(数学)高三数学(文科)复习练习题——直线方程
2020届高三文科数学总复习习题：9.1直线方程与圆的方程
A.-1
B.-2
C.-1 或 2
D.1 或 -2
答案 B 3.(2018 浙江金华模拟 ,4) 过点 (-10,10) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 ( )
A.x-y=0
B.x+4y-30=0
C.x+y=0 或 x+4y-30=0 D.x+y=0 或 x-4y-30=0
为
.
答案 4x-3y+9=0
和 x-3y+4=0 的交点 ,并且垂直于直线 3x+4y-7=0 的直线方程
方法 3 求圆的方程的方法
1.(2019 届广东七校 9 月联考 ,7) 以(a,1) 为圆心 ,且与两条直线 2x-y+4=0 与 2x-y-6=0 同时相切的圆的标准方程为 ( )
A.(x-1) 2+(y-1) 2=5
求直线的斜率及倾斜角范围的方法
1.(2019 届湖南长沙长郡中学 9 月月考 ,5) 已知点 (-1,2) 和
在直线 l:ax-y+1=0(a ≠ 0) 的同侧 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围为
()
A.
B.
∪
C.
D.
答案 D 2.若直线 l:y=kx-3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案 C 3.直线 l 过点 A(1,2), 且不经过第四象限 ,则直线 l 的斜率的取值范围为 ( )
A.
B.[0,1]
C.[0,2]
D.
答案 C
方法 2 求直线方程的方法
1.(2018 天津学业考试 ,5) 平行于直线 l:x+2y-3=0, 且与 l 的距离为 2 的直线的方程为 ( )
高中数学直线方程练习题
高中数学直线方程练习题．高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+8﹣）∪（2，2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）2]（﹣∞，﹣B．∪C．（﹣∞，﹣2]．[，+∞） D[﹣2，，]+∞）A． [3．已知点A （﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点））相交，则实数m的取值范围是（﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．∪（﹣∞，][2，+∞） B．﹣[，2] C2]，﹣4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]．（﹣∞，﹣3，2] B．[D﹣，] C．[∞）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）+[∪，5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．≥．D 或．k5 BAC，），P（﹣1，1）6．已知A（﹣2，若直线（），B2l，过点P且与线） AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（段．． AB∪ C．．D7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终 2第26页（共页））的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2k＜＞k2或kD＜ C．kA＜．k＜2．＞B．内一点，且O三点共线，为△ABC，8．已知，若B，O，D） t的值为（则．A．． B ． CD））两点的直线方程是（，9．经过（30），（0，44y+12=0 3x﹣A．3x+4y12=0D．4x+3y﹣C．4x﹣3y+12=0﹣12=0B．） 10．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（x+y+3=0A．2x+y=0 B．2x+y=0x+y+3=0或C．x﹣y+3=0 D．）．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（ 11x+y=1．A．x+y=2 B．C．x=1或y=1 Dx+y=2或x﹣y=0边上的中，G（41），则BC12．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点）点坐标为（），﹣3．（6，﹣6，﹣1） C．（53） D，A．（50） B．（小题）二．填空题（共4的值l，则实数a，若ax+3y+1=0，l：2x+（a+1）y+1=0l ∥13．已知直线l：2112．是．a= （和直线l：2x+5+a）y=8平行，则x+4y=514．直线l：（3+a）﹣3a21，∥l）x+3y+2m=0，当m= 时，ll15．设直线l：x+my+6=0和：（m﹣22112．l当m= 时，l⊥21互相1=0a+3）y﹣）2）y+4=0与直线（2﹣ax+（﹣）16．如果直线（2a+5x+（a． a的值等于垂直，则小题）11三．解答题（共始AB1）且与线段，﹣过点2，），直线lP（﹣12B），（．已知点17A11，（﹣． k的斜率的取值范围为 l终有交点，则直线第3页（共26页）．x+2y=6满足直线l：18．已知x，y（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；的取值范围．，3]时，求2）当x∈[1（，），﹣1）、B（5A19．已知点（1，2的方程；l2，求直线B两点到直线l的距离都为（1）若A，（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；的距离的最大值．到直线l2）求点P（21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．；（Ⅰ）证明：直线恒过定点M（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B 两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：2x+y+3=0的交点M，且射到x21轴上一点N（1，0）后被x 轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l的方程．3的直线方程．l距离为（3）求与3y=3x+3l：23．已知直线求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．l2（2）直线y=x﹣关于24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=0和l：x+y+6=021截得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，的一般方程．求直线l'27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．页（共4第26页）的面积；ABCACB=，求△）若点（1C在线段OB上，且∠（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知108=0经过点P﹣，求直线l的倾斜角．ax+10y+84L直线：第5页（共26页）高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋?滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8] B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞） D．（﹣∞，∞）+2﹣8）∪（，【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．=【解答】=﹣8，解：=2，kk=PAPB∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．．C故选：【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋?碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（），][﹣2+∞） D．2]+∞） B．（﹣∞，﹣C．（﹣∞，﹣2]∪，[A．[，【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点上点的斜率的最小值和最大值得答案．AB与线段【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），的斜率最小，为）时直线l1上的点A（，3AB连接P与线段，．l的斜率最大，为1BP连接与线段AB上的点（﹣2，﹣）时直线．的取值范围是∴k．D故选：第6页（共26页）本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．【点评】3．（2016秋?雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）﹣，+∞） D．．（﹣∞，﹣2]∪[[A．﹣（﹣∞，]∪[2，+∞） B．，[2] C2]，﹣【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），．==﹣==﹣2，kk PBPA∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，，2≤≤﹣∴．∴．B故选：【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2016秋?庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）﹣]D．（﹣∞，，C．[﹣3+．（﹣∞，﹣3]∪[2，∞） B．[2] ﹣，] A∞）+[，∪【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k 或 k ≤k，用PMPN直线的斜率公式求出k和k的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．PMPN解：如图所示：【解答】由题意得，所求直线l的斜率k满足 k ≥k 或 k≤k，PMPN≤=2，或3=﹣， k即 k≥，3，或2k≤﹣≥∴k页）26页（共7第．A故选：本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．【点评】5．（2013秋?迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）．．B ． CDAk．或≥5【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．，），2解：（如图象）即P（﹣1【解答】=5，PM的斜率k=由斜率公式可得1，直线PN的斜率k==2当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，≤﹣，之间时，k当直线介于l′和PN≤﹣，或kk的斜率k的取值范围是：≥5l故直线A故选第8页（共26页）本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜【点评】率的关系，属中档题．，A（﹣26．（2004秋?南通期末）已知）），B（2，），P（﹣1，1，若）的倾斜角的范围是（ P且与线段AB有公共点，则直线l过点直线l．A ．B∪D．C ．先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜【分析】角的范围求出倾斜角的具体范围．α，直线的倾斜角为l的斜率等于k【解答】解：设直线==，或﹣﹣ k=由题意知，k=PAPB，tanα=k，，π）α∈设直线的倾斜角为α，则[0150°≤α＜180° 0°≤α≤120°或由图知．故选：D 269第页（共页）本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于【点评】基础题．始终）与线段AB（1，13，﹣2），若直线l过点P，7．已知点A（2，3）B（﹣）的斜率k的取值范围是（没有交点，则直线l2＜．k．k ＞D2k＜B．k＞2或k＜ CA．＜所在直线的斜率，数形结合得答案．PBPA，【分析】求出，）1（，1，﹣32），若直线l过点P，2【解答】解：点A（，3）B（﹣，的斜率是=2∵直线PA．的斜率是=直线PB如图，始终有公共点，ABl与线段∵直线的取值范围是（k∴斜率），2．．故选：A 2610第页（共页）本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想【点评】方法，是基础题．内一点，且为△，若ABC8．（2017?成都模拟）已知O，） t的值为（ B，O，D三点共线，则．C． DA．． B为，E与OF BC相交于点E【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接由=2，的中点．根BC点，O可得是直线=2AE的中点．BCOM∥的交点．过点O作D三点共线，可得点D是BO与AC，据，B，O的中点．即可得出．M为AC于点交ACM，则点，E BC相交于点OFOC为邻边作平行四边形OBFC，连接与【解答】解：以OB，的中点．为BCE，，∴∵=2=2的中点．AE∴点O是直线三点共线，D，∵O，，B的交点．ACBO与D∴点是的中点．AC，则点MM为交作过点OOM∥BCAC于点，，=BC则OM=EC= 2611第页（共页），∴MCDM=AM=ACAD=∴，t=．∴．B故选：【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋?沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）12=0﹣A﹣12=0．3x+4y．4x﹣B．3x4y+12=0C．﹣3y+12=0D4x+3y直接利用直线的截距式方程求解即可．【分析】所以所求直线方程为：两点，4）），，（0，（【解答】解：因为直线经过3，0．﹣4x+3y12=0即．D故选【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．10．（2016秋?平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）x+y+3=0A．．2x+y=0 B2x+y=0或．y+3=0 Dx+y+3=0xC．﹣【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．页）26页（共12第．，即2x+y=0y=﹣2x【解答】解：当直线过原点时，方程为当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可，﹣3得 k=故直线方程是 x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，．D故选：【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋?运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，x+y=a把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，．y=x）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为把（1，1．x﹣y=0综上，所求直线的方程为：x+y=2或．D故选：【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春?泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G （4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1） C．（5，﹣3） D．（6，﹣3）第13页（共26页）利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一【分析】半，用向量表示即可求得结果．；【解答】解：如图所示，，）4，13），三条中线交于点G（∵△ABC的顶点A（2，，则（=2，x，y）设BC边上的中点D，1）4，y﹣，1﹣3）=2（x﹣﹣∴（42，即，解得；0）D（5，即所求的坐标为．A故选：本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是【点评】基础题．小题）4二．填空题（共，若y+1=0a+1）2x+ax+3y+1=0，l：（l13．（2015?益阳校级模拟）已知直线：21．3 ﹣l，则实数a的值是∥l21【分析】根据l∥l，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否21即可．l满足l∥21【解答】解：∵l∥l，21，）﹣a+12×3=0（∴a2，即a6=0+a﹣第14页（共26页）；a=2解得a=﹣3，或，a=﹣3时，l为：﹣3x+3y+1=0当1；l∥﹣2y+1=0，满足ll为：2x212，时，l2x+3y+1=0为：当a=21重合；与ll为：2x+3y+1=0，l221．的值是﹣3所以，实数a．3故答案为：﹣本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问【点评】题，是基础题目．）5+a（l：2x+2015．（秋?天津校级期末）直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线1421．7 平行，则a= ﹣y=8﹣4×2=0，且5）3+a﹣（3a5+a≠）8．进【分析】根据两直线平行的条件可知，（的值．a而可求出【解答】解：直线l：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l：2x+（5+a）y=8平行，21则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，2．+8a+7=0即a解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．．a=﹣7∴．7故答案为：﹣【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋?台州期末）设直线l：x+my+6=0和l：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m= 21m=⊥时， ll，当∥．l﹣1 时，l2121【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．第15页（共26页），﹣2）x+3y+2m=0l：x+my+6=0和l：（m【解答】解：∵直线21，ll∥21≠，∴=；m=﹣1解得，）﹣2x+3y+2m=0x+my+6=0和l：（m∵直线l：21，⊥ll21，2）+3m=0∴1×（m﹣；解得m=．1，故答案为：﹣本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注【点评】意直线的位置关系的合理运用．）﹣a）y+4=0与直线（2a（2016春?信阳月考）如果直线（2a+5）x+（﹣2．16的值等于 a=2或a=﹣1=0a+3）y﹣互相垂直，则a2 ．x+（【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）N为直线y﹣1=0①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所时两直线互相垂直．以a=2，k= 要使两直线互相垂直，②当直线M和N的斜率都存在时，k=（MN．2a=﹣即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣22a=a=2故答案为：或﹣【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．第16页（共26页）小题）三．解答题（共11Pl过点（﹣2，2），直线，17．（2016秋?兴庆区校级期末）已知点A（11），B k始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为≤，﹣（﹣11）且与线段AB．1 ，或k≥﹣3【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，，），﹣1过点P（﹣1l1），B（﹣2，2），直线∵A（1，，又∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（的取值范围．2）当x∈[1，3]时，求【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的坐标．的对称点P（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；第17页（共26页））的斜率的取值范围．，1C（∈[1，3]2时，的几何意义为到点（2）当x，y=，当x=3当x=1时，时，y=，，），），B（由可得A（13﹣，====，从而kk ACBC[，+k∞）的范围为（﹣∞，﹣]∪∴【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l 的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．|AB|=【解答】解：∵，＞=5，|AB|2∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，第18页（共26页）x+b﹣l的方程为平行直线AB时：ky==，可设直线①当直线l AB，b=或b=依题意得：=2，解得：故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；﹣=k的方程为y可设直线，），l②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3）3x﹣（依题意得：，k==2，解得：；=0﹣的方程为：x﹣故直线l2y（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一条，定有2经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；条；1若2m=|AB|，则有条，|AB|，则有0若2m＞，∵|AB|=5条直线符合题意；42.5时，有综上：当m＜当m=2.5时，有3条直线符合题意；条直线符合题意．2＞当m2.5时，有【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．第19页（共26页），联立方程组=0，求2x+y+m（y+2）【分析】（1）把直线方程变形得，恒过的定点．l得方程组的解即为直线（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，，）1，﹣2解方程组，得Q（∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，垂直时，等号成立，PQl 与当且仅当直线=2．的长度，等于到直线l的距离的最大值即为线段PQ∴点P【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）21．证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x分）3．（4﹣y﹣得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k ＜0），则其方程为y+2=k（x+1），第20页（共26页）分）8，（，OB=|k﹣∴2|OA=|﹣1|﹣2）||=（﹣1）（k|..（10分）S=﹣?OA?OB=|AOB△，00，∴﹣k＞∵k＜（﹣）+（﹣k）]=[4+∴S=[]﹣≥4．AOB△当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）分）144，（∴△AOB的面积最小值是直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l：3x﹣y+7=0和l：212x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．的坐标；轴的对称点P）求点M关于x（1的方程．l（2）求反射光线所在的直线3的直线方程．l距离为（3）求与3【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．3得，（﹣21）．）由【解答】解：（1，∴M所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．...（4分）．2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠（2180°﹣α.l的斜斜角为α，则直线直线，所MN的倾斜角为3．的斜率以直线l3的方程为：分）．即． (9)反射光线所在的直线l3解法二：第21页（共26页）．∠2因为入射角等于反射角，所以∠1=．3，∴∠2=∠根据对称性∠1=∠3所以反射光线所在的直线l的方程就是直线PN的方程．3，整理得：直线PN的方程为：．的方程为．…（l9分）故反射光线所在的直线3，（3）设与l平行的直线为3根据两平行线之间的距离公式得：b=3，，或，解得，或．…（所以与l13分）为：3【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；对称的直线的方程．﹣2关于l（2）直线y=x【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得P′的坐标；的值，可得m、n到关于m，n的方程组，求得（2）求出交点坐标，在直线y=x ﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7则由）．，，解得：交点为（2）由，）2，0﹣在直线y=x2上任取点（，得到对称点为所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂第22页（共26页）直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M，点M关于y轴的对称点M，求21的方程，MM得直线21与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M（5，1）．同1．）3，5关于y轴的对称点M（﹣样容易求得点M2据M及M两点可得到直线MM的方程为x+2y﹣7=0．2112．）得交点P，（，）．轴的交点Q（0与令x=0，得到MMy21解方程组x+2y﹣7=0，，﹣2y+2=0x）即为所求．0QP（（，，）、故点本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．【点评】25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l；x+y+1=01和l：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．2【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l、l联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=521的方程．的值，从而求得kl可求出法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l的夹角为θ，1求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l、l之间的距21第23页（共26页）夹角的关系求解．l离及l与1法三：设直线l、l与l分别相交于A（x，y），B（x，y），211221则通过求出y﹣y，x﹣x的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l2112的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l、l的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），21，符合题意．﹣4+9|=5截得的线段AB的长|AB|=|若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．得解方程组．，﹣A）（得解方程组．，﹣（）B．|AB|=5由222﹣+=5+．得（））（﹣．y=1解之，得k=0，直线方程为综上可知，所求l 的方程为x=3或y=1．d=之间的距离为解法二：由题意，直线l、=，l21，5AB的长为l、l所截得的线段且直线L被平行直线21，故θ，则=sinθ=θ=45°．l设直线与直线l 的夹角为1由直线l：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，1．y=1的方程为：x=3或）（3，1，故直线l又由直线l过点P解法三：设直线l与l、l分别相交A（x，y）、B（x，y），则x+y+1=0，x+y+6=0．2122112121．①）=5y）+（y﹣x两式相减，得（x﹣211222．②﹣yy）=25（）﹣x又（x+2121页）26页（共24第或联立①、②可得90°．0°或l的倾斜角分别为由上可知，直线．y=1x=3或故所求的直线方程为本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，【点评】直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．），1l′经过点P（2：26．（2009秋?重庆期末）已知直线l5x+2y+3=0，直线的一般方程．，求直线l'且与l的夹角等于45k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然设出直线l′的斜率为【分析】后求出直线的方程．k′，解：设直线l′的斜率为【解答】分）， (7)分），…（10分）1313=0；…（3x+7y3y﹣11=0和﹣直线l′：7x﹣本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公【点评】式与到角公式的区别，考查计算能力．为坐标原点．O），6，02，），B（0A27．已知点（ACB=OB上，且∠在线段ABC，求△的面积；（1）若点C，已知|PD|=2|BD|PBD到，且DO（2）若原点关于直线AB的对称点为，延长的倾斜角．l经过点=0P，求直线﹣：直线Lax+10y+84108 2625第页（共页）【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，=2，由题意可得把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，的倾斜角．由斜率求直线lACB=OB上，且∠）∵点C在线段，故AC的【解答】解：（1，∴∠ACO=，倾斜角为1=b），由﹣1，设点C（0，AC 得 b=2，即点C（0，2），故的斜率为﹣．2=4×4，故△ABC的面积为× A BC=4，点到BC的距离为2+=1，即 3x+y的方程﹣6=0d，点P（c，），AB，，（2）设D（mn），D，得由（ m=，）n=，故，（﹣），﹣d），=，（﹣c=由题意知，，=2d=，，，∴﹣c=d=﹣﹣﹣，解得 c=108ax+10y+84P，﹣﹣（）代入直线l：P，﹣），把=0（，故 a=10108．，即得=0 得a?+10?+84﹣，故直线l的倾斜角为的斜率为∴直线l 120°．﹣=【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．第26页（共26页）。
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
高三数学(文理)复习《直线的倾斜角与的斜率、直线方程》专题练(学生版)(无答案)
《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》专题练专题1 直线的倾斜角与斜率1.1 求直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是2.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为3．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是4．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是5．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为6．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于7．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为8．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为9. 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为10.若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于11．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为12．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．13．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为14．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为15．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为16．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为1．2 求直线的倾斜角与斜率的取值范围1．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是2．已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是 4．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π35．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是6．如果直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是7．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是8.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 29．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．10．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．11.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是12.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为专题2 直线方程1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是2．过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程是3．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程是4．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程是5．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为6．若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为7.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.8．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为9．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是10．直线过点(5,10)，到原点的距离为5的直线方程是11．直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是12．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是13．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是14．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是15．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．16．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________．17．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．18．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为__________ 19．若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．20．已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是21．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．22．过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程为23．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为24．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16．25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．26．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．27．求过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5的直线方程专题3 直线方程定点图像问题1．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线l 的方程为Ax －By －C ＝0，若A ，B ，C 满足AB >0且BC <0，则直线l 不经过的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <04．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()7．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．8．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点.9.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是.10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S 的最小值及此时直线l的方程．专题4 直线方程的综合应用4.1 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA→|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2 由直线方程解决参数问题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠13．若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．4．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则实数m的取值范围是____________．5．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是() A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)4.3 与直线方程有关的最值问题1．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是2．已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是3．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________．4.已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为.5．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.6.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为。
高三数学直线方程试题答案及解析
高三数学直线方程试题答案及解析1.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.2.直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．【答案】3x－y－9＝0【解析】直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l 的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.3.求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．【答案】当n≠2时，y－m＝(x－2)，当n＝2时x＝2.【解析】(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程得.(解法2)利用直线的点斜式方程．①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【解析】解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法2：(利用截距式求解)由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，则设l为＝1.由l过点(3，2)，知＝1，故a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.5. 已知直线l ：＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 【答案】（1）见解析（2）2x ＋y ＋4＝0 【解析】(1)证明：∵m ＋2x ＋y ＋4＝0， ∴由题意得∴直线l 恒过定点M.(2)解：设所求直线l 1的方程为y ＋2＝k(x ＋1)，直线l 1与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则A，B(0，k －2)．∵AB 的中点为M ，∴解得k ＝－2.∴所求直线l 1的方程为2x ＋y ＋4＝0.，6. 已知直线的点斜式方程为y －1＝－ (x －2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________． 【答案】y ＝－x ＋，，【解析】将y －1＝－ (x －2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y ＝－x ＋. 因为点(2，1)、均满足方程y －1＝－ (x －2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得，即.由y ＝－x ＋知，直线在y 轴上的截距b ＝，又令y ＝0，得x ＝.故直线的截距式方程为7. 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________． 【答案】y ＝－x ＋【解析】将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－ (x －1)，即y ＝－x ＋.8. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，即应满足－a≥或－a≤，得a≤－2或a≥1.9. 点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( ) A ．－B ．C ．－D ．【答案】D【解析】由题意知，解得k＝－，b＝，∴直线方程为y＝－x＋，其在x轴上的截距为.10.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y=2x-1B．y=-2x+1C．y=-2x+3D．y=2x-3【答案】D【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程为=,即y=2x-3,故选D.11.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【答案】A【解析】方法一，设所求直线方程为x－2y＋C＝0，将点A代入得2－6＋C＝0，所以C＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0，选A.方法二，直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，设所求直线的斜率为k，则k＝，代入点斜式方程得直线方程为y－3＝ (x－2)，整理得x－2y＋4＝0，选A.12.直线过点(－1,2)且在两坐标上的截距相等，则的方程是________．【答案】或【解析】当过原点时，设直线方程为：，又因为过点，则，∴直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为：，代点得，则直线方程为．【考点】直线的截距式方程．13.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】【解析】幂函数的图象相切于点，则，解得，所以，则，故直线的方程为，化简得.【考点】1.直线的切线方程.14.已知两条直线，且，则=A．B．C．-3D．3【答案】C【解析】根据题意，由于两条直线，且，则可知3+a=0,a=-3，故可知答案为选C.【考点】两直线的垂直点评：根据两条直线垂直的充要条件，就是,这是解题的关键，属于基础题。
第1讲 直线及其方程
高三数学复习第1讲 直线及其方程【必做题】1．过点(1, 3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 （ ）A ．210x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+=2．经过两点A (4,0),B (0,-3)的直线方程是 （ ）A ．34120x y --=B ．34120x y +-=C ．43120x y -+=D ．43120x y ++=3．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角α为 ( )A ．π6B ．π3C ．23πD ．56π 4．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为 ( )A ．3x －3y ＋6＋3＝0B ．3x －3y －6＋3＝0C ．3x ＋3y ＋6＋3＝0D ．3x ＋3y －6＋3＝05．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是 ( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－96．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或17．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．8．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 ．9．过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则a 的取值范围是 ．10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的斜截式方程．11．求下列直线l 的方程：(1) 过点A (0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2) 过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半．【选做题】12. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积的 最小时直线l 的方程是 ．。
高中数学直线方程练习题集
高中数学直线方程练习题集高中数学直线方程练题一．选择题（共12小题）1.已知A（-2，-1），B（2，-3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（-∞，8]∪[2，+∞）B．(-∞，8]∪[2，+∞）C．(-∞，8)∪(2，+∞） D．(-∞，8)∪(2，+∞）2.已知点A（1，3），B（-2，-1）．若直线l：y=k（x-2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[2，+∞） B．(-∞，2]∪(2，+∞） C．(-∞，2]∪[2，+∞） D．[-2，∞）3.已知点A（-1，1），B（2，-2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．(-∞，-2]∪[2，+∞） B．(-∞，2]∪(-∞，∞） C．(-∞，2]∪[2，+∞） D．[-2，∞）4.已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，-1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．(-∞，3]∪[2，+∞） B．(-∞，-1]∪[2，+∞） C．[-3，2] D．(-∞，-1]∪[3，+∞）5.已知M（-2，-3），N（3，1），直线l过点（-1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k5或k<-2 D．k≤-2或k≥56.已知A（-2，1），B（2，-1），P（-1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）A．π/4≤θ≤3π/4 B．-π/4≤θ≤π/4 C．-3π/4≤θ≤-π/4 D．-π/4≤θ≤π/4∪3π/4≤θ≤π/47.已知点A（2，3），B（-3，-2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k2或k1或k18.已知O为△ABC内一点，且∠BAC=120°，∠BOC=150°，∠AOC=30°，若B，O，D三点共线，则∠BCA的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．165°9.经过（3，-2），（-2，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y-12=0 B．3x-4y+18=0 C．4x-3y+18=0D．4x+3y-18=010.过点（3，-6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0 C．x-y+3=0 D．x+y-3=0或2x+y=011.经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x-y=012.已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G （4，1），则BC边上的中点坐标为（5/2，-5/2）二．填空题（共4小题）13．已知直线 $ $l_1\parallel l_2$，则实数 $a$ 的值是 $-4$。
专题9.1 直线的方程(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专9.1直线的方程一、单选题1. 点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A. 1B. 2C. 3D. 22. 若平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，则a =( ) A. 12±或0B.252-或0 C.252± D.252+或0 3. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系中，记d 为点到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知(2,3)A ，(1,2)B -，若点(,)P x y 在线段AB 上，则3yx -最大值为 ( ) A. 1B.35C. 12-D. 3-6. 已知00(,)P x y 是直线:0++=l Ax By C 外一点，则方程00()0Ax By C Ax By C +++++=表示( )A. 过点P 且与l 垂直的直线B. 过点P 且与l 平行的直线C. 不过点P 且与l 垂直的直线D. 不过点P 且与l 平行的直线7. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。
有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。
为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1234,,,OO OO OO OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，3OO 与x 轴所成的角16α︒≈，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A. 0︒B. 1︒C. 2︒D. 3︒8. 已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为( )A. B. C. 5+ D. 3+9. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代点(,)M x y 与点(,)N a b 最小值为( )A. B. C. 8 D. 610. 已知圆C ：221x y +=，直线l ：2x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点( )A. 1(,0)2B. (0,2)C. (2,1)D. 1(,1)2二、多选题11. 已知直线12:10,:10l x l x +=-=，直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截，则k 的值可能为( )A. 2+B. 2-C. 2D. 212. 已知在平面直角坐标系中，3(,0)2A ，(0,3)B ，点(,)M m n 位于线段AB 上，M与端点A ，B 不重合，则11212m n +++的可能取值为( ) A.13B.23C. 1D. 313. 下列说法中，正确的有.( )A. 点斜式11()y y k x x -=-可以表示任何直线B. 直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=D. 点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为5 14. 下列说法正确的是( )A. 直线 10xsin y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃B. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件C. 直线l ：30()x y R λλλ+-=∈恒过定点(3,0)D. 直线25y x =-+与210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切三、填空题15. 曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________.16. 已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为__________. 17. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.18. 已知直线l 过点(0,2)A 和2(1213)()B m m m R ++∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为__________. 四、解答题19. 已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当||||OA OB +取得最小值时，直线l 的方程；(2)当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．20. 已知直线l 经过直线1l ：250x y +-=与2l ：20x y -=的交点．(1)若点(5,0)A 到l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求直线l 的方程，使点(5,0)A 到直线l 的距离最大；(3)求直线l 的方程，使直线l 和直线1l 关于直线2l 对称．答案和解析1.【答案】B解：因为直线(1)y k x =+恒过点(1,0)-，可知：点(0,1)-到直线(1)y k x =+的最大距离，即为点(0,1)-与(1,0)-两点的距离，则点(0,1)-到直线(1)y k x =+ 故选.B2.【答案】A解：平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，,AB AC k k ∴=232131a a a a ++∴=--，化为：2(21)0a a a --=，解得0a =或1a =± 故选.A3.【答案】C解：由题意知a ，b 均不为0，则直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是22b a -=-且11a≠， 即4ab =且1a ≠，故“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的必要不充分条件． 故选.C4.【答案】C解：由题意， 当0m =时，，∴当cos 1θ=-时，max 3;d =当0m ≠时，222222|cos sin 2||sin cos 2||1sin()2|111m m m d mmm θθθθθα---++++===+++，(其中1tan )mα=-，∴当sin()1θα+=时，max 13d =+<，d ∴的最大值为3.故选.C5.【答案】C解：设(3,0)Q ，3yx -表示直线PQ 的斜率， 则30323AQ k -==--，201132BQ k -==---， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点，3y x ∴-的取值范围是1[3,]2--， 故3yx -的最大值为12-，故选：.C6.【答案】D解：因为点00(,)P x y 不在直线0Ax By C ++=上， 所以000Ax By C ++≠，所以直线00()0Ax By C Ax By C +++++=不经过点P ，排除A 、B ；又直线00()0Ax By C Ax By C +++++=与直线l ：0Ax By C ++=平行，排除C ， 故选.D7.【答案】C解：过3O 作x 轴平行线3O E ，则316.OO E α∠=≈︒ 由五角星的内角为36︒，可知318BAO ∠=︒， 所以直线AB 的倾斜角为18162︒-︒=︒， 故选.C8.【答案】C解：联立消去参数k 得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上.又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 且22||(12)(13)5CD =+++=，两圆相离， 所以||AB 的最大值为||2252 2.CD ++=+ 故选.C9.【答案】B解：设()f x =则()f x()f x ∴的几何意义为点(,0)M x 到两定点(2,4)A 与(1,3)B 的距离之和.设点(2,4)A 关于x 轴的对称点为A '，则A '的坐标为(2,4).- 要求()f x 的最小值，可转化为求||||MA MB +的最小值，利用对称思想可知||||||||||MA MB MA MB A B +='+'=即()f x故选.B10.【答案】A解：根据题意，因为P 为直线l ：2x =上的动点，设(2,)P t ，圆C ：221x y +=，其圆心C 的坐标为(0,0)，半径为1，PA 、PB 为圆C 的切线， 则以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=，则有2222120x y x y x ty ⎧+=⎨+--=⎩，联立可得210x ty +-=， 即两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，即12()2ty x -=-， 所以直线AB 过定点1(,0).2故选：.A11.【答案】AD解：直线12:310,:310l x y l x y -+=--=平行， 倾斜角为，两平行线间距离为1112+=， 因为直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截得的线段长为2， 所以直线:10l kx y k -+-=的倾斜角为或，，，则斜率为23+或3 2.- 故选.AD12.【答案】BC解：由题意知，直线AB 的方程为2133x y+=， 点(,)M m n 位于线段AB 上，M 与端点A ，B 不重合， 则2133m n+=，即23m n +=，(0,3)n ∈， 所以111121242m n n n +=+++-+ 266.(4)(2)(1)9n n n ==-+--+ 因为(0,3)n ∈， 所以2(1)9(5,9],n --+∈ 所以2626[,).(1)935n ∈--+故选.BC13.【答案】BCD解：A ：点斜式11()y y k x x -=-不能表示斜率不存在的直线，故A 错误； B ：直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；C ：在直线20x y -=上任取一点(,)P m n ，它关于0x y +=的对称点(,)Q m n --在直线20x y -=上，所以直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=，C 正确；D ：因为直线的(1)30ax a y +-+=即()30a x y y +-+=过定点(3,3)M -，所以点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为||5MP =，D 正确. 故选：.BCD14.【答案】ACD解：直线 sin 10x y α-+=的倾斜角θ，可得tan sin [1,1]θα=∈-， 所以θ的取值范围为3[0,][,),44πππ⋃所以A 正确； “点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”，可得22|64| 3.34c ++=+解得5c =，25c =-，所以“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线l ：30()x y R λλλ+-=∈，即，恒过定点(3,0)，所以C 正确；直线25y x =-+即250x y +-=与直线210x y ++=平行，22|5|521-=+，所以直线25y x =-+与圆225x y +=相切， 所以D 正确； 故选：.ACD15.【答案】3y x =解：23()x y x x e =+，223(21)3()3(31)x x x y x e x x e e x x ∴'=+++=++， ∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =， ∴曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为：3.y x =故答案为3.y x =16.+解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点，11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且1212111cos 2OA OB AOB x x y y ⋅=⨯⨯∠=+=， 即有60AOB ︒∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点到直线:10l x y +-=的距离1d 与2d 之和，设AB 中点为M ，则距离1d 与2d 之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心(0,0)到线段AB 中点M 的距离2d =，圆心到直线l 的距离d '=M ∴到直线l 的距离的最大值为d d +'=+，+17.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：18.【答案】[0,](,)62πππ⋃解：设此直线的倾斜角为θ，[0,).θπ∈ 则2tanθ=232).3m =+ [0,](,).62ππθπ∴∈⋃故答案为：[0,](,).62πππ⋃19.【答案】 解：(1)设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=， 所以2224a b a bb a b a=+++⋅=， 当且仅当2a b ==时取等号， 此时直线l 的方程为20.x y +-=(2)方法一：设直线l 的斜率为k ，则0k <，直线l 的方程为1(1)y k x -=-， 则，(0,1)B k -，所以22222211||||2224MA MB k k k k +=+++⋅=， 当且仅当221k k=，即1k =-时， 22||||MA MB +取得最小值4，此时直线l 的方程为20.x y +-=方法二：设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，即a b ab +=， 2222||||(1)1(1)1MA MB a b +=-++-+222()4a b a b =+-++2224a b ab =+-+2()4a b =-+∴当且仅当2a b ==时，22||||MA MB +取得最小值4， 此时直线方程为122x y +=，即20.x y +-=20.【答案】解：(1)易知l 不可能为2l ，故可设经过两已知直线交点的直线系方程为(25)(2)0x y x y λ+-+-=，即(2)(12)50x y λλ++--=，点(5,0)A 到l 的距离为3， 22|1055|3(2)(12)λλλ+-∴=++-，化简得22520λλ-+=，解得12λ=或2λ=， ∴直线l 的方程为2x =或4350.x y --=(2)由解得直线1l 与2l 的交点为(2,1)P ， 显然当l PA ⊥时，点(5,0)A 到直线l 的距离最大， 又101253PA k -==--， 3l k ∴=，∴所求直线l 的方程是13(2)y x -=-，即350.x y --=(3)在直线1l 上取点(0,5)E ，设点E 关于直线2l 的对称点是(,)F a b ，则052022a b ++-⋅=且520b a -=--， 解得4a =，3b =-，由直线l 经过两点(2,1)P ，(4,3)F -， 可得直线l 的方程是341324y x +-=+-，即250.x y +-=。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与方程)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与方程）练习一. 基础小题练透篇1．过点P (3 ，－23 )且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43 ＝0 B ．x －y －3 ＝0 C ．x ＋y －3 ＝0 D ．x ＋y ＋3 ＝02．直线l ：x ＋3 y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．[2023ꞏ河北示范性高中开学考]“λ＝3”是“直线(2λ－3)x ＋(λ＋1)y ＋3＝0与直线(λ＋1)x －λy ＋3＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．[2023ꞏ广东韶关月考]过点M ()－1，－2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0C ．y ＝x －1D ．x ＋y ＋3＝0或y ＝x －15．[2023ꞏ湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．[2023ꞏ杭州市长河高级中学期中]已知直线l 过点P ()2，4 ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －8＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －10＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －8＝07．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2023ꞏ宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ江苏泰州调研]已知直线l ：x ＋()a －1 y ＋2＝0，l 2：3 bx ＋y ＝0，且l 1⊥l 2，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．14B ．12C ．22 D ．13162．[2023ꞏ河北邢台市月考]下列四个命题中，正确的是( ) A ．直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为2 B ．直线y ＝0的倾斜角和斜率均存在C ．若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行D ．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等3．[2023ꞏ福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13 B ．0C ．13 D ．34．[2023ꞏ云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52 D ．55．[2023ꞏ重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2023ꞏ云南楚雄期中]已知平面上一点M (5，0)，若直线l 上存在点P ，使|PM |＝4，则称该直线为点M 的“相关直线”，下列直线中是点M 的“相关直线”的是________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝2；③4x －3y ＝0；④2x －y ＋1＝0.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．4552．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019ꞏ江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23 ＝－（x －3 ），即x ＋y ＋3 ＝0. 2．答案：D答案解析：由l ：x ＋3 y ＋1＝0可得y ＝－33 x －33 ，所以直线l 的斜率为k ＝－33 ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：A答案解析：∵直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直，∴（2λ－3）（λ＋1）－λ（λ＋1）＝0，∴λ＝3或－1， 而“λ＝3”是“λ＝3或－1”的充分不必要条件，∴“λ＝3”是“直线（2λ－3）x ＋（λ＋1）y ＋3＝0与直线（λ＋1）x －λy ＋3＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A. 4．答案：B答案解析：当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为x ＋y ＝a ， 因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得a ＝－3，即x ＋y ＋3＝0； 当所求直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，因为直线过点M ()－1，－2 ，代入可得k ＝2，即2x －y ＝0， 综上可得，所求直线的方程为2x －y ＝0或x ＋y ＋3＝0. 故选B. 5．答案：B答案解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25 ，c 2－310 ），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25 ，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65 ，c 1－910），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65 ，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65 ·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65 ＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2 ＝－1，解得|c 1－c 2|＝25 .6．答案：D答案解析：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为x a ＋y2a＝1()a ≠0 ，把点P ()2，4 代入可得2a ＋42a ＝1，解得a ＝4，∴直线l 的方程为x 4 ＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0，综上可得直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －8＝0. 故选D.7．答案：4x －3y ＋9＝0答案解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79即交点为（－53 ，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79 ＝43 （x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0， 可解得交点为（－53 ，79 ），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2答案解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A答案解析：l 1⊥l 2，则3 b ＋a －1＝0，∴a ＝1－3 b ， 所以a 2＋b 2＝()1－3b 2＋b 2＝4b 2－23 b ＋1，二次函数的抛物线的对称轴为b ＝－－232×4 ＝34，当b ＝34 时，a 2＋b 2取最小值14. 故选A. 2．答案：B答案解析：对于直线3x ＋y ＋2＝0，令x ＝0得y ＝－2，所以直线3x ＋y ＋2＝0在y 轴上的截距为－2，故A 错误；直线y ＝0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B 正确；若两直线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2，则两直线互相平行或重合，所以C 错误；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D 错误．故选B. 3．答案：B答案解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3， 则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1 ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1 . 由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22 ， 则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32 ＝|2－2k |2|k ＋1|， 所以S △ABC ＝12 ×22 ·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0. 4．答案：C答案解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12 ×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32 ＝10 ，∴a 2＋b 2＝10.又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝5 时等号成立．∴S △PAB ＝12 |PA |·|PB |＝12 ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0答案解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A″（1，－3）也在直线BC上，所以由两点式得直线BC的方程为y＋31＋3＝x－13－1，即y＝2x－5.6．答案：②③答案解析：①点M到直线y＝x＋1的距离d＝|5－0＋1|12＋（－1）2＝32>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M 的“相关直线”．②点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③点M到直线4x－3y＝0的距离d＝|4×5－3×0|42＋（－3）2＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|2×5－0＋1|22＋（－1）2＝1155>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：设圆心为P（x0，y0），半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋（1－y0）2＝r2，∴（r－2）2＋（r－1）2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1时，圆心P（1，1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255；②r＝5时，圆心P（5，5），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255.2．答案：B答案解析：方法一 点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离为d＝|k·0－（－1）＋k|k2＋1＝|k＋1|k2＋1，注意到k2＋1≥2k，于是2（k2＋1）≥k2＋2k＋1＝|k＋1|2，当且仅当k＝1时取等号．即|k＋1|≤k2＋1·2，所以d＝|k＋1|k2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为2.方法二 由题意知，直线l：y＝k（x＋1）是过点P（－1，0）且斜率存在的直线，点Q（0，－1）到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得，此时k＝1，最大距离为|PQ|＝2.3．答案：C答案解析：由题意可得d＝|cos θ－m sin θ－2|m2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m2＋1（mm2＋1sin θ－1m2＋1cos θ）＋2m2＋1＝|m2＋1sin （θ－φ）＋2|m2＋1（其中cos φ＝mm2＋1，sin φ＝1m2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1 ≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1 ，m 2＋1＋2m 2＋1 ＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4答案解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2 ≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2 时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2 ，令1－4x2 ＝－1，得x ＝2 ，则当点P 的坐标为（2 ，32 ）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10 .2．答案解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1）， 得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45 ，点A（－1，0）到直线BC：y－2＝－2（x－1）的距离为d＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC的面积为12×45×65＝12.。
9.12021届高三数学专题复习练习直线方程(学生版)
【课前测试】1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．2、直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．12直线方程【知识梳理】一、直线方程1、直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π]． 2、斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式二、两直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行3①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、距离问题(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．4【课堂讲解】考点一 直线的倾斜角与斜率例1、(1)直线2xcos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)已知直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 变式训练：1、若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 22、直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 3、已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________． 考点二 求直线方程例2、(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．变式训练：1、经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；562、经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；3、经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．考点三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式结合求最值问题例3、已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________． 变式训练：1、若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．2、直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程． 命题点2 由直线方程求参数问题例4、已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________. 变式训练：1、已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．2、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.78考点四 两直线的平行与垂直 命题点1 两直线位置关系的判断例5、(1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B. 13或－1 C. 13 D ．－1变式训练：1、直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－32、已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．命题点2 根据两直线的位置关系求直线方程例6、经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________．变式训练：求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．910考点五 距离问题例7、(1)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3(2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．变式训练：1、若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910D.2952、已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.132C.21313D.713263、若直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )与原点之间的距离的最小值为( )A.5B.6 C ．23D ．25考点六 对称问题命题点1 点关于点对称问题例8、已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A．11B．10C．9 D．8变式训练：已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)的坐标为()A．(4，1) B. (1，4)C. (2，3)D. (1，6)命题点2 点关于线对称问题例9、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．1112变式训练：1、如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝02、坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B.⎝⎛⎭⎫－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D.⎝⎛⎭⎫45，853、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A 对称的直线m 的方程为________________． 命题点3 线关于线对称问题例10、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．变式训练：1、直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝02、直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝01314【课后练习】1、直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π2、已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝03、点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.224、已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16B ．6C ．0D ．0或－165、过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( D ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝06、直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0157、直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝08、若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)9、不论m 为何值时，直线l ：(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)10、若直线(m －1)x ＋3y ＋m ＝0与直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0平行，则实数m ＝________. 11、过两直线7x ＋5y －24＝0与x －y ＝0的交点，且与点P (5,1)的距离为10的直线的方程为________．12、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是 5 .13、已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．14、已知点A (0,1)，直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：x －2y ＋2＝0，则点A 关于直线l 1的对称点B 的坐标为________，直线l 2关于直线l 1的对称直线的方程是__________．16【课后测试】1、已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或22、若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23B ．－32C.23D.32。
基础夯实练习——直线的方程-2024届高三数学一轮复习
基础夯实练习—直线的方程1．在x 轴与y 轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．90°D ．180°2．已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为( ) A.3或0B ．－3或0 C. 3 D ．－33．若将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，再沿y 轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l 的斜率是( )A ．－32 B.32 C ．－23 D.234．若直线l 的方程y ＝－a b x －c b中，ab >0，ac <0，则此直线必不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．直线l ：3x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45°得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α等于( )A ．－6＋24 B.2－64 C.6＋24D.6－24 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝07．(多选)下列说法正确的有( )A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二象限B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3,2)C ．过点(2，－1)，斜率为－3的直线的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)D ．斜率为－2，在y 轴上截距为3的直线方程为y ＝－2x ±38．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝09．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．10．已知直线l 的倾斜角为α，sin α＝35，且这条直线l 经过点P (3,5)，则直线l 的一般式方程为________________________________．11．已知点A (2,4)，B (4,2)，直线l ：y ＝kx －2, 则直线l 经过定点________，若直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是________．12．过点P (－1,0)且与直线l 1：3x －y ＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是______________．13．(多选)下列说法正确的是( )A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋y b＝1 B ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B 且AB 的中点为(4,1)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1 C ．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y ＝x 或x ＋y ＝2D ．直线3x －2y ＝4的截距式方程为x 43＋y －2＝1 14．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)两点，则l 斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＋1＝0和过定点B 的动直线mx －y －2m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2 5B ．3 2C ．3D ．616．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A7．ABC8．ABC [当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2， 所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝a ，把点A (1,2)代入可得1－2＝a 或1＋2＝a ，求得a ＝－1或a ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，所求的直线方程为 2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.]9.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 10．3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝011．(0，－2) [1,3]12．x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0解析 直线l 1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝3，则β＝π3， 因为所求直线与直线l 1的夹角为π6， 所以所求直线的倾斜角为π6或π2， 当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x ＝－1； 当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y ＝33(x ＋1)， 故直线为x －3y ＋1＝0.综上，所求直线为x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0.13．BCD [A 中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 错；B 中，AB 的中点为(4,1)，那么A (8,0)，B (0,2)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，故B 对；C 中，直线过原点时方程为y ＝x ，不过原点时方程为x ＋y ＝2，故C 对；D 中，方程3x －2y ＝4可化为x 43＋y －2＝1，故D 对．]14．(－∞，1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 因为直线l 经过A (2,1)，B (1, m 2)两点， 所以l 斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2≤1， 所以l 斜率的取值范围为(－∞，1]，设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α≤1，所以其倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 15．D [由题意知，动直线x ＋my ＋1＝0过定点A (－1,0)，动直线mx －y －2m ＋3＝0可化为(x －2)m ＋3－y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，3－y ＝0， 可得B (2,3)，又1×m ＋m ×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为|P A |2＋|PB |22≥⎝⎛⎭⎫|P A |＋|PB |22，所以|P A |＋|PB |≤2|P A |2＋|PB |2＝2×18＝6，当且仅当|P A |＝|PB |＝3时取等号．] 16．16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1， 又因为C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.结束！。
高三数学直线方程试题答案及解析
高三数学直线方程试题答案及解析1.已知点A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．【答案】3【解析】直线AB的方程为＋＝1，又∵＋≥2，即2≤1，当x>0，y>0时，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，∴xy≤3，则xy的最大值是3.2.（满分16分）如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.（1）求新桥的长；（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？【答案】（1）；（2）．【解析】本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标炎，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．试题解析：（1）如图，以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以；（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.3.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.4.设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W相交于两点.（1）求的周长；（2）如果为直角三角形，求直线的斜率.【答案】（1）的周长为；（2）直线的斜率，或时，为直角三角形．【解析】（1）求的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得，，两式相加即得的周长；（2）如果为直角三角形，求直线的斜率，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，，或，或，当时，此时直线的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设，，由根与系数关系，得到关系式，再由，即可求出斜率的值，当（与相同）时，则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，求出点的坐标，从而可得直线的斜率．（1）椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点， 2分由椭圆的定义，得，，所以的周长为. 5分（2）因为为直角三角形，所以，或，或，再由当时，设直线的方程为，，， 6分由得， 7分所以，. 8分由，得， 9分因为，，所以， 10分解得. 11分当（与相同）时，则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，由解得，或， 13分根据两点间斜率公式，得，综上，直线的斜率，或时，为直角三角形. 14分【考点】焦点三角，直线与椭圆位置关系．5.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）【答案】D【解析】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．6.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点．(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；(2)当最小时，求直线l的方程．【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0【解析】(1)如图，设＝a，＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式方程是＝1，由直线通过点(2，1)，得＝1，所以.因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得S＝×b＝×b＝＝b＋1＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为＝1.即直线l的方程为x＋2y－4＝0.(2)如上图，设∠BAO＝θ，则＝，＝，所以＝·＝，当θ＝45°时，有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝07.不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．【答案】(－2，3)【解析】把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则得8.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数,则a的值是()A．1B．-1C．-2或-1D．-2或1【答案】C【解析】直线l在x轴上的截距为:,在y轴上的截距为a+2,由题意得a+2=-,解得a=-2或a=-1.9.设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．【答案】2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0【解析】如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.10.点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是( )A．x+y+1=0B．x+y－1=0C．x－y－1=0D．x－y+1=0【答案】B【解析】点为圆的弦的中点，设圆心为，则该弦所在直线与PC垂直，故弦的斜率为,则由直线的点斜式可得弦方程为即.【考点】圆的中点弦的直线方程，直线方程的点斜式.11.过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,,所以所求直线的斜率为2,其直线方程为y=2x+1,即2x-y+1=012. .不论为何值时，直线恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程为 .【答案】或【解析】解：因为不论为何值时，直线恒过定点P，则过点（x+2）a+(-x-y+1)=0故x=-2,y=3，因此过点p的抛物线的方程为或13.过点的直线交圆于两点，且，则直线的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为过点的直线交圆于两点，且圆的半径为，则利用等腰三角形AOB,可知，圆心到直线的距离为，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式得到为选B14.直线在轴和轴上的截距分别为和，直线的方程为，则直线到的角为A．30°B．45°C．135°D．45°或135°【答案】B【解析】由条件知直线的斜率分别为是直线的角为则故选B15.不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为、若该直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是．【答案】（0，1），【解析】略16.过点且垂直于直线的直线方程的一般式方程为_____________【答案】2x+y-1=0【解析】略17. 3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x－2y =" 0"B．x + y－5 =" 0"C．3x－2y =" 0" 或x + y－5 =" 0"D．2x－3y =" 0" 或x + y－5 = 0【答案】C【解析】略18.已知直线不经过第二象限，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略19.直线在轴和轴上的截距相等，则的值是______【答案】-2或1【解析】略20.（12分)设直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，已知A点的坐标为．（Ⅰ）当原点O到直线的距离为时，求直线方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程。
全国名校2023 届高三高考数学高频题型(直线的一般式方程)专项练习卷(附答案)
全国名校2023届高三高考数学高频题型（直线的一般式方程）专项练习卷题型一 直线的一般式方程及辨析1．如果0AB <，0BC <，那么直线0Ax By C ++=经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知两点()7,4A -，()5,6B -，求线段AB 的垂直平分线的方程．3．已知直线l 的方程是0Ax By C ++=．（1）当0B ≠时，直线l 的斜率是多少？当0B =时呢？（2）系数A ，B ，C 取什么值时，方程0Ax By C ++=表示经过原点的直线？4．画出直线:230l x y -+=，并在直线l 外取若干点，将这些点的坐标代入23x y -+，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．题型二 直线的一般式方程与其他形式之间互化1．直线2360x y --=在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-2．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1－y 0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A 1B 1C 1D ，－13．已知直线(21)20a x ay ++-=在两坐标轴上的截距相等，则实数a =（ ）A ．13- B ．1 C ．13-或1- D ．1-4．已知直线l 的一般式方程为2x －3y ＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．题型三 由一般式方程判断直线的平行、垂直1．已知直线l 方程为f （x ，y ）＝0，P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）分别为直线l 上和l 外的点，则方程f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0表示（ ）A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线2．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ）A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-=3．直线l 过点(-1，2)，则与直线2x -3y +4=0平行的直线方程为________；与直线2x -3y +4=0垂直的直线方程为________．4．已知直线1l ，2l 的方程分别是1111:0l A x B y C ++=（1A ，1B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（2A ，2B 不同时为0），且12120A A B B +=，求证：12l l ⊥．题型四 直线过定点问题1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)2．直线:120l kx y k -+-=，当k 变化时，所得直线都通过的定点是（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(1,2)--3．已知直线:21l y kx k =++．（1）求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；（2）当33x -<<时，直线l 上的点都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．4．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案解析题型一 直线的一般式方程及辨析1．如果0AB <，0BC <，那么直线0Ax By C ++=经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】ABC【解析】直线0Ax By C ++=在x 轴上的截距为0C BC A AB -=-<，在y 轴上的截距为0C B ->， 如下图所示：由图象可知，直线0Ax By C ++=经过第一、二、三象限.故选：ABC.2．已知两点()7,4A -，()5,6B -，求线段AB 的垂直平分线的方程．【答案】6510x y --=【解析】因为两点()7,4A -，()5,6B -，所以线段AB 中点坐标为(1,1)，6(4)5576AB k --==---， 所以线段AB 的垂直平分线的斜率为65， 由点斜式可知：线段AB 的垂直平分线的方程为：1(1)56y x -=-， 整理得：6510x y --=.3．已知直线l 的方程是0Ax By C ++=． （1）当0B ≠时，直线l 的斜率是多少？当0B =时呢？（2）系数A ，B ，C 取什么值时，方程0Ax By C ++=表示经过原点的直线？【答案】（1）0B ≠时，斜率A k B=-；当0B =时，直线l 的斜率不存在；（2）0C =且,A B 不同时为0.【解析】（1）当0B ≠时，直线l 的斜率是A k B=-；当0B =时，直线l 的斜率不存在； （2）因为直线0Ax By C ++=过原点，所以0C =，所以当0C =且,A B 不同时为0时，方程0Ax By C ++=表示经过原点的直线.4．画出直线:230l x y -+=，并在直线l 外取若干点，将这些点的坐标代入23x y -+，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．【答案】在直线的左上方的点，坐标代入23x y -+，值小于0；在直线的右下方的点，坐标代入 23x y -+，值大于0；在直线上的点，坐标代入 23x y -+，值等于0；【解析】画出直线l 的图象，如图：取点()()()()0,0,1,6,3,4,2,3-，把点代入直线方程，()()0,0,3,4代入分别为3与5；将()()1,6,2,3-代入分别为1-与4-；可得如下规律：在直线的左上方的点，坐标代入23x y -+，值小于0； 在直线的右下方的点，坐标代入23x y -+，值大于0； 在直线上的点，坐标代入23x y -+，值等于0； 题型二 直线的一般式方程与其他形式之间互化1．直线2360x y --=在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】B【解析】直线2360x y --=，令0x =，得2y =-.∴直线2360x y --=在y 轴上的截距为2-.故选：B.2．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1－y 0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A 1B 1C 1D ，－1【答案】D【解析】∵∴直线x−y α满足α=60° 由此可得直线ax+by-1=0的倾斜角为β=2α=120°直线ax+by-1=0的斜率∵直线ax+by-1=0在y 轴上的截距为-1，∴直线ax+by-1=0的斜截式方程为，化简得可得a＝b=-1，故选D3．已知直线(21)20a x ay ++-=在两坐标轴上的截距相等，则实数a =（ ）A ．13-B ．1C ．13-或1-D ．1- 【答案】D【解析】因为直线不过(0,0)，截距不是0， 故直线可化为：(21)122a x ay ++=， 若直线(21)20a x ay ++-=在两坐标轴上的截距相等， 则2221a a=+，解得：1a =-， 故选：D ．4．已知直线l 的一般式方程为2x －3y ＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．【答案】斜截式方程为：y ＝23x ＋2；截距式方程为：3x -＋y 2＝1；直线的斜率为23，在x 轴、y 轴上的截距分别为－3，2．【解析】由l 的一般式方程2x －3y ＋6＝0得斜截式方程为：223y x =+． 截距式方程为：132x y +=-． 由此可知，直线的斜率为23，在x 轴、y 轴上的截距分别为－3，2． 题型三 由一般式方程判断直线的平行、垂直1．已知直线l 方程为f （x ，y ）＝0，P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）分别为直线l 上和l 外的点，则方程f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0表示（ ）A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线【答案】C【解析】P 1（x 1，y 1）为直线l 上的点，f （x 1，y 1）＝0，f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0，化为f （x ，y ）﹣f （x 2，y 2）＝0，显然P 2（x 2，y 2）满足方程f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0，又因为f （x 2，y 2）0≠，则f （x ，y ）﹣f （x 2，y 2）＝0与f （x ，y ）＝0平行，所以f （x ，y ）﹣f （x 1，y 1）﹣f （x 2，y 2）＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选：C ．2．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ）A ．250x y --=B ．270x y -+=C ．210x y +-=D ．250x y +-=【答案】B【解析】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=，故选：B ．3．直线l 过点(-1，2)，则与直线2x -3y +4=0平行的直线方程为________；与直线2x -3y +4=0垂直的直线方程为________．【答案】2x -3y +8=0 3x +2y -1=0【解析】直线2x -3y +4=0的斜率23k =， ∴所求平行的直线斜率123k =，由直线点斜率式得方程：22(1)3y x -=+，即2x -3y +8=0， ∴与2x -3y +4=0平行的直线方程为2x -3y +8=0； 所求垂直的直线斜率232k =-，方程为32(1)2y x -=-+，即3x +2y -1=0 所以与2x -3y +4=0垂直的直线方程为3x +2y -1=0.故答案为：2x -3y +8=0；3x +2y -1=0.4．已知直线1l ，2l 的方程分别是1111:0l A x B y C ++=（1A ，1B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（2A ，2B 不同时为0），且12120A A B B +=，求证：12l l ⊥．【答案】见解析【解析】证明：直线1l 的方向向量为11(,)m B A =- ,直线2l 的方向向量为22(,)n B A =-, 则12121212()()0m n B B A A A A B B ⋅=+-⨯-=+= ,即m 与n垂直，即12l l ⊥.题型四 直线过定点问题 1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【答案】C 【解析】把直线方程整理为()310k x y --+=，令3010x y -=⎧⎨-+=⎩，故31x y =⎧⎨=⎩，所以定点为()3,1， 故选：C.2．直线:120l kx y k -+-=，当k 变化时，所得直线都通过的定点是（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(1,2)-- 【答案】C【解析】由:120l kx y k -+-=变形得：(2)1k x y -=-，由2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，直线l 恒过定点(2,1). 故选：C.3．已知直线:21l y kx k =++．（1）求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；（2）当33x -<<时，直线l 上的点都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）证明：由21y kx k =++，得1(2)y k x -=⋅+，从而直线l 恒过定点(2,1)-． （2）设函数()21f x kx k =++，由题意可得(3)0,(3)0,f f -⎧⎨⎩……即3210,3210,k k k k -++⎧⎨++⎩……解得1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 所以实数k 的取值范围是1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．4．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．【答案】21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，如下图所示，k AP＝1101--+＝－2，k AQ＝1202---＝32，则－1m≥32(m＜0)或－1m≤－2(m＞0)，所以－23≤m≤12且m≠0．当m＝0时，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是－23≤m≤12．故答案为：21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析
专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x−ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C 2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（ ）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-==故选C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d == .故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，练提升即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选l θ1sin(22p q-=l 20y --=40y +-=0x -=360y +-=122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-23πθ=tan θ=1y x -=-40y +-=B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+= (0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+， 则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m 2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2） 不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，=，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB V 是等腰直角三角形，||AB =l 过点(1,1)P 与AOB V 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN V 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S V 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k +=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k …时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，当1k …时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（ ）.A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】练真题由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（ ）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d =，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞1，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误；⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤∴l l 1132y x =+ll y =()0,0。
高三数学直线方程试题
高三数学直线方程试题1.若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x2，φ(x)＝2elnx(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为________．【答案】y＝2x－e【解析】容易观察到h(x)和φ(x)有公共点(，e)，又(x－)2≥0，即x2≥2x－e，所以猜想h(x)和φ(x)间的隔离直线为y＝2x－e，下面只需证明2eln x≤2x－e恒成立即可，构造函数λ(x)＝2eln x－2x＋e.由于λ′(x)＝ (x>0)，即函数λ(x)在区间(0，)上递增，在(，＋∞)上递减，故λ(x)≤λ()＝0，即2eln x－2x＋e≤0，得2eln x≤2x－e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y＝2x－e.2.已知点A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．【答案】3【解析】直线AB的方程为＋＝1，又∵＋≥2，即2≤1，当x>0，y>0时，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，∴xy≤3，则xy的最大值是3.作x轴3.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（2）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求椭圆方程为．4.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）【答案】D【解析】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．5.已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．【答案】（1）y＝－2x±3（2）【解析】(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，∵直线与圆相切，∴＝3，得b＝±3，∴所求直线方程为y＝－2x±3.(2)(解法1)假设存在这样的点B(t，0)，当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P(x，y)，则y2＝9－x2，∴＝，从而＝为常数．(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB2＝λ2PA2，∴(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，∴解得(舍去)，所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数6.已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．【答案】y－2＝－(x＋1)或x＝－1.【解析】(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得.化简得，则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，解得k＝－或方程无解．方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.∴所求直线方程为y－2＝－ (x＋1)或x＝－1.(解法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P1、P2距离相等，所以l有两种情况，如下图：①当P1、P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝ (x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；②当P1、P2在l的异侧时，l必过P1、P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1.∴所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.7.直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．【答案】2x＋11y＋16＝0【解析】在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x，y)，则解得B ．又l1与l2的交点为M(3，－2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.8.已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．【答案】3x＋4y－14＝0【解析】由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.9.过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M点平分．求此直线方程．【答案】x＋4y－4＝0.【解析】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，x B ＝，∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．故所求直线方程为x＋4y－4＝0.10.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）x＋y＋2＝0（2）a≤－1.【解析】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，∴a＝2，即方程为3x＋y＝0符合题意．当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，即方程为x＋y＋2＝0.(2)(解法1)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.(解法2)将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．11.不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．【答案】(－2，3)【解析】把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则得12.经过直线x+2y-3=0与2x-y-1=0的交点且和点(0,1)的距离等于1的直线方程为.【答案】x-1=0【解析】设所求直线的方程为(x+2y-3)+λ(2x-y-1)=0,即(1+2λ)x+(2-λ)y-3-λ=0,由于点(0,1)到该直线的距离为1,即1==,所以|2λ+1|=,解得λ=2.故所求直线方程为(x+2y-3)+2(2x-y-1)=0,即x-1=0.13.若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限,则有()A．ab>0,bc>0B．ab>0,bc<0C．ab<0,bc>0D．ab<0,bc<0【答案】D【解析】易知直线的斜率存在,将直线ax+by+c=0变形为y=-x-,如图所示.数形结合可知即ab<0,bc<0.14.已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则直线MN的方程为()A．2x+y-8=0B．2x-y+8=0C．2x+y-12=0D．2x-y-12=0【答案】A【解析】由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得直线MN的方程为=,即2x+y-8=0.15.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0【答案】A【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝1，又因为直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.16.已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．【答案】x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0【解析】解：解方程组得交点P(1,2)．(1)若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.而kAB＝＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－ (x－1)，即x＋2y－5＝0；(2)若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点，由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.17.已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．【答案】2【解析】依题意得k＝＝2，解得a＝2.AB18.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．【答案】x＋y－2＝0【解析】当OP与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x＋y－2＝0.19.若直线与直线垂直，则的值是（）A．或B．或C．或D．或1【答案】B【解析】直线的斜率乘积等于－1，或根据求解。
高中考试数学专题练习----直线
_ 基种知识高三数学专题练习•一直线71岁曝制星段定比分点,⑵ 直线方程,(3)两直线的位置关系二例题1、如果直线y = ax + 2与直线y=3x — b关于直线y=x对称,那么() (A)a=l,b=6 (B)a=l,b=-6 (C)a=3,b=—2 (D)a=3,b=62、直线bx+ay=ab(aV0,b<0=的倾斜角是()(A)arctg( - -) (B)arctg( — 2) (C)“一arctg - (D)兀一arctg -a b a b3、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y—2=0平行,那么系数a=()(A)-3 (B)-6 (C)-| (D)|4、假设图中的直线的斜率分别为左上人,那么()[1 ,… 十(A)k)<k2<k3 (B)k1<k1<k2(C)k?< k2< k! (D)k1<k,<k2o x5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x—y—2=0平行,那么系数a=()(A)-3 (B)-6 (C)-1 (D)|6、假设直线 LI： ax+2y+6=0 与直线 L2： x+(a-10)y+a2—1=0 平行但不重合那么a等与()(A)-l 或 2 (B)-l (C)2 (D)|7、如果直线5y+ax+2=0与直线x+2y+3=0互相垂直,那么a的值是()(A) -10 (B) -8 (C) -6 (D) 108、两条直线A1x + B,y+C1= O,A2x + B2y+C2=O垂直得充要条件是()(A)AA+BH=0 (B)AA—BH=. (O第=- 1 (C) =]9、经过A (-3, 2)和B (6, 1)两点的直线与直线x + 3y-6=0相交于点M,那么M分AB的比是()(A) - (B) 2 (C) -1 (D) 1210、直线mx+ny—l=0经过第一、三、四象限的充要条件是()(A)mn>0 (B)mn<0 (C)m>0, n>0(D)m<0,n>011、直线L过点(3, 4)且与点(一3, 2)的距离最远,那么L的方程是()(A)3x-y-13=O (B)3x-y+13=O (C)3x+y —13=0 (D) 3x+ y+13=012、点(-2, 3)关于直y=x+l对称点的坐标是()(A) (2, -1) (B) (3, 0) (C) (3, -1) (D) (2,0)13、如果直线1沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线的斜率是()(A)-1 (B)-3 (C) | (D)314、直线2x —y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转；,所得的直线方程是()(A)3x+y—6=0 (B)x+3y—2 = 0 (C) 3x —y—6=0(D)x+y+2=015＞直线x+ycos a -1=0的倾斜角的取值范围是()(A) [-, —] (B) [0, N]U(N, n) (C) (0, N)U[筌,n] (D) 4 42 2 4 4ri liu(--)16＞不管m为何实数,直线(m—l)x—y+2m+l=0恒过定点()(A) (1, -1) (B) (-2,0) (C) (2,3) (D)(- 2, 3)17、三条直线x+y=2, x—y=0, x+ay=3构成三角形,那么a的取值范围是()(A) aW±l (B) a#l,aW2 (C) a# —1 (D) aW±l,a W2: 3x—y+4=0,以下说法中错误18、己知两条直线L： x—2y—6=0, /2的是()(A)人与q的夹角是45°(B)乙到4的角是45° ](C) 4到6的角是45°(D) 到乙的角是135°19＞直线乙：x+3y—7=0, l2： kx—y—2=0与x轴、y轴正方向所围成的四边形有外接圆,那么卜为()(A) -3 (B) 3 (C) -6 (D) 620、己知两点 P(0, —1),Q(—2,—2),取一点 R(2,m),使IPRI + IRQI最小, 那么m为()(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D)--2 321、设点 A(-l, 2), B(2, -2), C(0, 3),且 M(a, b)是线段 AB 上一点(aWO),那么直线MC的斜率的取值范围是()(A) [-1, 1] (B) [-1,0]U(0,l) (C) [-1, |] (D) (-oo,oo]-|)U[l,+22、从点P(3,-2)发出的光线1,经过直线x-y-2=0反射,假设反射光线恰好经过点Q(5,l),那么光线1所在直线的方程是()(A ) x=3 (B)y=l (C)x —2y —7=0(D)x+2y+l=023、己知点 A(-7, 1), B(-5, 5),直线/： y=2x-5, P 为/上的一点, 使|PA| + |PB|最小时P的坐标为()(A) (2, -1) (B)(3, -2) (C)(l, -3) (D)(4, -3)24、通过点M (1, 1)的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3,这样的直线共有()(A)l 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 25、由三条直线 3x-4y+12=0,4x+3y-9=0 与 14x-2y —19=0 所围成的三角形是(A)锐角不为45.的直角三角形(B)顶角不为90.的等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形26、直线1经过点P(2,- l),它的倾斜角等于直线y=1x的倾斜角的两倍,那么直线］的方程为.27、一条直线过P(l,2),且被两条平行直线4x + 3y+1 = 0和4x + 3y +6 = 0截得线段长为应,那么这条直线方程为.28、过点P(l,4)引一条直线1,使它在两条坐标轴上的截距为正,且它们的和最小,求直线1的方程.29、AAOB 的三个顶点为 0(0,0),A(-3,0),B(0,6),求过点 O WAOAB 而积分成1： 3两局部的直线方程.30、己知直线1过点P(0, 1),并与直线h：x —3y+10=0和12：2x+y-8=0分别交于点A, B(如图),假设线段AB被点P平分,求直线1 的方程.。
高考数学 典型例题21 直线方程及其应用 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学典型例题详解直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最根底的局部，本章的根本概念；根本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的断定都是解析几何重要的根底内容.应到达纯熟掌握、灵敏运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.●难点磁场(★★★★★)|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c . ●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生间隔镜框下缘多远看画的效果最正确？★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.假设坐标系选择不当，或者选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如以下图的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 获得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：k AC =tan xCA =xa a -ααcos sin ,于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xabb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,那么tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生间隔镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最正确.［例2］预算用2000元购置单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌、椅各买多少才行？★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目的函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，假设从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目的函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解. 解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目的函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0).一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如以下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明：y 1·y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？假设存在，恳求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由.★★★★★★级题目.知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程. 错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时. 技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键. (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p) ①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2= －p 2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1·y 2=－p 2,那么4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) 又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的根本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与间隔有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或者点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.z =ax +by 的最大值或者最小值时，设t =ax +by ,那么此直线往右(或者左)平移时，t 值随之增大(或者减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进展，考察学生的综合才能及创新才能.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，那么M 与N 的大小关系为()A.M ＞NB.M =NC.M ＜N2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为() 二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的间隔之差最大，那么P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，那么光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，那么x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明：{a n }是等差数列. (2)证明：以(a n ,nS n－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案 难点磁场证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1〕与B (102021，102000〕及C (102021，102021〕连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,那么 点(x ,y 〕应在如右图所示区域内 当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11； 当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11; 当x =5时，y =7,8,9,10,11.以上一共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6〕，(7，7〕，(8，8〕，(9，9〕，(10，10〕、(11，11〕六组，所以一共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6〕4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x +4y －3=0或者4x +3y +3=0 5.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案：340 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,那么f (－2)＜0,且f (2)＜0.答案：213217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1, 点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1〕、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,那么 由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21y －(a －1)=21(x －a ),即x －2y +a－2=0.(3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2,21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或者r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或者r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞). ①② ③。
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高三数学（文科）复习练习题—直线方程
一、选择题
1．下列四个命题，其中正确命题的个数是( )
①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；
③已知直线l 经过),,(111y x p ),(222y x p 两点，则直线l 的斜率;1
21
2x x y
y k --= ④与x 轴垂直的直线斜率为0．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．直线l 经过))(,1()1,2(2
R m m B A ∈、两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．),0[π B ．),43[
]4
,
0[πππ
C ．]4,0[π
D ．),2
(]4,0[ππ
π 3．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是( ) A ．31-
B ．3-
C ．3
1
D ．3 4．“2=a ” 是 “直线0)(2
=+-y x a a 和直线012=++y x 互相平行” 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知直线0343=-+y x 与直线0146=++my x 平行，则它们之间的距离是( ) A ．
1017
B ．5
17 C ．8 D ．2 6．直线,0:1=++c by ax l 直线,0:2=++d ny mx l 则
1-=bn
am
是直线21l l ⊥的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．充分不必要条件 7．下列四个命题：
①经过定点),(000y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示； ②经过任意两个不同的点),(),(222111y x P y x P 、的直线都可以用方程；
))(())((112112y y y y x x x x --=--表示；
③不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示； ④经过定点),0(
b A 的直线都可以用方程b kx y +=表示，其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
8．已知}{n a 是等差数列，,154=a ,555=S 则过点),,3(3a P ),4(4a Q 的直线的斜率为( )
A ．4
B ．
4
1
C ．－4
D ．－14 9．已知点),1,2()3,1(--B A 、 若直线1)2(:+-=x k y l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．21≥
k B ． 2-≤k C ．21
≥k 或2-≤k D ．2
12≤≤-k 10．经过点),1,2(-P 且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程( )
A ．22=+y x
B ．42=+y x
C ．32=+y x
D ．32=+y x 或02=+y x
11．点),(ab b a A +在第一象限内，则直线0=-+ab ay bx 不经过的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．在平面直角坐标系中，矩形,OABC ),0,0(O ),0,2(A ),1,0(C 将矩形折叠，使O 点落在
线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．]1,0[ B ．]2,0[ C ．]0,1[- D ．]0,2[-
13．若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角
的取值范围是( ) A ．)3,6[
π
π B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2
,6[π
π 14．实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≥-≥,
022,0,
0y x y x y 则11+-=x y z 的取值范围是( )
A ．]31,1(-
B ．]31,21(-
C ．),21(+∞-
D ．)1,2
1[- 15．过)2,1(-P 点且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线的条数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 16．已知动点),,(y x P 若,lg y |,|lg x 2
lg
x
y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
17．直线0142)32()41(=-+--+k y k x k 必经过点________.
18．已知直线,06:1=++my x l ,023)2(:2=++-m y x m l 若,//21l l 则m 值为____.
19．若过点)1,1(a a P +-和)2,3(a Q 的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围____． 20．已知点、)4,2(-A ),2,4(B 直线l 过点)2,0(-P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取
值范围是____． 21．直线x y 2
1
=
关于直线1=x 对称的直线方程是______. 22．过点),3,2( 且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有____条．
23．直线l 过点),3,4(-P 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且,3:5||:||=BP AP 则l 的
方程为________.
24．过点)1,2(P 作直线l 交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点，当4=⋅PB PA 时，则直线l 的方
程为________.
三、解答题
25．已知两直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的交点为),3,2(P 求过两点、),(111b a Q
),(222b a Q )(21a a =/的直线方程．
26．已知过原点O 的一直线与函数x y 8log =的图象交于A ，B 两点，分别过点A 、B 作y
轴的平行线与函数x y
2log =的图象交于C ，D 两点． (1)证明：C ，D 和原点O 在同一直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．
参考答案
一、选择题
二、填空题
17．(2,2) 18．1- 19．2,1)(- 20．31-≤≥k k 或 21．022=-+y x 22．3 23．096209=+-y x 或024209=-+y x 24．03=-+y x
三、解答题
25．解：)3,2(P 在已知直线上，,013211=++∴b a .013222=++b a
,0)(3)(22121=-+-∴b b a a 即⋅=--3
2
2121a a b b
∴所求直线方程为),(3
2
11a x b y --
=- ,0)32(3211=+-+∴b a y x 即.0132=++y x
26．(1)证明：设),log ,(181x x A )log ,(282x x B ，则),log ,(121x x C )log ,(222x x D
由已知条件,OB OA k k = 则
,log log 228118x x x x = 即,log log 2
2
2112x x x x =① ,
OD OC k k =∴ 因此O D C 、、在同一直线上．
(2)解：由x BC //轴知：,log log 2812x x =
则3
12x x =代入①式解得：,31=x ∴A 点坐标为).3log ,3(8。