自动控制原理03第三章 时域分析c3

s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 2 1 0 ε 3 4 4 2 2 -8 -8 5 6 7 7
劳 斯 表
劳斯表特点
1 右移一位降两阶 2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线
εε 2 +8 7 ε -8 2 ε+8 - 7 ε
7
4 分母总是上一行第一个元素 5 一行可同乘以或同除以某正数 6第一列出现零元素时， 15 用正无穷小量 ε代替。
劳斯表出现零行 1 劳斯表何时会出现零行? 系统一定不稳定
2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根?
• 解辅助方程得对称根: 错啦!!!
s1,2=±j
由综合除法可得另两 个根为s3,4= -2,-3 22
例3.4
某一个控制系统的特征方程为
s 2s 8s 12s 20s 16s 16 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3 S2 S1 S
0
1 41.5 38.5 2.3 10
4
517 2.3 104

0 0
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符 号变化了两次(+到－，－到＋)，所以该方程中有二个根在 S的右半平面。
17Biblioteka 例3.2 已知某调速系统的特征方程式为
例3.5
用劳斯判据检验下列特征方程
2S 3 10S 2 13S 4 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根 在垂线 S 1 的右方。 解：列劳斯表 S
Im
3
2 10
13 4
S2
[s]
S S
1
1
0
Re
0
130 8 12.2 10 4
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。 25
S 3 41.5S 2 517S 16701 K ) 0 (
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
S3 S2
1
1 41.5
517 1670 1 K ) (
0 0
41.5 517 1670 1 K ) ( S 0 41.5 S0 1670 1 K ) ( 由劳斯判据可知，若系统稳定， 则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。因此可得：
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数 就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统 为不稳定 如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同， 则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统 也属不稳定
19
例3.3
已知系统的特征方程式为
S 2S S 2 0
3 2
试判别相应系统的稳定性。 解：列劳斯表
k 2r n
对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出：
c(t ) ci e
i 1 k pi t
e
j 1
r
jt
( A j cos j t B j sin j t )
(t 0)
上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在 5 平面的左半部。
不稳定系统： 有一个或一个以上的正实部根。
临界稳定： 有一个或一个以上的零实部根或一对纯 虚根，而其余的特种根都有负实部。
工程上，临界稳定为不稳定系统。 临时稳定现象 实际上时观察不到的。
Im
S平面
稳 临 不 Re 定 界 稳 区 稳 定 定 区
6
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极 点有关，与零点无关。
对于一阶系统， 1s a0 0, s 0 , 只要 a0 , a1 都大于零， a a1 系统是稳定的。 a1 a12 4a2 a0 a 2 对于二阶系统， 2 s a1s a0 0, s1, 2 2 a2 只有 a0 , a1 , a2 都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
c1
d1 e1 f1
d2 e2
d3
b1a3 a1b2 b1 b a a1b3 c2 1 5 b1 b a a1b4 c3 1 7 b1
13
首先检验：系统特征方程次数是否缺项 系统特征方程系数符号是否全为正 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征 方程式的根都在S的左半平面，系统是稳定的。
2 2 5 4 3 2 例如: 1 (s 4)(s 25)(s 2) s 2s 24s 48s 25s 50 2 (s 2 4)
解决的办法： 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。 完成劳斯表的排列。 这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅 助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中 含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
D( s ) 0
(m n)
设 p i 1,2,, n 为系统特征方程 系统输出：
i
的根，而且彼此不等。
B( s) B( s) C (s) R( s) D( s) D(s)
r js j ci i 1 s pi j 1 s ( j j j ) s ( j j j ) k
lim c(t ) 0
t
即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳 定的。
4
设闭环系统的传递函数：
C (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 B(s) (s) n n 1 R(s) an s an1 s a1 s a0 D(s)
S3 S2 S1 S0
1 2 0( ) 2
1 2
由于表中第一列

上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该 方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为 （临界）不稳定。
20
（2）劳斯表中出现全零行
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要 下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对 实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。
1 1
1
Im
[s]
0
Re
Z0
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个 根在垂直直线 S 1 的右方。
26
例3.6 已知一单位反馈控制系统下图所示，试回答 Gc (s) 1 时，闭环系统是否稳定？

Gc ( s )
R(s)
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
16
例3.1 已知一系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517S 2.3 104 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S
0
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 a4

b1
a1a2 a0 a3 a1 a a a0 a5 b2 1 4 a1 a1a6 a0 a7 b3 a1
2(s2 2)(s2 4) 0
j 2 , j2
23
1
0
显然这个系统处于临界(不)稳定状态。
（四）劳斯判据的应用
（1）稳定判据能回答特征方程式 的根在S平面上的分布情况，而不 能确定根的具体数据。
z

a 0
（2）实际系统希望S左半平面上 的根距离虚轴有一定的距离。 解决的办法 s z a 设 代入原方程式中，得到以 z 为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该 方程中是否有根位于垂线 s a 右侧。 此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的 根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。 24
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，系统为 不稳定，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的 右半平面上的个数。
注：计算时，劳斯表第一列一旦出现零或负值，就 说明该系统不稳定
14
设系统特征方程为：
劳斯表介绍
7
(6－4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= -8
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0

B(s)
H (s)
稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。 李亚普诺夫稳定性理论 如果一个线性控制系统在初始扰动作用下，其动态过程随 时间的推移逐渐衰减并恢复到原始的平衡状态，则称系统是渐 进稳定的，简称稳定。
反之，若在初始扰动作用下，系统的动态过程随时间的推
移而发散，称系统是不稳定的。
令
S Z 1 代入特征方程 2S 3 10S 2 13S 4 0
2(Z 1) 3 10(Z 1) 2 3(Z 1) 4 0
2Z 4Z Z 1 0
3 2
式中有负号，显然有根在
Z3 列劳斯表： Z2 Z
1
S 1 的右方。
2 4 1 2 1
n n1
S n (S1 S2 Sn1 Sn )S n1 (1)n S1S2 Sn1Sn 0
系统稳定需要满足必要条件（否则不稳定）：
⑴ 系统特征方程次数不缺项 ⑵ 系统特征方程系数符号一致（全为正或负）