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等差等比数列综合练习题(经典基础题)

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等比数列经典试题(含答案)

等比数列经典试题(含答案)

一、等比数列选择题1．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．32．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．43．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比q =，则456a a a ⋅⋅=（ ） A ．32B ．16C ．16-D ．32-4．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110245．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3-C ．3D ．87的等比中项是（ ）A ．－1B ．1CD．±8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．25011．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．612．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1413．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 14．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ）A ．80B ．20C ．32D ．255315．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．716．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D17．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．19B ．17C ．13D ．718．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或219．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99220．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．2020二、多选题21．题目文件丢失！22．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为124．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <25．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ）A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29．设{}n a 是各项均为正数的数列，以n a ，1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ，则{}n S 为等比数列的充分条件是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅或 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列C ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列D ．1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅和 2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅均是等比数列，且公比相同 30．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T31．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 32．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ）A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=33．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）34．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<35．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 2．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 3．A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选：A. 4．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 5．B 【分析】首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项.【详解】设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a q a -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 6．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S ad ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 7．D 【分析】利用等比中项定义得解. 【详解】2311()((2-==，的等比中项是 故选:D 8．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=. 故选：D 10．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 11．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q ，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 12．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 13．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 14．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 15．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 16．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 17．B 【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2174a a a =可求得7a 的值.【详解】在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，由等比中项的性质可得24354a a a a ==，解得41a =， 17a =，21741a a a ==，因此，717a =. 故选：B. 18．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 19．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 20．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C二、多选题 21．无22．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 24．BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24nn a =，数列{}2na的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 25．BD 【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 26．BCD 【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132nn n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 29．AD 【分析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数，从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数，也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ，因为{}n a 是等比数列，故22n na q a +=（q 为{}n a 的公比）为常数，故A 满足； 对于B ，取21221,2nn n a n a -=-=，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅不是等比数列，2121n n a a +-不是常数，故B 错.对于C ，取2123,2n nn n a a -==，此时满足2a ，4a ，⋅⋅⋅ ，2n a ，⋅⋅⋅是等比数列，1a ，3a ，⋅⋅⋅ ，21n a -，⋅⋅⋅是等比数列，21213n n a a +-=，2222n naa +=，两者不相等，故C 错. 对于D ，根据条件可得2n na a +为常数.故选：AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，此类问题应根据定义来处理，本题属于基础题. 30．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.31．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =.选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 32．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 33．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 34．ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 35．AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n＝9时，T n＝1013＜2019；当n＝10时，T n＝2036＞2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。

(完整版)等差、等比数列》专项练习题

(完整版)等差、等比数列》专项练习题

《等差、等比数列》专项练习题一、选择题：1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252．已知等差数列{an}的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 3．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.454．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1B ．－21C ．1或－1D ．－1或21 5．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．26．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=0 7．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于A ．102B ．202C ．162D ．1528．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为（ ）A ．全体实数B ．－1C ．1D ．3二、填空题：1．等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ．2. 数列｛a n ｝，｛b n ｝满足a n b n =1, a n ＝n 2＋3n ＋2，则｛b n ｝的前10次之和为 3．若{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，11+=n n n a a b ，则数列{}n b 的前n 项和n T= ． 4．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 5．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．三、解答题：1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S nn｝的前n 项数，求T n ． 2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求．nS S S 11121+++ 3．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．4．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．参考答案一、选择题：1.B 提示： 998911452s ⨯=⨯+⨯=2.A 提示：由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3⇒a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180．3.C 提示：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴ 198a a +=，则该数列前9项和S 9=199()2a a +=36 CAD B B二、填空题：1．答案：２提示：411==S a ，102322221=⨯+==+S a a ，62=∴a ，2=d ． 2. 512提示：b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2∴S 10＝b 1＋b 2＋…b n ＝12 －112 ＝512 ．3．答案：69nn + 提示：)321121(21)32)(12(1,12+-+=++=+=n n n n b n a n n ，用裂项求和法求得96+=n nT n ．4.2， 3·2n －2．5.251+．三、解答题：1.解：设数列｛a n ｝的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n （n －1）d ．∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝7 15a 1＋105d ＝75， ∴⎩⎨⎧a 1＝－2d ＝1∴S n n ＝a 1＋12 ·（n －1）d ＝－2＋12·（n －1） ∴S n +1n ＋1 －S n n ＝12 ∴数列｛S n n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ·(－2)＋n （n －1）2·12 ＝14 n 2－94n ．2．解：（１）设数列{}n a 的公差为ｄ，由题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+1222336211d a d a ，解得 ⎩⎨⎧==221d a ，∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=，即n a n 2=．（２）∵n a n 2=，∴)1(2)(1+=+=n n a a n S n n ． ∴n S S S 11121+++ )1(1321211+++⨯+⨯=n n ．3.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n－14.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n－1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．。

等差等比数列基础练习题

等差等比数列基础练习题

等差等比数列基础练习题1.等差数列8，5，2，…的第20项为-43.2.在等差数列中已知a1=12，a6=27，则d=3.3.在等差数列中已知d=-3，a7=8，则a1=-16.4.(a+b)与(a-b)的等差中项是a。

5.等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和是54.6.正整数前n个数的和是n(n+1)/2.7.数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，则an=6n-1.8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，则当n=17时，Sn 的值最小，S17的最小值是-200.1.求等差数列8，5，2，…的第20项。

2.已知等差数列中a1=12，a6=27，求公差d。

3.已知等差数列中d=-3，a7=8，求首项a1.4.若(a+b)与(a-b)的等差中项为a，求a和b的关系。

5.求等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和。

6.求正整数前n个数的和。

7.已知数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，求通项公式an。

8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，求当n=17时，Sn 的最小值。

月来夜亮精品三、计算题1.求等差数列 $\{a_n\}$ 的未知数：1) 已知 $a_1=1$，$d=-3$，$S_n=-5$，求 $n$ 和 $a_n$。

解：由等差数列前 $n$ 项和公式$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到 $a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知条件得到：begin{cases}a_1=1\\d=-3\\S_n=-5\end{cases}$$begin{cases}S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=-5\\a_n=a_1+(n-1)d=-3n+4\end{cases}$$将 $a_n$ 代入 $S_n$ 的公式，解得 $n=3$，再代入$a_n$ 的公式得到 $a_3=-5$。

2) 已知 $a_1=2$，$d=2$，$a_{15}=-10$，求 $a_1$ 和$S_{66}$。

经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习

经典等差数列性质练习题(含答案)讲解学习

等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．A．﹣1 B．0C．1D．2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。

数列、等差数列基础题以及答案

数列、等差数列基础题以及答案

数列、等差数列基础题以及答案一、选择题1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A. 2B.C. -1D. 20186.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的（）A. 充分且必要条件B. 充分但非必要条件C. 必要但非充分条件D. 既不充分也不必要条件11.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=______．3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．三、解答题1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. B11. D12. 2n13.14. -6；-11015. 2n-1；2n-116. -17.18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，∴a n-a n-1=0，即a n=a n-1，数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，∴a n=．（2）S n=1-a n=1-（）n，∴b n=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．则：S n+1=2a n+1-2②，②-①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- (2)=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+…+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）【解析】1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2故选：A由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，∵{a n}是正项数列，a1=1，∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==-1a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足a n，∴a n=2n-4，∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）-（a4+a5）=a1[（1+q7）-（q3+q4）]=a1[（q3-1）（q4-1）]当0＜q＜1，时（q3-1）＜0，（q4-1）＜0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0当q＞1，时（q3-1）＞0，（q4-1）＞0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．11. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{a n}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16. 解：由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得a n-a1=1-=，∵a1=-1，∴a n=-，故答案为-．由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．可得=+5（n-1），解得a n═．故答案为：．判断数列{}是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。

等比数列基础练习题百度文库

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一、等比数列选择题1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2502．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ） A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >3．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．64．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1B ．2±C ．2D ．2-5．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+6．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110247．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n8．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f -C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（ ） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:310．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．20511．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n -D ．21n -13．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2-B ．2-或1C ．1D ．215．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1416．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±17．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．2518．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．819．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1120．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题21．题目文件丢失！22．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 25．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2826．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >27．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍29．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+30．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-31．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=32．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 33．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=34．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1B ．1＜b1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n35．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 2．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 3．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 4．B【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 5．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 6．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 7．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 8．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122ff-==.所以第五个单音的频率为1122f=.所以第八个单音的频率为1262f f=故选：B.9．A【分析】由20172021T T=得20182019202020211a a a a=，由等比数列性质得20182021201920201a a a a==，这样可把2020a和2021a用q表示出来后，可求得20202021lnlnaa．【详解】{}na是正项等比数列，0na>，0nT≠，*n N∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a==⋅，得20182019202020211a a a a=，所以20182021201920201a a a a==，设{}na公比为q，1q≠，22021201820213()1aa aq==，2202020192020()1aa aq==，即322021a q=，122020a q=，所以1220203202121lnln ln123ln3lnln2qa qa qq===．故选：A．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q表示出相应的项后可得结论．10．C【分析】由题意可得1021031a a>，1021031,1a a><，利用等比数列的性质即可求解.【详解】由10210310a a->，即1021031a a>，则有21021a q⨯>，即0q>。

数列综合题训练(附答案)

数列综合题训练(附答案)

数列综合题训练一．解答题（共30小题）1．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．2．（2011•福建）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．3．（2010•重庆）已知{a n}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求通项a n及S n；（Ⅱ）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．4．（2010•四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．5．（2010•山东）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．6．（2009•湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．7．（2008•海南）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．8．（2007•福建）等差数列{a n}的前n项和为s n，，．（1）求数列{a n}的通项a n与前n项和为s n；（2）设（n∈N+），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．9．（2004•山东）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．10．（2004•黑龙江）已知等差数列{a n}中，a2=9，a5=21．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=2an，求数列{b n}的前n项和S n．11．已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．12．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．13．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．14．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n p a n（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．15．（2011•山东）等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）lna n，求数列b n的前n项和s n．16．（2010•福建）数列{a n}中，a1=，前n项和S n满足S n+1﹣S n=（）n+1（n∈）N*．（I）求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n（II）若S1，t（S1+S2），3（S2+S3）成等差数列，求实数t的值．17．（2007•山东）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）令b n=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{b n}的前n项和T n．18．（2004•贵州）已知数列{a n}为等比数列，a2=6，a5=162．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，证明．19．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．20．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．21．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（I）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（II）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．22．（2010•湖北）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房．（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）23．（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2008•重庆）设各项均为正数的数列{a n}满足．（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（Ⅱ）记b n=a3a2…a n（n∈N*），若b n≥2对n≥2恒成立，求a2的值及数列{b n}的通项公式．25．（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n，已知ba n﹣2n=（b﹣1）S n（Ⅰ）证明：当b=2时，{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．26．（2008•广东）设p，q为实数，α，β是方程x2﹣px+q=0的两个实根，数列{x n}满足x1=p，x2=p2﹣q，x n=px n﹣1﹣qx n﹣2（n=3，4，…）．（1）证明：α+β=p，αβ=q；（2）求数列{x n}的通项公式；（3）若p=1，，求{x n}的前n项和S n．27．（2007•陕西）已知各项全不为零的数列{a k}的前k项和为S k，且S k=N*），其中a1=1．（Ⅰ）求数列{a k}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b k}满足（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+b n28．（2007•湖南）设S n是数列{a n}（n∈N*）的前n项和，a1=a，且S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n=2，3，4，…．（1）证明数列{a n+2﹣a n}（n≥2）是常数数列；（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b n}（n∈N*）中的所有项都是数列{a n}中的项，并指出b n是数列{a n}中的第几项．29．（2007•北京）数列{a n}中，a1=2a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式．30．（2005•上海）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．考点：等差数列的通项公式；数列的求和。

等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)

等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)

(b 1b n)nn + 1 ，则有2n3等差数列与等比数列的类比一、选择题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）{a } S S =n (a 1 + a n ) 1. 记等差数列 n 的前 n 项和为 n ，利用倒序求和的方法得 n 2 ；类似地，记等比数列{b n }的前 n 项积为T n ，且b n> 0(n ∈ N *)，类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成关于首项b 1，末项b n 与项数 n 的关系式 为 ( )1. Anb 1b nA. B. 2 C. nb 1b nnb 1b nD. 2 二、填空题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）2. 在公差为 d 的等差数列{a n }中有：a n = a m + (n - m )d (m 、n ∈ N + )，类比到公比为 q 的等比数列{b n }中有： ．2.b n = b m ⋅ q n - m (m ，n ∈ N * ){a} b = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + n a n{b }3. 数列 n 是正项等差数列，若 n 1 + 2 + 3 + … + n ，则数列 n 也 为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = 则数列{d n }也为等比数列．1(c c 2c 3…c n )1 + 2 + 3 + … + n 3. 1 2 3 n4. 等差数列{a n }中，有a 1 + a 2 + … + a 2n + 1 = (2n + 1)a n + 1，类比以上性质，在等比数列{b n }中，有等式 成立．4.b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1T5. 若等比数列{a n }的前 n 项之积为T n T 3n = ( T n ) ；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前 n 项之和为S n ，则有 ．5. S 3n = 3(S 2n - S n ){a}a 11 + a 12 + … + a 20 = a 1 + a 2 + …a 306. 已知在等差数列 n 中， 10 30 ，则在等比数列{b n }中，类似的结论为10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30q S nn7. 在等比数列{a n}中，若a9 = 1，则有a1⋅a2…a n = a1⋅a2…a17- n(n < 17，且n∈N* )成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7 = 0，则有．b1 + b2 + … + b n= b1 + b2 + … + b13- n(n < 13，且n∈ N* )8.设S n是公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和，则数列S6 - S3，S9 - S6，S12 - S9是等差数列，且其公差为9d.通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2 的等比数列{b n}的前n 项积，则数列T6T9T12T3，T6，T9 是等比数列，且其公比的值是．5129.若等差数列{a n}的公差为d，前nS n{ }项的和为，则数列为等差数列，d. {b}公差为2 类似地，若各项均为正数的等比数列n的公比为q，前n 项的积为T n，则数列{nT n}为等比数列，公比为．10. 设等差数列{a n}的前n 项和为S n m，n(m < n)，使得S m= S n，则S m + n= 0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n 项积为T n，若存在正整数m，n(m < n)，使得T m= T n，则T m + n=．10. 1答案和解析【解析】{a} S= n(a1 + a n)1. 解：在等差数列n的前n 项和为n 2 ，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n 项积T n= (b1b n)n，故选：A由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．n + 1n + 12. 解：在等差数列{a n }中，我们有a n = a m + (n ‒ m )d ，类比等差数列，等比数列中也是如此，b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．故答案为b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．因为等差数列{a n }中，a n = a m + (n ‒ m )d (m ，n ∈ N + )，即等差数列中任意给出第 m项a m ，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第 m 项 b m 和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．3. 解： ∵ 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字 倍的和，除以下标的和，∴ 根据新的等比数列构造新的等比数列， c c 2c 3…c n乘积变化为乘方 1 2 3 n ，1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n原来的除法变为开方 1 2 3 n1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n故答案为： 1 2 3 n根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和， 除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方， 写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．4. 解：把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，∴ 在等比数列{b n }中有结论b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ).故答案为：b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ). 利用“类比推理”，把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5. 解：在等差数列中S 3n= S n + (S 2n ‒ S n ) + (S 3n ‒ S 2n ) = (a 1 + a 2 + … + a n ) ++ (S 2n ‒ S n ) + (a 2n + 1 + a 2n + … + a 3n )因为a 1 + a 3n = a 2 + a 3n ‒ 1 = … = a n + a 2n + 1 = a n + 1 + a 2n 所以S n + (S 3n ‒ S 2n ) = 2(S 2n ‒ S n )，所以S 3n = 3(S 2n ‒ S n ). 故答案为：S 3n = 3(S 2n ‒ S n ).本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．6. 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30． 故答案为：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．在等差数列中，等差数列的性质m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q ，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m + n = p + q ，则b m b n = b p b q ．本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．7. 解：在等比数列中，若a 9 = 1，则a 18 ‒ n ⋅⋅⋅ a 9 ⋅⋅⋅ a n = 1即a 1 ⋅ a 2…a n = a 1 ⋅ a 2…a 17 ‒ n (n < 17，且n ∈ N ∗)成立，利用的是等比性质，若 m + n = 18，则a 18 ‒ n ⋅ a n = a 9 ⋅ a 9 = 1，∴ 在等差数列{b n }中，若b 7 = 0，利用等差数列的性质可知，若m + n = 14，b 14 ‒ n + b n = b 7 + b 7 = 0，∴ b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗ )故答案为：b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗).据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．T 6 T 9 T 12 T 3，T ， T 929 = 5128. 解：由题意，类比可得数列6是等比数列，且其公比的值是 ，故答案为 512．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．{a } SS n= a + (n ‒ 1) ⋅ d 9. 解：因为在等差数列 n 中前 n 项的和为 n 的通项，且写成了n1 2． 所以在等比数列{b n }中应研究前 n 项的积为T n 的开 n 方的形式．类比可得nT n = b 1( q )n ‒ 1.其公比为 故答案为 q ．S nS nd{ n } n= a 1 + (n ‒ 1) ⋅ 2仔细分析数列 为等差数列，且通项为 的特点，类比可写出对应数 列{nT n }为等比数列的公比．本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．10. 解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数 m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则T m + n = 1．故答案为 1．在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存q在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”.类比推理可得：“已知正项数列 {b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则 T m + n = 1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

数列综合练习题(含答案)精选全文

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3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

(完整版)等差等比数列综合练习题

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等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2373. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7C.6D.54. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．41D ．817.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a •=+=则2010a a =( ) A.23B.32C.23或32 D.23-或 32- 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .209.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且7768,b a b b ==则( )A.2B. 4C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10D. 911.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( )A. d<0B. 110s >C.120s <D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则14a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=•a a ，则5a =__________15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=,则()101102200lg x x x +++=________17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________三.解答题19. 设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数.20. 已知数列{}n a 中，111,23n n a a a -==+，求此数列的通项公式.21. 设等差数列{}na的前n项和公式是253ns n n=+,求它的前3项，并求它的通项公式.22. 已知等比数列{}n a的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。

(完整版)等比数列基础习题

(完整版)等比数列基础习题

等比数列基础习题一．选择题1．已知 {a n} 是等比数列， a2=2，a5 = ，则公比 q=（）A ．B．﹣ 2 C． 2 D ．2．假如﹣ 1， a， b，c，﹣ 9 成等比数列，那么（）A ．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C． b=3， ac=﹣ 9 D ．b= ﹣3， ac=﹣ 9 3．已知数列 1， a1， a2， 4 成等差数列， 1， b1， b2，b3，4 成等比数列，则的值是（）A ．B．﹣C．或﹣ D ．4．等比数列 {a n} 中， a6+a2 =34，a6﹣a2 =30，那么 a4等于（）A ．8 B．16 C．±8 D ．±16n n n+1 n ，则公比为（）5．若等比数列 a 知足 a a =16A ．2 B．4 C． 8 D ．166．等比数列 {a n} 中， |a1|=1， a5=﹣8a2，a5＞a2，则 a n= （）A ．（﹣2）n﹣1 B．﹣（﹣ 2n﹣1）C．（﹣ 2）n D ．﹣（﹣ 2）n7．已知等比数列 {a n} 中， a6﹣2a3=2 ，a5﹣2a2 =1，则等比数列 {a n } 的公比是（）A ．﹣ 1 B．2 C． 3 D ．48．正项等比数列 {a n} 中， a2a5=10 ，则 lga3+lga4= （）A ．﹣ 1 B．1 C． 2 D ．09．在等比数列 {b n} 中， b3?b9 =9，则 b6的值为（）A ．3 B．±3 C．﹣3 D ．910．在等比数列 {a n} 中，，则 tan（a1 a4a9）= （）A ．B．C． D ．11．若等比数列 {a n} 知足 a4+a8= ﹣3，则 a6（a2+2a6 +a10） =（）A ．9 B．6 C． 3 D ．﹣ 312．设等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若=3，则= （）A ．B．C． D ．113．在等比数列 {a n} 中， a n＞0， a2=1﹣a1，a4=9 ﹣a3，则 a4+a5 =（）A ．16 B．27 C． 36 D ．8114．在等比数列 {a n} 中 a2=3，则 a1a2a3 =（）A ．81 B．27 C． 22 D ．915．等比数列 {a n} 中 a4， a8是方程 x 2+3x+2=0 的两根，则 a5a6a7= （）A ．8 B．±2 C．﹣2 D ．21 / 216．在等比数列 {a n} 中，若 a3a4a5a6a7=243，的（）A ．9 B．6 C． 3 D ．2 17．在 3 和 9 之插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，两个数的和是（）A ．B．C． D ．18．已知等比数列1，a2，9，⋯，等比数列的公比（）A ．3 或 3 B．C． 3 D ．3 或19．在等比数列 {a n} 中，前 7 和 S7=16，又 a12+a22+ ⋯+a72=128 ， a1 a2+a3 a4+a5 a6+a7=（）A ．8 B．C． 6 D ．20．等比数列 {a n} 的前 n 和 S n， a1=1，若 4a1， 2a2， a3成等差数列，S4= （）A ．7B．8C． 16 D ．15二．填空1、在等比数列｛ a n｝中，(2)若 S3=7a3， q＝______；(3)若 a1＋a2＋a3＝ -3 ， a1 a2 a3＝8， S4=____．1.在等比数列｛ a n｝中，(1)若 a7·a12 =5， a8·a9·a10· a11=____；(2)若 a1＋a2＝324， a3+a4＝36， a5＋ a6＝______；(3)若 q 公比， a k＝m， a k＋p＝______；2.na n＝____．一个数列的前 n 和 S n＝ 8 -3 ，它的通公式3. 在 2 和 30 之插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，两个正数之和是_______ ．5．已知数列 {a n} 中， a1=1，a n=2a n﹣1+3，此数列的一个通公式是_________ ．6．数列的前 n 之和是_________ ．7．等比数列 {a n} 的首 a1= 1，前 n 和 S n，若，公比 q 等于 _________ ．8、若等比数列的首4，公比2，其第 3 和第 5 的等比中是______．2 / 2。

数列、等差数列基础题以及答案

数列、等差数列基础题以及答案

数列、等差数列基础题以及答案一、选择题1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A. 2B.C. -1D. 20186.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的数列，则“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的（）A. 充分且必要条件B. 充分但非必要条件C. 必要但非充分条件D. 既不充分也不必要条件11.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=______．3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．三、解答题1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. B11. D12. 2n13.14. -6；-11015. 2n-1；2n-116. -17.18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，∴a n-a n-1=0，即a n=a n-1，数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，∴a n=．（2）S n=1-a n=1-（）n，∴b n=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．则：S n+1=2a n+1-2②，②-①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- (2)=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+…+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）【解析】1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2故选：A由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，∵{a n}是正项数列，a1=1，∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==-1a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足a n，∴a n=2n-4，∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：若八个正数，成等比数列公比q＞0，（a1+a8）-（a4+a5）=a1[（1+q7）-（q3+q4）]=a1[（q3-1）（q4-1）]当0＜q＜1，时（q3-1）＜0，（q4-1）＜0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0当q＞1，时（q3-1）＞0，（q4-1）＞0∴a1[（q3-1）（q4-1）]＞0所以a1+a8＞a4+a5，故若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，故“a1+a8＜a4+a5”是“a1，a2，a3，…，a8不是等比数列”的充分非必要条件．故选B先假设八个整数成等比数列且q≠1，利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5），分别对q＞1和q＜1分类讨论，可推断出a1+a8＞a4+a5一定成立，反之若a1+a8＜a4+a5，则a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，推断出条件的充分性；若a1，a2，a3，…，a8不是等比数列，a1+a8＜a4+a5，不一定成立，综合答案可得．本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．11. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n•a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{a n}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16. 解：由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得a n-a1=1-=，∵a1=-1，∴a n=-，故答案为-．由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．可得=+5（n-1），解得a n═．故答案为：．判断数列{}是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。

等差与等比数列综合专题练习题

等差与等比数列综合专题练习题

1．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21 2. 已知公差大于0的等差数列{n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ． 3. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．4.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．是否存在实数k ，使4S n ＝(k ＋a n )2对一切正整数n 成立？若存在，求出k 的值，并求相应数列的通项公式；若不存在，说明理由．答：存在k ＝0，a n ＝0或k ＝1，a n ＝2n －1适合题意．5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式；(Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++n S S S S n?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由；6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1.所以(m m ＋1)2＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f (x )＝3x 2－2x,.数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .7．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n ＋1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}前n 项和为T n ，问T n >10002009的最小正整数n 是多少？ 8.已知定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)的图象被f (x )的图象截得的弦长为417，数列{a n }满足a 1＝2， (a n ＋1－a n )g (a n )＋f (a n )＝0(n ∈N *)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝3f (a n )－g (a n ＋1),求数列{b n }的最值及相应的n .。

等差数列与等比数列的求和问题综合练习题

等差数列与等比数列的求和问题综合练习题

等差数列与等比数列的求和问题综合练习题数列是数学中常见的一个概念，它包含了一系列按照某种规律排列的数字。

在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的类型，它们之间存在着不同的求和方法。

本文将通过综合练习题的方式，详细探讨等差数列与等比数列的求和问题。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

首先，我们来看一个等差数列求和的例子。

例题1：已知等差数列的首项a1为3，公差d为4，求前10项的和S10。

解题思路：利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an代表数列的第n 项。

首先计算出第10项的值a10 = a1 + (10-1)d = 3 + (10-1)4 = 3 + 9*4 = 3 + 36 = 39。

其次计算出前10项的和S10 = (a1 + a10) * n / 2 = (3 + 39) * 10 / 2= 42 * 10 / 2 = 210。

答案：前10项的和S10为210。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

下面我们来看一个等比数列求和的例子。

例题2：已知等比数列的首项a1为3，公比q为2，求前5项的和S5。

解题思路：利用等比数列通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中an代表数列的第n 项。

首先计算出第5项的值a5 = a1 * q^(5-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48。

其次计算出前5项的和S5 = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 3 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 3 * (1 - 32) / (1 - 2) = 3 * (-31) / (-1) = 93。

答案：前5项的和S5为93。

三、综合练习题接下来，我将给出一些综合训练题，涵盖了等差数列与等比数列的求和问题。

请你根据题意，独立思考并计算出答案。

练习题1：已知等差数列的首项a1为2，公差d为3，求前20项的和S20。

数列综合经典练习题(含详细答案)

数列综合经典练习题(含详细答案)

数列综合经典练习题（含详解答案）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中79416,1,a a a +==则12a 的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．642.如果等差数列{}n a 中，，34515a a a ++=，那么127a a a +++=（ )A.14B.21C.28D.353.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:20052006200520060,.0a a a a +><.则使0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.4012 4.在等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S = ( ) A.60 B.75 C.90 D.1055.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根,则93S S 的值为( ) A.27B.21C.14D.56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=( ) A.12B.8C.20D.167.若数列{}n a 的首项112a =,且*1(1)(N )n n n a a a n +=+∈,则200300a a =( )A.32B.23 C.201301D.3012018.古时有如下问题:今有肖司差夫一丁八万六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,每个修筑堤坝的人每天分发到3升大米.在该问题中第三天共发了大米( ) A. 234升B.405升C. 639升D.894升9.一个有限项的等差数列，前4项的和为40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为( ) A.12B.14C.16D.1810.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-911.在等比数列{}n a 中，已知151,20192019a a ==,则3a =( ) A.1B.3C.±1D.±312.设{}n a 是首项为1a ,公差为2-的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2B.-2C.1D.-113.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,103010,130S S ==,则40S =( ) A.-510B.400C.400或-510D.30或4014.已知数列{}n a 是等比数列，2511,8a a ==，则*12231...(N )n n a a a a a a n ++++∈的最小值为( ) A.83B.1C.2D.315.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1111,(N )3n n a S a n +==∈,则7a =( ) A. 74B. 534⨯C.634⨯D. 641+16.已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a =( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．417.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20192014a a = （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或618.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．17619.2+2的等比中项是（ ） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±20.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 100721.若1既是2a 与2b 的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则22a ba b++的值是（ ） A ．1或12B ．1或12-C ．1或13D ．1或13-22.如果等差数列{}n a 中34512a a a ++=，那么7S =( ) A.28 B.21 C.35D.14二、填空题23.在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 . 24.设数列{}n a 是递减的等比数列,且满足2712a a =,3694a a +=,则1232n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________.25.已知等比数{}n a 中, 171,2727a a ==,求n a = 26.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,13n n a S +=,*N n ∈,则n a =_____________. 27.设数列{}n a 满足121,3a a ==,且112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为___________.28.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*2log (1)1(N )n S n n +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.29.等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______. 三、解答题30.已知数列{}n a 是等差数列，且1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根. 1.求数列{}n a 的前n 项和n S ; 2.在1中，设n n S b n c =+，求证:当12c =-时，数列{}n b 是等差数列.31.已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. 1.设2n an b =，求证:数列{}n b 是等比数列； 2.求{}n n a b +的前n 项和.32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足443321,21S a S a =-=-. 1.求{}n a 的通项公式； 2.记161n n b S =+,求12...n b b b +++的最大值. 参考答案一、选择题1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B解析：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数, 则()()40101401020052006200520050S a a a a =+=+>,14011401120064011()401102a a S a +==<故n 的最大值为4010. 故选B 4.答案：B解析：因为等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和, 348153(4)325a a a a d a ++=+==,所以131225a d +=,所以512543a a d =+=,所以()9195925997523S a a a =+==⨯=.故选B. 5.答案：B解析：因为{}n a 为等比数列,所以23211,a aq q a a ==,故原方程可以化为220x q x q -+=.又该方程有两个相等的实数根,故440q q -=,解得0q =（舍）或34q =，所以9933116421114S q S q --===--,故选B. 6.答案：C解析：∵4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列,∴由4848,12S S S =-=,得128161216,20S S S S -=-=,即1314151620a a a a +++=.故选C.7.答案：D解析：由1(1)n n n a a a +=+,得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠,所以1111n n a a +-=,即1{}na 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以11nn a =+,所以20030011201,301a a ==，从而200300301201a a =. 8.答案：C解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ,它是首项164a =,公差为7的等差数列,则第二天派出的人数为2a ,且264771a =+=,第三天派出的人数为3a ,且3642778a =+⨯=.又每人每天分发到3升大米,则第三天共分发大米(647178)3639++⨯=(升)，故选C.9.答案：B解析：设等差数列共有n 项,记该数列为{}n a , 则123440a a a a +++=,12380n n n n a a a a ---+++=, 相加得14()120n a a +=,所以130n a a +=.1()152102n n n a a S n +===,解得14n =.故选B. 10.答案：D解析：由112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥,后式减前式知12,3m m a a +==.设等差数列{}n a 的公差为d,则1d =.∵0m S =,∴12m a a =-=-,则3n a n =-,(5)2n n n S -=,2(5)2n n n nS -=.设22(5)3(),0,'()5,022x x f x x f x x x x -=>=->, 则当1003x <<时, ()f x 单调递减,当103x >时, ()f x 单调递增, ∴()f x 的极小值点为103x =,在此处()f x 取得最小值. 又(3)9,(4)8f f =-=-,∴n nS 的最小值为-9,故选D. 11.答案：A解析：由等比数列的性质可得23151201912019a a a ==⨯=,解得31a =±.又2310a a q =>,所以31a =.故选A.解析：由题意得111212(1),,22n a a n S a S a =--==-,41412S a =-.∵124,,S S S 成等比数列,∴2111(22)(412)a a a -==-,解得11a =-.故选D.13.答案：B解析：设等比数列{}n a 公比为q,∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴10201030204030,,,S S S S S S S ---也成等比数列,∴21030202010()()S S S S S -=-，即2202010(130)(10)S S -=-,解得2040S =或2030S =-.∵10100S =>,10201030203,90S S q S S =+=-=,4030270S S -=,∴40400S =.故选B.14.答案：C解析：由已知得数列{}n a 的公比满足35218a q a ==,解得12q =,∴1312,2a a ==,∴数列1{}n n a a +是以2为首项,公比为231214a a a a =的等比数列.由于数列1{}n n a a +各项均为正,∴12231...n n a a a a a a ++++的最小值为122a a =.故选C.15.答案：B 解析：由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=≥,两式相减可得111,233n n n a a a n +=-≥,即14,2n n a a n +=≥.又113n n S a +=,所以2133a S ==,所以数列{}n a 是从第2项起的等比数列,公比为4.所以72572434a a -==⨯,故选B.16.答案：B 解析： 17.答案：B 解析： 18.答案：B 解析： 19.答案：C 解析： 20.答案：D 解析： 21.答案：D 解析：解析：二、填空题 23.答案：4解析：24.答案：64 解析：25.答案：43n n a -=或()43.n n a -=--解析： 26.答案：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩解析：当1n =时,211333a S a ===. 当2n ≥时,∵13n n a S +=,∴13n n a S -=,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=,即14n n a a +=,当2n ≥时,{}n a 是以3为首项,4为公比的等比数列,得234n n a -=⨯.综上,21,134,2n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩. 27.答案：245解析：因为112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥,所以数列{}n na 为等差数列,首项为1,公差为2125a a -=.所以1(1)554n na n n =+-⨯=-,则204245,54205n n a a =-=-=. 28.答案：3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩解析：由2log (1)1n S n +=+,得112n n S ++=.当1n =时, 113a S ==;当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=.则数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.29.答案：4 解析：三、解答题30.答案：1.解方程2650x x -+=得其两个根分别为1和5, ∵1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根,∴121,5a a ==,∴等差数列{}n a 的公差为4, ∴2(1)1422n n n S n n n -=⋅+⋅=-. 2.当12c =-时, 22212n n S n n b n n c n -===+-, ∴112(1)22,2n n b b n n b +-=+-==, ∴{}n b 是首项为2,公差为2的等差数列. 解析：31.答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d .由2416a a +=可得11()(3)16a d a d +++=,即12416a d +=. 又12a =,可得3d =.故1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 依题意, 312n n b -=,因为3231312282n n n n b b ++-===(常数),所以{}n b 是首项为4，公比为8的等比数列. 2.因为{}n a 的前n 项和为1()(31)22n n a a n n ++=, {}n b 的前n 项和为313324221421877n n -+-⋅=⋅--.所以{}n n a b +的前n 项和为32(31)142277n n n +++⋅-. 解析：32.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q , 由434S S a -=得43422a a a -=, 所以432a a =,所以2q =. 又因为3321S a =-,所以11112481a a a a ++=-,所以11a =.所以12n n a -=.2.由1知122112nn n S -==--,所以416()2821n n n b n S -===-+,所以12n n b b +-=-,所以{}n b 是首项为6,公差为-2的等差数列, 所以12346,4,2,0b b b b ====,当5n ≥时, 0n b <,所以当3n =或4n =时, 12...n b b b +++有最大值,且最大值为12. 解析：。

等比数列经典试题(含答案)百度文库

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一、等比数列选择题1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2502．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．819．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）.A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ）A ．3B ．505C ．1010D ．202011．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12612．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．313．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1014．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6415．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1116．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．617．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102319．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项ma ，n a 14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．53B ．32C ．43D ．11620．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S +=24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 26．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2827．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++28．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=29．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍30．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+31．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1B ．1＜b1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-34．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于19835．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a=+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 2．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 3．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 4．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3nn n S =+-=，所以13n S n=，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 6．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 7．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 8．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 11．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 12．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 13．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 14．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 15．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 16．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去）又112a =， 2314a q a ==， 解得2q ，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 17．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23nn n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 18．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 19．B【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a 14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a 14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 20．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C .二、多选题 21．无 22．无23．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确.选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n a a m d na a n d m⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=-所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠ 所以()1112d a m n ++-=-，即()1112d m n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n dS m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 24．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.26．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．【分析】证明1233 BE BABC=+，所以选项B 正确；设BD tBE=（0t>），易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，选项C不正确.【详解】因为2AE EC=，所以23AE AC=，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 29．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 30．CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 31．AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即32211111a a a a ++≠++，故C 错； 因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前n 项和，考查了分组求和．32．ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ， ∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩；∴12123212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n •b n +1＝2n ∴122324b b b b =⎧⎨=⎩；∴2132b b b b ⎧⎨⎩＞＞；∴1＜b1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nn n b b b b ⋅--=+=+-))2121n n ≥-=-；∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．AC【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列，2213a a a ∴=，()461r ∴=+， 解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．ABD【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>. 11a >，0q ∴>. 又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确. ∴不正确的是C .故选：ABD .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AB【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111n i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.。

等差等比数列习题课-基础版本

等差等比数列习题课-基础版本

等差等比数列通项、求和巩固练习一、 选择填空题1.首项为1, 公比为2的等比数列的前4项和2.等比数列{an}的前n 项和为Sn, 若S3+3S2=0, 则公比q=_______3.已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________.4.已知{an}为等差数列, Sn 为其前n 项和, 若, S2=a3, 则a2=______, Sn=_______。

5.若等比数列满足, 则 .6.公比为2的等比数列{} 的各项都是正数, 且 =16, 则= （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）87.已知数列的前项和为, , , ,则（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n8.在等差数列{an}中, 已知a4+a8=16, 则a2+a10=___________9.数列{an}的通项公式, 其前n 项和为Sn, 则S2012等于____________10.等比数列{an}的前n 项和为Sn, 公比不为1。

若a1=1, 且对任意的/都有an ＋2＋an ＋1-2an=0, 则S5=_________________。

11.在等差数列中, 已知则等于_____________12.设是公差为正数的等差数列, 若, , 则_______13.设Sn 为等比数列{an}的前n 项和, 已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2, 则公比q ＝____________14.数列{an}为等差数列, 且＝, 则等于( ) A. B.5 C. 3 D.15．Sn 为等差数列{an}的前n 项和, S9＝－36, S13＝－104, 等比数列{bn}中, b5＝a5, b7＝a7, 则b6等于( )A. 4B. ±216.已知数列{an}的各项均为正数, 其前n项和是Sn, 若{log2an}是公差为－1的等差数列, 且S6＝, 那么a1的值是( )A.421B.631C.821D.1231二、解答题已知数列{an}的前n项和为Sn, 且Sn=, n∈N﹡, 数列{bn}满足an=4log2bn＋3, n∈N﹡.（1）求an, bn；（2）求数列{an ·bn}的前n项和Tn.2.已知为等差数列, 且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为, 若成等比数列, 求正整数的值。

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一、选择题
1、（2009辽宁卷文）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝
A.－2
B.－12
C.1
2
D.2
2.（2009福建卷理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于
A ．1 B
5
3
C.- 2 D 3 3.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 4.（2008天津）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( ) A.12 B.13 C.14
D.15
5.（2008陕西）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）
A ．64
B ．100
C ．110
D ．120 6.（2008广东）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24
C ．36
D ．48
7在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，41
8
a =
，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111
22
-
8.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a =
A.
21 B. 2
2
C. 2
D.2 9..（2009重庆卷文）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n +
C ．2324
n n + D ．2
n n +
10.（2009四川卷文）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190
11.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,
832S =,则10S 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90
12.（2006湖北）若互不相等的实数
成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a =
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4 二、填空题
13、设等比数列{}n a 的公比12q =
，前n 项和为n S ，则44
S
a = ． 14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。

若3614,1s s a ==，则4a = 15.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则
9
5
S S = ,,a b c ,,c a b
（2009辽宁卷理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 三、解答题
17.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{n a }中，0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
18. （2009辽宁卷文）等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q ；
（2）求1a －3a ＝3，求n s
19. （2009陕西卷文）已知数列{}n a 满足， *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

20. （2009福建卷文）等比数列{}n a 中，已知142,16a a == （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项
和n S 。

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