平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳

◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角

规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2

(tan π

α≠

=a k ，R k ∈

斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1

21

22

1x x y y k P P --=

3.直线方程的几种形式

能力提升

斜率应用

例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则c c f b b f a a f )

(,)(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222

≤≤-+-=x x x y ，试求2

3++x y 的最大值和最小值

两直线位置关系

两条直线的位置关系

设两直线的方程分别为：

222111:b x k y l +=或0

:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们

相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++0

222111C y B x A C y B x A

直线间的夹角：

①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A o

直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)

2

(π

θθα≤

=或)2

(π

θθπα>

-=；

距离问题

1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=

2.点到直线距离公式

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

3.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的

直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或

)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)

对称问题

1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=222121y y y x x x

点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

2.轴对称： 点),(b a P 关于直线)0(0≠=++B c By Ax 的对称点为),('n m P ，则有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=++⋅++⋅-=-⨯0221)(a -m b

-n C n b B m a A B

A ，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。 （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c -- ②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出

直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的方程。 如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。

能力提升

例1.点)1,2(P 到直线)(03R m y mx ∈=--的最大距离为

例2.已知点)1,3(A ，在直线x y =和0=y 上各找一点M 和N ，使AMN ∆的周长最短，并求出周长。 线性规划问题：

（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，

①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则0)(00>++C By Ax B ； ③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ； （2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，

①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

②当0++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大； 直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；

②当0