运筹与优化2-rel
数学建模:第五章 运筹与优化模型
1
例1、某工厂制造A.B两种产品,制造A每吨 需用煤9t,电力4kw,3个工作日;制造B每吨需 用煤5t,电力5kw,10个工作日。已知制造产品A 和B每吨分别获利7000元和12000元,现工厂只有 煤360t,电力200kw,工作日300个可以利用,问 A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大? 解:设 x1 x 2 ,(单位为吨)分别表示A、B产 品的计划生产数; f表示利润(单位千元) 则问题归结为如下线性规划问题:
a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2
am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm
x1 , x2 ,, xn 0
7
例3:生产组织与计划问题 设有m种资源,第i(i=1,2…,m)种资源的现存量 为 bi ,现要生产n种产品,已知生产j(j=1,2…,n)种 产品时,每单位产品需要第i种资源量为 a ij ,而每 单位j种产品可得利润 c j ,问如何组织生产才能使 利润最大? 解:用 x j 表示生产第j(j=1,2,…,n)种产品 的计划数, 上述问题可归结为如下的数学问题:
z 14.3750
即 第1年项目A,D分别投资3.8268和6.1732(万元);
第2年项目A,C分别投资3.5436和3(万元);
第3年项目A,B分别投资0.4008和4(万元); 第4年项目A投资4.0752(万元); 第5年项目D投资0.4609(万元); 5年后总资金 14。375万元,即盈利43.75%.
x 模型建立 设该容器底边长和高分别为 x1米、 2米, 则问题的数学模型为
min f ( X ) 40 x1 x2 20 x1 (容器的费用)
2
x12 x 2 12, (容器体积) 2 s.t . 12 x1 x 2 2 x1 68, (容器重量) x 0, x 0. 2 1
运筹学课件 第二节 图解法
X2
5–
4–
l1 3B E
2D
(1/3 )x1+(4/3)x 2=3
l2 1
C
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡
x1
(1/3) x1+(1/3)x2=1
运筹学教程
第二个约束条件的边界 --
直线CD:
1/3x1+4/3 x2 =3
5–
4–
l1 3B 2D
(1/3)x1+(4/3)x2=3
运筹学教程
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面,只要 先画出该半平面的边 界,然后确定是哪个半平面 。
第一个约束条件 1/3 x1+1/3 x2 ? 1
运筹学教程
令1/3 x1+1/3 x2 =1, 即直线AB。
1/3 x1+1/3 x2 ?1 所代表的半平面 的边界:
?? x1, x2 ? 0
0 x2=-2x1+Z
x1+x2=5 x1
运筹学教程
2.2线性规划求解的各种可能的结局
1、无穷多个最优解:将目标函数 max Z=x1+x2 2、无界解:可行域可伸展到无穷,导致目标函数增大到
无限。产生无界解的原因是由于在建立实际问题的数学 模型中遗漏某些必要的资源约束。 3、无解:不存在满足约束条件的可行域。
(1/3)x1+(1/3)x2=1
沿着箭头的方向平移目标函数等值线,使其达到
可行域中的最远点 E, E 点就是要求的最优点,它对应
的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组合,即生 产A产品等于 1,B产品等于 2能使两种产品的总利润
运筹:第二章
x12
x1x2
...
x1xn
2 f (x*)
H (X*)
x2x1
2 f (x*) x22
...
2 f (x*)
x2xn
...
... ... ...
2 f (x*) xnx1
2 f (x*) xnx2
...
2 f (x*) xn2
第二章: 无约束最优化方法
对于任意Z≠0 (即Z的元素不全为零), 若ZTHZ>0,则ZTHZ是正定的; 若ZTHZ≥0,则ZTHZ是半正定的; 若ZTHZ<0,则ZTHZ是负定的; 若ZTHZ≤0,则ZTHZ是半负定的。 若对某些Z≠0,ZTHZ>0,而另一些Z≠0,ZTHZ<0,则
第二章: 无约束最优化方法
同理,得到多元的函数f(x)最优性的必要和充分条件
定理2.1.1(一阶必要条件):若x* 为f(x)的局部极小点,且在x* 的某邻域内f(x)具有一阶连续偏导数,则g* =▽ f(x*)=0 (▽f(x*)为函 数f(x)在x*处的梯度)
证明:假设x* 为f(x)的局部极小点,g*≠0,则存在方向p ∈ Rn, 使pTg*<0,由微分学中值定理,对于任意α >0,存在α1∈(0, α),Байду номын сангаас得
设R是n维欧氏空间En上的某一开集,f(x)在R 上具有二阶连续偏导数,x* ∈ R,若 ▽ f(x*)=0, 且对任何非零向量Z ∈ En,有ZTH(x*)Z>0,则x* 为f(x)的严格局部极小点,H(x*)为f(x)在点x*处 的海赛(Hesse)矩阵。
第二章: 无约束最优化方法
2 f (x*) 2 f (x*) 2 f (x*)
工学第二讲运筹与优化
Part Six
动态规划是一种解决最优化问题的方法 主要思想是将一个问题分解成若干个子问题,然后逐步解决 适用于具有最优子结构和重叠子问题的问题 动态规划算法通常具有较高的时间复杂度和空间复杂度,但能够找到最优解
状态转移方程:描述状态之 间的转移关系
阶段划分:将问题划分为多 个阶段,每个阶段对应一个 状态
状态空间:所有可能的状态 组成的集合
状态转移矩阵:描述状态转 移关系的矩阵
动态规划算法:求解动态 规划问题的算法,如贪方程
初始化边界条件
逐步填充状态转移 表
计算最优解
路径规划:在物流、交通等领域,动态规划可以用于寻找最优路径
资源分配:在生产、管理等领域,动态规划可以用于资源分配,以实现最 优效益
动态规划:求解 多阶段决策问题, 如最短路径、资 源分配等
生产计划:优化生产计划以提 高生产效率和降低成本
物流配送:优化物流配送路径 以减少运输时间和成本
投资决策:优化投资决策以获 得最大收益
资源分配:优化资源分配以提 高资源利用率和降低浪费
Part Four
线性规划是一种数学优化方法,用于求解线性目标函数在满足一组线性约 束条件下的最优解。 线性规划的目标函数和约束条件都是线性的,即它们都是线性方程或线性 不等式。
投资决策:在金融、投资等领域,动态规划可以用于投资决策,以实现最 大收益
游戏策略:在电子游戏、体育比赛等领域,动态规划可以用于制定策略, 以实现最优结果
Part Seven
其目标是在可接受的时间内 找到问题的近似解
启发式算法是一种基于经验 或启发式规则的搜索算法
启发式算法通常用于解决 NP-hard问题
分支定界法:通过分支和定界来寻找最优解 割平面法:通过引入新的约束条件来缩小可行域 启发式算法:通过启发式规则来寻找近似最优解 遗传算法:通过模拟生物进化过程来寻找最优解 神经网络:通过模拟人脑神经网络来寻找最优解 模拟退火算法:通过模拟金属冷却过程来寻找最优解
运筹学_02_2
1 0 1 / 2 1 0 0 1 0 1 / 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 B1 E1B0 0 1 0 0 1 / 4 0 0 1 0 0 1 / 4
2. 对偶理论和灵敏度分析
2. 对偶理论和灵敏度分析
2. 2 改进单纯形法
(4)基变换计算
将新的基
P3 , P4 , P2 单位矩阵。计算:
0 1 0 1/ 2 0 1/ 4
1 1/ 2 2 P2 0 1 0 ;构构 E1 0 0 1/ 4 4 主元素
a
(1) 22
为主元素,进行变换
(1) (1) a12 / a22 (1) 1/ a22 (1) P2 2 (1) (1) am 2 / a22
然后构造含有 2 列, 而其他列都是单位列的 矩阵
(1) (1) 1 a12 / a22 0 (1) 1 / a22 0 0 E2 ( 1 ) ( 1 ) 0 a / a 1 m2 22
基
B1 P3 , P4 , P2 ; X B1 x3 , x4 , x2 ;
T
基变量
非基变量
X N1 x1 , x5 ;
T
价值系数 C
CB1 ,CN1 ( 0,0,3 ),( 2 ,0 )
2. 对偶理论和灵敏度分析
2. 2 改进单纯形法
第 2步 :
T
第3步 从新的基,基变量开始, 重复第1步的计算步骤.
2. 对偶理论和灵敏度分析
2. 2 改进单纯形法
计算非基变量检验数,检查检验数,确定换 入变量
数学建模第四章运筹与优化
4-1 线性规划模型(8)
• 线性规划的矩阵表示
2020/5/2
4-1 线性规划模型(9)
2020/5/2
4-1 线性规划模型(10)
2020/5/2
4-1 线性规划模型(11)
2020/5/2
4-1 线性规划模型(12) 3. 线性规划模型举例
2020/5/2
4-1 线性规划模型(13)
习法律,一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程,还广泛
阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作,并对他们的著述进行深
入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后 ,莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短 时期的数学,并获得了哲学硕士学位。
•
20岁时,莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年,他发表了第一
2020/5/2
4-1 线性规划模型(34)
2020/5/2
4-2 非线性规划模型(1)
2020/5/2
4-2 非线性规划模型(2)
2020/5/2
4-2 非线性规划模型(3)
2020/5/2
4-2 非线性规划模型(4)
2020/5/2
纳什1
• John Forbes Nash Jr. 小约翰·福布斯·纳什 性别:男 国籍:美国 出生日期:1928年6月13日
4-4 变分法模型(6)
2020/5/2
4-4 变分法模型(7)
2020/5/2
4-4 变分法模型(8)
2020/5/2
4-4 变分法模型(9)
2020/5/2
4-4 变分法模型(10)
2020/5/2
4-4 变分法模型(11)
运筹与决策之2线性规划
解:设按第i种方案下料的原材料为xi根
min Z = 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
x1 + 2x2 + x4 =100 2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100 xi 0 (i =1,…,5)
线性规划问题的导出
OR在企业管理的具体应用 例1、家具厂生产计划问题 例3、合理下料问题
线性规划概念和模型
2.1 线性规划的概念和模型
线性规划问题的导出
产品 A B 可用资源 木工 1 2 30 油漆工 3 2 60 搬运工 0 2 24 利润(¥) 40 50
如何建模?
例4、运输问题 某公司有三个分厂分别供应三个市场,具体生产能力和需求量如下表:
如何建模?
市场1 市场2 市场3 产量 工厂1 2 1 3 50 工厂2 2 2 4 30 工厂3 3 4 2 10 需求 40 15 35
线性规划模型的特点
一般式
max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Output (Projected Results) 最大利润
Mathematical Model (见下页)
x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1,x2 0
运筹与优化--动态规划.ppt
2.2. 动态 规划的基本思想和基本方程
最短路线有一个重要特性:如果L是允许策略集
合P中从始点A到终点E的最短路线,M是L中的一点,则
从M沿L到E的路是从M到E的最短路线.
寻找最短路线的方法,可以从最后一段开始,由后
向前逐步递推,求出各点到后一点的最短路线,最后求
得始点到终点的最短路线.所以,动态规划的方法是从
终点逐段向始点方向寻找最短路线的一种方法. 如图
所示:
行进方向
始点 1 2 3
n 终点
寻优途径
例1、最短路径问题
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
求从A到E的最短路径
D1
5
E
D2 2
2
A5
1
B1
12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A ( A,B2) B2 (B2,C1) C1 (C1,D1) D1
运筹学的基本名词解释是
运筹学的基本名词解释是运筹学的基本名词解释是?运筹学(Operations Research, 简称OR)是一门以科学方法解决决策问题、优化资源利用的学科。
它结合数学、统计学、计算机科学和工程学的方法和理论,利用模型构建、分析和优化技术,为实践中的决策问题提供定量分析和决策支持。
运筹学的基本名词解释包括:模型、优化、约束、线性规划、整数规划和动态规划等。
模型是运筹学的核心概念之一。
它是对决策问题的抽象描述,通过数学形式来表示问题中的各种元素之间的关系和约束条件。
模型可以是线性的,也可以是非线性的;可以是静态的,也可以是动态的。
通过建立适当的模型,可以将复杂的决策问题简化为数学形式,为进一步的分析和求解提供了基础。
优化是运筹学的重要任务之一。
它旨在寻找最佳决策或方案,使得特定的目标函数达到最优值。
优化方法可以帮助解决多种问题,如资源分配、生产计划、物流调度等。
通过数学优化技术,可以在给定的约束条件下,找到使目标函数最大或最小的决策变量值,从而优化资源利用效率。
约束是指限制决策变量取值范围的条件。
在运筹学中,决策问题通常受到一系列约束条件的限制,这些约束可能包括供应约束、需求约束、技术约束等。
约束条件的存在和合理处理对于问题的解决至关重要,它们限定了决策问题的可行解域,确保了求解的可行性和实际意义。
线性规划是最基本的运筹学方法之一。
它是运筹学研究的重要分支,通过建立线性数学模型,解决在一定资源限制下如何最大化或最小化某个目标函数的问题。
线性规划通常包含一系列线性约束条件,并通过线性规划算法求解出问题的最优解。
它在生产计划、库存管理、资源调度等领域具有广泛应用。
整数规划是线性规划的一种扩展形式。
它在目标函数和约束条件中引入整数变量,从而解决了某些问题中变量只能取整数值的情况。
整数规划在许多实际问题中起到重要作用,如项目调度、旅行商问题等。
求解整数规划问题更加困难,需要借助启发式算法等更高级的方法。
动态规划是一种求解多期决策过程的优化方法。
运筹与优化
2 2
2
22
例5:容器的设计问题
某公司专门生产储藏用容器,定货合同要求该公 司制造一种敞口的长方体容器,容积恰好为12立方米, 该容器的底必须为正方形,容器总重量不超过68公斤。 已知用作容器四壁的材料为每平方米10 元,重3公斤; 用作容器底的材料每平方米20元,重2公斤。试问制 造该容器所需的最小费用是多少?
i 1, 2
(2) 由于不同载体所装物品不一样,数学模型为
16
式中M为充分大的正数。从上式可知,当使用背包时 (y1=1,y2=0),式(b)和(d)是多余的;当使用旅行箱 时(y1=0,y2=1),式(a)和(c)是多余的。上式也可以 令:
y1 y, y2 1 y
同样可以讨论对于有 m 个条件互相排斥、有m(≤m、 ≥m)个条件起作用的情形。
x 21 x 22 x 23 100
x 11 x 21 50
x 12 x 22 70
x 13 x 23 40
x ij 0 , i 1, 2 , 3 , j 1, 2 , 3 ,
7
线性规划的数学模型 由 决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 约束条件Constraints 构成。称为三个要素。 怎样辨别一个模型是线性规划模型? 其特征是:
17
(1)右端常数是k个值中的一个时,类似式(3.2)的约束条件为
a
j 1
n
ij
xj
b
i 1
k
i
yi ,
k
yi 1
i 1
(2)对于m组条件中有k(≤m)组起作用时,类似式(3.3)的 约束条件写成 a x b My , y 1
运筹与优化模型资料整理
运筹与优化模型资料整理1.数学模型是可以详细地描述为对于现实世界的⼀个特定对象,为了⼀个特定的⽬的,根据特有的内在规律,作出⼀些必要的简化假设,运⽤适当的数学⼯具得到的⼀个数学结构。
(1)建模没有唯⼀正确的答案。
模型没有绝对的对与错,评价的唯⼀标准是实践检验。
(2)有不同的建模⽅法。
⽐较常见的是机理分析法、测试分析法、计算机模拟法等,要按照某种确定的准则在某⼀类模型中选出⼀个与数据拟合得最好的模型。
(3)模型与建模⽬的有关。
在建⽴数学模型之前要明确⽬的,对于同⼀个实际对象,建模的⽬的不同将导致建模时考虑的出发点和侧重点都不同,当然作出的模型就不同。
(4)模型具有可移植性。
模型是现实对象抽象化、理想化的产物,因此它并不为对象的所属领域所独有,它可以移植到其它领域,描述其它的实际问题。
(5)建模与建模者的灵性、经验和数学素质有关。
数学建模过程是有⼀定阶段性的。
我们对现实世界的问题进⾏分析、提炼,⽤数学语⾔做出描述,⽤数学⽅法进⾏分析、研究,最后回到现实世界,应⽤于解决、解释实际问题。
⼀般来讲,建模的流程可描述为:问题分析、数据处理、建⽴数学模型、模型分析与检验。
2. 港作拖轮费⽤数据处理(1)营运费⽤的综合分类。
(2)数据可⽐性处理。
(3)数据有效性处理。
3.为了把握模型的整体结构,我们所做的⼯作如下:a.找出与问题有关的各实体(对象)。
b.列出与每个实体有关的因素(属性)。
c.按建模⽬的描述出个实体之间的关系,根据合理的假设略去影响不⼤的实体。
d.将实体之间的关系⽤实体的因素表⽰出来,即建⽴数学关系式。
e.如果满⾜关系的解有多个,则应考虑合理的评价标准求出最优解。
f.对模型加以检验、分析和评价。
4. 设备更新问题的数学模型劣化数值法模型、最⼩平均成本法更新模型、最⼤总收益法、效益分析法、费⽤⽅程法更新模型、MAPI 法更新模型。
①T=sqrt(2k0/⼊)T为经济使⽤寿命k0为设备原值⼊为各种影响因素的费⽤低劣化增长速度③y(t)=y1(t)-y2(t)-k0分别为设备t年内的总收益函数、总收⼊函数、总维持费⽤函数5.最优价格模型为使利润U(P)达到最⼤,可令dU/dP=0,即可求得p*,p= p*时,DR/dP= Dc/dP,在数量经济学中,DR/dP称为边际收⼊,它是价格变动⼀个单位时,收⼊的改变量;Dc/dP是边际成本,他是价格变动⼀个单位时成本的改变量。
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Declaring Multiattribute Keys
A key declaration can also be another element in the list of elements of a CREATE TABLE statement. This form is essential if the key consists of more than one attribute.
2013-3-5 23
Declaring Single-Attribute Keys
Place PRIMARY KEY or UNIQUE after the type in the declaration of the attribute. Example: CREATE TABLE Beers ( name CHAR(20) UNIQUE, manf CHAR(20) );
DATE and TIME are types in SQL. The form of a date value is: DATE ’yyyy-mm-dd’
Example: DATE ’2010-03-03’ for Mar. 3, 2010.
2013-3-5
13
Times as Values
Effect of Defaults --- (1)
Suppose we insert the fact that Sally is a drinker, but we know neither her address nor her phone. An INSERT with a partial list of attributes makes the insertion possible: INSERT INTO Drinkers(name) VALUES(’Sally’);
2013-3-5
2
Relation schema
Relation schema complete description of structure of a relation. Relation schema = relation name and attribute list.
Optionally: types of attributes. Example: Beers(name, manf) or Beers(name: string, manf: string)
eg DECIMAL(6,2),0123.45
2013-3-5 11
Example: Create Table
CREATE TABLE Sells ( bar CHAR(20), beer VARCHAR(20), price REAL );
2013-3-5
12
Dates and Times
2013-3-5 18
Modifying Relation Schemas
How to change the schema of the table when it has many tuples in current instants? We can
Delete a relation Add a attribute Delete a attribute
Example: Beers(name, manf)
2013-3-5
6
Type of Tables
A table is a Stored relation A view is a “virtual table” = a relation defined in terms of the contents of other tables and views. Temporary table =constructed by sql processor, excute queries and data modifications, then thrown away and not stored.
2013-3-5 7
Defining a Database Schema
A database schema comprises declarations for the relations (“tables”) of the database. Several other kinds of elements also may appear in the database schema, including views, indexes, and triggers, which we’ll introduce later.
But SQL uses bags, while the relational model is a set-based model.
2013-3-5 5
Keys
A key for a relation is a set of attributes such that no two tuples can have the same values for all of their key attributes. Specified by underlining.
2013-3-5
10
DATA TYPES
BIT(n)= fixed-length string of n bits. BIT VARYING(n)=variable-length string of up to n bits. BOOLEAN,possible value :TRUE, FAULSE, UNKNOWN DECIMAL or NUMERIC (synonyms).
Instance = actual contents (tuples) of relations
2013-3-5 3
Database schema
Database = collection of relations. Database schema = set of all relation schemas in the database.
The form of a time value is: TIME ’hh:mm:ss’ with an optional decimal point and fractions of a second following.
Example: TIME ’15:30:02.5’ = two and a half seconds after 3:30PM.
The Relational Data Model
Tables Create schemas in SQL
2013-3-5
1
A Relation is a Table
Attributes (column headers) Tuples (rows)
name manf Winterbrew Pete’s Bud Lite Anheuser-Busch Beers
2013-3-5 21
Deleting Attributes
Remove an attribute from a relation schema by: ALTER TABLE <name> DROP <attribute>; Example: we don’t really need the liceቤተ መጻሕፍቲ ባይዱse attribute for bars: ALTER TABLE Bars DROP license;
2013-3-5
4
Why Relations?
Very simple model. Often matches how we think about data. Abstract model that underlies SQL, the most important database language today.
2013-3-5 8
Creating (Declaring) a Relation
Simplest form is: CREATE TABLE <name> ( <list of elements> );
2013-3-5
9
DATA TYPES
INT or INTEGER (synonyms). REAL or FLOAT (synonyms). CHAR(n ) = fixed-length string of n characters. VARCHAR(n ) = variable-length string of up to n characters.
2013-3-5 15
Example: Default Values
CREATE TABLE Drinkers ( name CHAR(30) PRIMARY KEY, addr CHAR(50) DEFAULT ’123 Sesame St.’, phone CHAR(16) );
2013-3-5 16
2013-3-5 22
Declaring Keys
An attribute or list of attributes may be declared PRIMARY KEY or UNIQUE. Either says the attribute(s) so declared functionally determine all the attributes of the relation schema. There are a few distinctions to be mentioned later.
2013-3-5 19
Delete Relations
To delete a relation: DROP TABLE <name>; Example: DROP TABLE Sells