【高三】黑龙江省牡丹江市2018届高三数学上学期期末考试试题理(含答案)

黑龙江省牡丹江市2018届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题5分，共60分） 1、若集合M,N,P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A ()S M N C P I I B ()M N P I U C ()M N P I I D ()S M N C P I U2、在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边的正方形，则这正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（ ）A14B13 C 427 D 12453、抛物线y x 24=的焦点为（ ） A ()1,0 B ()0,1 C 1,016⎛⎫⎪⎝⎭ D 10,16⎛⎫⎪⎝⎭4、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有 （ ）.A 24种B 16种C 12种D 10种5、已知复数()biZ b R i41+=∈-的实部为-1，则复数Z b -在复平面上对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限 D. 第四象限6、若直线y x b =+与曲线x =恰有一个公共点,则b 的取值范围是A ∈b 11,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ∈b 11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦或=b 25- C ∈b 11,44⎛⎤-⎥⎝⎦ D ∈b 11,44⎛⎤- ⎥⎝⎦或=b 25- 7、从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 （ ） A454B 31C 92D 918、将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）9、甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为32，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A31 B52 C 32 D5410、椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）C11、宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A 2B 3C 4D 512、将数字1,2,3,4，填入右侧的表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（ ）种 A 432 B 576 C 720 D 864 二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知nx2⎛- ⎝的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是 。

（用数字作答）14、已知双曲线C 的方程为y x a b22221-=，其上焦点为F ，过F 作斜率为2的直线与上支有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率的范围 。

15ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为60o，则球O 的表面积为__________．16、如图，已知抛物线的方程为()x py p 220=>，过点A （0,﹣1）作直线与抛物线相交于P ，Q 两点，点B 的坐标为（0,1），连接BP ，BQ ，设QB ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点．如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN 的大小等于三、解答题（12+12+12+12+12+10=70分） 17、（本小题满分12分）在C B A ABC 、、中，角∆所对的边分别为,c b a 、、且c b a <<，baA 23sin = （1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =c 及ABC ∆的面积.18、(本题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19. （本小题满分12分）如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2PB =，PB 与面PCD 成045角，PB 与面ABD 成030角.（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若 存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.20.(本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．A B 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E F 、两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 21(本题满分12分) 已知函数()f x ax ax x 212ln 2=-+有两个不同的极值点x x 12, 且2121>⋅x x ， (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设上述a 的取值范围为M ，若存在x 012⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使对任意a M ∈， 不等式()()()()f x a m a a 20ln 1112ln 2++>--++恒成立，求实数m 的取值范围．（22,23选作一题，10分） 22、在直角坐标系xOy 中, 过点)23,23(P 作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）求PNPM 11+ 的取值范围．23. 选修4-5：不等式选讲 已知a b ,为任意实数．（1）求证：()a ab b ab a b 42242264++≥+；（2）求函数()()()f x x a a b bx a b ab4224332162221=-+--+-+-的最小值．数学（理）参考答案答案2sin sin A B A =， 又0A π<< ，sin 0A ∴>，sin B ∴=， a b c << ，B C ∴<， 所以02B π<<，故3B π=.（Ⅱ）2a = ，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=解得3c =或1c =-（舍去），故3c =.所以11sin 2322ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 18、 （1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则32535023()196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=. 所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：∴()228234105E X =⨯+⨯+240247254241.85510⨯+⨯+⨯=.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元. 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元. 因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.19（Ⅰ）法一：要证明PC ⊥面ADE ，易知AD ⊥面PDC ，即得AD ⊥PC ，故只需0DE PC ⋅=即可，所以由()00||1DP PE PC DP PC PE PC PE +⋅=⇒⋅+⋅=⇒=,即存在点E 为PC 中点 …6分法二：建立如图所示的空间直角坐标系D －XYZ ， 由题意知PD ＝CD ＝1，CE =PE PB λ=，1)PE PB λλ∴==- ， (0,1,1)PC =-由()(0,1,1),,1)0PC DE PC DP PE λλ⋅=⋅+=-⋅-= ，得12λ=，即存在点E 为PC 中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知(0,0,0)D，A，11,)22E ， (0,0,1)PDA =，11,)22DE = ，1)PA =-，11,)22PE =- 设面ADE 的法向量为1111(,,)n x y z = ，面PAE 的法向量为2222(,,)n x y z =由的法向量为1100n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，1111011022y z =++=得1(0,1,1)n =-同理求得2n =所以1111cos ||||n n n n θ⋅==⋅故所求二面角P －AE －D. 20.解析：（1）由题意知：c e a =222222c a b e a a-===34，224a b =. 又圆222x y b +=与直线0x y -相切， 1b =，24a =，故所求椭圆C 的方程为2214y x +=.（4分） （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得： 22(4)4k x +=，………5分故21x x =-=．① ………6分又点E F ，到直线AB的距离分别为1h =，………7分2h =．AB =分所以四边形AEBF 的面积为 121()2S AB h h =+12==………10分===… 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，2k =. （12分） 21(Ⅰ)f ′(x )＝ax －2a ＋1x ＝ax 2－2ax ＋1x(x >0)．(1分)令f ′(x )＝0，则ax 2－2ax ＋1＝0.据题意，方程有两个不等正根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4a 2－4a >0，x 1x 2>12，(3分)即⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）>0，1a >12，解得1＜a ＜2. 故实数a 的取值范围是(1，2)．(4分)(Ⅱ)由ax 2－2ax ＋1>0，得a (x －1)2>a －1.即x <1－1－1a或x >1＋1－1a.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－1a 和⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－1a，＋∞上是增函数．因为1＜a ＜2，则1＋1－1a <1＋22，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 上是增函数． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2时，f (x )max ＝f (2)＝－2a ＋ln 2.(6分)据题意，当a ∈(1，2)时，f (x )max ＋ln(a ＋1)>m (a 2－1)－(a ＋1)＋2ln 2恒成立， 即－2a ＋ln 2＋ln(a ＋1)>m (a 2－1)－(a ＋1)＋2ln 2恒成立， 即ln(a ＋1)－ma 2－a ＋m ＋1－ln 2>0恒成立． 设g (a )＝ln(a ＋1)－ma 2－a ＋m ＋1－ln 2， 则g ′(a )＝1a ＋1－2ma －1＝－2am ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1＋12m a ＋1.(8分)(1)当m ≥0时，因为a ∈(1，2)，则g ′(a )<0，所以g (a )在(1，2)上是减函数． 此时，g (a )＜g (1)＝0，不合题意．(9分)(2)当m ＜0时，若1＋12m ≥－1，即m ≤－14，因为a ∈(1，2)，则a ＋1＋12m >0，g ′(a )>0，所以g (a )在(1，2)上是增函数. 此时，g (a )＞g (1)＝0，符合题意．(10分)若1＋12m <－1，即－14<m <0，则－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12m >1.当1<a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12m 时，a ＋1＋12m <0，则g ′(a )<0，所以g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12m 上是减函数. 此时，g (a )＜g (1)＝0，不合题意．综上分析，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(12分)22（Ⅰ）因为直线l 过点)23,23(P ，且与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,，所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）.（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）代入122=+y x ，得02)sin 3cos 3(2=+++t t αα ，由36)6sin(0>+⇒>∆πα，所以(]3,2)6sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM .23（1），因为，所以.（2）. 即.。