用一元二次方程解决问题-平均增长率与数学问题
用一元二次方程解决增长率问题含答案
用一元二次方程解决增长率问题含答案1.解决增长率问题的一元二次方程1.1 平均变化率问题安徽中考题目：一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。
设两次降价的百分率都为x，则x满足(D)16(1+2x)=25.阳泉市平定县月考题目：共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆。
设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)1000(1+x)2=1000+440.巴中中考题目：巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售。
若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率。
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1-x)2=4050.解得x=10%。
广东中考题目：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。
求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1+10%)(1+x)2=633.6.解得x=20%。
1.2 市场经济问题泰安中考题目：某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。
每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。
要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)(3+x)(4-0.5x)=15.达州中考题目：新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每售出1件，价格就下降0.5元。
若该童装原价为10元/件，则在售完全部存货后，该童装的平均售价为(A) 9.5元/件。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，每件童装盈利40元。
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。
同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。
在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。
平均增长率公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。
(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。
解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。
列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。
720×（1+20%）=864（棵）。
严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。
解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。
一元二次方程平均增长率_2015
1 x 1.2 x2 2.2 x1 0.2
x1 0.2 20%
答：平均每月增长的百分率是
ห้องสมุดไป่ตู้20%
小结
拓展
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
22.3.2一元二次方程的应用 ——增长率（降低率）
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月 份生产零件1200个，那么二月份比一月 份增产 个？增长率 。
例： 某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨,3月上升到 7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 解：设平均每月增长的百分率为X，则 2月份比1月份增产 5000x 吨，
尝试探索，合作交流，解决问题
1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那 么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百 分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而 增长的绝对数是不相同的）
尝试探索，合作交流，解决问题
2月份的产量是 5000(1+x) 吨，
3月份比2月份增产 5000(1+x)x 吨， 3月份的产量是 5000(1+x)2 列方程： 5000(1+x)2 =7200 整理，得 解这个方程，得 、 答： 吨， ， ， ，
分析
用一元二次方程解决问题(平均增长率)
平均增长率 = (终值 - 初值) / 初值 × 100%
计算方法
直接计算法
根据题目给出的数据，直接代入公式 进行计算。
代数法
将平均增长率转化为一元二次方程， 通过解方程求得。
ห้องสมุดไป่ตู้例解析
例1
某企业去年销售额为100万元，今年 销售额增长了20%，求今年的销售额。
解
根据平均增长率公式，今年的销售额 = 100 × (1 + 20%) = 120万元。
解
根据平均增长率公式，5年后GDP = 100 × (1 + 8%)^5 = 146.9亿元。
02
一元二次方程在平均增 长率问题中的应用
建立一元二次方程
确定变量
在平均增长率问题中，通常设初始数 量为A，平均增长率为r，经过时间为t 后的数量为B。
建立方程
方程变形
如果需要求平均增长率r，可以将方程 变形为r = (B/A)^(1/t) - 1。
将方程左边化为完全平 方形式，右边化为常数，
从而求解x。
因式分解法
通过因式分解将方程化 为两个一次方程，从而
求解x。
实例解析
题目
某企业前年缴税30万元，预计 今年缴税36.36万元，那么该企
业缴税的平均增长率为多少？
分析
设该企业缴税的平均增长率为x， 根据题意可以建立一元二次方程 30(1 + x)^2 = 36.36。
根据平均增长率的定义，我们可以建 立一元二次方程B = A(1 + r/100)^t。
解一元二次方程
求解方法
解一元二次方程可以使 用公式法、配方法、因
式分解法等。
公式法
配方法
一元二次方程实际问题1(增长率)
在这个部分，我们来学习一元二次方程的实际应用。这个问题涉及到增长率， 让我们一起来探索吧！
什么是一元二次方程？
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，可以写成 Ax²+ Bx + C = 0 的形式。
一元二次方程的一般形式是什 么？
一元二次方程的一般形式是 Ax²+ Bx + C = 0，其中 A、B、C 是已知的常数， x 是未知数。
例题3的解法演示
让我们一起来解答实际问题3的例题，并演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
例题3答案的意义是什么？
例题3的答案可以告诉我们一元二次函数在什么自变量取值下达到最大值和最 小值，帮助我们理解函数的特性。
如何求解一元二次函数的极值？
可以通过求导数和解方程来求解一元二次函数的极值。
实际问题3的例题介绍
我们将通过一个真实的例题来演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
实际问题3的解题思路
1. 确定已知信息和未知数。 2. 列出一元二次函数。 3. 求导数并解方程得到未知数的值。 4. 计算最大值和最小值。
什么是实际问题？
实际问题是指与现实生活相关的问题，需要用数学方法来解决。
为什么需要将实际问题转化成一元二次 方程？
将实际问题转化成一元二次方程可以使问题更加具体化，便于用数学工具来求解。
实际问题1：增长率是什么？
增长率是指某个变量随时间变化的速度，可以用百分比或小数表示。
如何计算增长率？
增长率可以通过计算某一时间段内变量的变化量与初始值的比值来得到。
例题1的答案可以告诉我们在给定条件下的增长率，帮助我们理解实际问题的变化趋势。
实际问题1的注意点
1.4用一元二次方程解决问题(3)——平均增长率(学案)
1.4用一元二次方程解决问题（3）——平均增长率班级姓名1．某村粮食产量，第一年为a千克，以后每年的增长率都为x，则第二年的粮食产量为千克，第三年的粮食产量为千克，这三年粮食产量为千克．2．目前市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年，如果第一年的折旧率为20%，以后其折旧率有所变化．现知第三年末这辆轿车值7.776万元，则这辆轿车第二、三年平均每年的折旧率是．3．据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人次，2013年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2012年、2014年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？4．某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率的多少？5．某服装店花2000元进了一批服装，按50%的利润定价，无人购买，决定打折销售，但仍无人购买，结果又一次打折才售完．经结算，这批服装共盈利430元．如果两次打折相同，每次打了几折？6．某企业前年盈利1500万元，如果该企业今年与去年盈利的年增长率相同，那么今年可盈利2160万元．（1）该企业去年盈利多少万元？（2）若该企业的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？【选做题】7．随着我国社会保障机制的进一步完善，越来越多的单位更多的在工资方面体现出对职工的全面关怀，并且工资水平也在逐年提高，某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：（1）如果设基础工资每年的增长率为x，那么用含有x的代数式表示第三年的基础工资为万元；（2）某人在公司工作了3年，他算了一下这三年拿到的住房补贴和医疗费正好是这三年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？8．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）。
一元二次方程的应用(增长率问题)
（2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法
例：某种手表，原来每只售价96元，经过 连续2次降价后，现在每只售价54元，平均 每次降价的百分率是多少？
练一练
当堂练习 1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产 量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程B( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2、为执行“两免一补”的政策，某地区2016年 投入教育经费2500万元，预计2018年投入3600 万元，求这两年教育经费的平均增长率。
例2.某种服装原价为每件80元,经两 次降价,现售价为每件51.2元,求平均 每次降价的百分率.
解：设平均每次降价的百分率为x.
根据题意，得 80(x -1)2 = 51.2 原方程可化为： (x -1)2 = 0.64
解得，x1=1.8（不符合题意，舍去）， x2=0.2
答：平均每次降价的百分率为20%.
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今 年和明年两年的投资总额为8万元,若设该校 今年和明年两年在实验器材投资上的平均增 长率是x,则可列方程为________________.
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x)2 b
这里是指增长
2.注意：
或降低两次
（1）1与x的位置不要调换
降低率问题：若基数为a，降低率为x，则 一次降低后的值为 a(1－x) ，二次降低后 的值为 a(1－x)2 ．
(1).某商店，2018年1月份的利润为1000元， 2月份比1月份利润增长10%，则2月份 利润表示为__1_0_0_0_（__1_+_1_0_%_）___, 3月份比2月份利润增长10% ，则3月份 利润表示为_1_0_0_0_（__1_+_1_0_%__）_2__.
用一元二次方程解决问题(平均增长率)
答：每次降价上缴利税280万元， 其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平 均增长的百分率。
2.某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售 额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求 月增长率
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
例2：
某产品原来每件600元，由于连续两次降价， 现价为384元，如果两个降价的百分数相同， 求每次降价的百分数。
分析：解设：每次降价的百分数是x。 原价
600
第一次价格 第二次价格
600（1-x) 600(1-x)2
根据题意列方程： 600(1-x)2=384 解之得：x1=0.2 x2=1.8（舍去）
用一元二次方程解决问题（2）
---------平均增长（降低）率
课前热身：
1.某工厂1月份的产值是100万元，2月份的产值比1 120 月份增加了20％，那么2月份的产值是 100×（1+20 ％） 万元 ， 若3月份的产值比2月份又增加了20 ％，那么 3月份的产值是 100×（1+20％）2 万元 144 2.某工厂1月份的产值是a万元， 2月份的产值比1月 份增加的百分数为x，那么2月份的产值是 a(1+x) 万元，若3月份的产值较2月份增加的百分数为x,那么 3月份的产值产值是 a(1+x)2
两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 二.新课 例1.某商店6月份的利润是2500元，要使8月份 的利润达到3600元，平均每月增长的百分率 是多少？
分析： 解：设平均每月增长的百分率是x. 解题感悟： 变一变：按国民经济发展规划要求，2012年 月份 6月份 7月份 8月份 1.为了计算方便、直接求得，可以直接设增长 的社会总产值要比2010年增长21%，求平均 练一练： 的百分率为x。2500 2500(1+x) 2500(1+x)2 利润 某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到 每年增长的百分率 7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少? 根据题意列方程得： 2500(1+x)2=3600 2.用直接开平方法做更简单，不要将括号打开。 解之得：x1=0.2, x2=-2.2（舍去） （提示：基数为2010年的社会总产值，可视为a） 答：这两个月的平均增长的百分比是20%
一元二次方程应用题--增长率问题
一元二次方程应用题增长率问题：1.某商场3月份的销售额为16万元，5月份的销售额为25万元，该商场这两个月的销售额的平均增长率是________2. 某公司八月份出售电脑200台,十月份售出242台，这两个月平均增长的百分率是多少3.我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里，到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少4 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50t下降到，则平均每年下降的百分率是_____5. 某种药品两次降价后，每盒售价从原来元降到元，平均每次降价的百分率是多少6. 哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年绿地平均每年增长百分率是多少7. 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少3．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数4.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
5、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
6.有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。
一元二次方程应用题--增长率问题
一元二次方程应用题增长率问题：1.某商场3月份的销售额为16万元，5月份的销售额为25万元，该商场这两个月的销售额的平均增长率是________2. 某公司八月份出售电脑200台,十月份售出242台，这两个月平均增长的百分率是多少？3.我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里，到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？4 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率是_____5. 某种药品两次降价后，每盒售价从原来6.4 元降到4.9元，平均每次降价的百分率是多少？6. 哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年绿地平均每年增长百分率是多少？7. 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？3．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数4.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
5、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
6.有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。
一元二次方程的应用(平均增长率问题)
销售增长
通过建立一定营销策略。
经济增长
利用一元二次方程可以分析国家经济的平均增长率， 从而进行经济政策的制定和调整。
实际案例分析
人口增长
通过一元二次方程的应用，我们可以分析一座城市的 人口变化，并预测未来的增长趋势。
销售增长
通过建立一元二次方程模型，我们可以了解一个企业 的销售额在不同时间段的平均增长率。
股票投资
利用一元二次方程，我们可以预测股票的平均增长率，
经济增长
通过对一国经济的分析，我们可以计算其平均增长率，
解决平均增长率问题的步骤和方法
1
确定已知量
首先，确定已知的增长量和时间。这些数据将用于计算平均增长率。
2
建立一元二次方程
利用已知量和未知量构建一元二次方程，表示增长趋势。
3
求解方程
通过求解一元二次方程，得到未知量的值，即平均增长率。
平均增长率是用来衡量某一数量在一段时间内的平均增长速度的指标。计算 方法是将增长量除以时间的差。
一元二次方程在平均增长率问题中的应用
人口增长
利用一元二次方程可以预测人口在未来几年的平均 增长率，为城市规划和资源分配提供参考。
股票投资
一元二次方程可用于预测股票的平均增长率，指导 投资者做出理性的投资决策。
总结和应用延伸
1 一元二次方程是解决平均增长率问题的有力工具。 2 通过合理应用一元二次方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。
一元二次方程的应用(平 均增长率问题)
一元二次方程是数学上应用广泛的一个概念，用于解决众多实际问题。本演 示将介绍一元二次方程的定义和形式以及其在平均增长率问题中的应用。
应用介绍
一元二次方程是一种包含一个未知数的二次项、一次项和常数项的方程。它用来描述许多与平均增长率有关的实际 问题。
一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答这两个月的平均增长率是10%。
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。
对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。
三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。
（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。
一元二次方程的应用--增长率问题
一元二次方程的应用 (增长率问题)知识要点：1.建立一元二次方程的增长率模型并运用它解决实际问题。
2.平均增长（或降低）率公式 其中x 是平均增长（或降低）百分率，a 是增长（或降低）前的量，b 是增长（或降低）n 次后的量，增长用“+”，降低用“-” 注意：（1）1与x 的位置不能换.（2）解决这类问题列出的方程一般用直接开平方法.典型题：1.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）A ．9%B ．10%C ．11%D ．12%2. 光华机械厂生产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，2001年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？3. 某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为6.05万人．（1）问这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是多少？（2）该地区3年来共有多少人参加过中考？4. 随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多．据统计，某驾校2008年底报名人数为3 200人，截止到2010年底报名人数已达到5 000人．（1）若该驾校2008年底到2010年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．（2）若该驾校共有10名教练，预计在2011年底每个教练平均需要教授多少人？5. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游()b x a n =+1总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？6. 某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．求平均每次下调的百分率；7.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？8. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
一元二次方程的应用(平均增长率问题)
➢4.解:解所列的方程; ➢5.验:是否是所列方程的根;是否符合题 意; ➢6.答:答案也必需是完善的语句,注明单 位且要贴近生活。
➢列方程解应用题的关键是: ➢读懂题目中的每一句话， ➢理清数量关系，找出等量关系.
例、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少?
…… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 2、反之，假设增为长两率次公降式低.，则
两次平均降低率公式为 a(1-x)2=b
总结:
假设平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是a, 增长(或降低)n 次后的量是b, 则平均增长〔降低〕 公式可表示为：
a(1x)n b
其中 增长取+ ,降低取－
依据什么来列等量关系
合作沟通
1.所列的等量关系为：
今年的使用率×〔1+年平均增长率〕2 ＝后年的 使用率
2.所列的等量关系为：
原价×〔1－年平均降价的百分率〕2＝现价
总结: 1.两次平均增长后的量=原来的量●(1+增 长率)2 假设原来为a,平均增长率是x,增长后的量为 b
则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b
探究：随着人民生活水平的不断
提高，我市家庭轿车的拥有量逐 年增加。据统计，某小区2023年 〔 元底 家再2〕拥 庭建为筑有 轿了假家车缓设解庭的干停个轿 拥车停冲车 有车突量6位，4。达辆该据小1，测0区算20打，0辆算2建。3投筑年资费1底用5万分 别 考〔为 虑1室 到〕内 实假车际位因设素50该，00小打元算/区个露，2天露0车2天位3车年的位数底1量0到0不0元少/个于，室 内2车02位3的年2倍底，家但庭不超轿过车室内拥车有位量的2年.5倍的，年求该 小 能平区 的均最 方多 案增可。长建率两种都车一位样各多，少求个？该试小写区出全到部可 2023年底家庭轿车将到达多少辆？
一元二次方程增长率应用题
一元二次方程增长率应用题一、增长率问题的基本公式1. 若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则b = a(1 + x)^n。
2. 若初始量为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则b=a(1 - x)^n。
二、例题解析（一）正向增长率问题例1：某工厂去年1月份的产值为100万元，由于受市场经济的影响，2、3月份的产值逐月下降，平均每月下降率为x。
（1）写出3月份产值y（万元）关于x的函数关系式；（2）如果3月份产值为81万元，求x的值。
解析：1. （1）1月份产值为100万元，2月份产值是在1月份产值基础上下降x，则2月份产值为100(1 - x)万元。
3月份产值是在2月份产值基础上又下降x，所以3月份产值y = 100(1 - x)(1 - x)=100(1 - x)^2。
2. （2）已知3月份产值为81万元，即y = 81，那么100(1 - x)^2=81。
- 首先将方程两边同时除以100得到(1 - x)^2=(81)/(100)。
- 然后开平方可得1 - x=±(9)/(10)。
- 当1 - x=(9)/(10)时，x = 1-(9)/(10)=(1)/(10)=0.1 = 10%；- 当1 - x=-(9)/(10)时，x = 1+(9)/(10)=1.9（增长率不能大于1，舍去）。
（二）连续两年增长率问题例2：某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。
该公司缴税的年平均增长率为多少？解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。
1. 前年缴税40万元，去年缴税是在前年基础上增长x，则去年缴税40(1 + x)万元。
2. 今年缴税是在去年基础上又增长x，所以今年缴税40(1 + x)(1 + x)=40(1 + x)^2万元。
3. 已知今年缴税48.4万元，则40(1 + x)^2=48.4。
- 方程两边同时除以40得(1 + x)^2=1.21。
- 开平方得1 + x=±1.1。
2.6.1利用一元二次方程解决平均增长率(降低率)问题(教案)
-难点一：理解增长率（降低率）与一元二次方程之间的关系。学生在理解上可能存在以下困难：
-难以从实际问题中抽象出数学模型；
-不清楚如何将增长率（降低率）转化为数学表达式；
-对于一元二次方程的解法不够熟练。
-例如，在物价上涨问题中，学生可能不清楚如何将物价的变化转换为含有未知数的一元二次方程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平均增长率和降低率的基本概念。平均增长率是指某种数量在连续时间段内平均增长的百分比；降低率则相反，是指某种数量平均减少的百分比。它们在经济学、人口学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用一元二次方程解决实际问题，例如计算某种商品的价格增长或降低率。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平均增长率（降低率）在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“利用一元二次方程解决平均增长率（降低率）问题”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过某种物品价格持续上涨或下降的情况？”（如手机价格逐年下降）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平均增长率（降低率）的奥秘。
在讲授过程中，我注意到有些同学对于一元二次方程的求解步骤还不够熟练，这可能是由于之前的基础知识掌握不够牢固。因此，我决定在接下来的时间里，适当增加一些复习环节，巩固他们的基础，提高解题能力。
用一元二次方程解决有关增长率降低率的问题
（1）增长率问题
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 a(1 x)
a(1 x)2=b
二次增长后的值为 a(1 x)2 n次增长后的值为 a(1 x)n
（2）降低率问题
二次增长后的值
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 a(1 x)
基数
二次降低后的值为 a(1 x)2 n次降低后的值为 a(1 x)n
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的
年平均增长率（精确到0.1%）
解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平 均增长率为x，由题意得
892（1+x)2=2083
(1+x)2=
2083 892
x 2083 1 892
x1
上网计算 机总台数
3200
(万台)
2400
1600
. 800 350
.892
.
. .3089 2083
1254
年份
0
2000年 2000年
2001年
2002年 2003年
1月1日 12月31日 12月31日 12月31日 12月31日
问题1：截止2000年12月31日，我国的上网计算机总台数为892万台；截 止2002年12月31日，我国的上网计算机总台数为2083万台；
解这个方程，得
3089
y1 1254 1 ≈56.9%
y2
3089 1 1254
(不合题意，舍去）
56.9%＞ 52.8%
答： 2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人教版九年级数学上册说课稿本《一元二次方程 实际问题-平均增长率问题》
人教版九年级数学上册说课稿本《一元二次方程实际问题-平均增长率问题》一. 教材分析《一元二次方程实际问题-平均增长率问题》是人教版九年级数学上册的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，特别是平均增长率问题。
教材通过具体的实例，引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和解法有一定的了解。
但是，学生在实际问题中的应用能力还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，特别是平均增长率问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际问题中的应用，特别是平均增长率问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
五. 说教学方法与手段本节课采用问题驱动的教学方法，以学生为主体，教师为主导。
通过引导学生分组讨论、合作探究，运用多媒体课件和板书辅助教学，帮助学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何用数学知识解决实际问题。
2.探究：引导学生分组讨论，将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
3.讲解：教师对学生的探究结果进行讲解，强调解题思路和方法。
4.练习：让学生独立解决类似的实际问题，巩固所学知识。
5.小结：对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：1.实际问题：设某产品的初期产量为a件，平均每年增长率为x，n年后产品的产量为y件。
2.一元二次方程：根据实际问题，列出的一元二次方程。
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列一元二次方程解应用题讲义一、一周知识概述1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本方法相同.从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍．5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率，实际数=基数＋增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的×(1＋增长率)增长期数=后来的(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的×(1－增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案．7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数．列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去．二、重难点知识归纳审清题意，找等量关系，合理设未知数列一元二次方程解应用题．三、典型例题剖析例1、一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．思路：数与数字之间的关系是：两位数=(十位数字)×10＋(个位数字) 解题的关键是正确地写出原来的两位数与对调后的两位数，为了便于分析，可列出下表：解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(5－x)，根据题意得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]=736整理得x2－5x＋6=0解这个方程得x1=2，x2=3当x=2时，5－x=3，两位数为23；当x=3时，5－x=2，两位数为32．总结：(1)对于多位数问题要善于用各数位上的数字来表示该多位数；(2)求出方程的解之后，要善于检验它们是否符合题意，不要漏解，更不能保留不合题意的解．例2、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛．思路：(1)先分析比赛的总局数，假设此次比赛共有x名选手参赛，则共比赛局；(2)再分析得分总和的特征，由于无论胜、负、平每一局比赛都记2分，则比赛局的得分总和就是全部参赛选手的得分总和．即x(x －1)分，又x必为正整数，因此x与x－1是两个连续自然数的积，必为偶数，因此2005分属统计错误，其次两个自然数的积的个位数只可能是0，2，6．因此得分总和不可能是2004，2008，由条件知得分总和只可能是2070．解：设共有x(x为正整数)名选手参赛，所以共计有局比赛．因为每局比赛共记2分，所以全部选手的得分总和为x(x－1)分，由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个位数字只能是0，2，6，故总得分不能为2005，2004，2008，所以可得方程x(x－1)=2070．解这个方程得x1=46，x2=－45(不合题意舍去)答：这次比赛共有46名选手参赛．总结：(1)分析所有参赛选手的得分总和是解本题的关键；(2)正确选取合适的数据是解决本题的难点，这就需要多了解整数的基本特征．例3、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于经营不善，销售额下降了10%，以后改进管理，大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)思路：这是一个增长率问题，先求出二月份的销售额，再设三、四月份平均增长率为x，表示四月份的销售额．解：设三、四月份平均每月增长率为x，依题意得60(1－10%)(1＋x)2=96．解得．由于增长的百分率不能为负数，故不合题意，舍去．即．答：商厦三、四月份平均每月销售额增长率为33.3%．总结：增长率的基本公式为：a(1±x)n，其中a为基数，x为增长率或降低率，n表示经过几个月的月数．例4、截至目前，我国退耕还林工程试点扩大到20个省、市、区，具体情况如下表：(单位：万公顷)(1)将上表补充完整；(2)若2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番，2004、2005两年的平均增长率相同，求这个增长率．思路：由表可知：造林绿化面积=退耕还林面积＋宜林荒山荒地造林面积．2005年新增造林绿化面积比2003年新增造林绿化面积翻两番即为4倍，可列方程求解．解：(1)表中数据为493；(2)设这个增长率为x，依题意有493(1＋x)2=493×4解这个方程，得x1=1，x2=－3(不合题意舍去)．∴x=1=100%．答：这个增长率为100%．总结：正确理解翻两番的含义是解题的关键，应在日常生活中多接触类似术语，理解其含义．例5、取一块长80cm、宽60cm的矩形白铁皮，在它的四个角上截四个大小相同的正方形后，把四边折起来，做成一个没有盖子的长方体盒子，如果做成底面积为1500cm2的长方体盒子，截下的小正方形的边长是多少厘米？思路：设截下的小正方形的边长为x cm，则折成的没有盖子的长方体盒子的底面的长为(80－2x)cm，宽为(60－2x)cm，则可得方程．解：设截下的小正方形的边长为x cm，依题意得(80－2x)(60－2x)=1500整理得x2－70x＋825=0解得x1=15，x2=55但当x=55时，80－2x=－30，不合题意，舍去．∴x=15．答：截下的小正方形的边长为15cm．总结：(1)解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程；(2)利用一元二次方程解决实际问题时要对解进行检验，有时一元二次方程的解不一定符合题意．例6、如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．问：(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P点Q间的距离是10cm？思路：(1)由于四边形PBCQ为梯形，且高CB=6cm，于是只需表示出上、下底边长即可列出方程；(2)由于PQ两点间的距离，不易用未知数的代数式表示，需通过作辅助线构造基本几何图形——直角三角形，利用勾股定理列方程求解．解：(1)设P，Q两点从出发开始x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2，则AP=3x，PB=16－3x，CQ=2x．由梯形的面积公式得，解得x=5．答：P，Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；(2)设P，Q两点从出发开始到y秒时，点P，点Q间的距离为10cm．如图，过点Q作QH⊥AB，交AB于H，则AP=3y，CQ=2y，PH=16－3y －2y，根据勾股定理，得(16－3y－2y)2=102－62，化简方程得25y2－160y＋192=0，解得．答：P，Q两点从出发开始到时，点P点Q的距离是10cm．例7、某商场销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？思路：每降价1元，则每件盈利(40－1)元，每天可售出(20＋2)件．故若设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天售出(20＋2x)件，再根据总盈利=每件的盈利×售出的件数．可列出方程求解．解：设每件应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天可售出(20＋2x)件，根据题意可列方程(40－x)(20＋2x)=1200整理得x2－30x＋200=0解得x1=10，x2=20因为要尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．总结：尽量减少库存是本题方程的根必须适合的题意．两根比较不难得出适合题意的一个，但“尽快减少库存”这一要求在审题中很容易被漏掉，从而导致错误，请注意，另外本题中每件衬衫降价x元．即是每件盈利减少x元．因此在解应用题应认真审清题意，是正确解题的关键．例8、汽车在行驶过程中由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住．我们称这段距离为刹车距离，在一个限速为35km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离为10m，已知甲车的刹车距离S甲(m)与车速x(km/h)之间的关系是：S甲=0.1x＋0.01x2，乙车的刹车距离S乙(m)与车速x(km/h)之间的关系是：S乙=0.05x ＋0.005x2，请你从两车速度方面分析事故原因．思路：要求从两车速度方面分析事故原因，就必须从已知的两车的刹车距离计算出在经过这段弯道上时的速度是否超过警示速度，从而断定事故的主要责任者，而已知条件中两车的刹车距离分别为12m和10m，以及两个关系式，通过解方程求出车速，并作出判断．解：∵甲车的刹车距离为12m，∴0.01x2＋0.1x=12即x2＋10x－1200=0解得x1=30，x2=－40由于速度不能为负数，∴x2=－40不合题意，舍去．所以甲车的速度为30km/h，不超过限速．对于乙车则有0.05x＋0.005x2=10解这个方程得x1=40，x2=－50(不合题意，舍去)．所以乙车的速度为40km/h超过了限速35km/h的规定．。