP S ∆=，求：点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】10/ 15【例31】两个正比例函数11y k x =与22y k x =，当2x =-时，122y y +=，当2x =时，12y y -=52．(1) 求这两个函数的解析式；(2) 当x = 3时，求2212y y -的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：3y x =-与13y x =-．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 若点P 在直线2y x =-上，且点P 的横坐标为1，那么点P 的坐标是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 若正比例函数的图像经过（-1，3），则正比例函数的解析式是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题4】 已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线4y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．以上都有可能【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 正比例函数y kx =（k 为常数，0k <）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题6】 正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，且经过点(221)k k ++，，则k ==________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如果正比例函数(0)y kx k =≠的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则k =________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知y 是x 的正比例函数，且当x =时，y =2，求y 与x 之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y =x 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知23y -与45x +成正比例，且当x =1时，y =15，求y 与x 的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数2y k x =，满足120k k +=，则1y k x =与2y k x =的图像大致为( )．A BC D【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 已知正比例函数的图像经过点(28)-，，经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，，求：（1）点A 的坐标；（2）AOB ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】DPA 【习题12】 已知平面直角坐标系内一点点(23)P a a ，，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点H ，如果15POH S ∆=．求：(1) 点P 的坐标；(2) 直线OP 的解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题13】 如果正比例函数的图像经过点(4,3)-，请判别(2,4)A -、3(2,2B -中哪一点离这个正比例函数的图像距离近？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题14】 如图，已知长方形ABCD 的长AB = 4cm ，宽BC = 3cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为xcm ，△ABP 的面积为y 2cm ， (1) 当动点P 在BC 上运动时，求y 关于x 的解析式及其定义域； (2) 当动点P 在DC 上运动时，怎样表示y ？并求x 的取值范围；(3) 当x 取何值时，△ABP 的面积为22cm ？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：4y x =与12y x =-．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 已知点A （m ，-3）在直线3y x =上，那么m =________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 已知正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 已知函数2(1)m y m x =-是正比例函数，m =________；函数的图象经过________象限；y 随x 的减少而________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 已知y 与x 成正比例，且x = 2时y = -6，则y = 9时x =________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业x【作业6】 点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短ycm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 在函数5y x =的图象上取一点P ，过P 点作P A ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为2-，求POA S ∆的面积（O 为坐标原点）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP 与线段AB 相交于点P ， (1) 求△ABO 的面积；(2) 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；(3) 若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
正比例函数(1)课件人教版八年级数学下册
∴ m=-1.
函数解析式可转化为y=kx 函数是正比例函数 （k是常数，k ≠0）的形式.
变式训练
(1)若 y = (m - 2)x |m| 1 是正比例函数，则m= -2 ；
m-2≠0， ∴ m=-2.
|m|-1=1，
(2)若 y
(m -1)x m2 -1 是正比例函数，则m= -1 ；
m-1≠0， ∴ m=-1.
y的值为 -2 .
2、若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k，
解得k=-3， 所以y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x；
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27.
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1=0，
典例讲解
例2. （1）已知y与x成正比例，并且x=4时，y=8，求y 与x之间的函数
关系式.
解答：∵y与x 成正比例， ∴关系是设为：y=kx， ∵x=4时，y=8， ∴8=4k，解得：k=2， ∴y与x的函数关系式为：y=2x．
成正比例关系的并不一 定是正比例函数，正比 例函数一定成正比关系
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
新知讲解
正比例函数的概念 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函 数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
(1)l 2πr
（2）铁的密度为3,铁块的质量m（单位：g） 随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
(2)m 7.8V
（2）已知y-3与x成正比例，并且 x=4时，y=7，求y与x之间的函数 解析式.
人教版八年级数学--正比例函数
正比例函数的定义
例 1：已知 y 与 x 成正比例，且 x＝－2 时，y＝8，写出 y
与 x 之间的函数解析式． 思路导引：由 y 与 x 成正比例，可设 y＝kx. 解：因为 y 与 x 成正比例，可设 y＝kx(k≠0)． 把 x＝－2，y＝8 代入 y＝kx，得 8＝－2k，即 k＝－4. 所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－4x. 【规律总结】正比例函数 y＝kx 必须满足两个条件：①比
例系数 k≠0；②自变量 x 的指数为 1.
正比例函数的图象及其性质(重点) 例 2：若正比例函数 y＝(2m－1) x 减小，求这个正比例函数的解析式．
2 m2
中，y 随 x 的增大而
思路导引：根据正比例函数定义知 2－m2＝1 且 2m－1≠0，
根据正比例函数的性质得 2m－1<0.
2 m2 1 ① 解：依题意得 ， 2m 1 0 ②
正比例函数
1．正比例函数的定义 一 般 地 ， 形 如 y ＝ kx(k 是 常 数 ， k≠0) 的 函 数 ， 叫 做
正比例函数 ，其中 k 叫做____________ 比例系数 ． ____________
2．正比例函数的图象及其性质
原点 的直线，我们 探究：y＝kx(k≠0)的图象是一条经过________m<2，所以 m＝－1，
将 m＝－1 代入原函数解析式得 y＝－3x. 所以所求函数的解析式为 y＝－3x.
【易错警示】确定正比例函数解析式时，只注意到自变量
的指数为 1，而忽视了比例系数不为 0 和正比例函数的性质．
1．下列函数中，是正比例函数的是( C )
A．y－1＝2x x C．y＝ 21
B．y＝x3 D．y＝ 7 x
19.2.1正比例函数(课件)-2023—-2024学年人教版数学八年级下册
ℎ
2
7.9
0.5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−2
= 7.9
ℎ = 0.5
= −2
这些函数
解析式有
什么共同
点？
常数与自变量的乘积的形式
函数=常数×自变量
=
·
①
②
一般地，形如 = (是常数， ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，
③
其中叫做比例系数.
想一想，为什么 ≠ ?
=0·
=0
≠
正比例函数解析式的一般式：
(是常数， ≠ 0)
=
是自变量且它的指数是1
正比例函数解析式 = ( ≠ 0)的结构特征：
①是常数， ≠ 0
②自变量的指数是1，取值范围是一切实数;
③与是乘积的形式;
④若 = ,则与成正比例；
若与成正比例，则 = .
正比例函数（1）
问题1：下列问题中，变量之间的对应关系可用怎样的函数表示？
(1)圆的周长随半径的变化而变化？
r
l
=
（2）铁的密度是7.9g/3 , 铁块的质量m(单位：g)随它的体
积 (单位： 3 )的变化而变化.
= .
(3)每个练习本的厚度为0.5,一些练习本摞在一起的总厚
1.已知与 − 3成正比例，且当 = 2时， = −5.
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当 = 3时， 的值；
2
(3)当 = 时， 的值.
3
2.自编一道正比例函数的题目与同学们交流.
老
师
赠
言
高斯（数学王子）说：“数学是科学之王”；
八年级数学19.2.1 正比例函数教案
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
八年级数学课件正比例函数(1)
求函数解析式的方法
待定系数法：
(1)设出正比例函数解析式的 一般式y = kx ；
(2)把自变量和函数的对应值代 入所设解析式即得含K的方程；
(3)解方程，求出待定系数 k 的值；
(4)将求得的待定系数 k 的值代入所设解 析式中，得解析式。
练习 已知y是x的正比例函数，且当 x = -5时， y = 10，求这个正比例 函数的解析式。
解： 把x = 5， y = -1代入y = kx
-1=5k
∴k= 1 5
y 1 x 5
练习2、（2）已知P(5，-1)在正比例函数 的图象上。求函数解析式。
解：设正比例函数的解析式是y=kx(k≠0)
把x = 5， y = -1代入y = kx
-1=5k
∴k= 1 5
y 1 x 5
类比 通过比较，谈谈你的看法
则k _≠_-_1__
方法：由正比例函数的定义可知:
(1)自变量x的指数为1. (2)关于自变量x的代数式必须是单项式.
(3)比例系数k≠0;
练习1：已知函数y (m 3)x2m1是正比 例函数，求m的值。
解：由题意，得 2m-1=1 m+3≠0
∴ m=1 m≠-3
∴m=1
练习2、若函数 y (m 3)x m 2 ，
方法：把x、 y的值代入y = kx 中，求比例系数k的值
解：把x = 5， y = -1代入y = kx
-1=5k
∴k=
1 5
y 1 x
5
练习2、（1）已知正比例函数y = kx的图 象经过点P(5，-1) ，求函数解析式。
怎样理解“图象经过点P(5，-1)” ？ “图象经过点P(5，-1)”的意思是： 当x = 5时，y = -1
沪科版数学八年级上册同步教学课件 第1课时 正比例函数的图象和性质
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
议一议
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的 值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其 中的道理吗？ （2）正比例函数y= - 1 x和y =-4x中，随着x值的增
2
大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如 何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
当堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ B ）
在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1）， （x2，y2），若x1<x2，则y1 < y2.
2. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2
的大小关系是（A ）
第12章 一次函数 12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象和性质
学习目标
情境引入
1.理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比 例函数图象过程中发现正比例函数图象性质;
2.能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例 函数图象;
3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.
导入新课
知识回顾
1.函数有哪些表示方法? 它们之间有什么关系? 图象法、列表法、关系式法
＋m＋1是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：(2)因为 y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0. 所以 m＝±5且m≠5且m＝－1， 则这样的m不存在， 所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为 正比例函数．
《正比例函数》人教版八年级数学教案
《正比例函数》人教版八年级数学教案正比例函数是本章的重点内容，是学生在初中阶段第一次接触的函数，这部分内容的学习是在学生已经学习了变量和函数的概念及图像的基础之上进行的。
下面由我为大家整理了关于《正比例函数》人教版八年级数学教案，供大家参考。
《正比例函数》人教版八年级数学教案1教学目标：1、认识目标(1)通过对不同背景下函数模型的比较，接受正比例函数的概念。
(2)在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质。
2、能力目标(1)利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象，培养学生的动手能力。
(2)通过结合函数图象揭示性质的教学，培养学生观察、比较、抽象、概括能力。
3、情感、态度与价值观(1)通过正比例函数概念的形成过程，培养学生的探索精神和创新意识。
(2)在画正比例函数图象的活动中获得成功的体验，培养学生积极思考和动手学习的良好习惯，激发学习数学的热情。
教学重点：正确理解正比例函数的概念。
教学难点：体验研究函数的一般思路与方法。
教学方法：1、教法：本节教材实例取自生活实际，通过引导学生对身边事物的观察，让学生认识到大量活生生的正比例函数模型就在我们身边，从而让他们感受到数学贴近于现实生活，通过创设问题情景，精心设问，适时适度运用激励性语言，采用引导讨论法，让学生主动、愉快的参与到学习的全过程中来。
2、学法：倡导学生参与，师生互动，充分调动学生思考与探究的积极性，使学生成为学习的主体，让学生在学习过程中体验“观察、思考、探索、归纳”整个思维过程。
教学手段：运用多媒体，实现现代化教学手段，重现生活中事物变化过程，将教材中的静态画面转变为动态画面，从视觉、听觉吸引学生观察、体验，从而进一步思考、探究，得出结论，以提高课堂教学效率。
教学过程：一、创设情境，设疑激思1、实物情境：春天到了，燕子又飞回来了。
请同学们观察图片(多媒体展示燕欧飞行图片)，1966年，鸟类研究者在芬兰给一只燕欧(候鸟)套上标志杆;4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1正比例函数的性质课件
着逐渐__减__少___(填“增大”或“减小”）.
y
4
（图2）
2
-2 O -2
2
4x y=-
1 4
x
-4 y=-4x y=-x
由画图的操作，通过视察和思考，说说正比 例函数有哪些性质？
正比例函数y= kx (k≠0)的性质： （1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三
图像经过一、三象限
y随着x的增大而增大 图像经过二、四象限 y随着x的增大而减少
已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图像
经过第几象限？
解： 该函数是正比例函数
{ m1 0 m2=1
m 1
m=±1，
m 1
比例系数k=m+1=2>0
根据正比例函数的性质，k>0可得
该图像经过一、三象限。
2.已知:正比例函数 y 1- 2mx m2 3
(2) y 2x
y一随、x的三增象大限而增大
(3) y 7 x 3
y二随、x的四增象大限而减小
(4) y (1 2)x y二随、x的四增象大限而减小
(5) y (a2 1)x y一随、x的三增象大限而增大
(其中a是常数）
2.下列函数中
口答 看谁反应快
(1)y=9x,(2)y=-
7
x,(3)y=
如果你是正比例函数代言人,你将怎样介绍自己呢？
嗨:大家好,我是正比例函数,我的变量 x与y有很密切的联系，我的解析式 是行如…… ,我的图像是……，我的
性质有……你，能否帮我设计一张名片呢？
正比例函数的名片
正比例函数的名片
解析式
y=kx (k≠0)
八年级+数学第1课时 正比例函数的概念导学案
第十九章 函数19.2 一次函数19.2.1 正比例函数第1课时 正比例函数的概念学习目标：1.理解正比例函数的概念；2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.重点：正比例函数的概念及其简单应用；难点：会求正比例函数的解析式.一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m （元）与销售量n （千克）成 比例，其比例系数为 .2.举例说明什么是函数及自变量.二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm 3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm 3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量 的形式.2.自主归纳：一般地，形如 （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是 ；(2)当n 时，y=2x n 是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数.四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？x是正比例函数，求m的值.例1：已知函数y=(m-1)2m方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.探究点3：正比例函数的简单应用问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3：已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？(2)若y=(m-1)x+m2-1是正比例函数，则m=.2.已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为.。
人教版八下数学19.2.1 课时1正比例函数的概念教案+学案
人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念教案【教学目标】知识与技能目标认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点．过程与方法目标能利用正比例函数知识解决相关实际问题．情感、态度与价值观目标通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心．【教学重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【教学难点】掌握正比例函数的解析式的求法.【教学过程设计】一、情境导入导入一:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站?学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析:(1)1318÷300≈4.4(h).(2)y=300t.(3)y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站.y=300t中,变量和常量分别是什么?其对应关系是函数关系吗?谁是自变量,谁是函数?自变量与常量按什么运算符号连接起来的?由此引出今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,让学生体会到正比例函数来源于生活实际,通过实例引入,激发学生学习数学的兴趣.导入二:一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到1千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?学生在练习本上独立完成,有困难的小组讨论、交流.教师总结,全班讲评.一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈202(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为202千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=202x(0≤x≤127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=202x的值.即:y=202×45=9090(千米).以上我们用y=202x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=202x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?今天学习的课题:正比例函数.[设计意图]通过这一环节,使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的,人们的需要产生数学.二、新知构建1.正比例函数概念思路一下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位: cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化;(4)冷冻一个0 ℃物体,使它每分下降2 ℃,物体的温度T (单位: ℃)随冷冻时间t (单位:分)的变化而变化.学生先独立思考上面提出的问题,再以小组为单位进行交流.教师解析: (1)l =2πr ;(2)m = 7.8V ;(3)h =0.5 n ;(4)T =-2t.引导学生认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数.函数解析式常数 自变量 函数 (1)l =2πr2π r l (2)m =7.8V7.8 V m (3)h =0.5n0.5 n h (4)T =-2t -2 t T提问:这些函数有什么共同点?学生观察这些函数关系式,发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y =300t ,y =200x 的形式一样.教师归纳:一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.[设计意图] 由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,体会数学来源于生活,又应用于生活,让学生初步感受正比例函数在实际生活中的应用.思路二前面我们学习了函数的概念,学会了用描点法来画函数的图象,观察下列函数的解析式,发现它们有什么特点?(1)y =3x ; (2)y =-6x ; (3)y =x ; (4)y =-x.师生共同分析:上述这些函数都是常数与自变量乘积的形式,我们把形如这样的函数叫做正比例函数.一般地,形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数. 教师强调:(1)常量:k ,变量:x ,y ,自变量取值范围:全体实数;(2)正比例函数的函数y 与自变量x 之间就是正比例关系的量.[设计意图] 通过观察所给函数的结构特点,让学生寻找这些函数具有的规律,让学生体会由特殊到一般来解决问题的方法.2.例题讲解例1 (补充)下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.① y =31x ;② y =x32;③ y =﹣x 6;④ y =2x ;⑤y =x 2+1;⑥ y =5x +2. 〔解析〕 观察所给的函数表达式,看是否满足正比例函数y =kx 的形式来求解.解:① y =31x 是正比例函数,正比例系数k =31. ④ y =2x 是正比例函数,正比例系数k =2.②,③,⑤,⑥ 都不是正比例函数.[设计意图] 通过设计一组函数,让学生利用正比例函数的定义进行判断求解,帮助学生及时复习所学的概念.例2 (补充)①若y =(k -1)x 是正比例函数,则 ;②若y =2x m 是正比例函数,则m = .③在函数y =(k －2)中,当k = 时,为正比例函数.〔解析〕 根据正比例函数定义,利用比例系数k ≠0,或者x 的指数为1列不等式或方程进行求解.①∵y =(k -1)x 是正比例函数,∴k -1≠0,∴k ≠1.②∵y =2x m 是正比例函数,∴m =1.③∵函数y =(k -2)为正比例函数,∴∴k =-2.答案:①k ≠1 ②1 ③-2[设计意图] 通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的比例系数和未知数的指数来列不等式或方程来求字母的取值.例3(补充)若y 与x -2成正比例关系,且x =4时,y =5.求y 关于x 的函数关系式. 〔解析〕 先根据y 与x -2成正比例关系可设y =k (x -2),再把x =4时,y =5代入求出k 的值即可.解:设y =k (x －2),则有k (4－2)=5,解得k =25. 所以y 关于x 的函数关系式为y =25x －5. [设计意图] 通过设计代数式之间成正比例关系,利用方程的思想进行求解,让学生更深刻理解正比例函数的定义.三、教学小结本节课学习了正比例函数的概念:形如y =kx (k 是常数,k ≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数;会用正比例函数定义来判断函数是否为正比例函数;并且会用正比例函数定义来求一些字母的取值;解题时注意:判定一个函数是否为正比例函数,要化简后再判断.【板书设计】19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数课时1正比例函数的概念1.正比例函数概念2.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下面四个小题中两个变量成正比例的是( )A.儿童的身高和年龄B.等腰梯形的上底固定时,下底和面积C.圆柱的高和体积D.长方体的底面是边长为定值a 的正方形,它的体积和高解析:儿童的身高与年龄不成正比例关系;由等腰梯形的面积公式、圆柱的体积公式可知B,C 不正确;由题意知长方体的体积=a 2×高,且a 为定值,所以它的体积和高是成正比例的.故选D .2.若y =5x 3m -2是正比例函数,则m = .解析:根据正比例函数定义,得3m -2=1,解得m =1.故填1.3.y =(k -2)x 2+5x 是正比例函数,则k 的值为 .解析:根据正比例函数定义,得k -2=0,解得k =2.故填2.4.下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数?如果是,请你指出正比例系数k 的值.(1)y =-0.1x ; (2)y =53x ; (3)y =2x 2; (4)y 2=4x ;(5)y =-4x +3; (6)y =2(x -2x 2)+2x 2.解:(1) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =-0.1.(2) 表示y 是x 的正比例函数;正比例系数k =53.(3),(4),(5),(6)都不是正比例函数. 5.如果y =kx (k ≠0),当x =4时,y =2;那么x =-3时,y 的值是多少?解:∵y =kx ,当x =4时,y =2,∴4k =2,∴k =21,∴y =21x ,∴当x =-3时,y =23.【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时1正比例函数的概念学案【学习目标】1．理解正比例函数的概念；2．会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题．【学习重点】正比例函数的概念及其简单应用．【学习难点】会求正比例函数的解析式．【自主学习】一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m（元）与销售量n（千克）成比例，其比例系数为.2.举例说明什么是函数及自变量.二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．（5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量 的形式.2.自主归纳：一般地，形如 （k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是 ；(2)当n 时，y=2x n 是正比例函数； (3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数. 四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？【典例探究】例 1 已知函数 y=(m-1)2m x 是正比例函数，求m 的值.方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不等于0.知识点2：求正比例函数的解析式例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为y=kx；（2）代：将已知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.知识点3：正比例函数的简单应用问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？例3已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km 所需油费是多少？方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为y=kx （k 是常数，k≠0）的形式.【跟踪练习】1.(1)若y=(m-2)x |m|-1是正比例函数，则m= ；(2)若y=(m-1)x+m 2-1是正比例函数，则m= . 2.已知y 与x 成正比例，当x 等于3时，y 等于-1.则当x=6时，y 的值为____________.【学习检测】1.下列说法正确的打“√”,错误的打“✕”(1)若y =kx ,则y 是x 的正比例函数. ( )(2)若y =26x 2,则y 是x 的正比例函数. ( ) (3)若y =2(x -1)+2,则y 是x 的正比例函数. ( )(4)若y =2(x -1),则y 是x -1的正比例函数. ( )(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√(解析:先把所给的代数式化成最简形式,再根据正比例函数定义进行判断求解.)2.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ）A.圆的面积S 与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t3.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（）（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（）（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（）（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（）4.填空（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______.（2）如果y=kx k-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.（4）若23=-是关于x的正比例函数，m=_____.(2)my m x-5.汽车以40千米/时的速度行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数解析式为, y是x的函数.y=40x正比例(解析:根据路程=速度×时间和正比例函数的定义进行判断.) 6.填空(1)若函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,则a =;(2)若y=(k+3)是y关于x的正比例函数,则k=;(3)若y与x-2成正比例,当x=3时,y=-4.试求出y与x的函数关系式.解析:由正比例函数解析式为y=kx,根据题意列方程或不等式进行求解.解:(1)∵函数y=(a-3)x+a2-9是正比例函数,∴a=-3.(2)∵y=(k+3)x|k|-2是y关于x的正比例函数,∴k=3.(3)∵y与x-2成正比例,∴设y=k(x-2),∵当x =3时,y =-4,∴k =-4,∴y 与x 的函数关系式为y =-4x +8.7.已知函数y =2x 2a ＋3+a +2b 是正比例函数,则a = ,b = .﹣1 21 8.若x ,y 是变量,且函数y =(k +1)是正比例函数,则k = .1(解析:由正比例函数定义,可知故k =1.)9.若y =kx +2k -3是y 关于x 的正比例函数,则k = .(解析:由正比例函数定义可知2k －3=0,且k ≠0,故k =23.) 10.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.11.已知y -6与x +3成正比例,且x =1时,y =26,试写出y 与x 的函数关系式. 解:∵y -6与x +3成正比例,∴设y -6=k (x +3).又∵x =1时,y =26,∴4k =20,∴k =5,∴y -6=5(x +3),∴y 与x 的函数关系式为y =5x +21.12.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.（1）求收割的面积y （单位：公顷）与收割时间x （单位：时）之间的函数关系式；（2）求收割完这块麦田需用的时间.13.汽车由天津驶往相距120千米的北京,s (千米)表示汽车离开天津的距离,t (小时)表示汽车行驶的时间,如图所示.(1)汽车用几小时可到达北京?速度是多少?(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?解:(1)由图象可知:s与t成正比例,设s=kt,当t=4时,s=120.即120=k×4,∴k=30.∴s=30t.∴汽车用4小时可到达北京,速度是30千米/时.(2)当t=1时,s=30×1=30(千米).∴汽车行驶1小时,离开天津30千米.(3)当s=100时,100=30t,t=(小时).∴当汽车距北京20千米时,汽车出发了小时.。
八年级-人教版-数学-下册-[课件]第1课时 正比例函数的概念
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y＝300×2.5＝750（km）． 这时列车尚未到达距始发站 1 100 km 的南京南站．
以上我们用函数 y＝300t (0≤t≤4.4)对京沪高铁列车的行程问 题进行了讨论．尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这 个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律．
站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（1）京沪高铁列车全程运行时间约需 1 318÷300≈4.4（h）．
问题 2011年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km．设列车的平
均速度为 300 km/h．考虑以下问题：
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单 位：h）之间有何数量关系？
第1课时 正比例函数的概念
1．什么是函数？什么是函数值？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对 于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们 就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫 做当自变量的值为 a 时的函数值．
x 2
；
（6）y＝－ 3 x．
解：根据正比例函数的概念知，（1）（3）（5）（6）是正
比例函数．
（1）中的比例系数为
3；（3）中的比例系数为－
1 2
；
（5）中的比例系数为 π；（6）中的比例系数为－ 3 ．
正比例函数必须符合以下三个条件： （1）自变量的次数是 1； （2）比例系数 k 不等于 0； （3）解析式中不含常数项．
拓展：（1）如果两个变量的比是一个常数，那么这两个变 量之间的关系就是正比例关系．
人教版八年级数学下第19.1.1正比例函数的(教案)
（1）对正比例函数图像的理解和绘制。
-难点解析：学生在理解图像与坐标轴交点、斜率等方面可能存在困难。
-教学策略：利用几何画板等工具动态展示图像绘制过程，强调斜率与k值的关系。
（2）正比例函数在实际问题中的应用。
-难点解析：学生可能难以将抽象的正比例函数应用于具体问题。
-教学策略：设计实际情境题目，如计算物品的价格、计算物体的速度等，引导学生将函数知识应用于实际问题的解决。
五、教学反思
在本次关于正比例函数的教学中，我发现学生们对于函数的概念和图像性质的理解有一定的基础，但在将理论知识运用到实际问题解决时，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重以下几点：
首先，加强概念讲解与实际应用的结合。在讲授正比例函数的定义和性质时，应多举一些生活中的实例，让学生明白这些抽象的知识在实际中是如何运用的。这样既能提高学生的学习兴趣，也能帮助他们更好地理解和掌握知识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正比例函数的基本概念。正比例函数是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度、密度等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以速度为例，当速度为常数时，物体的路程与时间成正比。这个案例展示了正比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-举例：速度与时间的关系，当速度为常数时，路程与时间成正比。
（2）正比例函数图像的特点：一条通过原点的直线。
-举例：绘制y=2x和y=-0.5x的图像，观察其特点。
（3）正比例函数的性质：k>0时，函数值随x增大而增大；k<0时，函数值随x增大而减小。
-举例：分析y=3x和y=-4x在不同x取值下的变化规律。
最新人教版初中八年级下册数学【第十九章一次函数 19.2.1 正比例函数】教学课件
回答
按道理来说，只要落在函数图象上的任意两点都能确定这条直线.但是为了便捷，我们一般选用原点 (0,0),另一个点可以选择在坐标系中容易标记的.
y1x 3
x …0 3… y …0 1…
y 6
5
4
3
y1x
2
3
1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 –6
1 2 3 4 5x
回答
自变量的取值范围一旦不是全体实数，那函数图象就不是整一条直线，我们就要根据自变量的取值范 围来确定函数图象了.
解：(1)因为函数图象经过一、三象限;
y
所以3a-6>0
解得 a>2
Ox
1.已知正比例函数y=(3a-6)x. (2)当a为何值时，该函数图象经过点(2,6);
解：(2) 函数图象经过点(2,6) 即当x=2时，y=6， 因此6=2(3a-6) 解得a=3
1.已知正比例函数y=(3a-6)x.
(3)图象上有两点(1,y1),(-2,y2),且y1<y2 ,求a的取值范围.
方法一：图象法
y
从图象观察可得，
y2
y随x的增大而减小
所以3a-6<0
1
-2
O
y1
解得 a<2
方法二：代数法 点(1,y1),(-2,y2)在函数图象上 所以y1=3a-6，y2=-2(3a-6)
x
又因为y1<y2 所以3a-6<-2(3a-6)
解得 a<2
2.一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm， 体积为ycm3. (1)求体积y与高x之间的函数关系式; (2)写出自变量x的取值范围; (3)画出函数的图象.
人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(一)：正比例函数
一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。
（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。
2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。
其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）； （3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值； （4）确定函数解析式。
【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（ ） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。
3、画正比例函数2y x =的图象。
4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（ ）。
A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）。
A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3）， （1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。
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