体育统计方法与实例第九章 多元线性回归分析
第9章多元线性回归-PPT精品文档
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
《体育统计学》教学大纲
《体育统计学》教学大纲课程名称：体育统计学课程代码：108011108S课程性质：专业必修课总学时：36学分：2适用专业：体育教育先修课程: 无一、课程的性质、目的与任务：1.课程性质：《体育统计学》是根据教育部颁发的《普通高等学校本科体育教育专业课程教学指导方案》的要求所开设的一门专业基础理论课。
体育统计学是运用统计的理论和方法，特别是数理统计方法来研究体育教学、训练、科研和管理中的问题，探讨体育发展规律的一门学科。
2.课程目的：体育统计学是运用统计的理论和方法，特别是数理统计方法来研究体育教学、训练、科研和管理中的问题，探讨体育发展规律的一门学科。
通过本课程的学习是学生掌握体育统计学的基础知识，熟悉统计学在体育中的具体应用，提高学生利用统计学知识解决体育实践问题的能力。
3.课程任务：使学生了解体育统计学在运动训练、体质监测等工作中的具体应用，提高学生学习兴趣，让学生掌握体育统计学的基本概念和基本理论，掌握区间估计的基本方法和计算步骤，掌握假设检验的原理和步骤，掌握基本的统计学检验方法，并可以运用统计学基本方法解决实践问题。
二、教学内容与教学基本要求：（一）理论部分第一章绪论1.教学内容第一节体育统计及其研究对象一、体育统计的概念二、体育统计工作的基本过程三、体育统计的研究对象及其特征第二节体育统计在体育活动中的作用二、体育统计有助于训练工作的科学化三、体育统计能帮助研究者制定研究设计四、体育统计能帮助研究者有效地获取文献资料第三节体育统计中的若干基本概念一、总体二、样本三、随机事件四、随机变量五、总体参数与样本统计量六、概率2.教学目的与要求要求学生了解体育统计的概念；明确体育统计工作的基本过程；了解学科的研究对象及其特征；了解体育统计在体育活动中的作用。
第二章统计资料的收集与整理1.教学内容第一节统计资料的收集一、收集资料的基本要求二、收集资料的方法三、几种常用的抽样方法第二节统计资料的整理一、资料的审核二、频数整理三、直方图与多边形图2.教学目的与要求要求学生掌握统计资料的收集方法和基本要求。
多元线性回归分析—内容提要与案例
多元线性回归分析—内容提要与案例多元线性回归是一种统计分析方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它在许多领域中都被广泛应用，如经济学、社会科学、医学等。
本文将介绍多元线性回归的基本原理、步骤和统计检验，并通过一个实际案例来演示其应用。
一、多元线性回归的基本原理1.线性关系假设：多元线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系。
即每个自变量的变化对因变量的影响是独立的，并且可以通过线性方程来描述。
2.回归模型构建：根据线性关系假设，可以构建一个回归模型，以自变量为解释变量，因变量为被解释变量。
3.参数估计：利用最小二乘法估计回归模型中的参数，使得模型对观测数据的拟合程度最好。
4.统计检验：通过统计方法检验回归模型中自变量对因变量的影响是否显著。
二、多元线性回归的步骤1.数据收集：收集包括自变量和因变量的观测数据。
2.模型构建：根据所收集到的数据，确定自变量和因变量之间的关系，并构建回归模型。
3.参数估计：使用最小二乘法估计回归模型中的参数。
4.拟合度检验：通过拟合度检验，评估回归模型对观测数据的拟合程度。
5.统计检验：利用各种统计方法，检验回归模型中自变量对因变量的影响是否显著。
6.模型解释：解释回归模型中各个参数的含义和影响。
三、多元线性回归的统计检验1.F检验：用于检验所有自变量对因变量联合作用是否显著。
2.t检验：用于检验每个自变量对因变量的独立作用是否显著。
3.R方和调整R方：用于评估回归模型对观测数据的拟合程度。
4. Durbin-Watson检验：用于检验回归模型是否存在自相关性。
五、多元线性回归的应用案例下面通过一个实际案例来演示多元线性回归的应用。
假设我们要研究一个人的体重与身高、年龄和性别之间的关系。
我们收集了100个人的数据，并通过多元线性回归分析来建立一个预测模型。
首先，根据数据，我们构建如下的多元线性回归模型：体重=β0+β1×身高+β2×年龄+β3×性别。
多元线性回归分析实例及教程
多元线性回归分析实例及教程多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
在这个方法中，我们可以利用多个自变量的信息来预测因变量的值。
本文将介绍多元线性回归分析的基本概念、步骤以及一个实际的应用实例。
1.收集数据：首先，我们需要收集包含因变量和多个自变量的数据集。
这些数据可以是实验数据、观察数据或者调查数据。
2.确定回归模型：根据实际问题，我们需要确定一个合适的回归模型。
回归模型是一个数学方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
3.估计回归参数：使用最小二乘法，我们可以估计回归方程的参数。
这些参数代表了自变量对因变量的影响程度。
4.检验回归模型：为了确定回归模型的有效性，我们需要进行各种统计检验，如F检验和t检验。
5.解释结果：最后，我们需要解释回归结果，包括参数的解释和回归方程的解释能力。
应用实例：假设我们想预测一个人的体重（因变量）与他们的年龄、身高、性别（自变量）之间的关系。
我们可以收集一组包含这些变量的数据，并进行多元线性回归分析。
首先，我们需要建立一个回归模型。
在这个例子中，回归模型可以表示为：体重=β0+β1×年龄+β2×身高+β3×性别然后，我们可以使用最小二乘法估计回归方程的参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到每个自变量的参数估计值。
接下来，我们需要进行各种统计检验来验证回归模型的有效性。
例如，我们可以计算F值来检验回归方程的整体拟合优度，t值来检验各个自变量的显著性。
最后，我们可以解释回归结果。
在这个例子中，例如，如果β1的估计值为正且显著，表示年龄与体重呈正相关；如果β2的估计值为正且显著，表示身高与体重呈正相关；如果β3的估计值为正且显著，表示男性的体重较女性重。
总结：多元线性回归分析是一种有用的统计方法，可以用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
通过收集数据、确定回归模型、估计参数、检验模型和解释结果，我们可以得到有关自变量对因变量影响的重要信息。
多元线性回归模型的案例讲解
1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y与家庭月平均收入X，鸡肉价格P1，猪肉价格P2与牛肉价格P3的相关数据。
年份Y/千克X/元P1/(元/千克)P2/(元/千克)P3/(元/千克)年份Y/千克X/元P1/(元/千克)P2/(元/千克)P3/(元/千克)1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48（1）求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型：（2）请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。
多元线性回归案例
多元线性回归案例多元线性回归是统计学中常用的一种分析方法，它可以用来探究多个自变量对因变量的影响程度，以及它们之间的相互关系。
在实际应用中，多元线性回归可以帮助我们理解复杂数据之间的关联，从而进行预测和决策。
本文将通过一个实际案例，介绍多元线性回归的基本原理和应用方法。
假设我们想要研究影响学生考试成绩的因素，我们可以收集学生的成绩数据以及一些可能影响成绩的因素，比如学习时间、家庭背景、课外活动等。
我们可以使用多元线性回归来分析这些因素对学生成绩的影响。
首先，我们需要建立一个数学模型来描述因变量（学生成绩）和自变量（学习时间、家庭背景、课外活动）之间的关系。
多元线性回归模型的一般形式为，Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε，其中Y表示因变量，X1、X2、...、Xp表示自变量，β0、β1、β2、...、βp表示回归系数，ε表示误差。
接下来，我们需要利用收集到的数据，通过统计软件进行回归分析。
在分析结果中，我们可以得到回归系数的估计值，以及各个自变量的显著性检验结果。
通过这些信息，我们可以判断每个自变量对因变量的影响程度，以及它们之间的相互关系。
在实际案例中，我们发现学习时间对学生成绩有显著的正向影响，家庭背景对学生成绩也有一定的影响，而课外活动对学生成绩的影响不显著。
这些分析结果可以帮助我们更好地理解影响学生成绩的因素，从而制定针对性的教育政策和个性化的教学方案。
除了上述基本原理和应用方法外，多元线性回归还有一些需要注意的问题。
首先，我们需要确保自变量之间不存在多重共线性，否则会导致估计结果不准确。
其次，我们需要检验残差是否符合正态分布，以确保模型的适用性。
最后，我们还需要注意模型的解释能力，不要过度解释回归系数的意义，以免产生误导。
综上所述，多元线性回归是一种强大的统计分析方法，可以帮助我们理解复杂数据之间的关系，进行预测和决策。
通过本文介绍的实际案例，相信读者对多元线性回归有了更深入的理解，希望本文能对大家的学习和工作有所帮助。
多元线性回归实例分析
多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的 x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为：其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。
2：无偏性假设，即指：期望值为03：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示：点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于，当概率值大于等于时将会被剔除）“选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示：在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。
Excel多元线性回归在体育统计学中的应用
Excel多元线性回归在体育统计学中的应用［摘要］回归分析是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
目前，在体育统计学中大多采用SPSS统计软件进行回归分析，本文利用Excel的图表以及数据分析工具，通过建立“最优”回归方程对因变量进行预报或控制。
［关键词］Excel；回归；体育统计学；应用１引言回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
多元线性回归是指不只一个自变量的线性回归分析。
多元线性回归方程可以表示为（以二元为例）：Ｙ＝ｂ０＋ｂ１ｘ１＋ｂ２ｘ２在实际问题中，人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量，应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程，主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量ｙ影响显著的自变量而不包含对ｙ影响不显著的自变量的回归方程。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对ｙ的作用大小，显著程度大小或者说贡献大小，由大到小地逐个引入回归方程，而对那些对ｙ作用不显著的变量可能始终不被引入回归方程。
本文把因变量设置为肺活量，自变量设为体重、速度灵巧项目成绩、柔韧力量项目成绩。
２应用实例采用随机抽样的方式从３０个学生中抽取１８个样本，记录其肺活量，体重、速度灵巧项目成绩、柔韧力量项目成绩等。
将这些数据汇总显示在工作表Ａ２：Ｅ１９单元格区域，如图１所示。
试根据这些数据找到肺活量与体重、速度灵巧项目成绩、柔韧力量项目成绩3个自变量之间的关系，以便进行肺活量预测。
试根据这些数据建立回归模型。
如果某学生体重、速度灵巧项目成绩、柔韧力量项目成绩分别为：６５千克、１２秒、１６厘米，试预测其肺活量。
体育统计方法与实例第九章 多元线性回归分析
9.3多元线性回归应用中应注意的问题
9.3.1异方差问题 9.3.2多重共线性问题 9.3.3自变量的选择问题
变量的选择方法
9.4 多元线性回归分析的SPSS例解
[例9-4-1］ 某人测量了20个中年男子的下列指标：年龄（岁）、身 高（厘米）、体重（公斤）、胸围（厘米）、腰围（厘米）、臀围（厘 米），试建立预测体重的回归方程。
第9章 多元线性回归分析
9.1 模型的求法
9.2 回归模型的检验
9.3
多元线性回归应用中 应注意的问题
CONTENTS
9.4 多元线性回归分析的SPSS例解
学习目标：
目标1 熟悉多元线性回归方法的使用条件
目标2
理解应用多元线性回归方法时应 注进行多元线性 回归分析的操作
9.1 模型的求法
9.1.1理论回归模型
Y
0
1
X
1
2
X
2
k
X
k
9.1 模型的求法
9.1.2实际回归模型
Y b0 b1 X1 b2 X 2 bk X k e
9.2回归模型的检验
9.2.1回归方程的检验
9.2.2回归系数的显著性检验 9.2.3拟合优度检验
概念
在研究中，只有一个因变量及一个自变量的线性回归称为一 元线性回归；只有一个因变量但有多个自变量的线性回归称 为多元线性回归；而存在多个因变量及多个自变量的线性回
归称为多对多线性回归。
第9章
多元线性回归主要解决下面几个问题：
⒈分析所得到的统计数据，找出变量间的数学表达式，即建立回 归模型；
⒉对回归模型及其参数进行估计和检验，确定回归方程的效果； ⒊利用确定的回归模型分析影响因素对预测对象的影响程度，进 行预测并分析预测结果的误差范围及精度。
多元线性回归分析实例及教程
多元线性回归分析预测法概述在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。
而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。
例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。
这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。
多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
[编辑]多元线性回归的计算模型[1]一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。
多元线性回归模型案例
多元线性回归模型案例多元线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响程度，是一种多元变量之间关系的分析方法。
在实际应用中，多元线性回归模型可以用来预测和解释各种现象，比如销售额、市场份额、股票价格等。
下面我们通过一个实际案例来介绍多元线性回归模型的应用。
假设我们有一个电商平台的数据，其中包括了用户的年龄、性别、购买次数和消费金额等信息。
我们想通过这些信息来建立一个多元线性回归模型，以预测用户的消费金额。
首先，我们收集了一定数量的数据样本，并进行了数据清洗和预处理工作，确保数据的准确性和完整性。
接下来，我们需要建立多元线性回归模型。
在多元线性回归模型中，我们以消费金额作为因变量，而年龄、性别和购买次数作为自变量。
我们假设消费金额与这些自变量之间存在线性关系，然后通过最小二乘法来估计模型参数。
最终得到的多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε。
其中，Y代表消费金额，X1、X2、X3分别代表年龄、性别和购买次数，β0、β1、β2、β3是模型的参数，ε是误差项。
通过建立多元线性回归模型，我们可以得到各个自变量对因变量的影响程度，从而进行预测和分析。
比如，我们可以利用模型来预测不同年龄、性别和购买次数的用户的消费金额，以便进行精准营销和产品定位。
另外，我们还可以通过模型来分析各个自变量之间的相关性，从而深入了解用户的消费行为规律。
在实际应用中，多元线性回归模型还可以进行模型检验和优化。
我们可以利用残差分析、方差膨胀因子等方法来检验模型的拟合效果和自变量的共线性问题，从而提高模型的准确性和稳定性。
总的来说，多元线性回归模型是一种强大的分析工具，可以用来研究多个自变量对因变量的影响，进行预测和解释。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点来选择合适的自变量，建立多元线性回归模型，并进行模型检验和优化，以实现精准分析和预测。
多元线性回归案例分析
多元线性回归案例分析案例背景:我们假设有一家制造业公司，想要研究员工的工作效率与其工作经验、教育水平和工作时间之间的关系。
公司收集了100名员工的数据，并希望通过多元线性回归模型来分析这些变量之间的关系。
数据收集:公司收集了每个员工的工作效率(因变量)、工作经验、教育水平和工作时间(自变量)的数据。
假设工作效率由工作经验、教育水平和工作时间这三个因素决定。
根据所收集的数据，我们可以建立如下的多元线性回归模型:工作效率=β0+β1*工作经验+β2*教育水平+β3*工作时间+ε在这个模型中，β0、β1、β2和β3分别是待估参数，代表截距和自变量的系数；ε是误差项，代表模型中未被解释的因素。
模型参数的估计:通过最小二乘法可以对模型中的参数进行估计。
最小二乘法的目标是让模型的预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
模型诊断:在对模型进行参数估计后，我们需要对模型进行诊断，以评估模型的质量和稳定性。
常见的模型诊断方法包括：检查残差的正态分布、残差与自变量的无关性、残差的同方差性等。
模型解释和预测:根据参数估计结果，可以对模型进行解释和预测。
例如，我们可以解释每个自变量与因变量之间的关系，并分析它们的显著性。
我们还可以通过模型进行预测，比如预测一位具有一定工作经验、教育水平和工作时间的员工的工作效率。
结果分析:根据对模型的诊断和解释，我们可以对结果进行分析。
我们可以得出结论，一些自变量对因变量的影响显著，而其他自变量对因变量的影响不显著。
这些结论可以帮助公司更好地理解员工工作效率与工作经验、教育水平和工作时间之间的关系，并采取相应的管理措施来提高工作效率。
总结:通过以上的案例分析，我们可以看到多元线性回归在实际中的应用。
它可以帮助我们理解多个自变量与一个因变量之间的关系，并对因变量进行预测和解释。
通过多元线性回归分析，我们可以更好地了解因素对于结果的作用，并根据分析结果进行决策和管理。
然而，需要注意的是，多元线性回归的结果可能受到多种因素的影响，我们需要综合考虑所有的因素来做出准确的分析和决策。
多元线性回归模型案例
多元线性回归模型案例多元线性回归模型是统计学中常用的一种回归分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响。
在实际应用中，多元线性回归模型可以帮助我们理解和预测各种复杂的现象，比如销售额和广告投入、学生成绩和学习时间等等。
接下来，我们将通过一个实际的案例来详细介绍多元线性回归模型的应用。
案例背景：假设我们是一家电子产品公司的市场营销团队，我们想要了解广告投入、产品定价和促销活动对销售额的影响。
为了实现这个目标，我们收集了一段时间内的销售数据，并且记录了每个月的广告投入、产品定价和促销活动的情况。
现在，我们希望利用这些数据来建立一个多元线性回归模型，从而分析这些因素对销售额的影响。
数据收集：首先，我们需要收集相关的数据。
在这个案例中，我们收集了一段时间内的销售额、广告投入、产品定价和促销活动的数据。
这些数据可以帮助我们建立多元线性回归模型，并且进行相关的分析。
建立模型：接下来，我们将利用收集到的数据来建立多元线性回归模型。
在多元线性回归模型中，我们将销售额作为因变量，而广告投入、产品定价和促销活动作为自变量。
通过建立这个模型，我们可以分析这些因素对销售额的影响，并且进行预测。
模型分析：一旦建立了多元线性回归模型，我们就可以进行相关的分析。
通过分析模型的系数、拟合优度等指标，我们可以了解每个自变量对销售额的影响程度，以及整个模型的拟合情况。
这些分析结果可以帮助我们更好地理解销售额的变化规律，以及各个因素之间的关系。
模型预测：除了分析模型的影响，多元线性回归模型还可以用来进行预测。
通过输入不同的自变量数值，我们可以预测对应的销售额。
这样的预测结果可以帮助我们制定更加合理的市场营销策略，从而提高销售业绩。
模型评估：最后，我们需要对建立的多元线性回归模型进行评估。
通过对模型的残差、预测误差等进行分析，我们可以了解模型的准确性和可靠性。
如果模型的预测效果不理想，我们还可以通过改进模型结构、增加自变量等方式来提高模型的预测能力。
多元线性回归案例
多元线性回归案例多元线性回归是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个自变量对因变量的影响，并预测因变量的数值。
在本文中，我们将通过一个实际的案例来介绍多元线性回归的应用。
假设我们想要研究一个人的身高与体重之间的关系，同时考虑年龄和性别对这种关系的影响。
我们收集了一组数据，包括个体的身高、体重、年龄和性别。
我们希望利用这些数据建立一个多元线性回归模型，来预测一个人的体重。
首先，我们需要对数据进行分析和处理。
我们可以计算身高、体重、年龄和性别之间的相关系数，来初步了解它们之间的关系。
然后，我们可以利用散点图来观察变量之间的分布情况，以及可能存在的异常值或者离群点。
接下来，我们可以利用多元线性回归模型来建立身高、年龄和性别对体重的预测模型。
在建立模型之前，我们需要进行变量选择，选择那些对体重有显著影响的自变量。
然后，我们可以利用最小二乘法来估计模型的参数，得到回归方程。
在得到回归方程之后，我们可以进行模型的诊断和检验。
我们可以利用残差分析来检验模型的拟合优度，以及模型是否满足多元线性回归的假设。
如果模型不符合要求，我们可以进行适当的变换或者调整，来改善模型的拟合效果。
最后，我们可以利用建立的多元线性回归模型来进行预测。
我们可以输入新的个体数据，来预测其体重，并对预测结果进行评估和验证。
如果模型的预测效果不理想，我们可以考虑进行模型的改进或者调整。
总之，多元线性回归是一种强大的统计分析方法，可以帮助我们理解和预测多个自变量对因变量的影响。
通过本文的案例介绍，相信读者对多元线性回归有了更深入的理解，也能够更好地应用它来解决实际问题。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
第9章多元线性回归与非线性回归分析 《统计学》PPT课件
的偏导
ˆ1、ˆ2 ，ˆk
数必须等于零。将Q对
求偏导数，并
ˆ1、ˆ2 ，ˆk
令其等于零，加以整理后可得到以下k个方程式：
nˆ1 ˆ2 X 2 t ˆk X kt Yt
ˆ1 X 2 t ˆ2 X 22t ˆk X 2 t X kt X 2 tYt
变量Y与其他多个变量X 2 ,X 3 ,…,X k 之间线性相关程度的
指标，而不能反映其相互之间线性相关的方向。
• 复相关系数的取值区间为：0≤R≤1。
（二）偏相关系数
• 在对其他变量的影响进行控制的条件下，衡量多个变量
中某两个变量的线性相关程度和方向的指标称为偏相关
系数。
• 在多变量的场合，变量之间存在错综复杂的关系，偏相
能够做到以尽可能少的自变量去达到尽可能高的拟合优
度。
• 多元模型中回归系数的检验同样采用t检验和P检验，其
原理和基本步骤与一元回归模型基本相同，这里不再赘
述。下面仅给出回归系数显著性检验t统计量的一般计
算公式。
j=1,2,…,k
•
t ˆ ˆ j / Sˆ
j
（9.15）
ˆ j
j
S ˆ
式中，
是回归系数的估计值，
j
估计值，其按下式计算：
2
S
S
jj
•
ˆ
是的标准差的
j
（9.16）
jj
式中，
是(X’X) -1 的第j个对角线元素，S 2 是随机
误差项方差的估计值。上式的t 统计量背后的原假设
是
H : =0，因此 t的绝对值越大表明 为0的可能性
体育统计与SPSS读书笔记（12）——回归分析（二）
体育统计与SPSS读书笔记（12）——回归分析（二）二、多元逐步回归分析多元线性回归分析指不只一个自变量的线性回归分析。
多元线性回归方程可以表示为（以二元为例）：Y=b0+b1x1+b2x2根据自变量的引入方式不同，又有多种多元线性回归。
前面介绍一元线性回归分析时，自变量采用的是”enter”进入方式，这里说说另外一种自变量引入方式“stepwise”（逐步引入），这种方式的回归分析又叫逐步回归分析。
在实际问题中, 人们总是希望从对因变量 y有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。
所谓“最优”回归方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量y影响显著的自变量而不包含对y影响不显著的自变量的回归方程。
逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。
它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对y的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对y作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。
另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。
引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要进行F检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对y影响显著的变量, 而不显著的变量已被剔除。
这里继续以前面的数据为例，不过本例把因变量设置为肺活量，自变量位身高、体重、耐力项目成绩、柔韧力量项目成绩、速度灵巧项目成绩。
步骤：1．在SPSS里执行“分析—〉回归分析—〉线性”，弹出对话框，因变量设置为肺活量，自变量选择身高、体重、耐力项目成绩、柔韧力量项目成绩、速度灵巧项目成绩，方法选择“stepwise”，然后点确定。
2．逐步回归分析结果，见下面的四个表格。
表格一：该表格显示逐步回归的四个模型的复相关系数（R）及决定系数（R2）和校正的决定系数。
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概念
在研究中，只有一个因变量及一个自变量的线性回归称为一 元线性回归；只有一个因变量但有多个自变量的线性回归称 为多元线性回归；而存在多个因变量及多个自变量的线性回
归称为多对多线性回归。
第9章
多元线性回归主要解决下面几个问题：
⒈分析所得到的统计数据，找出变量间的数学表达式，即建立回 归模型；
⒉对回归模型及其参数进行估计和检验，确定回归方程的效果； ⒊利用确定的回归模型分析影响因素对预测对象的影响程度，进 行预测并分析预测结果的误差范围及精度。
9.3多元线性回归应用中应注意的问题
9.3.1异方差问题 9.3.2多重共线性问题 9.3.3自变量的选择问题
变量的选择方法
9.4 多元线性回归分析的SPSS例解
[例9-4-1］ 某人测量了20个中年男子的下列指标：年龄（岁）、身 高（厘米）、体重（公斤）、胸围（厘米）、腰围（厘米）、臀围（厘 米），试建立预测体重的回归方程。
第9章 多元线性回归分析
9.1 模型的求法
9.2 回归模型的检验
9.3
多元线性回归应用中 应注意的问题
CONTENTS
9.4 多元线性回归分析的SPSS例解
学习目标：
目标1 熟悉多元线性回归方法的使用条件
目标2
理解应用多元线性回归方法时应 注意的问题
目标3
掌握用SPSS软件进行多元线性 回归分析的操作
9.1 模型的求法
9.1.1理论回归模型
Y
0
1
X
1
2
X
2
ห้องสมุดไป่ตู้
k
X
k
9.1 模型的求法
9.1.2实际回归模型
Y b0 b1 X1 b2 X 2 bk X k e
9.2回归模型的检验
9.2.1回归方程的检验
9.2.2回归系数的显著性检验 9.2.3拟合优度检验