创新思维·小学奥数·解题思路和知识点归纳(图形间的等量关系)

第七讲：图形间的等量关系（技巧与规律）
一、应用弦图解题
我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示），有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。

我国宋代著名数学家杨辉，在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：
有一块长方形田，面积为864平方步（“步”是古代长度单位，1里=300步，1步=5尺），已知长比宽少12步，问：它的长、宽共是多少步？
杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57），他是用四个面积为864
共是60步。

显然，这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！
有些竞赛题也可以用弦图来巧解。

第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目。

尤其是那一道决赛题：
平方米。

锯下的木条面积是多少平方米？”
仿杨辉的解法，可假定剩下4块长方形木块，并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58。

于是可知，大正方形的面积为
二、解纵横交错的复杂题
把同样大小的长方形有规律地纵横交错地放在一起，常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目。

例如
如图4.59，这是由同样大小的纸片摆成的图形，小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积。

由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长+3个纸片的宽，所以
2个纸片长=3个纸片宽
1个纸片长=12×3÷2
=18（厘米）
进而可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）
阴影部分的总面积便是
6×6×3=108（平方厘米）
又如，“有9个长方形，它们的长、宽分别相等，用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长。

”
解题的关键，是求出一个小长方形的长和宽。

由5个小长方形的宽等于
形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长，正好是小长方形的宽（如图4.61）。

所以，5个小正方形面积之和，就是四个小正方形的面积之和，即5个小正方形面积为
45÷9×4=20（平方厘米）
每个小正方形的面积为
20÷5=4（平方厘米）
显然，每个小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米，小长方形的长便是
进而便可求得大长方形的周长为
［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。

此外，题目还可这样解答：
因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以，可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（如图4.62）。

大正方形面积是
它的边长便是10厘米，则小正方形的长为
10÷4=2.5（厘米）
小正方形的宽为
10÷5=2（厘米）
于是，原来的大长方形的周长就是
（2.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。

三、用面积线段比的关系解题
利用面积比与线段比之间的等量关系，常常能使复杂问题简单化。

例如
为什么成立？
由图中可以看出，△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以
又如，第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：
“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩？”
图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形，它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形，它们的面积比，也等于它们宽的比。

设阴影部分面积为x公亩，由于左右两组长方形面积之比，都等于相同的宽之比，所以
即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩。