多个样本均数比较的方差分析
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种常用的多样本比较方法，它可以用来比较两个或更多个样本的均值是否存在显著差异。
ANOVA基于方差原理，通过测量不同组之间的平均方差和组内平均方差来推断总体均值是否相等。
1. 引言方差分析是统计学中非常重要的一种分析方法，它广泛应用于实验设计和数据分析中。
通过方差分析，我们可以了解各组之间的差异程度，并进行合理的结果推断与判断。
2. 方法与步骤ANOVA方差分析一般分为以下几个步骤：（1）设立假设：- 零假设（H0）：各组均值相等。
- 备择假设（H1）：至少有一组均值不相等。
（2）计算总变异量：- 计算组间变异量，表示组间的差异。
- 计算组内变异量，表示组内个体之间的差异。
（3）计算F值：- F值是组间均方与组内均方之比。
（4）确定显著性水平：- 根据显著性水平确定拒绝域。
（5）做出推断：- 比较计算得到的F值与查表得到的临界F值，判断是否拒绝零假设。
3. 适用条件ANOVA方差分析适用于以下场景：- 研究问题存在一个因变量和一个或多个自变量。
- 自变量是分类变量，且有两个或更多个不同水平。
4. 假设检验与结果解读在进行ANOVA方差分析时，我们需要进行假设检验来推断各组均值是否存在显著差异。
当F值大于临界值时，我们可以拒绝零假设，即认为各组均值存在显著差异。
反之，当F值小于临界值时，我们无法拒绝零假设，即认为各组均值相等。
5. 扩展应用ANOVA方差分析不仅适用于均值比较，还可以应用于其他方面的分析，例如对多个因素的交互影响进行分析，探究不同因素之间是否存在显著差异。
6. 小结ANOVA方差分析是一种重要的统计方法，可以用来比较多个样本的均值差异。
通过计算F值和显著性水平，我们可以推断各组之间的显著差异程度。
在实际应用中，需要根据具体情况选择相应的方差分析方法和适当的分析模型。
这篇文章简要介绍了ANOVA方差分析的基本概念、方法与步骤，以及其适用条件、假设检验与结果解读。
统计-完全随机设计资料的方差分析(多个样本均数间的两两比较)
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响？大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计7.76 11.14 10.857.71 11.60 8.588.43 11.42 7.198.47 13.85 9.3610.30 13.53 9.596.67 14.16 8.8111.73 6.94 8.225.78 13.01 9.956.61 14.18 11.266.97 17.728.68合计（∑X）80.43 127.55 92.49 300.47（∑∑X ij）例数（n）10 10 10 30（N）均数（X）8.04 12.76 9.25 10.02平方和（∑X2）676.32 1696.96 868.93 3242.21(∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别；a=0.052.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数（∑X ij2），由表得：∑∑X ij=300.47 ∑X ij2=3242.21 N=30总的离均数差平方和SS总=∑X ij2 － (∑X ij)2n= 3242.21－300.47230=232.8026SS组间=∑ (∑X ij)2n i－(∑X ij)2n=80.43210+127.55210+92.49210－300.47230=119.8314SS组内=SS总－SS组间= 232.8026－119.8314=112.9712 ②.计算均方MS：MS组间= SS组间k-1(k为组数) =119.83143-1= 59.916MS组内= SS组内N-k(N为总例数) =112.971230-3= 4.184③.求F值F = MS组间MS组内=59.9164.184= 14.32将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源平方和SS 自由度v 均方MS F值总变异232.8026 29组间变异119.8314 2 59.916 14.32 组内变异（误差) 112.9712 27 4.184（注：自由度：v总= N－1 = 30－1= 29；v组间= k－1 = 3－1 = 2; v组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesTest of Homogeneity of VariancesANOVA3.查表确定P值，并作出统计推断：V组间= 2，v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为F0.05（2,27）= 3.35, 则F= 14.32> F0.05（2,27），则P<0.05，按0.05水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
医用统计学-多个样本均数比较的方差分析练习题
医用统计学-多个样本均数比较的方差分析练习题一、是非题1．方差分析是研究两个或多个总体均数的差别有无统计意义的统计方法。
（）2．样本均数的差别做统计检验，若可做方差分析，则也可以做t检验。
（）3．4个均数做差别的假设检验，可以分别做两两比较的6次t检验以进一步详细分析。
（）4、完全随机设计方差分析中的组内均方就是误差均方。
（）5、方差分析中的误差均方的总体平均数理论上不会大于处理组间均方。
（）二、最佳选择题1、完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）。
A、SS组间> SS组内B、MS组间> MS组内C、MS总= MS组间+ MS组内D、SS总=SS组间+ SS组内E、ν组间> ν组内2、在完全随机设计资料的方差分析中，有（）。
A、MS组内> MS误差B、MS组内< MS误差C、MS组内= MS误差D、MS组间= MS误差E、MS组内< MS组间3、当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t检验结果（）。
A、完全等价且F= t开根号B、方差分析结果更准确C、t 检验结果更准确D、完全等价且t= F开根号E、理论上不一致4、方差分析结果，F处理>F0.05(ν1. ν2)，则统计推论是（）。
A、各总体均数不全相等B、各总体均数都不相等C、各样本均数都不相等D、各样本均数间差别都有显著性E、各总体方差不全相等5、完全随机设计方差分析的实例中有（）。
A、组间SS不会小于组内SSB、组间MS不会小于组内MSC、F值不会小于1D、F值不会是负数E、F值不会是正数6、完全随机设计方差分析中的组间均方是（）的统计量。
A、表示抽样误差大小B、表示某处理因素的效应作用大小C、表示某处理因素的效应和随机误差两者综合的结果D、表示N个数据的离散程度E、表示随机因素的效应大小7、配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别作比较，可选择（）。
A、随机区组设计的方差分析B、u检验C、成组t检验D、χ2检验E、秩和检验8、方差分析可用于_______关系的分析。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
6 多样本均数比较_方差分析
(3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异， 记为SS区组. (4) 误差变异：完全由随机误差产生变异，记为SS误差。 对总离均差平方和及其自由度的分解，有:
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
45
表 随机区组设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 自由度
31
常用的多重比较的方法:
LSD DUNNETT (‘a1’) DUNCAN BON SNK REGWQ
LSD –t 检验 (最小显著差法)
Dunnett- t 检验 Duncan检验 (新复极差法) Bonferroni法 SNK法
REGWQ法
32
SAS示例
6.1 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
16
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组间变 异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起作用。根 据计算出的检验统计量F值, 查界值表得到相应的P 值, 按所取检验水准α作出统计推断结论。 检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
34
SAS示例
35
SAS示例
36
SAS示例
37
SAS示例
38
SAS示例
39
SAS示例
40
ANOVA过程
过程格式
Proc
anova 选项; Class 变量表; Model 依变量＝效应表/选项; Means 效应表/选项; Run;
41
三 二因素随机区组试验资料的 方差分析
2. 双因素及多因素试验方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。
本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。
方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。
组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。
组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。
方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。
三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。
2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。
3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。
4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。
5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。
6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。
7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。
8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。
9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。
四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。
在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。
统计学系列讲座第5讲多组样本均数比较的方差分析
３
随机单位组设计资料的方差分析（ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｂｌｏｃｋ ｄｅｓ ｉｇｎ）
第６期
安胜利 ． 统计学系列讲座
第５讲
多组样本均数比较的方差分析
９５
又称随机区组设计、 配伍组设计 。 这 种 设 计 相 当 于 配 对 设计的扩大。具体做法是将受试对象按性质（ 如性别、 体质 量、 年龄及病情等对试验结果有影响的非实验因素） 相同或 相 近者组成 ｂ 个单位组 ， 每个单位组中有 ｋ 个 受 试 对 象 ， 分 别随机地分配到 ｋ 个处理组。这种设计使得各处理组内受试 对象数量相同 ， 生物学特点也较为均衡。由于减少了误差 ， 试 验效率提高了。 例 ２ 为研究注射不同剂量雌激素对大白鼠子宫质量的 影响 ， 取 ４ 窝不同种系的大白鼠 （ ｂ＝４ ） ， 每窝 ３ 只 ， 随机地分配 到 ３ 个 组 内 （ ｋ＝３ ） 接 受 不 同 剂 量 的 雌 激 素 的 注 射 ， 然 后 测 定 其子宫质量 ， 见表 ５ ， 问注射不同剂量的雌激素对大白鼠子宫 质量是否不同 ？ 表５
分析： 本例多处数据标准差是均数的 ２ 倍以上， 基本上 可以认为此资料不服从正态分布 ， 而且 各 指 标 内 不 同 组 间 标 准差相差悬殊 ， 也不满足方差齐性条件 ， 所以不宜用 ｔ 检验和 方差分析。这两个条件具体可通过正态性检验和方差齐性检 验证实 （ 此略 ） 。另外 ， 本资料分为 ３ 组 ， 而原作者反复用 ｔ 检 验进行各两组间的比较也是错误的， ｔ 检验不能用于分析多 组资料间的两两比较。此例可考虑用无前提条件要求的非参 数检验（ 将在以后的讲座中介绍） ， 如果有统计学意义， 接着 用非参数检验中相应的两两比较方法。
ＳＳ ＳＳ 处 理 ＳＳ 单 位
ＣＥＡ ＣＡ１９－ ９ （μ ｇ／Ｌ） （１０３Ｕ／Ｌ） 术前 ５８ ３４．０± ７９．０ ２０９．０± ７３９．０ 术后 ３０ ２．０± １．２＊ １１．０± １０．９＊ 转移复发 １９ ８８．０± １０７．０ ２１２．０± ５２９．０ 与术前组比较 ： ＊Ｐ＜０．０５，＊＊Ｐ＜０．０１ ｎ
医学统计学方差分析 (2)
湿重，例2为抑菌圈的直径；
因素：影响试验指标的条件称为因素----例1为组别，
例2为药物（及剂量）、菌株来源；
水平：因素所处的状态称为该因素的水平----例1组别
这个因素有3个不同的水平；例2药物（及剂量） 因素有4个水平，菌株来源有7个水平。
在一项试验中，如果影响试验指标的因素只有 一个，则称该试验为单因素试验(例1)；如果影响试 验指标的因素有多个，则称该试验为多因素试验(例 2)。
…
μg
数
22
假定处理组各水平Aj均为正态总体N(μj,σ2),区组 各水平Bk均为正态总体N(βk,σ2),方差分析的任务是：
对假设：
进行检验。
H0：μ1= μ2= …=μg H0：β1= β2 =…= βn
与完全随机设计的情形类似，我们将总平方和
分解为：
S S 总 S S 处 理 组 S S 区 组 + S S 误 差
方差分析----
多个样本均数比较的假设检验
1. 基本概念 t检验解决了推断两个总体均数是否相等的问题，
但实际工作中还会遇到需要推断多个总体均数是否相 等的问题。如：
Ex1 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只
大鼠随机分到甲、乙、丙三个组，每组6只，分别在
地面办公楼、煤碳仓库和矿井下染尘，12周后测量大
s nj
SS总 (xij x)26.5628 j1 i1
s
SS组 间 nj(x•j x)22.5278 j1
S S 组 内 S S 总 S S 组 间 6 . 5 6 2 8 2 . 5 2 7 8 4 . 0 3 5 0
16
M S组 间 SsS 组 1 间2.3 5 27 181.264 M S组 内 S nS 组 内 s4 1.8 03 5 3 00.269
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
第四章 多个样本均数比较的方差分析(第4章)(1)
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
80.94 58.99
225.54 132.13
合计
120 2.70 324.30 958.52
9
多因素实验
研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对 小鼠体重的影响 研究对象：小白鼠
总 N 1 组间 g 1 组内 N g
14
mean square ，MS
MS组间 SS组间 / 组间 MS组内 SS组内 / 组内
F
组间变异 组内变异
MS组间 MS组内
≥１
15
如果处理因素无作用： 组间变异＝组内变异 F =１ 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异 F ＞１
1.5
1.1
0.9
1.6
1.3
0.9
1.3
1.1
0.8
1.4
1.0
1.0
Xi 1.6
1.2
0.9 X总 1.23
Xij=μ+Ti+eij i=1, 2, ···, g j=1, 2, ···, n12
sum of squares of deviations from mean ，SS
总离均差平方和
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
完全随机设计分组结果
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120 随机数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
多个样本均数比较的方差分析总结
多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想：目的：推断多个总体均数是否有差别，也可用于两个。
方法：方差分析，即多个样本均数比较的F 检验。
基本思想：根据资料设计的类型及研究目的，可将总变异分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释。
通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差，即可了解该因素对测定结果有无影响。
应用条件：总体——正态且方差相等，样本——独立、随机完全随机设计资料的方差分析表变异来源 自由度 SS MS F 总变异 N －1 211i n g ij i j X C ==-∑∑组 间 g －1 211()i n ij g j i i X C n ==-∑∑ SS ν组间组间 MS MS 组间组内 组 内 N －g SS SS -总组间 SS ν组内组内Xij ：第i 个处理组第j 个观察结果SS 总，总变异：离均差平方和(sum of squares of deviations from mean ，SS )表示，即各测量值Xij 与总均数差值的平方和。
SS 组间，组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和。
SS 组内,组内变异：组内各测量值Xij 与其所在组的均数的差值的平方和表示，表示随机误差的影响。
MS 均方差，均方(mean square ，MS )检验统计量F如果各样本μ全相等，F 值应接近于1；如果不全相等，F 值将明显大于1；用F 界值（单侧界值）确定P 值。
一、完全随机设计统计分析方法选择1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-way ANOV A)或成组资料的 t 检验（g =2）；2. 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon 秩和检验。
H 0： H 1：4个试验组总体均数不全相等方差分析的结果：拒绝H 0，接受H 1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。
如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。
统计：完全随机设计资料的方差分析(多个样本均数间的两两比较)
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计合计（∑X）（∑∑X ij）例数（n）10 10 10 30（N）均数（X）平方和（∑X2）(∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H 1：u 1,u 2,u 3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP 含量值有差别； a=2.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS ：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数 （∑X ij 2），由表得： ∑∑X ij = ∑X ij 2= N=30总的离均数差平方和SS 总=∑X ij 2 － (∑X ij)2 n = － 错误! =SS 组间=∑ (∑X ij )2 n i － (∑X ij )2n= 错误! + 错误! + 错误!－ 错误!=SS 组内=SS 总－ SS 组间 = － =②.计算均方MS ：MS 组间 = SS 组间k-1(k 为组数) = 错误!= MS 组内 = SS 组内N-k (N 为总例数) = 错误!= ③.求F 值F = MS 组间MS 组内= 错误!=将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源 平方和SS 自由度v 均方MS F 值 总变异 29组间变异 2 组内变异（误差) 27（注：自由度：v 总= N －1 = 30－1= 29；v 组间= k －1 = 3－1 = 2; v 组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS 作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesCONTest of Homogeneity of VariancesANOVACON3.查表确定P值，并作出统计推断：V组间= 2，v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为（2,27）= , 则F= > （2,27），则P<，按水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
多个样本均数比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析指的是一种统计方法，用于对多个样本的均数进行比较。
它可以帮助我们确定是否有显著的差异存在于不同样本的均数之间。
在进行方差分析时，我们通常将样本分为不同的组，然后通过比较组均数的差异来确定它们之间是否存在显著差异。
方差分析是基于方差的假设检验方法。
通过方差分析，我们可以计算组内和组间的方差，然后通过比较这些方差之间的差异来判断它们之间是否有显著差异。
如果方差之间的差异足够大，则可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
在进行方差分析时，需要满足以下假设：1.观察数据是独立且来自正态分布的。
2.不同样本的方差相等。
方差分析可以通过计算F统计量来进行。
F统计量是组间均方与组内均方的比值。
组间均方是由组间方差得出的，而组内均方是由组内方差得出的。
F统计量越大，表示组间差异越大，也就意味着不同样本的均数之间存在显著差异的可能性越大。
进行方差分析之前，我们首先需要进行方差齐性检验。
这可以通过Levene检验或Bartlett检验来完成。
方差齐性检验的目的是验证不同样本的方差是否相等。
如果方差齐性假设未被满足，则意味着方差之间的差异不可忽略，我们需要使用更为复杂的方法来处理比较。
一旦我们确认了方差齐性假设，我们就可以进行方差分析了。
在方差分析中，可以使用ANOVA（Analysis of Variance）表，它可以帮助我们计算组间平方和、组内平方和、总平方和和相应的均方值。
随后，我们可以使用F分布表或统计软件来确定F统计量所对应的显著性水平。
如果F统计量非常小，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间不存在显著差异。
而如果F统计量超过了给定的临界值，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否存在显著差异，却不能告诉我们哪些均数之间具体存在差异。
如果方差分析的结果是显著的，我们需要进一步使用事后多重比较方法（如Tukey's HSD test）来确定具体存在差异的样本均数对。
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0.05 水准处拒绝H0，接受H1，
认为两组病人的退黄天数不同。
26
本例若用t检验 t = 3.012 > t 0.05, 9=2.262， 同样得到 P<0.05。 本例 F = 9.076，F0.05, 1,9 = 5.12
例 为观察中成药青黛明矾片对急性黄疸 性肝炎退黄效果，以单用输液保肝的病人作 对照进行了观察。
急性黄疸性肝炎病人的退黄天数 中药组 对照组 5 18 10 21 14 30 21 23 17 22 22
21
检验步骤：
1. 检验假设 H0： 1 2
备择假设 H1： 1 2 2. 显著性水准： 0.05
i 1 j 1
2
6
本例计算求得：
总离均差平方和
SS总 =
( x
i 1 j 1
k ni i 1 j 1
k
ni
ij
x ) = 2.51
2
k
组间离均差平方和
2 2 = 1.97 ( x x ) n ( x x ) SS组间 = i i i i 1
组内离均差平方和
11
应用条件
在进行多个均数比较时，要求：
1. 正态性 各样本是相互独立的随机样
本，均服从正态分布；
2. 方差齐性 相互比较的各样本的总体 方差相等，即具有方差齐性 。
12
第二节 完全随机设计 资料的方差分析
13
完全随机设计 （completely random design）
完全随机设计是采用完全随机化 的分组方法，将全部试验对象分配到g 个处理组（水平组），各组分别接受 相同的处理，试验结束后比较各组均 数之间的差别有无统计学意义，推论 处理因素的效应。
MS
F
P
36
查界值表，得 F0.05(2，8)=4.46，F0.01(2，8)= 8.65 今F＝11.88＞F0.01(2, 8)，故P＜0.01。
结论：按 0.05 水准，拒绝 H0 ，认为三 种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体 均数不全相等，即不同药物的抑瘤效果有 差别。 当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设 计资料的t 检验等价，有 t F 。
32
表4-9
区组 1
不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g）
A药 0.82 B药 0.65 C药 0.51
X ij
i 1
g
1.98
2
3 4 5
X ij
j 1 n
0.73
0.43 0.41 0.68 3.07
0.54
0.34 0.21 0.43 2.17
0.23
0.28 0.31 0.24 1.57
1.50
1.05 0.93 1.35 6.81
2 X ij j 1
n
Xi
0.614
2.0207
0.434
1.0587
0.314
0.5451
0.454
3.6245
33
变异分解
(1) 总变异：反映所有观察值之间的变异。 (2) 处理间变异：由处理因素的不同水平作用和 随机误差产生的变异。 (3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产 生的变异。 (4) 误差变异：完全由随机误差产生的变异。
ni 2 SS组内 = ( xij xi ) = 0.54 i 1 j 1
k
7
总变异的分解
组间变异 组内变异
总变异
8
一般，组间变异大于或等于组内变异
组间变异 MS组间 F 组内变异 MS组内
其中： MS组间 SS组间 / df组间
MS组内 SS组内 / df组内
SS误差 0.5328 0.2280 0.2284 0.0764
35
表4-10
变异来源
总变异 处理间 区组间 误 差
方差分析表
SS
0.5328 0.2280 0.2284 0.0764 0.1140 0.0571 0.0096 11.88 5.95 <0.01 <0.05
自由度
14 2 4 8
序 号
结果
24
甲
106
丁
39
乙
15
甲
3
甲
114
丁
13
甲
109 108 117
丁 丁 丁
…
…
16
甲
75
丙
15
表4-3
分 组
4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
测量值
…
… … …
n
2.59 30
2.31 30 1.68 30 3.71 30
Xi
X
X2
367.85
233.00 225.54 132.13
2 2 2
=234.194
SS组内 = 466.427—234.194=232.233
24
4. 列方差分析表
表7 方差分析表 来源 SS df MS F 总 466.727 10 组间 234.194 1 234.194 9.076 组内 232.233 9 25.804
25
5. 查表作结论
由附表3得界值：
(102.91) (81.46) (80.94) (58.99) SS组间 30 30 30 30
2 2 2 2
876.42 32.16
SS组内 82.10 32.16 49.94
18
4. 列方差分析表
表4-5 方差分析表
变异来源 自由度 总变异 组间 组内 119 3 116 SS 82.10 32.16 49.94 10.72 0.43 24.93 ＜0.01 MS F P
分配结果 丙 乙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 甲 乙 丙 甲 乙 甲 丙
31
例4-4
某研究者采用随机区组设计进行实
验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，
先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区 组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药 物，以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。 问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？
SS总 SS处理 SS区组 SS误差 总 处理 区组 误差
34
H0： 1 2 3 ，即三种不同药物作用后小 鼠肉瘤重量的总体均数相等 H1：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体 均数不全相等
0.05
C 6.812 /15 3.0917
9
理论上，如果处理因素无统计学意义， F ＝１。 如果F >>１，说明处理因素有统 计学意义。
用 F 统计量比较两个方差的假设检验 称为F检验。F统计量服从F分布，有两个 自由度，即两个均方相应的自由度。
10
本例
MS组间 = 1.97 / 2 = 0.985 MS组内 = 0.54 / 21 = 0.026 F ＝0.985 / 0.026 = 37.88 查附表3得界值 F0.05, 2, 21=3.47 ，F0.01, 2, 21=5.78 所以 P<0.01，三组总体均数不全相等。
14
例4-1 为了研究一种降血脂新药的临床疗效， 按统一纳入标准选择120名患者，采用完全 随机设计方法将患者等分为4组进行双盲试 验。
表4-2 完全随机设计分组结果
编 号 随机数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 119 120 220 634
260 873 373 204 056 930 160 905 886 958
SS总 3.6245 3.0917=0.5328
1 SS处理 (3.07 2 2.17 2 1.57 2 ) 3.0917 0.2280 5
1 SS区组 (1.982 1.502 1.052 0.932 1.352 ) 3.0917 0.2284 3
120 2.70 324.30
16
分析步骤：
1. 检验假设 H0：四个试验组的总体均数相等，
即： 1 2 3 4
备择假设 H1：四个试验组的总体均数不全
相等。
2. 显著性水准： 0.05
17
3. 计算
C (324.30)2 /120 876.42
SS总 958.52 876.42=82.10
30
例4-3 如何按随机区组设计，分配5个区组的 15只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？
表4-6 5个区组小白鼠按随机区组设计分配结果
区组号 小白鼠 随机数 序 号 1 1 2 3 4 2 5 6 7 3 8 9 4 5
10 11 12 13 14 15
68 35 26 00 99 53 93 61 28 52 70 05 48 34 56 3 2 1 1 3 2 3 2 1 2 3 1 2 1 3
958.52
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66
3.43 102.91
2.72 2.70 1.97 81.46 80.94 58.99
2.4g组 4.8g组 7.2g组
2.42 3.36 4.32 2.34 2.86 2.28 2.39 2.28 0.89 1.06 1.08 1.27
合计
27
方差分析与t检验的关系
当比较两个均数时，从同一资料算得之 F 值与t值有如下关系：
F = t2
可见在两组均数比较时，方差分析 与t检验的效果是完全一样的。
28
第三节 随机区组设计 资料的方差分析
29
随机区组设计 randomized block design