离散数学第十五章格与布尔代数(简)

离散数学中的布尔函数和布尔代数

离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它在计算机科学等领域扮演着重要的角色。

布尔函数和布尔代数是离散数学中的重要概念之一，它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。

布尔函数是一种将布尔域上的值映射为布尔域上的值的函数。

布尔域上的值只有两个：真和假。

布尔函数的输入和输出都是布尔值。

布尔函数可以通过真值表、函数表达式或者逻辑电路图表示。

常见的布尔运算有与运算、或运算、非运算等。

布尔函数可以定义在不同的布尔变量上，而布尔变量可以取真或假两个值。

通过组合不同的布尔运算，可以构造出复杂的布尔函数。

布尔代数是研究布尔函数性质和运算规则的代数系统。

布尔代数的基本操作有与运算、或运算、非运算等。

与运算、或运算和非运算是布尔函数的基本运算，在布尔代数中具有特殊的性质。

例如，与运算满足交换律、结合律和分配律；或运算满足交换律、结合律和分配律；非运算满足德摩根定律。

布尔代数还有很多其他的运算规则，如吸收律、零元律、幂等律等。

这些运算规则可以用来简化布尔函数，使其更加简洁明了。

布尔函数和布尔代数在逻辑电路设计中起着重要的作用。

逻辑电路是一种基础的电子电路，用来完成逻辑运算。

布尔函数可以用来描述逻辑电路的功能，布尔代数可以用来简化逻辑电路。

通过布尔函数和布尔代数可以设计出各种复杂的逻辑电路，如逻辑门、多路选择器、时序电路等。

逻辑电路在计算机硬件中广泛应用，是计算机工作的基础。

因此，研究布尔函数和布尔代数不仅有助于理解离散数学的基本概念，也对计算机科学和工程领域有着重要的实际意义。

此外，布尔函数和布尔代数在计算机编程中也具有重要的应用。

计算机程序是一系列指令的集合，通过执行这些指令实现特定的功能。

布尔函数可以用来描述程序中的条件和逻辑关系，判断某个条件是否成立，从而确定程序的执行路径。

布尔代数可以用来简化程序的逻辑表达式，使程序更加高效和可读。

在编程语言中，布尔变量和布尔运算是基础数据类型和基本运算符之一，它们与布尔函数和布尔代数密切相关。

离散数学中的代数系统和布尔代数

离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。

代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。

代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。

它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。

代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。

其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。

布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。

在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。

布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。

布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。

与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。

这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。

布尔代数的运算有很多有趣的性质。

比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。

这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。

布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。

在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。

布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。

总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。

代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。

布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。

离散数学中的布尔代数应用

离散数学中的布尔代数应用离散数学是数学中的一个分支，它研究离散化的对象和运算符，并不依赖于连续性或可测度性的概念。

而布尔代数是离散数学中的重要内容之一，它是以数学逻辑为基础，研究由命题变量和逻辑运算符组成的代数系统。

布尔代数在离散数学中扮演着重要的角色，并在现实生活中有广泛的应用。

一、基础概念布尔代数以数学逻辑为基础，由命题变量和逻辑运算符构成。

命题变量可以取两个值：真或假，用1或0表示。

逻辑运算符包括非（NOT）、与（AND）、或（OR）等几种基本运算。

以布尔代数的符号形式表示，可以用符号表达式来表示命题逻辑。

符号表达式由命题变量、基本命题和逻辑运算符组成。

通过运算符的组合，可以得到复合命题。

在离散数学中，布尔代数的应用广泛，如在电路设计、计算机科学、人工智能等领域都有重要的应用。

二、应用领域1. 电路设计在电路设计中，布尔代数被广泛应用于逻辑电路的设计和分析。

逻辑门是电子电路中最基本的构建单元，通过不同的逻辑门的组合可以实现各种逻辑功能。

逻辑门可以表示为布尔代数中的逻辑运算符，通过对输入信号进行逻辑运算，得到输出信号。

例如，与门（AND gate）可以实现两个输入信号的与运算，输出为1当且仅当两个输入信号都为1；或门（OR gate）可以实现两个输入信号的或运算，输出为1当且仅当至少一个输入信号为1。

通过对逻辑门的组合与连接，可以实现复杂的逻辑功能，如加法器、多路选择器等。

2. 计算机科学在计算机科学中，布尔代数是计算机逻辑和数字电路设计的基础。

计算机内部的大部分操作都是通过逻辑门的组合实现的。

计算机的数据存储、运算和控制等功能都离不开布尔代数的运算。

例如，计算机的加法器可以使用逻辑门实现。

在二进制加法中，每一位的相加可以看作是两个输入信号的异或运算，而进位可以看作是两个输入信号的与运算。

通过逻辑门的组合，可以实现多位二进制数的加法。

3. 人工智能在人工智能领域，布尔代数被应用于逻辑推理和知识表示等方面。

离散数学格与布尔代数共89页

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学格与布尔代数
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。

第5篇ch15格与布尔代数

设对任意的a,bA1, a1bf(a)2f(b)
设 a∧1b=c，则 c1a, c1b ，
于是 f(a∧1b)=f (c) ,f(c)2f(a) , f(c)2f(b)
故有 f(c)2f(a)∧2f(b)
令则
ff((ac))∧22ff((db))=,ff((dd))2f(a) , f(d)2f(b)
所以 b∧c=b∧c∧b∧c (a∨b)∧(a∨c) (2)
再对(1)式和(2)式应用定理15-1.2得 a∨(b∧c) (a∨b)∧(a∨c)
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的a,bA,
都有： ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
故有 d1a ，d1b，于是 d1a∧1b ，即 d1c，
所以 f(d)2f(c)
因此 f(d)=f(c) 即 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)
类似地可证： f(a∨1b)=f(a)∨2 f(b) 格同构证毕。
15-2 分配格
定义15-2.1 设<A,∨,∧> 是由格<A, >是所诱导的
代数系统。如果对任意的a,b,c A，满足： a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)
则称< A, > 是分配格。
例1：集合：S={a,b,c}
格： <(S), > 代数系统： <(S), ∪,∩> 结论：<(S), > 是一个分配格。
例2：不是分配格的例子。例3：利用两个“特殊五元素非分配格”的结论。
定理15-2.1 如果在一个分配格中交运算对于并运算可分配，则并运算对于交运算也一定是可分配的。反之亦然。

《离散数学》课程教学大纲

《离散数学》课程教学大纲课程编号：06082002 适用专业：计算机科学与技术学时数：60学分数：4 开课学期：第 2 学期先修课程：线性代数、高级语言程序设计(C语言)执笔者：傅彦、顾小丰、刘启和、王庆先、王丽杰编写日期：2011.03 审核人（教学副院长）：周世杰一、课程性质和目标（用小四号黑体字）授课对象：本科生课程类别：学科基础课教学目标（本课程对实现培养目标的作用；学生通过学习该课程后，在思想、知识、能力和素质等方面应达到的目标）：离散数学是一门理论兼实际应用的综合性学科，即具有严备的理论基础，又具备应用科学的特点。

它是计算机科学和其他应用科学的基础理论课。

在课堂教学中，不仅要求学生掌握离散数学具体内容，更重要的是强调离散数学课程的思想，特别是离散数学中逻辑的概念可以说是贯穿到整个教学中；通过课后实验，学生不仅能够加深对离散数学知识的进一步理解，而且还可以从实验中提高自己的实践动手能力和编程能力，最关键的是提高学生学习离散数学的兴趣和了解离散数学与其他课程之间的关系。

通过本课程学习，培养和训练学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理的能力，使学生了解离散数学在计算机学科和日常生活中的作用，为学生今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事物和科研项目，从事计算机科学和应用打下坚实基础，特别是对那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，更是一门必不可少的基础理论工具。

二、课程内容安排和要求（用小四号黑体字）（一）教学内容、要求及教学方法（用五号宋体加粗）第1章集合论 2学时掌握：集合的基本概念（集合的概念及表示、集合与元素的关系、集合与集合的关系、几个特殊的集合）、集合的运算。

理解：集合的应用。

了解：粗糙集简介（粗糙集合研究现状、知识与知识库、粗糙集的基本概念、成员关系，粗相等和粗包含）（本部分自学）。

教学方法：问题＋实例的讲授式教学方法第2章计数问题 2学时理解：基本原理（乘法原理、加法原理）、排列与组合（排列问题、组合问题）、容斥原理与鸽笼原理了解：递归关系、离散概率简介、计数问题的应用。

离散数学-格和布尔代数

的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出以子集为背景。历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代数。格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统，布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)，其中和均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中和是 L 上的两个二元运算，对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。

离散数学布尔代数

一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数，如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|，即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)

离散数学格与布尔代数

6
<S15,|>,
2
2019/10/12
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)

e d
c b
a (b)

f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)

a
b
(d)

e
c
d
a
b
(e)

2019/10/12
§7.1 格
例设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
Input A B Cin
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
Output S Cout
00 10 10 01 10 01 01 11
S A BCin A BCin A BCin A BCin
Cout A B Cin A B Cin A B Cin A B Cin
§7.2 格——代数系统
证〈L，≤〉为要求的格
a，b∈L，（a * b）* a ＝ a*（a * b）＝（a * a）*b＝a*b，
故a*b≤a，
L3
L1
同理a*b≤b，因此a*b是｛a，b｝的下界，
又设c是｛a，b｝的任一下界，即c≤a，c≤b，则a * c＝c，b * c＝c，于是（a * b）* c＝a *（b * c）＝a * c＝c，即c≤a * b，所以a * b是｛a，b｝的最大下界，即a * b＝inf｛a，b｝，

离散数学近世代数代数结构

第1节代数运算及其性质第2节代数结构的同态和同构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则

离散数学格的概念

其中 I+ 是正整数，D是整除关系，A={a,b,c} Sn ={n的所有因子}如：S6={1,2,3,6}、S12={1,2,3,4,6,12}、解：< I+ , D>是格
∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大下界等于a、b的最大公约数。
❖ 基本概念
< B2 , D >是否 < S30 , D >的子格?
30
6
30
10
6 15
2
3
10
15
1 ∨1 2 3 6 11236 22266
2
53
5
∧1 2 3 6
1
11111
21212
说明：
33636 66666
31133 61236
(1) 子格必是格。
运算∨和∧在B1上封闭，B1 S30 且B1 ≠Ø, ∴ < B1, D >是 < S30 , D >的子格；同理可证< B2 , D >是 < S30 , D >的子格
例：A={a, b, c }, < P(A) , > 所诱导的代数系统为？
< P(A),∪,∩>
❖ 基本概念
定义3:设<A,≤ >是一个格，由其所诱导的代数系统为 <A,∨,∧>。设BA且B ≠Ø ，如果运算∨和∧在B上封闭，则称<B,≤ > 是<A,≤ >的子格。
❖ 基本概念
例2：B1 = {1,2,3,6} ， B2 = {5,10,15,30} ，< B1, D >和
离散数学
❖ 格与布尔代数 1 格的概念

离散数学中的布尔代数知识点介绍

离散数学中的布尔代数知识点介绍离散数学是计算机科学和数学中的一个重要分支，而布尔代数则是离散数学中的一个基础概念。

布尔代数是一种逻辑推理和计算的数学体系，其基本概念和运算规则直接应用于计算机计算和逻辑设计中。

一、布尔代数的基本概念布尔代数有两个基本元素：命题和逻辑操作符。

命题是关于真（True）和假（False）的陈述，可以用字母或其他符号表示。

逻辑操作符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本运算符，用于对命题进行逻辑运算。

二、布尔代数的基本运算规则1. 与运算（AND）：只有当两个命题都为真时，与运算的结果才为真。

用符号“∧”表示，例如命题A∧B表示“命题A和命题B都为真”。

2. 或运算（OR）：只要两个命题中有一个为真，或运算的结果就为真。

用符号“∨”表示，例如命题A∨B表示“命题A或命题B为真”。

3. 非运算（NOT）：将命题的真值取反，即将真变为假，将假变为真。

用符号“¬”表示，例如¬A表示“命题A的取反”。

三、布尔代数的重要性布尔代数在计算机科学和逻辑设计中具有重要的应用。

布尔代数提供了一种形式化的工具，可以对逻辑关系和计算过程进行精确的描述和处理。

利用布尔代数的运算规则，可以进行逻辑推理、逻辑运算和逻辑设计。

布尔代数为计算机的基本运算提供了理论基础，是计算机科学不可或缺的一部分。

四、布尔代数的应用领域1. 逻辑电路设计：布尔代数的基本运算规则可以用于逻辑门电路的设计与分析。

逻辑门电路由与门、或门、非门等基本门电路组成，通过布尔代数的运算规则可以进行电路的优化和逻辑设计。

2. 程序设计与算法分析：布尔代数在程序设计和算法分析中具有重要地位。

利用布尔代数的运算规则，可以对程序的逻辑关系进行抽象和分析，确保程序的正确性和可靠性。

3. 数据库查询与管理：布尔代数可用于数据库查询和管理中的条件表达式构建。

通过布尔代数的运算规则，可以对数据库数据进行选择、过滤和计算，实现对数据的高效管理与查询。

离散数学布尔代数

离散数学布尔代数离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

简介离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研发工作奠定稳固的基础。

发展随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。

离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的颜色”。

第15章格与布尔代数PPT课件

2020/11/1413Fra bibliotek对偶原理
对于格<L, ≤ >的任何命题，将保联运算与保交运算分别换成对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算，将命题中的“ ≤ ”换成对偶格<L, ≥>中的 “≥”，得到的一个关于对偶格<L, ≥>中的命题，称这个命题为对偶命题。
容易证明，关于格<L, ≤ >的任何真命题，其对应的对偶命题在对偶格<L, ≥>中也是真命题，把这个原理称为对偶原理。
a ≤ b ac ≤ bc
（13）分配不等式：
a (b*c) ≤ (ab) * (ac)；
a* (bc)≥(a*b) (a*c)
2020（/111/144 ）模不等式：
17
定义15.2.3
设代数系统<L, , >是一个格，S L，若S满足：（1）S≠Φ；（2）运算和对子集S都是封闭的；则称<S, , >是<L, , >的子格，简称S是L的子格。
(j)中2元素子集{e, f}不存在最小上界，
(k)中2元素子集{a, b}不存在最大下界，
(l)中2元素子集{d, e}不存在最大下界。
2020/11/14
8
定义15.2.2
设<L, ∧, ∨>是具有两个二元运算的代数系统，如果运算∧和∨满足交换律、结合律和吸收律，则称<L, ∧, ∨>为格。把由代数系统定义的格称为代数格。
第15章格与布尔代数
1 偏序格与代数格
2 集合格的的表性示质方法 3 子格与格同态
4
布尔代数
2020/11/14
1
偏序格
比较右边两个哈斯图的不同？

离散数学布尔代数与逻辑

离散数学布尔代数与逻辑离散数学是数学的一个分支，研究离散的、离散的结构和离散的现象。

而布尔代数是离散数学的重要组成部分，是代数学中关于二元关系的理论。

同时，与布尔代数密切相关的是逻辑学，研究命题的真值、论证的正确性以及推理的方法。

一、布尔代数基础布尔代数是一种逻辑代数，它使用逻辑运算符号和变量，描述和分析命题逻辑关系。

在布尔代数中，变量只有两个取值，即真（用1表示）和假（用0表示）。

布尔代数的基本运算包括逻辑与、逻辑或和逻辑非。

逻辑与表示当且仅当两个变量都为真时，结果为真；逻辑或表示当至少有一个变量为真时，结果为真；逻辑非表示当某个变量为真时，结果为假，反之亦然。

在布尔代数中，可以使用真值表来描述和分析布尔函数的取值情况。

布尔函数是指由布尔代数运算符组成的表达式，它接受一个或多个输入变量，并产生一个输出变量。

布尔函数在逻辑电路设计、计算机科学、编程等领域中有广泛的应用。

通过真值表分析布尔函数的取值规律，可以优化逻辑电路的设计和布尔函数的运算。

二、逻辑学与命题逻辑逻辑学是研究推理和论证的科学，其中命题逻辑是逻辑学的一个重要分支。

命题逻辑的基本概念是命题，它是陈述句，可以被判断为真或假。

命题逻辑使用逻辑连接词和命题变量来组成复合命题，并通过逻辑运算符来描述复合命题之间的关系。

逻辑连接词包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、蕴涵和等价。

逻辑与表示两个命题同时为真时，复合命题为真；逻辑或表示两个命题至少有一个为真时，复合命题为真；逻辑非表示命题的否定，即真变为假，假变为真；蕴涵表示如果第一个命题为真，则第二个命题为真，否则为假；等价表示两个命题具有相同的真值。

逻辑学通过推理规则和推理方法来分析和判断复合命题的真假。

其中包括代入规则、假言推理、拒取否定、双重否定等推理规则。

通过应用这些推理规则，可以推导出逻辑上正确的结论，并解决实际问题中的逻辑推理和决策问题。

三、离散数学中的应用离散数学是计算机科学和信息技术的基础学科，广泛应用于计算机算法、数据结构、数据库、图论等领域。

布尔代数

任何有限布尔代数的基数为2n, n是自然数。

设B是有限代数系统，A是B中所有原子的集合。则：B≅P(A), ∴|B|=|P(A)|=2|A|
等势的布尔代数系统均同构

设B1和B2是有限布尔代数，且|B1|=|B2|；A1,A2分别是相应的原子的集合。由同构关系的传递性，只需证明： P(A1)≅P(A2)。
则称ϕ是B1到B2的同态映射。(若ϕ是双射，则是同构)

其实，上述3个等式不是独立的。

(2)+(3)⇒(1): ϕ(a∨b)=ϕ(((a∨b)')')= -ϕ((a∨b)')= -ϕ(a'∧ b')= -(ϕ(a')⋂ϕ(b'))= -(-ϕ(a)⋂-ϕ(b))=ϕ(a)⋃ϕ(b) 同理：(1)+(3)⇒(2)
有限布尔代数的表示定理的证明

ϕ: B → P(A), ∀x∈B, ϕ(x)=T(x)是同态映射。

ϕ(x∧y) = T(x∧y) = {b|b∈A, b≼x∧y} = {b|(b∈A, b≼x)且 (b∈A, b≼y)} = {b|b∈A,b≼x}⋂{b|b∈A,b≼y} = T(x)⋂T(y) = ϕ(x)⋂ϕ(y) 令x=a1 ∨ a2 ∨ … ∨ an , y=b1 ∨ b2 ∨ … ∨ bm 。则x ∨ y= a1 ∨ … ∨ an ∨ b1 ∨ … ∨ bm , 显然：ϕ(x∨y) = T(x∨y) = T(x)⋃T(y) = ϕ(x) ⋃ ϕ(y) 设x'是x在B中的补元。注意： ϕ(x)⋃ϕ(x')=ϕ(x ∨ x')=ϕ(1)=A 且 ϕ(x)⋂ϕ(x')=ϕ(x ∧ x')=ϕ(0)=∅ ∴ϕ(x') = ∼ϕ(x)