高数(下)总复习题

∂z y = (C ) 9.设 z = xf ( ) ,则 ∂x x y y y y f( ) f ( ) + f '( ) B． A．
x
sin 2 x sin 2 y ∂z ∂z ( dz = dx + dy = − dx − dy ) . sin 2 z sin 2 z ∂x ∂y
x
x
x
y y y C． f ( ) − f ' ( ) x x x
思路:① 切平面 π 的方程为 2 x − 4 y − z − 5 = 0 a = −5 ② b = −2
2 2 20. ．函数 f ( x, y ) = 4( x − y ) − x − y 驻点为 （2，－2） 。
9
x 21. 求函数 z = x + y 在条件 + y = 1 下的极小值 2
2 2
22. 如果 ( x0 , y 0 ) 为 f ( x, y ) 的极值点，且 f (x, y )
2 4 4 ( 极小值 z , = 5 5 5
)
(x0 , y0 ) 点必为 f ( x, y )
多少时,其体积为最大. ( 长、宽、高分别为
2R 3
在 ( x0 , y 0 ) 处的两个一阶偏导数存在，则 驻点 的____________
23. 设长方体内接于半径为R的半球,问长方体各边为
2R 3
R 3
时体积为最大 )
10
解23
设球面方程为x + y + z = a ,( x, y, z)是它的内接 长方体在第一卦限内的一个顶点，则此 长方体的长、宽、高分别为2x、y、z, 体积为 2
2
2
2
2
V = 4xyz 令L( x, y, z, λ ) = 4xyz + λ ( x2 + y2 + z2 − a2 ) Lx = 4 yz + 2λ x = 0 Ly = 4xz + 2λ y = 0 Lz = 4xy + 2λ z = 0
y D． xf ' ( ) x
5
10.函数f(x,y)在(x,y)处的偏导数连续是它在该点 可微的( A ) A. C. 充分条件 B. 必要条件
充要条件 D. 以上均不对 y ∂z ∂z x 11.设 z = f ( ) , f (u ) 为可微函数，证明： + y = 0 ∂x ∂y x . 12. 设 z = f ( x 2 y , sin y ), 其中 f具有一阶连续 ∂z ∂z , . 偏导数 , 求 ∂x ∂y ∂z z ( = 2 xyf1′ , ∂ = x 2 f1′ + cos yf 2′ ) ∂x ∂y
A. 连续 B.不连续 C.不一定连续 ∂f ∂f 6. 若 = 0, =0 =x ∂x x=x0 ∂y x=xy0 y= y= y
0
0
则 f（x，y）在（x0，y 0）是 ( D A、 B、 C、 D、 连续且可微 连续但不一定可微 可微但不一定连续 不一定可微也不一定连续
)
3
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
6
13. 设 z = z ( x, y ) 是由 F ( x − az , y − bz ) = 0 确定的函数，其中F是可微函数,a、b是常数,求 ∂z ∂z ∂z ∂z a +b ( a +b =1 ) ∂x ∂y ∂x ∂y .设 z = x 2 yf ( x 2 − y 2 , xy ) ，求 14
( ∂z = 2 xyf + 2 x 3 yf ′ + x 2 y 2 f ′ , 1 2 . ∂x
x y z = f xy , + g y x
∂z ′ ′ = x 2 f − 2 x 2 y 2 f1 + x 3 yf 2 ∂y
,
∂z , ∂x
∂z ∂y
平行的切线方程。(
x +1 y −1 z +1 3 = = 1 −2 1
)
8
x + y + b = 0 19. 设直线 l : 在平面 π 上，而平面 π x + ay − z − 3 = 0
与曲面
z = x 2 + y 2相切于点
M ( 1, − 2 , 5 )
① 求平面
π
的方程;
② 确定 a, b 的值.
练习题
1. sin( xy ) lim = x→2 y
y →0
、
2
y 2. 设 f ( x, y) = ln(x + ) , 则 2x 2x
3. 二元函数 z =
4x − y 2
f
2
' y
(1,0) =
1 2
ln(1 − x − y )
2
的定义域为
{( x , y ) 4 x ≥ y 2 , < x 2 + y 2 < 1}
16.求由方程
∫0
x2
t
y3
z
2 xe ∂z ( ) =− cos z ∂x z − z + xy = 3 在点(2,1,0)处的切平面方程为 .曲面 e 17.
x2
x+2y-4=0
__________
18. 求曲线 x = t ,
1 3 y = t , z = t . 上与平面 3
2
x + y + z =1
1
4．函数 z = f ( x, y ) 在点 在点(x,y)的偏导数存在是 的偏导数存在是 函数在该点可微的 (
A
)
A
必要条件 充分条件 必要充分条件 既非必要又非充分条件
B
C
D
2
5. 函数 z = f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处 f x ( x0 , y 0 ) , f y ( x0 , y 0 ) 存在，则 f ( x, y )在该点 ( C ) D.可微
)
15 设 1 y ∂z ( = yf1′ + f2′ − 2 g′(w) y x ∂x
,
求
x 1 ∂z ′ − 2 f2′ + g′(w) ) = xf1 y x ∂y
7
∂z ∂z , ∂x ∂y
e dt + ∫0 tdt + ∫0 cos tdt = 0 ∂z 所确定的隐函数 z = f ( x, y ) 的偏导数 ∂x
函数可微 偏导数连续
4
′′ 7. 设f (x, y , z ) = xy 2 + yz 2 + zx 2，则 f xx (0,0,1) =
2
_____________.
cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 所确定的函数 8. 求由方程
z = z ( x, y ) 的全微分.
2R 长、宽、高分别为 3
2R 3
R 时体积为最大. 时体积为最大 3
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