高中数学必修四《三角函数》知识点(精华集锦)

高中数学必修4第一章三角函数知识点总结文献编辑者——周俞江⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限 对应的标号即为nα终边所落在的区域．“唯一让你变得与众不同的天赋是持续不断的忍耐和坚持”等分角所在象限的判断方法，在解决这类问题时，我们既可以采用常规的代数法，也可以利用数形结合思想，采用图示法巧妙对nα角所在的象限做出正确判断。

一、代数法就是利用已知条件写出α的范围，由此确定n α角的范围，再根据nα角的范围确定所在的象限；【例1】已知α为第一象限角，求2α角所在的象限。

解：∵ α为第一项限角∴90360360+⨯⨯k k ＜＜α )(Z k ∈451802180+⨯⨯k k ＜＜α)(Z k ∈若k 为偶数时：则)(2Z n n k ∈=,则453602360+⨯⨯n n ＜＜α)(Z n ∈∴ 2α角是第一象限角； 若k 为奇数时：则)(12Z n n k ∈+=，则)(2253602180360Z n n n ∈+⨯+⨯ ＜＜α∴ 2α角是第三象限角； 因此，2α角是第一象限或第三象限角【例2】已知α为第二项限角，求2α角所在的象限。

解：∵ α为第二项限角∴180********+⨯<<+⨯k k α )(Z k ∈90180245180+⨯<<+⨯k k α)(Z k ∈若k 为偶数时：)(2Z n n k ∈=,则 90360245360+⨯<<+⨯n n α)(Z n ∈∴ 2α角是第一象限角；若k 为奇数时：)(12Z n n k ∈+=，则)(2703602225360Z n n n ∈+⨯<<+⨯ α∴ 2α角是第三象限角； 因此，2α角是第一象限或第三象限角 二、图示法就是在平面直角坐标系中，将坐标系的每个象限n 等分，通过“标号”、“选号”和“定象限”几个步骤最后确定nα角所在的象限； 【例3】已知α为第三项限角，求3α角所在的象限。

1 4 32 2 13 O4 4 1 2 3（图1）解：第一步：因为要求3α角所在的象限，所以画出直角坐标系，如图1所示，把每个象限等分三等份；第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一项限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为α为第三项限角，所以在图中将数字3的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，3α角的终边就在那个象限； 由以上步骤可知，α为第三项限角，3α角为第一、第三或第四象限角。

【例4】已知α为第四项限角，求2α角所在的象限。

3 24 1 1 o 4 2 3解：第一步：因为要求2α角所在的象限，所以画出直角坐标系， （图2）P xyAO M T 如图2所示，把每个象限等分二等份；第二步：标号，如图所示，从靠近x 轴非负半轴的第一象限内区域开始，按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3,4,1,2,3,4；第三步：因为α为第四项限角，所以在图中将数字4的范围画出，可用阴影表示； 第四步：定象限，阴影部分在哪一部分，2α角的终边就在那个象限；5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则s i n yr α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．若在单位圆中，则有y =αsin， x =αcos ，xy=αtan 。

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。

这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名不变，符号看象限．（注意：这里都是以“π”“πk 2”开始的）()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（注意：都是以“2π”开始的）特别注意：以上两个口诀可以合二为一“奇变偶不变，符号看象限”（其中奇偶是“2π”的奇数倍还是偶数倍），对于太大的角，可以先化小在利用“奇变偶不变，符号看象限”。

推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin （23π+α）=－cosα sin （23π－α）=－cosα cos （23π+α）=sinα cos （23π－α）=－sinα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，余弦变正弦”。

（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不管α是多大的角，都必须“看成锐角”，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

14、函数)sin(φ+=wx A y 的性质： ①振幅：A ；②周期：WT π2=；③频率：π21w T f ==；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．“终有一天，你会特别感谢今天努力的你”16、正弦，余弦，正切函数总结sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R x ∈ R x ∈,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域∈y []1,1- ∈y []1,1-∈y R最值当2π=x +πk 2)(Z k ∈时，max 1y =；当2-π=x +πk 2)(Z k ∈时， min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当=x π+πk 2)(Z k ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 =T 2π =T 2π =T π奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-)Z k ∈（ 上是增函数；在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22)(Z k ∈上是减函数．在[]πππk k 2,2-+)Z k ∈（上是增函数；在[]πππk k 2,2+)Z k ∈（是减函数在⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,2- ()k ∈Z 上是增函数．对称轴 πk 2x +=π）（Z k ∈πk x = (Z k ∈)对称中心)0,(πk )Z k ∈（)0,2(ππk + )(Z k ∈ )0,2(πk )(Z k ∈1.求下三角函数求值域问题： 1.）π6cos(+=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0π，x ； 2.）；π，π），π36(32sin(∈+=x x y2.用换元法变成二次函数,再去求值域1..5cos 4cos 2+-=x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++-=656,3sin 2cos 22π，πx x y3.求下列函数的对称轴：1.x y sin =2.）π3sin(2+=x y )62cos(2π+-=x y4.求下列函数的单调区间：1.x y sin = ）π2sin(-=x y π）），π2,0(32sin(2∈+-=x x y2.x y cos = ][π），π2,032cos(∈+-=x x y）π2tan(3+-=x y5.三角函数变换问题：1.x y sin = ）π2sin(-=x y ）π22sin(-=x y2.x y cos = ）π3cos(+=x y ）π32cos(+=x y3（易错）x y 2sin = ）π42sin(+=x y )32sin(π+=x y )62cos(π+=x y。