离散数学第十五章 格与布尔代数(简)

例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 否有最大元和最小元。
解：a)的最小元是a，无最大元。b)既无最大元也 无最小元。c)无最小元，最大元是d。d)的最小元 是a，最大元是d。
2.最小上界与最大下界 定义 设集合X上有一个偏序关系“≤”且设Y 是X的一个子集。 （1）如果存在一个元素x∈X，对每个y'∈Y 都有y'≤x，则称x是Y的上界(upper bound)；如果 均有x≤y'，则称x是Y的下界(lower bound)。 （2）如果x∈X是Y的上界且对每一个Y的上 界x'均有x≤x'，则称x是Y的最小上界（或上确界 LUB，least upper bound）；如果x∈X是Y的下 界且对每一个Y的下界x'均有x'≤x，则称x是Y的最 大下界（或下确界GLB，greatest lower bound ）
注意：并非每个偏序集都是格。如， 设A＝{2,3,6,8}, ―整除”关系R={‹2,2›,
‹2,6›, ‹2,8›, ‹3,3›, ‹3,6›, ‹6,6›, ‹8,8›}是A上的一
个偏序关系，则<A，R>是一个偏序集，但不
是格。因为23不存在，68也不存在。
例 确定下图中每个哈斯图表示的偏序集是 不是格。
定理15.1.8 设<L,≤>是有补分配格，对任意 a,bL，则 ① (a')'=a ② (ab)'=a'b' ③ (ab)'=a'b' 后两式称为格中德· 摩根律。
定理15.1.9 a,bL，有
设<L,≤>是有补分配格，对任意
a≤bab'=0 a'b=1 格同态，格直积等概念可以接下来定义和研 究，但这里不打算这样做，因为如此进行会相对 较繁，而是将格作为一个代数结构而引入它们。
–
4．格是代数结构
前面我们已知，有补分配格是一个代数结构， 叫做布尔代数；反之，由代数结构也可以导出格。 定义15.1.7 设<L,,>是一代数结构，其中 和是L上满足交换律、结合律和吸收律的二元运 算，且对任意a,bL，定义偏序关系≤如下： a≤bab=a 则<L,≤>是格，称<L,≤>为代数结构<L,,> 所诱导的偏序集确立的格。
显然盖住关系是唯一确定的, 盖住关系是“≤” 的子集。盖住关系的关系图称哈斯(Hasse)图, 它 实际上偏序关系是经过如下简化的关系图: 1. 省略关系图中的每个结点处的自环, 这是 因为偏序关系“≤”是自反的。 2. 若x<y且y盖住x, 将代表y的结点放在代表x 的结点之上, 并在x与y之间连线, 省去有向边的箭 头, 使其成为无向边。
若L是有限集合，称<L,≤>为有限格。
显然，对于ab，有： ①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下界。 ②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和b 的最大下界。 对于ab，有： ①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。 ②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
且补元存在，则其补元是唯一的。
定义15.1.5 设<L,≤>是格，若L中每个元素至 少有一补元，则称<L,≤>为有补格。 由于补元的定义是在有界格中给出的，可知， 有补格一定是有界格。 定义15.1.6 若一格既是有补又是分配的，则 称该格为有补分配格，或布尔格，或布尔代数。
定理15.1.7 设<L,≤>是有补分配格，若任意 元素aL，则a的补元a'是唯一的。 该定理15.1.6的直接推论，因为有补分配格当 然是有界分配格。 由于有补分配格中，每个元素a都有唯一的补 元a'，因此可在L上定义一个一元运算—补运算 “ ' ‖。这样，有补分配格可看作具有两个二元运 算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为布 尔代数，记为<B,,,',0,1>，其中B=L。
② <B,,>是分配格，满足
(D-1) a(bc)=(ab)(ac)，
a(bc)=(ab)(ac) （分配律）
(D-2) (ab=ac)∧(ab=ac)b=c (可约律) (D-3) (ab)(bc)(ca)=(ab)(bc)(ca)
③ <B,,, ',0,1>是有界格，满足
根律）
（德· 摩
(CD-2) a≤ba'b=1ab'=0b'≤a' 注意，上述公式并非都是独立的，可从中选 出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公 式，而且可以用基本公式定义布尔代数。
定义15.2.1 设<B,,, '>是一代数结构，其中 和是B上的二元运算，'是B上的一元运算。 0,1B。若对任意a,bB，有
15.2 布尔代数
前已指出，布尔代数是有补分配格，常记为 <B,,, ',0,1>。对任意a,b,cB，有
① <B,,>是格，且≤为B上由或所定义 的偏序关系，满足 (L-1) ab=LUB{a,b}， ab=GLB{a,b} (L-2) a≤bab=bab=a (L-3) aa=a， aa=a （等幂律） (L-4) ab=ba， ab=ba （交换律） (L-5) (ab)c=a(bc)， (ab)c=a(bc) （结合律） (L-6) a(ab)=a，a(ab)=a （吸收律）
解： 在a)和c)中的哈斯图表示的偏序集是格。因为每个偏序 集中每对元素都有最小上界和最大下界。 b)所示的哈斯图的偏序集不是格，例如元素b和c没有最 小上界。只要注意到d,e,f中每一个都是上界，但这3个元素 的任何一个关于这个偏序集中的序都不小于其它两个。
格的对偶性原理是成立的： 令<L,≤>是偏序集，且<L,≥>是其对偶的偏序 集。若<L,≤>是格，则<L,≥>也是格，反之亦然。 这是因为，对于L中任意a和b，<L,≤>中LUB{a,b}
<L,≤>中的并运算正是格<L,≥>中的交运算。
因此，给出关于格一般性质的任何有效命题，把
关系≤换成≥（或者≥换成≤），交换成并，并换成 交，可得到另一个有效命题，这就是关于格的对 偶性原理。
–
2．格的基本性质
定理15.1.1 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 ① ab=ba≤b ② ab=aa≤b
若x<y 但y不盖住x, 则省去x与y之间的连线。
例 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 24}, 偏序 关系是A上的整除关系“≤”, 画出偏序集<A, ≤> 的哈斯图。 我们先画出关系图。 注意图中，并没有 画出所有关系，否 则画面更显凌乱。 按照哈斯图的画法， 去掉一部分，结果 如左图。
③ ab=aab=b
亦即 a≤bab=bab=a
定理15.1.2 设<L,≤>是格，对任意a,bL，有 ① aa=a, bb=b （等幂律）
② ab=ba,
ab=ba
（交换律）
（结合律）
③ a(bc)=(ab)c, ④ a(ab)=a,
a(bc)=(ab)c （吸收律）
15.1 格(lattice)
–
1．格作为偏序集
定义15.1.1 设<L,≤>是一个偏序集，若对任 意a,bL，存在 最大下界(GLB)和最小上界(LUB)， 则称<L,≤>为格。 用ab表示GLB{a,b}，ab表示LUB{a,b}， 并称和分别为L上的交（或积）和并（或和） 运算。这样我们由偏序关系定义了两种二元运算。
例 以下是偏序集<P(X)， >的哈斯图。
{a,b} {a} {a,b} {a} {b} {a} ø ø (a) X={a}时 (b) X={a,b} ø (c) X={a,b,c} {b} {c} {a,c} {b,c} {a,b,c}
利用哈斯图，可以很方便的解决我们在学习 偏序集中的一些问题： 例 偏序集<S,≤>，其中 S={2,4,5,10,12,20,25}，≤ 是整除关系，求此偏序集 的极大元和极小元。 解：作出哈斯图，从图中 看出，12,20和25是极大 元，2和5是极小元。
定义15.1.4 设<L,≤>是有界格，对于aL，存 在bL，使得 ab=0，ab=1 称b为a的补元，记为a'。 由定义可知，若b是a的补元，则a也是b的补 元，即a与b互为补元。 显然，0'=1和1'=0。 一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯 一，也可能无补元。
定理15.1.6 设<L,≤>是有界分配格，若aL，
等同于<L,≥>中GLB {a,b}，<L,≤>中GLB{a,b}等
同于<L,≥>中的LUB{a,b}。若L是有限集，这些性 质易从偏序集及其对偶的哈斯图得到验证。
从上讨论中，可知两格互为对偶。互为对偶 的两个<L,≤>和<L,≥>有着密切关系，即格<L,≤>
中交运算正是格<L,≥>中的并运算，而格
a(ab)=a
定理15.1.3
设<L,≤>是格，对任意a,b,cL，
有
①若a≤b和c≤d，则ac≤bd，ac≤bd。
②若a≤b，则ac≤bc，ac≤bc。
③c≤a和c≤b c≤ab
④a≤c和b≤c ab≤c
定理15.1.4
有
设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，
a(bc)≤(ab)(ac)
定理15.1.5 设<L,≤>是有限格，其中 L={a1,a2,·,an}，则<L,≤>是有界格。 · ·
定义15.1.3 有
设<L,≤>是格，对任意的a,b,cL，
① a(bc)=(ab)(ac) ② a(bc)=(ab)(ac) 则称<L,≤>为分配格，称①和②为格中分配 律。
(ab)(ac)≤a(bc) 通常称上二式为格中分配不等式。
–
3．特殊的格
定义15.1.2 设<L,≤>是格，若L中有最大元和 最小元，则称<L,≤>为有界格。由于最大元存在必 唯一，故一般把格中最大元记为1，最小元记为0。 由定义可知，对任意aL，有 ① 0≤a≤1 ② a0=0, a0=a ③ a1=a, a1=1 由此可知，0是<L,≤>关于的零元，关于的 幺元；1是<L,≤>关于的幺元，关于的零元
第十五章 格与布尔代数
15.1 格 – 15.2 布尔代数
–
在介绍格之前，对于我们在前面学过的偏序， 我们要补充两个内容： 1. 哈斯图 2. 最小上界与最大下界
1.哈斯图
为了更清楚地描述偏序集合中元素间的层次 关系, 也为了更快、更有效地画出偏序关系的简化 图, 下面介绍“盖住”的概念。
定义 在偏序集<A, ≤>中, 对x, yA, x≤y且x y, 且 A中无任何其它元素z, 满足x≤z且z≤y, 称y盖 住x, 或称x是y的直接前趋, y是x的直接后继。盖住 关系记作cov(A) = {(x, y) | x, yA且y盖住x}。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合， ≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
因为x，y∈Sn， xy就是x，y的最小公
倍数，xy是x，y的最大公约数。
例 幂集P(A)上的包含关系定义了一个 偏序关系，P(A)中任意两个元素x，y，有
xy =x∪y
xy =x∩y
因此，<P(A), >是一个格。
(B-1) 0≤a≤1
(B-2) a0=a，aa=a （幺律）
(B-3) a1=1，a0=0
（零律）
④ <B,,, ',0,1>是有补格，满足
(C-1) aa'=1，aa'=0
(C-2) 1'=0，0'=1
（互补律）ห้องสมุดไป่ตู้
⑤ <B,,, ',0,1>是有补分配格，满足
(CD-1) (ab)'=a'a'，(ab)'=a'b'
例：找出下图所示哈斯图的偏序集的子集 {a,b,c},{j,h}和{a,c,d f}的下界和上界。
解： {a,b,c}的上界是e,f,j,h，它唯 一的下界是a。 {j,h}没有上界，它的下界是 a,b,c,d,e,f。 {a,c,d f}的上界是f,h,j，它的 下界是a。
例 在上图所示偏序集中，如果{b,d,g}的最 大下界和最小上界存在，求出这个最大下界和最 小上界。 解： {b,d,g}的上界是g,h，故它的 最小上界是g。 {b,d,g}的下界是a,b，故它的 最大下界是b。