高中数学北师大版选修2-1课时作业：2.2.1 空间向量的加减法 Word版含解析

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高中数学选修2-1 北师大版空间向量的运算课时作业(含答案)

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a²b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】由a²b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a²b ＝±|a ||b |.故a²b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图227所示，已知三棱锥O ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图227A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23³12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12B ．14C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)²(e 1－2e 2)＝0.又e 1⊥e 2，∴e 1²e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2，∴4λ－8＝0，∴λ＝2.【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) 【导学号：32550026】 A. 2B ． 3 C. 5 D ．7 【解析】依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a²b ＝5＋4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3. 【答案】 B5.如图228所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )图228A.12B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →²BC →＝OA →²(OC →－OB →)＝OA →²OC →－OA →²OB →＝|OA →|²|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|²|OB →|²cos〈OA →，OB →〉又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →²BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.【答案】 D二、填空题6．如图229，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图229【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )．【答案】 12(a ＋b ＋c ) 7.如图2210，在45°的二面角αl β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．。

2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章空间向量

[学习目标] 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.利用向量知识解决立体几何中一些简单的问题.知识点一空间向量的加法设a 和b 是空间两个向量，如图，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，则平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b . 知识点二空间向量的减法a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量. 知识点三空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ). (2)交换律：a ＋b ＝b ＋a . 知识点四数乘的定义空间向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作λa . (1)|λa |＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (3)交换律：λa ＝a λ(λ∈R ).(4)分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ∈R ，μ∈R ). (5)结合律：(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R ). 知识点五定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 思考 (1)实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义是什么？ (2)实数与空间向量可以相加、相减吗？答案 (1)λ>0时，λa 和a 方向相同；λ<0时，λa 和a 方向相反；λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍.(2)不能.因为向量既有大小又有方向.题型一空间向量的加减运算例1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A.①②B.②③C.③④D.①④ 答案 A解析 (1)A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； (2)BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；(3)AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；(4)B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. 反思与感悟运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号).①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. 答案 ①②③④解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.题型二空间向量的数乘运算例2 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋12b ＋c )＋(a ＋12c )＝32a ＋12b ＋32c . 反思与感悟用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.解 (1)∵P 是CA ′的中点，∴AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c ). (2)∵M 是CD ′的中点，∴AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12(a ＋2b ＋c ). (3)∵N 是C ′D ′的中点，∴AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c . (4)∵CQ ∶QA ′＝4∶1，∴AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AC →＋45AA ′→＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c . 题型三向量共线问题例3 如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，则CE →与MN →是否共线？解方法一 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.①又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，②①＋②得2MN →＝CE →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线.方法二 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AF →)－12AC →＝12(AB →＋AF →)－12(AB →＋AD →) ＝12(AF →－AD →)＝12(BE →－BC →)＝12CE →. ∴MN →∥CE →，即MN →与CE →共线.反思与感悟判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .跟踪训练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由.解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2) ＝5(e 1＋e 2)，∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点， ∴A 、B 、D 三点共线.1.设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则( ) A.a ＝b ＝0 B.λ＝μ＝0 C.λ＝0，b ＝0 D.μ＝0，a ＝0答案 B解析 ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴只有B 正确.2.设空间中四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t <1，则有( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的延长线上 C.点P 在线段BA 的延长线上 D.点P 不一定在直线AB 上答案 A解析 ∵0<t <1，∴点P 在线段AB 上.3.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B.－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－23a ＋12b ＋12c .4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .5.如图，在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示). 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1.空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算.。

高二选修2-1北师大版：第二章_空间向量与立体几何_§2_空间向量的运算(一)_word版有答案

§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一空间向量的加减法及运算律思考下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论．空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2，且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →，即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2，故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0，又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断解设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案 A解析由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A. 3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 C解析由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案－12解析若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线，则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA →考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 A解析如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 B解析连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 D解析设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 A解析已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案 0解析连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案重心解析因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点空间向量的数乘运算题点空间向量共面定理及应用证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]．∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0.∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式，可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0，解得λ＝－1，μ＝3.。

【金版优课】高中数学北师大版选修2-1课时作业：2.2.2 空间向量的数乘 Word版含解析

第二章 §2 课时作业12一、选择题1．若a 、b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a 、b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a 、b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )解析：当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．答案：D2．已知向量c 、d 不共线，设向量a ＝k c ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：∵c 、d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.∵a 与b 共线， ∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即k c ＋d ＝λ(c －k 2d )，整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝01＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1.故选C. 答案：C3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面解析：OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →) ∴AP →＝2PB →＋3PC →∴向量AP →，PB →，PC →共线．又因它们有公共点P ，且A 、B 、C 三点不共线，∴必有P 、A 、B 、C 共面．答案：B4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →. ∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．答案：C 二、填空题5．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为__________．解析：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，则DF →＝32DE →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.答案：06．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝__________.解析：P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．答案：－27．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为__________．解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在唯一实数k ，使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)． ∴(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0. 又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0. 答案：0三、解答题8．如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，请判断EF →与AD →＋BC →是否共线．解：设AC 的中点为G ，连接EG 、FG . ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.∴EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)，即EF →与AD →＋BC →共线．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．证明：法一：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．法二：连接A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连接FG 、BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG . ∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →、B 1C →、EF →都与平面A 1BD 平行． ∴A 1B →、B 1C →、EF →共面．。

高中学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算2.2.1空间向量的加、减法及数乘运算课件北师大版选修2_1

一
算满足平行四边形法则和三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
一
二
三
思考辨析
【做一做 1】如图,在正方体 ABCD-A1B 1C1D 1 中,��=a,��=b,��1 =c,则��1 ��等于( )
解析:因为sin2α+cos2α=1,故选B. 答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)不论λ取什么实数,λa与a一定共线. ( √ ) (2)若λa=0,则必有λ=0. ( × ) (3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( × )
A.a+b+c C.a-b-c
B.a+b-c D.-a+b+c
解析:��1 �� = ��1 �� + �� = ��1 �� + �� + �� = �� − �� − ��1 =a-b-c. 答案:C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:
①(�� + �� )+��1 = �� + ��1 = ��1 ; ②(��1 + ��1 ��1 )+��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 ; ③(�� + ��1 )+��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 ; ④(��1 + ��1 ��1 )+��1 ��1 = ��1 + ��1 ��1 = ��1 .

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.(28张ppt)

D1
AB 1 B 1C 1 C 1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2AD1 BD1 xAC1
(3)
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.( 28张pp t)【精品】
ACAB1 AD1 xAC1
C B
18
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.(28张ppt)【精品】求满足下列各式的x的值。
平面向量
概念定义表示法相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法加法:三角形法则或减法平行四边形法则数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 abba 算加法结合律律 (ab)ca(bc)
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
5
D A
b
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
加法交换律 abba
成立吗？加法结合律
数乘分配律
k(ab)ka＋kb
10
加法结合律： (ab)ca(bc)
O
a
A
b B
C
c
O
a
b+c
C
A
b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
11
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n

北师大版高中数学选修2-1课件：2.2空间向量的运算

作平行四边形，则 A C
§2 空间向量的运算
上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则.
4
2.向量减法法则:
O
B
导
a b
.
a
A
两个向量起点相同，则两个向量的差就是连
接两向量终点，指向被减向量终点的向量. 注意: (1)起点相同. (2)由减向量的终点指向被减向量的终点. (3)向量的差仍是向量. 同起点，连终点，指向被减.
[解析]
1 → → 1→ → 1 → → → → (1)EF· BA＝2BD· BA＝2|BD|· |BA|cos〈BD，BA〉＝2
1 ×1×1×cos60° ＝4. 1 → → → → → → (2)EF· BD＝2|BD|· |BD|cos〈BD，BD〉 1 1 ＝2×1×1×cos0° ＝2. 1→ → 1 → 1 → → → → → (3) EF · DC ＝ 2 BD · DC ＝ 2 | BD |· | DC |cos 〈 BD ， DC 〉＝ 2 1 ×1×1×cos120° ＝－4.
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a· b＋b· c＋c· a)＝0，
∴a· b＋b· c＋c· a＝－32＋12＋42 ＝－13.
2
§2 空间向量的运算
14
第二章——
学习目标：
1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义. 2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理. 3.掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.
4.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
1.向量加法：三角形法则

高中数学选修2-1 北师大版空间向量的运算作业(含答案)

1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标运算都类似于平面内向量的这些坐标运算，要类比记忆与理解．2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体建立空间直角坐标系的规律．3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．4．cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |是计算空间各种角的基础，但应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的取值范围．————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级基础夯实]1．已知空间中两点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，则向量AB →的坐标为( )A ．(2,0，－3)B ．(－2，－1,3)C ．(0,1,5)D ．(－2，－1,5)解析：AB →＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)．答案：B2．如果三个点A (1,5，－2)、B (2,4,1)、C (a,3，b ＋2)在一条直线上，那么( )A ．a ＝3，b ＝－3B ．a ＝6，b ＝－1C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1解析：AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)．因为A 、B 、C 三点共线，即AB →与AC →共线，所以有a －11＝－2－1＝b ＋43，解得a ＝3，b ＝2. 答案：C3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1B.15C.35D.75解析：k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，若(k a ＋b )⊥(2a －b )，则3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75. 答案：D4．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．解析：由a ＝(2,4，x )，得|a |＝22＋42＋x 2＝6，所以x ＝±4.又a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，所以x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3. 答案：－3或15．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(2a －3b )·(a ＋2b )＝________，cos 〈a ，b 〉＝________，向量a 在向量b 方向上的投影为________．解析：2a －3b ＝((2×4－3×6)，(2×(－2)－3×(－3))，(2×(－4)－3×2))＝(－10,5，－14)，a ＋2b ＝((4＋2×6)，(－2＋2×(－3))，(－4＋2×2))＝(16，－8,0)．∴(2a －3b )·(a ＋2b )＝－10×16＋5×(－8)＋(－14)×0＝－200.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×242＋(－2)2＋(－4)2·62＋(－3)2＋22＝226×7＝1121. a ·b |b |＝a ·b |b |＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×262＋(－3)2＋22＝227. 答案：－200 1121 2276．已知a ＝(－2,0，－5)，b ＝(3,2，－1)，求下列各式的值：(1)a ·a ； (2)|b |；(3)(3a ＋2b )·(a －b )．解析：(1)a ·a ＝a 2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29.(2)|b |＝b 2＝32＋22＋(－1)2＝14.(3)解法一 3a ＋2b ＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a －b ＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，所以(3a ＋2b )·(a －b )＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60.解法二因为a ·b ＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1，所以(3a ＋2b )·(a －b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝3×29－(－1)－2×14＝60.[B 级能力提升]7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5解析：设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－45， ∴BD →＝(－4，95，125)． ∴|BD →|＝ (－4)2＋(95)2＋(125)2＝5. 答案：A8．已知空间中三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x,2，－4)，c ＝(－1，y,3)，若a ∥b ，b ⊥c ，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb (λ∈R )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx －2＝2λz ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1λ＝－1z ＝4.∴b ＝(－1,2，－4)．∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，∴(－1,2，－4)·(－1，y,3)＝1＋2y －12＝0，∴y ＝112. 答案：－1 1124 9．已知A (1,0,0)、B (0，－1,1)、O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．解析：OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)，。

北师版数学高二-选修2-1课时作业 2.2 空间向量的运算

§2 空间向量的运算课时目标 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线向量定理.3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，能用向量的数量积判断向量共线与垂直．1．空间向量的加法设a 和b 是空间两个向量，如图，过点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，则平行四边形的对角线OC 对应的__________就是a 与b 的和，记作________． 2．空间向量的减法a 与b 的差定义为__________，记作__________，其中－b 是b 的相反向量． 3．空间向量加减法的运算律(1)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________. (2)交换律：a ＋b ＝__________. 4．数乘的定义空间向量a 与实数λ的乘积是一个______________，记作________． (1)|λa |＝________.(2)当________时，λa 与a 方向相同；当________时，λa 与a 方向相反；当________时，λa ＝0.(3)交换律：λa ＝________(λ∈R )． (4)分配律：λ(a ＋b )＝__________. (λ＋μ)a ＝__________(λ∈R ，μ∈R )．(5)结合律：(λμ)a ＝__________(λ∈R ，μ∈R )．5．空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得____________． 6．空间向量的数量积：空间两个向量a 和b 的数量积是________，等于______________，记作__________．7．空间向量的数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝__________； (2)分配律：a ·(b ＋c )＝__________； (3)λ(a·b )＝____________ (λ∈R )． 8．利用空间向量的数量积得到的结论 (1)|a |＝____________； (2)a ⊥b ____________；(3)cos 〈a ，b 〉＝____________ (a ≠0，b ≠0)．一、选择题1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→2．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是( )A.AM →B.BM →C.CM →D.DM →3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →等于( )A.OB →B.OC →C.OD → D ．2OD → 4．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·CF →等于( ) A ．0 B.12 C ．－34 D ．－126.如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．在正四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝__________________(用a ，b ，c 表示)．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，|OB →|＝|OC →|，|AB →|＝|AC →|.求证：OA →⊥BC →. 11.如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD . 求证：C 1C →⊥BD →.能力提升12．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.已知在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°. (1)求AC ′的长(如图所示)； (2)求AC ′→与AC →的夹角的余弦值．1．空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的．2．空间两个向量a ，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉，这里〈a ，b 〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a ，b 〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a ⊥b a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b |a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．§2 空间向量的运算知识梳理 1．向量OC →a ＋b2．a ＋(－b ) a －b3．(1)a ＋(b ＋c ) (2)b ＋a4．向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ＝0 (3)a λ (4)λa ＋λb λa ＋μa (5)λ(μa ) 5．a ＝λb6．一个数 |a||b |cos 〈a ，b 〉 a·b 7．(1)b·a (2)a·b ＋a·c (3)(λa )·b8．(1)a·a (2)a·b ＝0 (3)a·b|a||b |作业设计 1．A[如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD 1→， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.] 2．A[如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]5．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫12AD →－AC → ＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2 ＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 6．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.]7.12a ＋14b ＋14c 解析如图，OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵|OB →|＝|OC →|，|AB →|＝|AC →|， |OA →|＝|OA →|，∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0， ∴OA →⊥BC →.11．证明设CD →＝a ，CB →＝b ， CC 1→＝c ，依题意，|a |＝|b |，又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ， CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b ＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0，所以C 1C →⊥BD →. 12.C [如图所示， S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－(cos 〈a ，b 〉)2 ＝12|a ||b | 1－(a ·b |a ||b |)2＝12|a ||b | |a |2|b |2－(a ·b )2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.]13．解 (1)∵AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴|AC ′→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC ′→|＝85.(2)设AC ′→与AC →的夹角为θ， ∵ABCD 是矩形， ∴|AC →|＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝|AC ′→|2＋|AC →|2－|CC ′→|22|AC ′→|·|AC →|＝85＋25－252·85·5＝8510.。

高中数学(北师大版选修2-1)配套课时作业第二章空间向量与立体几何 5.1-5.2 Word版含答案

§夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角课时目标理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题．会灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．．直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角，两直线的夹角范围是；两条异面直线夹角的范围是，其大小可以通过这两条异面直线的的夹角来求．若设两条异面直线的夹角为θ，它们的方向向量的夹角是φ，则有θ＝或θ＝.．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是，二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个面的的夹角求得，二面角和两平面法向量的夹角的关系是．一、选择题．若直线的方向向量与的方向向量的夹角是°，则与这两条异面直线所成的角等于()．°．°．°或°．以上均错．在棱长为的正方体—中，，分别为和的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为()．如果二面角α——β的平面角是锐角，点到α，β和棱的距离分别为，和，则二面角的大小为()．°或°．°或°．°或°．°或°．从点引三条射线、、，每两条夹角均为°，则二面角——的余弦值是()．在正方体—中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为()．长方体—中，＝＝，＝，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()题号答案二、填空题．若两个平面α，β的法向量分别是＝()，ν＝(－，)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是．．如图，已知正三棱柱—的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是．．已知三棱柱—的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为．三、解答题．长方体—中，＝，＝＝，，分别是面与面的中心，求异面直线与所成角的余弦值．。

高中数学北师大版选修2-1课时作业2.2.1 空间向量的加减法 Word版含解析

第二章§课时作业一、选择题．已知空间四边形，连接，，设，分别是，的中点，则－＋等于( ) ．．．．解析：－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋＝.答案：．已知正方体－的中心为，则在下列各结论中正确的结论共有( )①＋与＋是一对相反向量；②－与－是一对相反向量；③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；④－与－是一对相反向量．．个．个．个．个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：．设有四边形，为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形是( )．平行四边形．空间四边形．等腰梯形．矩形解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且＝.∴四边形为平行四边形．答案：．如果向量、、满足＝＋，则( )．＝＋．＝－－．与同向．与同向解析：∵＝＋∴、、共线且点在之间，即与同向．答案：二、填空题．在直三棱柱－中，若＝，＝，＝，则＝(用，，表示)．解析：＝－＝－(＋)＝－＋－.答案：－＋－．在长方体－′′′′中，化简向量表达式－＋－结果是．解析：＋－(＋)＝－＝.答案：．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③＋＝；④－＝.其中一定不成立的是．解析：①＋＝恒成立；②－＝，故②不成立；③当、、方向相同时，有＋＝；④当、、共线且与、方向相反时，有－＝.故只有②一定不成立．答案：②三、解答题．如图，为平行四边形外一点，为平行四边形对角线的交点．求证：＋＋＋＝.证明：因为＝＋，＝＋，＝＋，＝＋，将以上四式相加，得＋＋＋＝＋＋＋＋.因为为平行四边形的中心，所以＋＝，＋＝，所以＋＋＋＝.．如图所示，在平行六面体－中，设＝，＝，＝，、、分别是、、的中点，试用、、表示以下各向量：()；()；().解：()∵是的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋.()∵是的中点，∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝－＋＋.()∵是的中点，。

高中数学选修2-1课时作业2：3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算一、基础达标1．下列命题中，假命题是() A．任意两个向量都是共面向量B．空间向量的加法运算满足交换律及结合律C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 [答案] D[解析] 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b[答案] B[解析] 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD→＝c －a －b . 3．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →等于( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )[答案] A [解析] 如图，∵OA→＝a ，OB →＝b ， ∴BO→＝－b ，OC →＝－a ， ∴BC→＝BO →＋OC →＝－b －a . 5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→[答案] A[解析] 如图所示，因为DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.6．对于空间中的非零向量AB→、BC →、AC →，有下列各式：①AB →＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是________． [答案] ②[解析] 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB→＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB→、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →共线且BC→与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|.只有②一定不成立．7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、B 1C 的中点．如何用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →？解 MN→＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD→与CB →B.OA→与OC → C.AC →与DB →D.DO→与OB → [答案] D[解析] ∵AB→＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO→＝OB →.∴应选D.9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________． [答案] －a ＋b －c[解析] A 1B →＝A 1A →＋AB → ＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a . 10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC →＋AB 1→＋AD 1→与向量AC 1→之间的关系是________．[答案] AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→[解析] ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，AC →＝AB →＋AD →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，AD 1→＝AD →＋AA 1→，∴AC →＋AB 1→＋AD 1→＝2AC 1→. 11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →. 解如图．DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B → ＝(DA →－DB →)＋(B 1C →－B 1B →)＋(A 1B 1→－A 1B →) ＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 12．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC→＋CB →＋12AA 1→； (3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→. 又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．三、探究与创新13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB→＋BC →＋CD →； (2)AB→＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 (1)AB→＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE→＝EC →，EF →＝GD →.∴AB→＋GD →＋EC → ＝AB→＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD→，AF→如图所示．。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第二章2 空间向量的运算 2 Word版含解析

[A.基础达标]1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以CB →＝－2AC →＝2CA →，所以OC →＋OB →＝2OA →，故OC →＝2OA →－OB →.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同解析：选A.因为n ＝1－m ，所以OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝mOA →＋OB →－mOB →，即OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，所以BP →＝mBA →，故选A.3．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC → B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上都不对解析：选B.若P ，A ，B ，C 四点共面，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)．因为13＋13＋13＝1，故选B.4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →＞0，BC →·CD →＞0，CD →·DA →＞0，DA →·AB →＞0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形解析：选D.因为AB →·BC →＞0，所以〈AB →，BC →〉为锐角，所以∠B 为钝角，同理可得∠C ，∠D ，∠A 均为钝角，则有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＞360°. 所以该四边形为空间四边形． 5.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B.令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝m (m ＞0)，a ·b＝b ·c ＝c ·a ＝0，EF →＝12(c －a )，BC 1→＝b ＋c ，又|EF →|＝22m ，|BC 1→|＝2m ，所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝12m 222m ·2m＝12，所以直线EF 和BC 1所成的角为60°.6．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：07．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝6(e 1＋e 2)，因为A 、B 、D 三点共线，可令AB →＝λBD →，即e 1＋k e 2＝6λ(e 1＋e 2)，又e 1，e 2不共线，故有⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝16λ＝k，所以k ＝1.答案：18．如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：149.如图所示，已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .证明：设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |.因为BD →＝CD →－CB →＝b －a ，所以BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0，所以CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD .10.如图所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解：因为M 、N 分别是AC 、BF 的中点，且四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，所以12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.所以CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)．所以CE →＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．[B.能力提升]1．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m ，n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能解析：选B.因为m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μm ·b ＝0，所以m ⊥n .2．下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；③若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点P 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①：AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，故①正确；对于②：当|a |<|b|时，|a ＋b |>0，而|a |－|b |<0，故②不正确；对于③：a 和b 共线，a 和b 所在直线平行或重合，故③不正确；对于④：若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，则P ，A ，B ，C 四点共面，故④不正确．3．已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，|a |＝|b |＝|c |＝1. AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c . |AC 1→|＝（a ＋b ＋c ）·（a ＋b ＋c ）＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3＋6cos 60°＝ 6.答案： 64.已知在空间四边形OABC 中(如图所示)，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则OC 和AB 所成的角为________．解析：由已知得 OA →⊥BC →，OB →⊥AC →，所以OA →·BC →＝0，OB →·AC →＝0，所以OA →·(OC →－OB →)＝0，OB →·(OC →－OA →)＝0，所以OA →·OC →＝OA →·OB →，OB →·OC →＝OB →·OA →，所以OA →·OC →－OB →·OC →＝0，(OA →－OB →)·OC →＝0，BA →·OC →＝0，所以OC →⊥AB →，即OC 和AB成90°角．答案：90°5．已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在面对角线AC ′上和棱BC 上分别取点M 和N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：(1)MN →与向量a 和c 共面； (2)MN ∥平面A ′AB .证明：(1)显然AM →＝kAC ′→＝k b ＋k c ，且AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (－a ＋b )＝(1－k )a ＋k b ，MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b－k b －k c ＝(1－k )a －k c .因此，MN →与向量a 和c 共面．(2)由(1)知MN →与向量a ，c 共面，a ，c 在平面A ′AB 内，而MN 不在平面A ′AB 内，所以MN ∥平面A ′AB .6．(选做题)如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点， (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ，则MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →－12PC → ＝12AB →＋AD →－12(P A →＋AD →＋DC →)＝12AB →＋AD →＋12AP →－12AD →－12AB →＝12(AD →＋AP →)＝12(b ＋c )，所以MN →·CD →＝12(b ＋c )·(－a )＝－12(a ·b ＋a ·c )，因为四边形ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，所以a ⊥b ，a ⊥c ，所以a ·b ＝a ·c ＝0，所以MN →·CD →＝0，所以MN →⊥CD →，故MN ⊥CD .(2)由(1)知，MN ⊥CD ，MN →＝12(b ＋c )，因为PD →＝AD →－AP →＝b －c ，所以MN →·PD →＝12(b ＋c )·(b －c )＝12(|b |2－|c |2)，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，所以P A ＝AD ，所以|b |＝|c |，所以MN →·PD →＝0，所以MN →⊥PD →，所以MN ⊥PD ，因为CD ，PD 平面PCD ，且CD ∩PD ＝D ，所以MN ⊥平面PCD .。

高中北师大版数学选修2-1学案：2.2 空间向量的运算含答案

§2空间向量的运算知识点一空间向量的加减法[填一填]→和(1)设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量OA→，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC OB→就是a与b的和，记作a＋b.对应的向量OC(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：①结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；②交换律a ＋b ＝b ＋a .[答一答]利用空间图形验证空间向量满足结合律．提示：如图所示，作OA→＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，则(a ＋b )＋c ＝(OA→＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →， a ＋(b ＋c )＝OA→＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．知识点二空间向量的数乘[填一填](1)空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa .满足： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下：①λa ＝a λ(λ∈R )；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ∈R ，μ∈R )； ③(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R )．(3)空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.[答一答]设e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，那么你能够得到什么结论？提示：λ＝μ＝0.(否则e1∥e2，与e1，e2不共线矛盾)知识点三空间向量的数量积[填一填](1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间两个向量a和b的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|·|b|cos〈a，b〉，记作a·b.(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律．①交换律：a·b＝b·a；②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论：①|a|②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)．(4)对于任意一个非零向量a，我们把a|a|叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向．[答一答]三个向量a，b，c均不为0，则等式(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？提示：不成立，因a·b，b·c是一个数，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故它们不表示同一个向量．1．(1)在BA→＝OA →－OB →中，O 并不一定是原点，它可以是空间中的任意一点，也就是说对任意点O ，都有BA→＝OA →－OB →. (2)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．2．(1)关于空间向量的数乘应注意：①λa (λ∈R )仍为向量；②0·a ＝0；③λ·0＝0.(2)在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．3．关于空间向量的数量积的几个注意点：(1)两个空间向量的数量积是一个实数，要注意0·a ＝0(a 为任意向量)．(2)数量积不满足结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．(3)空间向量数量积的几个结论的作用：①用于对向量模的计算；②用于判断空间两个向量的垂直；③可以帮助我们求两个向量的夹角；④用于不等式的证明．4．向量中应该重视的问题：(1)空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合学过的代数运算律，而且很多性质与实数性质相同．(2)两个向量数量积的性质的作用： ①可以求两个向量的夹角； ②用于判断空间两个向量垂直； ③主要用于对向量模的计算．(3)利用向量解立体几何问题的一般方法：把角度或线段转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明解决问题．(4)用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决两点距离或线段长度问题，一般用向量的模；求异面直线的夹角问题，一般可化为两向量的夹角，但要注意两种角范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题，一般可化为向量的数量积为零．题型一空间向量的加法、减法【例1】已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO→＋yPQ →＋PD →. 【思路探究】要确定等式OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →中x ，y 的值，就是看OQ →怎样用PQ →，PC →，P A →来表示，同理要确定(2)中的x ，y 的值，也需把P A →用PO→，PQ →，PD →表示出来即可．【解】 (1)如图．∵OQ→＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →) ＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO→－2PQ →＋PD → ∴x ＝2，y ＝－2.规律方法注意下面结论：设a ，b ，c 是三个不共面的向量，如果x 1a ＋y 1b ＋z 1c ＝x 2a ＋y 2b ＋z 2c ，那么必有x 1＝x 2，y 1＝y 2，z 1＝z 2.如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x ，y ，z 的值：(1)AC′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. (2)EA→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. 解：(1)AC′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，又AC′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝1，y ＝1，z ＝1.(2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12(AB →＋AD →)＝12AD →＋12AB →＋AA ′→. 又EA →＝－AE →＝－12AD →－12AB →－AA ′→，EA →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝－12，y ＝－12，z ＝－1. 题型二空间向量的数乘【例2】如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH→与FG →为共线向量．【思路探究】要证EH →与FG →共线，根据共线向量定理只要证明EH →＝λFG→即可．【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.33＝23(CD →－CB →)＝23BD →. ∴BD →＝32FG →. ∴EH →＝34FG →. ∴EH→与FG →为共线向量．规律方法 (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a ＝λb ，从而得到a ∥b .(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．已知空间四边形ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：如图，连接BD ，解法1：∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，2＝12BD →.同理可得FG →＝12BD →，∴EH →＝FG →. 又点E 不在FG 上， ∴EH ∥FG 且EH ＝FG .∴四边形EFGH 为平行四边形．解法2：∵HG →＝HD →＋DG →＝12(AD →＋DC →)＝12AC →，EF →＝EB →＋BF →＝12(AB →＋BC →)＝12AC →，∴HG →＝EF →.又点H 不在EF 上，∴HG ∥EF 且HG ＝EF ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．题型三空间向量的数量积【例3】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E 为侧面AB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→； (3)EF →·FC 1→. 【思路探究】长方体的棱对应的向量模长已知，且它们之间的夹角已知，因此，可利用向量的线性运算，将其他向量的数量积运算转化为这些向量的数量积，从而达到简单运算的目的．【解】设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，a ·b＝a ·c ＝b ·c ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝12b ·c －12a ·b ＋b 2＝|b |2＝9.(2)BF →·AB 1→＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝a ·c ＋c 2－a 2－a ·c ＋12a ·b ＋12b ·c ＝c 2－a 2＝－12.(3)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝14b ·c －14a ·b ＋14b 2＋12a ·c －12a 2＋12a ·b ＝－12a 2＋14b 2＝－234.规律方法在空间图形中计算数量积的方法步骤： (1)在几何体中求空间向量数量积的步骤： ①将相关向量用已知模和夹角的向量线性表示；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等．如图，已知E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量A 1C 1→与DE →夹角的余弦值．解：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则A 1C 1→＝a ＋b ，DE →＝12a －c ，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0.设正方体的棱长为m ，则|A 1C 1→|＝2m ，|DE →|＝52m . ∵A 1C 1→·DE →＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12a －c ＝12|a |2－a ·c ＋12a ·b －b ·c ＝12m 2， ∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝12m22m ·52m ＝1010. 故向量A 1C 1→与DE →夹角的余弦值为1010.——多维探究—— 待定系数法用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四边形法则和三角形法则．【例4】已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM MC ＝21，N 为PD 中点，求满足MN→＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．【思路分析】结合图形，从向量MN→出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到目标向量用AB →，AD →，AP →表示出来，即可求出x ，y ，z 的值．【解】 (方法一)如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM→.∵EN →＝12CD →＝12BA → ＝－12AB →，EM →＝PM →－PE →＝23PC →－12PC →＝16PC →，连接AC ，则PC→＝AC →－AP →＝AB →＋AD →－AP →， ∴MN →＝－12AB →－16(AB →＋AD →－AP →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →， ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.(方法二)如图所示，在PD 上取一点F ，使F 分PD →所成的比为2，连接MF ，则MN→＝MF →＋FN →，而MF →＝23CD →＝－23AB →， FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →. ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16. (方法三)如图，MN →＝ PN →－PM → ＝12PD →－23PC →＝12(P A →＋AD →)－23(P A →＋AC →)＝－12AP →＋12AD →－23(－AP →＋AB →＋AD →) ＝－23AB →－16AD →＋16AP →， ∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.已知空间四边形OABC 的棱OA ，OB ，BC 互相垂直，OA ＝OB ＝BC ＝1，N 是OC 的中点，点M 在AB 上，若AMAB ＝x ，试探究x 的值，使MN ⊥AB .解：如图，由于AMAB ＝x ，则AM→＝xAB →. ∴OM→＝(1－x )OA →＋xOB →， ON →＝12OC →＝12(OB →＋BC →)，MN →＝ON →－OM →＝12OB →＋12BC →－(1－x )OA →－xOB → ＝(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →. 又AB→＝OB →－OA →，MN ⊥AB ， ∴MN →·AB→＝0，即[(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →]·(－OA →＋OB →)＝0. ∵OA →，OB →，BC →互相垂直且它们长度为1，从而求12－x ＋1－x ＝0，得x ＝34.1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( A )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→ 解析：DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→＋(BA →＋BC →)＝DD 1→＋BD →＝BD 1→. 2．设|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则(2a ＋b )2＝( D ) A ．2 3 B ．12 C ．2D ．4解析：(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2×cos120°＋4＝4. 3．已知非零向量a ，b 不平行，并且|a |＝|b |，则a ＋b 与a －b 之间的位置关系是垂直．解析：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．4．已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .证明：如图． ∵OB ＝OC ， AB ＝AC ，OA ＝OA . ∴△AOC ≌△AOB ， ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA→⊥BC →，即OA ⊥BC .。