第3章图形变换1

C = (Cij )m×p = Am×n • Bn×p
12
矩阵运算具有如下基本性质： 矩阵运算具有如下基本性质： • 数乘矩阵适合分配律和结合律，即： 数乘矩阵适合分配律和结合律，
t(A+ B) =tA+tB t(A•B)=(t•A)•B=A•(t•B) (t1+t2)A=t1•A+t2•A t1(t2A) =(t1t2)A
y • Sy 1 = p • S(Sx , Sy )
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• 旋转变换
cosθ sinθ 0 p ' = [ x ' y ' 1] = [ x y 1] −sinθ cosθ 0 0 0 1 = [ x • cosθ − y •sinθ x •sinθ + y • cosθ 1] = p • R(θ )
( A + B) • C = A• C + B • C C • ( A + B) = C • A + C • B
• 矩阵的乘法不适合交换律
能够相乘时， 因为当两个矩阵 A，B 能够相乘时，如果它们 不是方阵， 不能相乘。 不是方阵，则 B A ， 不能相乘。即使 A， 均为 B 方阵， 也不相等。 方阵，在一般情况下 A• B 和 B• A 也不相等。
a 11 a21 A= ⋯ a m 1
a12 a22 ⋯ am2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1n a2n ⋯ amn
简记成 A = (aij )mn
A = (aij )m×n
7
行矩阵或行向量: 行矩阵或行向量:
(a11, a12,⋯, a1n )(m = 1)
= A • A= I
−1
设A是一个n阶矩阵，如果有n阶矩阵B存在，使 是一个n阶矩阵，如果有n阶矩阵 存在， 是一个 存在 则说A是一个非奇异矩阵， 是一个非奇异矩阵 得 A • B = B • A = I,则说 是一个非奇异矩阵， 并且B是 的逆矩阵 否则，则说A是一个 的逆矩阵。 是一个奇异 并且 是A的逆矩阵。否则，则说 是一个奇异 矩阵。由于A， 处于对称地位 所以当A非奇 处于对称地位， 矩阵。由于 ，B处于对称地位，所以当 非奇 异时，其逆矩阵B也非奇异 而且A也就是 也非奇异， 也就是B的 异时，其逆矩阵 也非奇异，而且 也就是 的 逆矩阵，即A，B互为逆矩阵。任何非奇异矩阵 逆矩阵， ， 互为逆矩阵。 互为逆矩阵 都只能有一个逆矩阵。 都只能有一个逆矩阵。
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• 矩阵的加法适合交换律和结合律， 矩阵的加法适合交换律和结合律，
A+ B = B+ A A+(B+C) =(A+ B)+C
其中A ， ， 为矩阵。 B C为矩阵。 • 矩阵的乘法适合结合律，即： 矩阵的乘法适合结合律，
A⋅(B⋅C) = (A⋅ B)⋅C
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• 矩阵的乘法对加法适合分配律，即： 矩阵的乘法对加法适合分配律，
17
转置矩阵 的行、 将矩阵 A=(aij )m×n的行、列互换而得到的 阶矩阵称作的转置矩阵， n×m 阶矩阵称作的转置矩阵，记为 AT 。 矩阵的转置具有如下几个基本性质： 矩阵的转置具有如下几个基本性质：
( AT )T = A ( A+ B) = A + B
T T T
(tA)T = tAT ( A• B)T = BT • AT
b y= x a
23
1 y= x 2
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第二节 二维图形变换 对一个图形作几何变换就是对该图形上 的每一个点作相应的几何变换。 的每一个点作相应的几何变换。 常见的基本二维图形几何变换有： 常见的基本二维图形几何变换有： 平移变换 比例变换 旋转变换
：
(x, y) →(x′, y′)
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三种基本的几何变换矩阵 平移： 平移： T(Tx ,Ty ) 比例： 比例：S(Sx , Sy ) 旋转： 旋转： R(θ ) 多数常见的二维几何变换都可以通过这 三种基本几何变换的组合来达到。 三种基本几何变换的组合来达到。
33
相对于平面上任意一点作变换， 相对于平面上任意一点作变换，可以 • 先平移到原点 • 相对于原点作变换 • 平移回去
列矩阵或列向量: 列矩阵或列向量:
a11 a 21 (n = 1) ⋯ am1
8
矩阵的相等： 矩阵的相等： 两个矩阵只有在其行数，列数都相同， 两个矩阵只有在其行数，列数都相同，且 所有对应位置元素都相等时，才是相等的。 所有对应位置元素都相等时，才是相等的。
是一个n阶矩阵并且有 则说A是 当A是一个 阶矩阵并且有 A = A 时，则说 是 是一个 一个对称矩阵。 一个对称矩阵。
T
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三、齐次坐标 齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示一 维向量表示一 齐次坐标表示法就是用 维向量。 个n维向量。 维向量 非齐次坐标表示（唯一）： 非齐次坐标表示（唯一）：
x′ = x + Tx y′ = y + Ty
(x′ y′) = (x y) + (Tx Ty )
26
比例变换： 比例变换：
x'= x⋅ Sx y'= y⋅ Sy
Sx (x′ y′) = (x y) 0 0 Sy
27
旋转变换： 旋转变换： x'= xcosθ − ysinθ (x′ y′) = (x y) cosθ sin θ − sin θ cosθ y'= xsinθ + ycosθ
9
有关的矩阵运算有： 有关的矩阵运算有： • 数乘矩阵
ta 11 ta21 tA= ⋯ ta 1 m
ta12 ta22 ⋯ tam2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
ta1n ta2n ⋯ tamn
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• 矩阵的加法运算
a +b 11 11 a21+b 21 A+ B = ⋯ a +b m 1 m 1
3
右手系
左手系
4
第一节 变换的数学基础 一、向量及向量运算 向量及向量运算
a 1 1 1 b( 设有向量(x , y , z ) ， x2, y2, z2) ,有关的 向量运算有： 向量运算有： 1) 向量的长度
a = a•a = x1x1+y1y1+z1z1
2） 2 2）两个向量的和差运算
a±b =(x1 ± x2, y1 ± y2, z1 ± z2)
• 平移变换
1 0 0 p ' = [ x ' y ' 1] = [ x y 1] 0 1 0 Tx Ty 1 = x +Tx y +Ty 1 = p •T(Tx ,Ty )
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• 比例变换
Sx 0 p ' = [ x ' y ' 1] = [ x y 1] 0 = x • Sx 0 Sy 0 0 0 1
(P , P ,⋯, P ,1) 1 2 n
21
齐次坐标的应用 应用齐次坐标可以有效地用矩阵运算把二 维、三维甚至更高维空间中点集从一个坐标系 转换到另一个坐标系中。 转换到另一个坐标系中。
a T2D = b c
d e f
g h
i
a11 a T3D = 21 a31 a41
第三章 图形变换 图形从输入到输出贯穿着各种变换。 图形从输入到输出贯穿着各种变换。 • • • • 平移、旋转、 平移、旋转、比例 投影 窗口 视区
1
为了描述物体的形状，需要引入坐标系统。
2
本体坐标系（模型坐标系）：是为规定基本 本体坐标系（模型坐标系）：是为规定基本 ）： 形体而引入的便于描述的坐标系。 形体而引入的便于描述的坐标系。 用户坐标系（世界坐标系）： ）：是用户引入描 用户坐标系（世界坐标系）：是用户引入描 述整个形体的坐标系。 述整个形体的坐标系。 观察坐标系（视坐标系或目坐标系）： ）：为说 观察坐标系（视坐标系或目坐标系）：为说 明观察的姿态而引入， 明观察的姿态而引入，也就是观察者所处的 位置。 位置。 规范化设备坐标系： 规范化设备坐标系：图形系统为了与设备无 关引入的坐标系， 关引入的坐标系，通常约定为二维正方形或 三维正方体，即各坐标范围规定为从0至 。。 三维正方体，即各坐标范围规定为从 至1。。 设备坐标系（屏幕坐标系或显示坐标系） 设备坐标系（屏幕坐标系或显示坐标系）： 最终的图形显示设备的坐标系。 最终的图形显示设备的坐标系。通常原点在 左上角。 左上角。
a12 +b 12 a22 +b22 ⋯
⋯ a1n +b n 1 ⋯ ⋯
am2 +bm2 ⋯
a2n +b2n ⋯ amn +bmn
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• 矩阵的乘法运算
设有矩阵 A=(aij )2×3 、 =(b ) B ij 3×2 ，则这两 个矩阵的乘积矩阵 C 为：
b11 b12 a11 a12 a13 C = A• B = b21 b22 a21 a22 a23 b b 31 32 a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32
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为了便于计算， 为了便于计算，通常都使 h = 1。如果 h ≠ 0， 就可以用h除齐次坐标的各分量 除齐次坐标的各分量， 就可以用 除齐次坐标的各分量，这一方法称之为 齐次坐标的规范化。 齐次坐标的规范化。经过规范化后的齐次坐标就 是唯一的了。 是唯一的了。 规范化后的齐次坐标： 规范化后的齐次坐标