格与布尔代数

然后说明(L, 是格 对任意a, 是格。 然后说明 ≼)是格。对任意 b ∈ L， ， *a)*b=a*b得 a*b≼a * * * * * * * * * 得 * ≼ 由(a*b)*b=a*(b*b)=a*b得 a*b≼b， * * * * * 得 * ≼ ， 所以a* 是 的下界； 所以 *b是{a, b}的下界； 的下界 设c是{a, b}的下界，则c ≼a, c ≼b, 即c =c*a, c =c*b, 是 的下界， * * 的下界 故c=c*c=(c*a)*(c*b)=(c*c)*(a*b)=c*(a*b), 即c ≼a*b * * * * * * * * * * 所以a* 是 的最大下界, 所以 *b是{a, b}的最大下界 即 的最大下界 a∧b = glb(a,b) = a*b ∧ * 类似地说明， ∨ 类似地说明，a∨b=lub(a, b)=a∘b ∘ 设a, b∈L, a≼b, 则a =a∗b, 由吸收律知 ∈ ≼ ∗ a∘b=(a∗b)∘b=b ∘ ∗ ∘
定理9.1.1 若( L, ≼ )是格，则其对偶偏序集 L, ≽ ) 是格， 定理 是格 则其对偶偏序集( 也是格。 也是格。 例如，由于 是格， 也是格， 例如，由于(P(S), ⊆)是格，所以 是格 所以(P(S), ⊇)也是格，并 也是格 且在格(P(S), ⊇)中，A∨B = A∩B, A∧B= A∪B。 且在格 中 ∨ ∩ ∧ ∪ 。 • 设( L, ≼ )是格，由于 的任意两个元素 a和 b均有 是格， 是格 由于L的任意两个元素 和 均有 唯一的最小上界和最大下界，因此“ 唯一的最小上界和最大下界，因此“∨”和“∧” 是格中的两个二元运算， 是格中的两个二元运算，所以格可以看作具有两 个二元运算“ 的代数系统。 个二元运算“∨”和“∧”的代数系统。
第九章 格与布尔代数
9.1 格的定义及性质
是一个偏序集， 定义 9.1.1 设 ( L, ≼ ) 是一个偏序集，若对于任意 {a,b}⊆L都有最小上界 ⊆ 都有最小上界lub(a,b)和最大下界 和最大下界glb(a,b), 都有最小上界 和最大下界 则称( 是格, 则称 L, ≼ )是格 记lub(a,b)为a∨b, glb(a,b)为a∧b. 是格 为 ∨ 为 ∧ 是集合， 的幂集合， 例9.1.1 设S是集合，P(S)是S的幂集合，则偏序集 是集合 是 的幂集合 (P(S), ⊆)是格。 是格。 是格 若A, B ⊆ S, 则lub(A, B)=A∪B, glb(A,B)=A∩B ∪ ∩ 即A∨B = A∪B, A∧B= A∩B ∨ ∪ ∧ ∩
是正整数集合，偏序“ 定义为： 例9.1.2 设Z+是正整数集合，偏序“≼”定义为： a ≼ b ⇔ a|b (a整除 。则(Z+, ≼)是格。 整除b)。 是格。 | 整除 是格 设a, b∈ Z+, 则lub(a,b)=lcm(a,b), 即a∨b=lcm(a,b), ∈ ∨ 同理, 同理 glb(a,b)=gcd(a,b), 即a∧b=gcd(a,b), ∧ 其中, 的最小公倍数; 其中 lcm(a,b)为a和b的最小公倍数 为 和 的最小公倍数 gcd(a,b)为a和b的最大公约数。 的最大公约数。 为 和 的最大公约数
试问图9.1.1所示的偏序集中哪些是格。 所示的偏序集中哪些是格。 例9.1.3 试问图 所示的偏序集中哪些是格
图9.1.1
• 全序集都是格。 全序集都是格。 • 群G的全体子群 的全体子群S(G)对于偏序 ⊆ 构成格。 对于偏序 构成格 的全体子群 对于
G; H∩K
• 群G的全体正规子群 的全体正规子群H(G)对于偏序 ⊆ 构成格。 对于偏序 构成格 的全体正规子群 对于 H, K 的最小上界 最小上界HK={ hk|h∈H, k∈K }, 最大下界 ∩K 最大下界H ∈ ∈ • 环R的全体理想 的全体理想I(R)对于偏序 ⊆ 构成格。 对于偏序 构成格 的全体理想 对于 I, J 的最小上界 最小上界I+J={ i+j|i∈I, j∈J } , 最大下界 ∩J 最大下界I ∈ ∈ • 线性空间 的全体子空间 线性空间V的全体子空间 的全体子空间S(V)对于偏序⊆ 构成格。 对于偏序 对于偏序⊆ 构成格
对任意a, ∈ ，由于*是幂等的，因此a * ， 对任意 b∈L，由于*是幂等的，因此 =a*a，于 是自反的。 是a ≼ a，故≼是自反的。 ， 如果a 如果 ≼ b 且 b ≼ a，则a = a*b 且 b = b*a，由于* ， * * ，由于* 是交换的，因此a=a*b=b*a=b，故≼是反对称的。 是交换的，因此a=a*b=b*a=b， 是反对称的。 如果a 如果 ≼ b, b ≼ c,则a=a*b，b=b*c，由于*是结合的， 则 * ， * ，由于*是结合的， 因此a=a*b=a*(b*c)=(a*b)*c=a*c，即a ≼ c，故≼是 因此 * * * * * * ， ， 传递的。 传递的。 所以(L, 是偏序集 是偏序集。 所以 ≼)是偏序集。
由a∨(b∨c)是{a, (b∨c)}的最小上界知 a≼a∨(b∨c), b∨c≼a∨(b∨c) ∨ ∨ 是 ∨ 的最小上界知 ≼ ∨ ∨ ∨ ≼ ∨ ∨ 的最小上界， 由传递性知: 而b∨c是{b, c}的最小上界，故b≼b∨c, c ≼b∨c, 再由传递性知 ∨ 是 的最小上界 ≼ ∨ ∨ b, c ≼a∨(b∨c)。所以 ∨(b∨c)是{a, b}的上界，而a∨b是{a, b}的 的上界， ∨ 是 ∨ ∨ 。所以a∨ ∨ 是 的上界 的 最小上界， 的上界， 最小上界，因此 a∨b≼a∨(b∨c), 故a∨(b∨c)是{a∨b, c}的上界， ∨ ≼ ∨ ∨ ∨ ∨ 是 ∨ 的上界 的最小上界， 而(a∨b)∨c是{a∨b, c}的最小上界，于是 ∨b)∨c≼a∨(b∨c)；同 ∨ ∨ 是 ∨ 的最小上界 于是(a∨ ∨ ≼ ∨ ∨ ； 理，a∨(b∨c) ≼ (a∨b)∨c 故由反对称性知 ∨ ∨ ∨ ∨ 故由反对称性知: (a∨b)∨c=a∨(b∨c) ∨ ∨ ∨ ∨
定义9.1.2 设 (L, ∨, ∧)是一个代数系统，二元运 是一个代数系统， 定义 是一个代数系统 满足幂等律，交换律，结合律， 算“∨”和“∧” 满足幂等律，交换律，结合律， 吸收律，则称代数系统(L, 为格。 吸收律，则称代数系统 ∨, ∧)为格。 为格 是整数集合， 上定义二元运算“ 例9.1.4 设Z是整数集合，在Z上定义二元运算“∨” 是整数集合 上定义二元运算 如下： 和“∧”如下：对任意 x, y ∈ Z，x∨y =max{x,y}, ， ∨ x∧y = min{x, y}, 则(Z, ∨, ∧)是格。 是格。 ∧ 是格
是有两个运算的代数系统， 定理 9.1.3 设(L, ∘, ∗)是有两个运算的代数系统，并 是有两个运算的代数系统 且运算“ 满足幂等律，交换律， 且运算“∘”和“∗”满足幂等律，交换律，结合 吸收律，则可以在L上定义一个偏序关系 上定义一个偏序关系“ 律，吸收律，则可以在 上定义一个偏序关系“≼” 使得( 是格， 使得 L, ≼ )是格，并对任意 x, y∈ L, 有 是格 ∈ x ∘ y= x ∨ y，x ∗ y= x ∧ y ， 上定义关系“ 如下： 证. 在L上定义关系“≼”如下：a ≼ b ⇔ a = a ∗b 。 上定义关系 首先说明“ 首先说明“≼”是偏序关系
是格， 定理 9.1.2 设( L, ≼ )是格，则 是格 1．(1) a∨a = a， (2) a∧a = a 幂等律 ． ∨ ， ∧ 2．(1) a∨b=b∨a， (2) a∧b=b∧a 交换律 ． ∨ ∨ ， ∧ ∧ 3．(1) (a∨b)∨c=a∨(b∨c), (2) (a∧b)∧c=a∧(b∧c)结合律 ． ∨ ∨ ∨ ∨ ∧ ∧ ∧ ∧ 结合律 4．(1) a∨(a∧b)=a， (2) a∧(a∨b)=a 吸收律 ． ∨ ∧ ， ∧ ∨
只需验证“∨”和“∧”满足幂等律，交换律，结合律和 只需验证“ 满足幂等律，交换律， 吸收律
反之， 所以a≼ 。 反之，设a∘b=b，则 a∗b=a∗(a∘b)=a, 所以 ≼b。 ∘ ， ∗ ∗ ∘ 综合得： 综合得：a ≼ b ⇔ a ∘b=b。 。 由(a∘b)∘a = (a∘a)∘b = a ∘b 得 a ≼ a ∘b, ∘ ∘ ∘ ∘ 由(a∘b)∘b = a∘(b∘b) = a ∘b 得 b ≼ a ∘b, ∘ ∘ ∘ ∘ 所以a∘ 是 的上界； 所以 ∘b是{a, b}的上界； 的上界 的上界， 设c是{a, b}的上界，则 a≼c, b≼c, 即 a∘c =c, b∘c =c 是 的上界 ≼ ≼ ∘ ∘ 故c=c∘c=(a∘c)∘(b∘c)=(a∘b)∘(c∘c)=(a∘b)∘c, 即(a∘b)≼c ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ≼ 所以a∘ 是 的最小上界， 所以 ∘b是{a, b}的最小上界，即 的最小上界 a∨b = lub(a, b) = a∘b ∨ ∘