回归分析案例
相关和回归的有趣案例
相关和回归的有趣案例
相关和回归是统计学中的重要概念，用于探索变量之间的关系。
以下是一些有趣的相关和回归案例：
1. 身高和体重：这是一个常见的相关和回归的例子。
一般来说，身高和体重之间存在正相关关系，即身高越高的人通常体重也越重。
通过回归分析，我们可以更精确地预测一个人的体重，给定其身高。
2. 考试分数和努力学习：这是一个典型的线性回归的例子。
一般来说，考试分数和努力学习之间存在正相关关系，即努力学习的人通常考试分数也更高。
通过回归分析，我们可以预测一个人在考试中的表现，给定其努力学习的程度。
3. 股票价格和通货膨胀：股票价格和通货膨胀之间可能存在一定的关系。
当通货膨胀率上升时，股票价格可能会下跌，因为通货膨胀可能导致消费者购买力下降，从而降低对商品和服务的消费需求，进而影响公司的盈利和股票价格。
4. 气候变化和冰川融化：气候变化和冰川融化之间存在相关性。
全球气候变暖可能导致冰川融化，因为温度升高会导致冰川融化。
通过分析气候变化和冰川融化的数据，我们可以更好地了解全球气候变化的趋势和影响。
5. 广告投入和销售额：广告投入和销售额之间可能存在一定的关系。
一般来说，广告投入越多，销售额也可能越高。
通过回归分析，我们可以预测销售额，给定广告投入的金额。
这些案例表明，相关和回归分析可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，并为预测、决策提供有用的信息。
logistic回归分析案例
logistic回归分析案例Logistic回归分析案例。
Logistic回归分析是一种常用的统计分析方法，主要用于预测二分类或多分类的结果。
在实际应用中，Logistic回归分析可以帮助我们理解影响某一事件发生的因素，以及对事件发生的概率进行预测。
本文将通过一个实际的案例来介绍Logistic回归分析的应用。
案例背景。
假设我们是一家电商公司的数据分析师，现在我们需要分析用户的购买行为，并预测用户是否会购买某一产品。
我们收集了一些用户的个人信息和他们最近一次购买的产品，希望通过这些数据来预测用户是否会购买新产品。
数据准备。
首先，我们需要收集用户的个人信息和购买行为数据。
个人信息包括年龄、性别、职业等；购买行为数据包括购买的产品类型、购买时间等。
在收集完数据后，我们需要对数据进行清洗和预处理，包括缺失值处理、异常值处理等。
模型建立。
在数据准备完成后，我们可以开始建立Logistic回归模型。
首先，我们需要将数据划分为训练集和测试集，以便对模型进行验证。
然后，我们可以利用训练集来拟合Logistic回归模型，并利用测试集来评估模型的预测效果。
模型评估。
在模型建立完成后，我们需要对模型进行评估。
常用的评估指标包括准确率、精确率、召回率等。
这些指标可以帮助我们判断模型的预测效果，并对模型进行调优。
模型应用。
最后，我们可以利用建立好的Logistic回归模型来预测用户是否会购买新产品。
通过输入用户的个人信息和购买行为数据，模型可以给出用户购买新产品的概率，从而帮助我们进行精准营销和推广。
结论。
通过以上实例，我们可以看到Logistic回归分析在预测用户购买行为方面具有很好的应用价值。
通过收集用户数据、建立模型、评估模型和应用模型，我们可以更好地理解用户行为，并做出更精准的预测和决策。
总结。
Logistic回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们预测二分类或多分类的结果。
在实际应用中，我们可以根据具体情况收集数据、建立模型，并利用模型进行预测和决策。
回归经典案例
回归经典案例
回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
以下是一个经典的回归分析案例：
假设我们有一个数据集，其中包含一个人的身高（height）和体重（weight）信息。
我们想要研究身高和体重之间的关系，以便预测一个人
的体重。
1. 首先，我们使用散点图来可视化身高和体重之间的关系。
从散点图中可以看出，身高和体重之间存在一定的正相关关系，即随着身高的增加，体重也会增加。
2. 接下来，我们使用线性回归模型来拟合数据。
线性回归模型假设身高和体重之间的关系可以用一条直线来表示，即 y = ax + b。
其中，y 是体重，x 是身高，a 和 b 是模型参数。
3. 我们使用最小二乘法来估计模型参数 a 和 b。
最小二乘法是一种优化方法，它通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来估计模型参数。
4. 拟合模型后，我们可以使用回归方程来预测一个人的体重。
例如，如果我们知道一个人的身高为米，我们可以使用回归方程来计算他的体重。
5. 最后，我们可以使用残差图来检查模型的拟合效果。
残差图显示了实际值与预测值之间的差异。
如果模型拟合得好，那么残差应该随机分布在零周围。
这个案例是一个简单的线性回归分析案例。
在实际应用中，回归分析可以应用于更复杂的问题，例如预测股票价格、预测疾病发病率等。
回归分析数据案例
回归分析数据案例回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，在实际情况中有很多可以应用回归分析的案例。
下面以一个销售数据案例为例，详细介绍回归分析的应用。
某电商公司想要分析广告费用与销售额之间的关系，以便确定是否需要增加广告投入来提高销售额。
公司收集了一年的数据，包括每月的广告费用和销售额。
公司使用回归分析来研究广告费用和销售额之间的关系。
首先，需要确定自变量和因变量。
在这个案例中，广告费用是自变量，销售额是因变量。
然后，利用回归模型拟合数据，得到回归方程。
假设回归方程为：销售额= β0+ β1 * 广告费用其中，β0 是截距，表示在广告费用为 0 时的销售额；β1 是斜率，表示每单位广告费用对销售额的影响。
通过计算回归方程的参数，可以得到具体的值。
接下来，用实际数据计算回归方程的参数。
假设公司收集了一年的数据，总共 12 个月的广告费用和销售额。
通过回归分析软件，可以计算得到β0 和β1 的估计值。
假设计算结果为β0= 1000，表示当广告费用为 0 时，销售额约为 1000；β1 = 2，表示每多投入 1 单位的广告费用，销售额约增加 2。
通过计算回归方程的参数，可以预测未来的销售额。
假设公司计划增加下个月的广告费用为 5000，可以利用回归方程计算出销售额的预测值。
根据回归方程：销售额 = 1000 + 2 * 5000 = 11000预测出下个月的销售额为 11000。
公司还可以利用回归方程来评估广告费用对销售额的影响。
根据回归方程的斜率β1，可以计算出每单位广告费用对销售额的影响。
在这个案例中，β1=2，说明每多投入 1 单位的广告费用，销售额平均增加 2。
通过回归分析，公司可以了解广告费用和销售额之间的关系，判断是否需要增加广告投入来提高销售额。
如果回归方程的斜率显著大于 0，说明广告费用对销售额有显著的正向影响，公司可以考虑增加广告投入。
如果回归方程的斜率接近 0 或者小于 0，说明广告费用对销售额的影响较小或者负面，公司就需要重新评估广告策略。
回归分析实验案例数据
回归分析实验案例数据引言：回归分析是一种常用的统计方法，用于探索一个或多个自变量对一个因变量的影响程度。
在实际应用中，回归分析有很多种，例如简单线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
本文将介绍一个回归分析实验案例，并分析其中的数据。
案例背景：一家汽车制造公司对汽车的油耗进行研究。
他们收集了一些汽车的相关数据，并希望通过回归分析来探究这些数据之间的关系。
数据收集：为了进行回归分析，他们收集了以下数据：1. 汽车型号：不同汽车型号的标识符。
2. 汽车价格：每辆汽车的价格，单位为美元。
3. 汽车速度：以每小时英里的速度来衡量。
4. 引擎大小：汽车引擎的容量大小，以升为单位。
5. 油耗：每加仑汽油行驶的英里数。
数据分析：通过对收集的数据进行回归分析，可以得出以下结论：1. 汽车价格与汽车引擎大小之间存在正相关关系。
即引擎越大，汽车价格越高。
2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。
即速度越高，油耗越大。
3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。
即引擎越大，油耗越大。
结论：基于以上分析结果，可以得出以下结论：1. 汽车价格受到引擎大小的影响，即引擎越大，汽车价格越高。
这一结论可以帮助汽车制造公司在制定价格策略时做出合理的决策。
2. 汽车速度与油耗之间呈现负相关。
这一结论可以帮助消费者在购买汽车时考虑速度对油耗的影响，从而选择更经济的汽车。
3. 汽车引擎大小与油耗之间存在正相关关系。
这一结论可以帮助汽车制造公司在设计引擎时考虑油耗因素，从而提高汽车的燃油效率。
总结：回归分析是一种有效的统计方法，可以用于探索数据间的关系。
通过对汽车制造公司收集的数据进行回归分析，我们发现了汽车价格、速度和引擎大小与油耗之间的关系。
这些分析结果对汽车制造公司制定价格策略、消费者购车以及提高燃油效率都具有重要的指导意义。
回归分析中的案例分析解读(Ⅲ)
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解和预测变量之间的关联性，对于数据分析和预测具有重要的作用。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们解决许多实际问题，比如市场营销、经济预测、医疗研究等领域。
在本文中，我将通过一些案例分析来解读回归分析在实际问题中的应用。
案例一：市场营销假设我们是一家电商平台，我们希望了解用户购买行为与广告投放之间的关系。
我们收集了每位用户的购买金额作为因变量，广告投放金额作为自变量，以及其他可能影响购买行为的因素，比如用户年龄、性别、地理位置等作为控制变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测用户购买金额与广告投放之间的关系。
通过这个模型，我们可以确定投放多少广告才能最大化用户购买金额，以及哪些因素对购买行为有显著的影响。
案例二：经济预测假设我们是一家投资公司，我们希望预测股票价格与宏观经济指标之间的关系。
我们收集了股票价格作为因变量，以及国内生产总值（GDP）、失业率、通货膨胀率等宏观经济指标作为自变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测股票价格与宏观经济指标之间的关系。
通过这个模型，我们可以了解哪些经济指标对股票价格有显著的影响，从而更好地进行投资决策。
案例三：医疗研究假设我们是一家医药公司，我们希望了解药物剂量与治疗效果之间的关系。
我们收集了药物剂量作为自变量，治疗效果作为因变量，以及患者的年龄、性别、疾病严重程度等因素作为控制变量。
通过回归分析，我们可以建立一个模型来预测药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过这个模型，我们可以确定最佳的药物剂量，从而更好地指导临床实践。
通过以上案例分析，我们可以看到回归分析在实际问题中的广泛应用。
它不仅可以帮助我们理解变量之间的关系，还可以帮助我们预测未来趋势和制定决策。
当然，回归分析也有一些局限性，比如对数据的假设要求较高，需要充分考虑自变量和因变量之间的因果关系等。
因此，在实际应用中，我们需要结合具体情况，慎重选择合适的回归模型，并进行充分的检验和验证。
回归分析实验案例数据1
实验课程案例数据1香烟消费数据：一个国家保险组织想要研究在美国所有50个州和哥伦比亚特区的香烟消费模式，表1给出了研究中所选的变量，表2给出了1970年的数据。
讨论下列问题：表1. 香烟消费数据的变量表2. 香烟消费数据（1970年）州年龄HS 收入黑人比例女性比例价格销量AL2741.3294826.251.742.789.8AK22.966.74644345.741.8121.3AZ26.358.13665350.838.5115.2AR29.139.9287818.351.538.8100.3CA28.162.64493750.839.7123CO26.263.93855350.731.1124.8CT29.1564917651.545.5120DE26.854.6452414.351.341.3155DC28.455.2507971.153.532.6200.4FL32.352.6373815.351.843.8123.6GA25.940.6335425.951.435.8109.9HI2561.9462314836.782.1ID26.459.532900.350.133.6102.4IL28.652.6450712.851.541.4124.8IN27.252.93772 6.951.332.2134.6IO28.8593751 1.251.438.5108.5KA28.759.93853 4.85138.9114KY27.538.531127.250.930.1155.8LA24.842.2309029.851.439.3115.9ME2854.733020.351.338.8128.5MD27.152.3430917.851.134.2123.5MA2958.54340 3.152.241124.3MI26.352.8418011.25139.2128.6MN26.857.638590.95140.1104.3MS25.141262636.851.637.593.4MO29.448.8378110.351.836.8121.3MT27.159.235000.35034.7111.2NB28.659.33789 2.751.234.7108.1NV27.865.24563 5.749.344189.5NH2857.637370.351.134.1265.7NJ30.152.5470110.851.641.7120.7NM23.955.23077 1.950.741.790NY30.352.7471211.952.241.7119NC26.538.5325222.25129.4172.4ND26.450.330860.449.538.993.8OH27.753.240209.151.538.1121.6OK29.451.63387 6.751.339.8108.4OR29603719 1.35129157PA30.750.2397185244.7107.3RI29.246.43959 2.750.940.2123.9SC24.837.8299030.550.934.3103.6SD27.453.331230.350.338.592.7TN28.141.8311915.851.641.699.8TX26.447.4360612.55142106.4UT23.167.332270.650.636.665.5VT26.857.134680.251.139.5122.6V A26.847.8371218.550.630.2124.3WA27.563.54053 2.150.340.396.7WV3041.63061 3.951.641.6114.5WI27.254.53812 2.950.940.2106.4WY27.262.938150.85034.4132.2(1)在销量关于6个自变量的回归模型中，检验假设“不需要女性比例这一变量”；(2)在上面的模型中，检验假设“不需要女性比例和HS这两个变量”；(3)计算收入变量回归系数的95%的置信区间；(4)去掉收入这个变量后拟合回归方程，其他变量对于销量的解释比例是多少？(5)用价格、年龄和收入作自变量拟合模型，它们对销量的解释比例是多少？(6)仅用收入作自变量拟合模型，它们对销量的解释比例是多少？(7)(8)【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】(9)(10)。
回归模型案例
案例一：城镇居民收入与支出关系一、研究的目的研究影响各地居民消费水平变动的原因。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较。
所以模型的被解释变量Y选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。
因此建立的是某年截面数据模型。
影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况” 、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。
因此这些其他因素可以不列入模型，即便它们对居民消费有某些影响也可归入随即扰动项中。
为了与“城市居民人均消费支出”相对应，选择在统计年鉴中可以获得的“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X。
作城市居民家庭平均每人每年消费支出（Y）和城市居民人均年可支配收入（X）的散点图，从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出（Y）和城市居民人均年可支配收入（X）大体呈现为线性关系，所以建立的计量经济模型为如下线性模型：Y =1 pX j U i三、估计参数仁建立工作文件首先，双击EViews图标，进入EViews主页。
回归分析中的案例分析解读(十)
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析常常用于预测、解释和控制变量。
本文将通过几个实际案例，对回归分析进行深入解读和分析。
案例一：销售数据分析某电商平台想要分析不同广告投放对销售额的影响，他们收集了一段时间内的广告投放数据和销售额数据。
为了进行分析，他们利用回归分析建立了一个模型，以广告费用作为自变量，销售额作为因变量。
通过回归分析，他们发现广告费用与销售额之间存在着显著的正相关关系，即广告费用的增加会带动销售额的增加。
通过该分析，电商平台可以更好地制定广告投放策略，优化营销预算，提高销售效益。
案例二：医疗数据分析一家医疗机构收集了一组患者的基本信息、生活习惯以及健康指标等数据，希望通过回归分析来探究生活习惯对健康指标的影响。
他们建立了一个回归模型，以吸烟、饮酒、饮食习惯等自变量，健康指标作为因变量。
通过回归分析，他们发现吸烟和饮酒对健康指标有负向影响，而良好的饮食习惯与健康指标呈正相关关系。
这些发现可以帮助医疗机构更好地进行健康干预和宣教，促进患者的健康改善。
案例三：金融数据分析一家金融机构收集了一段时间内的股票价格、市场指数等数据，希望通过回归分析来探究市场指数对股票价格的影响。
他们建立了一个回归模型，以市场指数作为自变量，股票价格作为因变量。
通过回归分析，他们发现市场指数与股票价格存在着较强的正相关关系，即市场指数的波动会对股票价格产生显著影响。
这些结果可以帮助金融机构更好地进行投资策略的制定和风险控制。
通过以上案例分析，我们可以看到回归分析在不同领域的应用。
回归分析不仅可以帮助人们理解变量之间的关系，还可以用于预测和控制变量。
在实际应用中，我们需要注意回归分析的假设条件、模型选择和结果解释等问题，以确保分析的准确性和可靠性。
在回归分析中，我们需要注意变量选择、模型拟合度和结果解释等问题。
另外，回归分析也有一些局限性，比如无法确定因果关系、对异常值敏感等问题。
回归分析数据案例
回归分析数据案例回归分析是一种常用的统计方法，用于探究变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们理解和预测变量之间的相互影响，为决策提供依据。
下面，我们通过一个实际的数据案例来介绍回归分析的应用。
案例背景：某公司想要了解员工的工作满意度与工作绩效之间的关系，以便更好地管理和激励员工。
为了达到这个目的，他们进行了一项调查，收集了员工的工作满意度得分和工作绩效得分。
数据收集：在这个案例中，我们收集了100名员工的工作满意度得分和工作绩效得分。
工作满意度得分是基于员工对工作的满意程度进行评分，分数范围为1-10分；工作绩效得分是基于员工在工作中的表现进行评分，分数范围为1-100分。
数据分析：为了探究工作满意度与工作绩效之间的关系，我们进行了回归分析。
首先，我们绘制了工作满意度得分和工作绩效得分的散点图，发现两者呈现一定的线性关系。
接下来，我们利用回归分析模型进行了拟合，得到了回归方程，Y = 0.8X + 20。
这个回归方程告诉我们，工作满意度每提高1分，工作绩效就会提高0.8分。
结论：通过回归分析，我们发现员工的工作满意度与工作绩效之间存在一定的正向关系，即工作满意度提高，工作绩效也会相应提高。
这为公司提供了重要的管理启示，他们可以通过提升员工的工作满意度来促进工作绩效的提升，从而实现组织的发展目标。
总结：回归分析是一种强大的工具，可以帮助我们理解变量之间的关系，为决策提供支持。
在实际应用中，我们需要收集准确的数据，进行严谨的分析，才能得出可靠的结论。
希望本文的案例分析能够帮助大家更好地理解回归分析的应用，为实际问题的解决提供参考。
通过以上案例分析，我们可以看到回归分析在实际工作中的应用价值。
希望这个案例能够帮助大家更好地理解回归分析的概念和方法，为实际问题的解决提供参考。
同时也提醒大家在进行回归分析时，要注意数据的准确性和分析方法的严谨性，才能得出可靠的结论。
感谢大家的阅读！。
案例一(回归分析)
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 p 值
回归分析 1
2805999928059999478.4294 3.26E-21
残差
33
1935458 58650.24
总计
34
29995457
表三 回归模型系数表
Coefficients 标准误差 t Stat P-value
研究思路
本案例拟运用逐步回归方法建立回归模型。在实际问题中, 人们总是希望从 对因变量 y 有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多元回归分析 的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。所谓“最优”回归 方程, 主要是指希望在回归方程中包含所有对因变量 y 影响显著的自变量而不 包含对 y 影响不显著的自变量的回归方程。逐步回归分析正是根据这种原则提出 来的一种回归分析方法。它的主要思路是在考虑的全部自变量中按其对 y 的作用 大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那 些对 y 作用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。另外, 己被引人回归方程 的变量在引入新变量后也可能失去重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。引人 一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的一步, 每一步都要 进行 F 检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对 y 影响显著的变量, 而 不显著的变量已被剔除。逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方 程的变量计算其偏回归平方和, 然后选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先 给定的 F 水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方 和都大于最小的一个更不需要剔除)。相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然 后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行 F 检验。将对 y 影响不 显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。接着再对未引人回归方程中的变量分 别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定 F 水平下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继
二分类logistic回归案例
二分类logistic回归案例
以下是一个二分类Logistic回归的案例：
假设我们正在研究肺癌的危险因素。
在这个案例中，因变量是是否患有肺癌（是或否），自变量可能包括性别、体重指数（BMI）、是否吸烟、年龄以及是否有慢性阻塞性肺病（COPD）病史等。
首先，我们需要收集数据，包括所有可能的影响因素以及是否患有肺癌的结果。
然后，我们进行数据清理和预处理，包括处理缺失值、异常值和编码问题。
接下来，我们进行单变量分析，单独考察每个自变量与因变量之间的关系。
例如，我们可以使用卡方检验来分析性别、吸烟状况、COPD病史等分类变量与肺癌的关系，使用t检验来分析年龄和BMI等连续变量与肺癌的关系。
根据单变量分析的结果，我们筛选出与肺癌有显著关系的变量，然后进行多因素分析。
在这个案例中，我们可以使用二分类Logistic回归模型来分析这些变量与肺癌的关系。
我们可以通过逐步回归、向前选择或向后删除等方法选择自变量进入模型。
在Logistic回归分析中，我们可以通过估计回归系数、似然比检验和AIC 等信息准则来评估模型的拟合优度和预测能力。
我们还可以使用交叉验证等技术来评估模型的泛化能力。
最后，我们解释结果并撰写研究报告或论文。
在解释结果时，我们需要考虑自变量之间的相互作用和多重共线性问题。
如果存在多重共线性问题，我们需要采取措施解决它，例如使用主成分分析或岭回归等方法。
总之，二分类Logistic回归是一种强大的统计工具，可以帮助我们了解分类结果与一组影响因素之间的关系，并预测新数据点的分类概率。
在案例研究中，我们需要注意数据预处理、变量选择和结果解释等方面的问题。
统计学案例——相关回归分析
《统计学》案例——相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。
通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。
经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。
2、数据的收集序号回流温度（℃）液化气收率（%）序号回流温度（℃）液化气收率（%）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1536 39 43 43 39 38 43 44 37 40 34 39 40 41 4413.1 12.8 11.3 11.4 12.3 12.5 11.1 10.8 13.1 11.9 13.6 12.2 12.2 11.8 11.116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3042 43 46 44 42 41 45 40 46 47 45 38 39 44 4512.3 11.9 10.9 10.4 11.5 12.5 11.1 11.1 11.1 10.8 10.5 12.1 12.5 11.5 10.9目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度和液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。
3.方法的确立设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y10ˆ+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。
因此，建立描述y 和x 之间关系的模型时，首选直线型是合理的。
从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为x y229.0263.21ˆ-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。
回归分析案例
身高 0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85 体重 101215172022354148505154596675Matlab 实现：h=[0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85]; m=[10 12 15 17 20 22 35 41 48 50 51 54 59 66 75]; plot(x,y,'*')可令：adh m =,求系数可用p=polyfit(x,y,n), 其中h x m y ln ,ln ==,n=1,结果：p=[2.3,2.823]由此得d=16.8,a=2.3,即有经验公式：3..28.16h m =。
也直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) alpha 为置信水平，r 为残差向量βˆx y -，stats 为回归模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数2R ，第二个是F 统计量值，第三个是与F 统计量对应的概率值p 。
上例可如下操作：y=log(m)';x=[ones(length(y),1),log(h)'];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,x)b =2.82282.3000 stat =1 1024 0.0000残差分析：rcoplot(r,rint)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例2：施肥效果分析（1992建模赛题）磷肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73 磷肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量33.46 34.76 36.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73氮肥施用量 0244973 98 147 196 245 294 342 土豆产量33.46 34.76 36.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73对于磷肥-----土豆：可选择函数xbea y -+=1 或威布尔函数 0,≥-=-x Be A y cx对于氮肥-----土豆：可选择函数0,2210≥++=x x b x b b y2)模型的参数估计:可如下操作：x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471]';y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]';X=[ones(length(y),1),x,x.^2];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)b =14.74160.1971-0.0003stat =0.9863 251.7971 0.0000 即20003.01971.07416.14x x y -+=拟合曲线图：3) 显著性检验: (仅以氮肥-----土豆模型为例说明)A):回归方程的显著性检验:检验的概率p=0,说明方程是高度显著的.B):回归系数的的显著性检验:对1β: 0:110=βH 检验统计量 =T 对2β: 0:220=βH检验统计量 =T -1004341.84343142都有 8945.1)7(05.0=>t T ,所以,均应拒绝原假设,认为系数)2,1(=i i β显著地不为0.4)残差诊断:标准化残差图如下12345678910标准化残差基本上均匀分布于-2至2之间,可以认为模型拟合是合理的.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 案例：牙膏的销售量某牙膏制造企业要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
r语言最小二乘回归案例
r语言最小二乘回归案例最小二乘回归是一种常用的统计分析方法，用于建立自变量（X）与因变量（Y）之间的线性关系模型。
在R语言中，可以使用lm()函数进行最小二乘回归分析。
下面将列举10个以R语言进行最小二乘回归的案例，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
1. 电力消耗与温度关系分析假设有一组数据，包含电力消耗（Y）和温度（X）的观测值。
我们可以使用最小二乘回归分析来建立电力消耗与温度之间的线性关系模型，进而预测未来的电力消耗。
2. 股票收益率与市场指数关系分析在金融领域，我们常常关注股票收益率与市场指数之间的关系。
通过对历史数据进行最小二乘回归分析，可以建立股票收益率与市场指数之间的线性关系模型，从而预测未来的股票收益率。
3. 学生考试成绩与学习时间关系分析在教育领域，我们可以使用最小二乘回归分析来研究学生的考试成绩与他们的学习时间之间的关系。
通过建立线性关系模型，可以了解学习时间对考试成绩的影响程度。
4. 人口增长率与经济发展指数关系分析人口增长率与经济发展指数之间存在一定的关系。
通过最小二乘回归分析，可以建立人口增长率与经济发展指数之间的线性关系模型，为制定人口政策和经济发展战略提供依据。
5. 广告投入与销售额关系分析在市场营销领域，我们可以使用最小二乘回归分析来研究广告投入与销售额之间的关系。
通过建立线性关系模型，可以评估广告对销售额的影响效果，从而优化广告投放策略。
6. 气温与冰淇淋销量关系分析气温对冰淇淋销量有一定的影响。
通过最小二乘回归分析，可以建立气温与冰淇淋销量之间的线性关系模型，为冰淇淋店的经营决策提供参考。
7. 房价与房屋面积关系分析房价与房屋面积之间存在一定的关系。
通过最小二乘回归分析，可以建立房价与房屋面积之间的线性关系模型，从而预测某个面积的房屋的价格。
8. 体重与身高关系分析体重与身高之间存在一定的关系。
通过最小二乘回归分析，可以建立体重与身高之间的线性关系模型，从而评估体重对身高的影响程度。
logistic回归预测模型案例
logistic回归预测模型案例
以下是一个使用Logistic回归进行预测的案例：
我们使用Logistic回归来预测患有疝气病症的马的存活问题。
数据集包含299个训练样本和67个测试样本，每个样本有21个特征值。
这些特征可
能代表各种因素，例如马的年龄、体重、健康状况等。
首先，对特征值和因变量（存活率）进行二元Logistic回归分析，以确定哪些特征对存活率有影响。
分析过程中，可以使用方差分析来研究连续型变量（如年龄、体重等）与“是否违约”的关系，或者使用卡方检验来研究分类变量（如健康状况、疾病状况等）与“是否违约”的关系。
确定好分析项之后，进行Logistic回归分析，并解决回归分析中可能出现的多重共线性问题。
在这个过程中，可以采用随机抽样的方法来更新回归系数，以确保新数据仍然具有一定的影响。
通过这个过程，可以构建一个预测模型，以根据马的特征预测其存活率。
这样的模型可以帮助我们更好地理解影响马存活的各种因素，并优化马的健康管理和治疗策略。
以上案例仅供参考，如需更多信息，建议咨询统计学专业人士或查阅统计学相关书籍。
回归分析案例数据
回归分析案例数据回归分析是一种统计方法，用于研究和预测变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可用于解释和预测因变量与自变量之间的关系，并对未来数据进行预测。
本文将通过一个回归分析案例来说明如何使用回归分析来分析数据。
案例描述：假设某公司想要了解广告支出与销售额之间的关系。
他们收集了过去12个月的数据，其中包含每个月的广告支出和销售额。
现在他们想利用这些数据来建立一个回归模型，以预测未来的销售额。
数据分析过程：1. 数据收集和准备首先，我们需要收集并整理数据。
数据应包括广告支出和销售额这两个变量的观测值。
确保数据的准确性和完整性，并进行必要的清洗和处理。
2. 数据可视化为了更好地理解数据之间的关系，我们可以使用数据可视化工具（如散点图）绘制广告支出与销售额之间的关系图。
通过观察图形，可以初步判断变量之间的关系。
3. 建立回归模型将收集到的数据用来建立回归模型。
在这个案例中，我们可以使用简单线性回归模型，因为只有一个自变量（广告支出）和一个因变量（销售额）。
通过最小二乘法，选择最佳拟合线，并确定回归方程。
4. 模型评估建立回归模型后，需要对模型进行评估。
常用的评估指标包括残差分析、决定系数（R²）、假设检验等。
这些指标可以帮助我们评估模型的拟合程度、预测能力和统计显著性。
5. 预测未来销售额利用建立好的回归模型，我们可以估计未来的销售额。
通过输入未来的广告支出值，模型可以给出对应的销售额的预测值。
6. 模型应用和调整建立好的回归模型可以应用于实际业务场景中。
然而，模型的应用过程中可能会遇到一些约束条件和限制，如广告预算、市场竞争等。
在实际应用中，需要不断地调整和改进模型，以适应不断变化的环境。
总结：回归分析是一种常用的统计方法，可用于解释和预测变量之间的关系。
本文通过一个案例说明了回归分析的数据分析过程，并介绍了回归模型的建立、评估和应用。
通过回归分析，我们可以更好地理解数据之间的关系，并利用模型对未来进行预测和决策。
因子分析与回归分析案例演示
提高分析效果的建议
综合运用多种方法
根据研究目的和数据特点，综合运用不同的 统计方法以提高分析效果。
注重模型解释性
在建立模型时，应充分考虑模型的解释性， 以便更好地理解数据背后的机制。
充分了解数据
在进行分析之前，应对数据进行充分了解， 包括数据的来源、特点、限制等。
持续学习与更新
随着统计方法和数据处理技术的发展，研究 者应保持持续学习和更新的态度。
结果解读
根据因子得分矩阵，可以计算出每个观测值的因子得分，这些得分可以用于进一步的分析或分类。例如，可以根 据因子得分将消费者分为不同的群体，并比较不同群体之间的购买行为差异。
02 回归分析案例
案例选择与数据收集
案例选择
为了演示回归分析的应用，我们选择了房地产价格与影响因素作为案例。数据来 源于某城市的房地产交易数据，包括房屋面积、房龄、地理位置、周边设施等。
数据收集
通过问卷调查和在线数据采集的方式，收集了500名消费者的购买行为数据，数 据包括10个变量，如购买时间、购买商品种类、购买数量等。
因子分析方法选择
因子分析方法
我们选择了主成分分析法作为因子分 析的方法，该方法能够将多个变量简 化为少数几个主成分，这些主成分能 够反映原始变量的主要信息。
适用性检验
03 因子分析与回归分析结合 案例
案例选择与数据收集
案例选择
为了演示因子分析与回归分析的结合应用，我们选择了消费者购买行为的数据集。该数据集包含了消 费者的基本信息（如年龄、性别、收入等）以及他们的购买记录（如购买的产品种类、频率、金额等 ）。
数据收集
通过问卷调查和电商平台的用户数据采集，我们收集了大量消费者的个人信息和购买行为数据。数据 经过清洗和整理后，用于后续的因子分析和回归分析。
回归分析中的案例分析解读
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，它用于探讨自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们理解变量之间的相互影响，预测未来的趋势，以及解释一些现象背后的原因。
本文将通过几个实际案例，来解读回归分析在现实生活中的应用。
首先，我们来看一个销售数据的案例。
某公司想要了解广告投入对产品销量的影响，于是收集了一段时间内的广告投入和产品销量数据。
通过回归分析，他们得出了一个线性方程，表明广告投入对产品销量有显著的正向影响。
这个结论使得公司更加确定了增加广告投入的决策，并且在后续的实施中也取得了预期的销售增长。
接下来，我们来看一个医疗数据的案例。
一家医院想要探讨患者的年龄、性别、体重指数等因素对疾病治疗效果的影响。
通过回归分析，他们发现年龄和体重指数与治疗效果呈显著的负相关，而性别对治疗效果影响不显著。
这个研究结果为医院提供了重要的临床指导，使得医生们在治疗过程中更加关注患者的年龄和体重指数，以提高治疗效果。
除此之外，回归分析还可以应用在金融领域。
一家投资机构想要了解各种因素对股票价格的影响，于是收集了大量的股票市场数据。
通过回归分析，他们发现了一些关键的影响因素，比如市场指数、行业风险等，这些因素对股票价格都有一定的影响。
这些结论为投资机构提供了重要的决策参考，使得他们在投资过程中能够更加准确地评估风险和收益。
此外，回归分析还可以用于市场调研。
一家公司想要了解产品价格对销量的影响，于是进行了一次调研。
通过回归分析，他们发现产品价格与销量呈负相关关系，即产品价格越高，销量越低。
这个结论使得公司意识到自己的产品定价策略可能存在问题，于是他们调整了产品价格，并且在后续销售中取得了更好的效果。
总的来说，回归分析在实际生活中有着广泛的应用。
通过对一些案例的解读，我们可以看到回归分析在不同领域中的作用，比如市场营销、医疗、金融等。
通过回归分析，我们可以更加深入地了解变量之间的关系，从而为决策提供科学的依据。
案例五(回归分析)
ˆ = ( X ′X )−1 X ′y β
1 x11 y1 1 x y 21 2 其中 y = ，X = M M M yn 1 x n1 x12 x 22 M xn2
ˆ β L x1 p 0 ˆ L x2 p β ˆ= 1 。 ，β M M L x np β ˆ p
图1. x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的岭迹图 可以看到， x1 与 x5 的岭迹之和比较稳定，而且两者的相关系数也较高，可以 去掉其中一个,此处选择去掉 x1 ，又由于 y 与 x2 的相关性更高，因此保留 x2 。由 于 x2 与 x3 的相关性较高，去掉变量 x3 。对于剩下的三个变量 x2 ， x4 , x5 重新做 岭回归：
128.6 82.2 82.2 82.2 105.7 105.7 105.7 105.7 105.7 105.7 145.8 145.8 145.8 166.3 166.3 166.3 166.3 145.6 145.6 145.6 73.7 73.7 73.7 136.7 136.7 136.7 86.6 86.6 86.6 86.6 86.6
7
4
可以看出， x1 和 x4 （0.9479） 、 x2 和 x3 （0.7811）之间高度相关。 为此，我们引入岭回归方法来克服多重共线性的影响。即引入岭估计
ˆ (k ) = (X ′X + k ⋅ I )−1 X ′y β
其中 k 称为岭参数。上述岭估计中主要工作是确定岭参数 k ，我们将通过岭迹分 析来找出岭参数 k 。对全部的5个自变量做岭迹分析，岭迹图见图1。可以看出， 岭迹比较混乱。
y = −15E − 17 + 0.8288 x2 + 0.1375 x4 + 0.1284 x5
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Matlab 实现：h=[0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85]; m=[10 12 15 17 20 22 35 41 48 50 51 54 59 66 75]; plot(x,y,'*')可令：adh m =,求系数可用p=polyfit(x,y,n), 其中h x m y ln ,ln ==,n=1,结果：p=[2.3,2.823]由此得d=16.8,a=2.3,即有经验公式：3..28.16h m =。
也直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) alpha 为置信水平，r 为残差向量βˆx y -，stats 为回归模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数2R ，第二个是F 统计量值，第三个是与F 统计量对应的概率值p 。
上例可如下操作：y=log(m)';x=[ones(length(y),1),log(h)'];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,x)b =2.82282.3000 stat =1 1024 0.0000残差分析：rcoplot(r,rint)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例2：施肥效果分析（1992建模赛题）对于磷肥-----土豆：可选择函数xbea y -+=1 或威布尔函数 0,≥-=-x Be A y cx对于氮肥-----土豆：可选择函数0,2210≥++=x x b x b b y2)模型的参数估计:可如下操作：x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471]';y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]';X=[ones(length(y),1),x,x.^2];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)b =14.74160.1971-0.0003stat =0.9863 251.7971 0.0000 即20003.01971.07416.14x x y -+=拟合曲线图：3) 显著性检验: (仅以氮肥-----土豆模型为例说明)A):回归方程的显著性检验:检验的概率p=0,说明方程是高度显著的.B):回归系数的的显著性检验:对1β: 0:110=βH检验统计量 =T 2539.10825802353 对2β: 0:220=βH检验统计量 =T -1004341.84343142都有 8945.1)7(05.0=>t T ,所以,均应拒绝原假设,认为系数)2,1(=i i β显著地不为0.4)残差诊断:标准化残差图如下12345678910标准化残差基本上均匀分布于-2至2之间,可以认为模型拟合是合理的.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 案例：牙膏的销售量某牙膏制造企业要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部收集了过去30个销售周期公司生产的牙膏的销售量、销售价格、广告费用，以及同期其他厂家生产的同类牙膏的平均销售价格。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格策略和广告投入策略提供数量依据。
在购买同类产品的牙膏时，顾客会在意不同品牌之间的价格差异，而不是价格本身。
记牙膏销售量为y ，价格差为1x ，广告费2x ，其它厂家平均价格3x ，公司销售价格4x ，431x x x -=。
基本模型：先作出y 对1x 及y 对2x 的散点y 图，图中y 对1x 线性关系明显：εββ++=110x yy 对2x 用二次函数拟合：εβββ+++=222210x x y综合以上分析，建立如下模型：εββββ++++=22322110x x x y (1)模型求解：利用Matlab 统计工具箱的命令regress ，格式：[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X,alpha)其中：X 是数据矩阵]1[2221x x x )4(⨯n 。
结果：销售量预测方程：22322110ˆˆˆˆˆx x x y ββββ+++= 以及预测区间。
取2.01=x 元，5.62=x 百万元，估计2933.8ˆ=y百万支，95%的预测区间[7.8230,8.7636] 模型改进：上述模型中，是假定价格差1x 与广告费2x 对牙膏销售量y 的影响是相互独立的，据直觉和经验可以猜想，1x 与2x 的交互作用会对牙膏销售量y 有影响，模型修改为：εβββββ+++++=21422322110x x x x x y (2)有改善。
进一步的讨论 为进一步了解1x 与2x 的交互作用，考察模型（2）的预测方程2122214777.16712.06080.71342.111133.29ˆx x x x x y -+-+=如果取1.01=x ，可得222167.06080.72267.30ˆx x y+-= （3） 如果取3.01=x ，可得222267.00513.84535.32ˆx x y +-= （4） 图形如下解释：完全二次多项式模型εββββββ++++++=22521421322110x x x x x x y可直接利用MA TLAB 统计箱中命令rstool 求解。
格式 rstool(X,y) 其中X=[x1 x2]为2⨯n 数据矩阵。
酶促反应问题：某生化系学生为研究嘌呤酶素在某项酶促反应中对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响，设计了两个实验，一个实验中所使用的酶是经过嘌呤酶素处理的，而另一个实验中所使用的酶是没有经过嘌呤酶素处理的，试建立一个合适的数学模型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓度以及嘌呤分析与假设：记酶促反应的速度为y ，底物浓度为x ，二者之间的关系写作),(βx f y =，由问题背景知：当底物浓度较小时，反应速度与浓度成正比（一级反应）；而当底物浓度很大，渐进饱和时，反应速度趋于一个固定值（零级反应），下面两个简单模型具有这种性质：Michaelis-Menten 模型xx x f y +==21),(βββ （1）指数增长模型)1(),(21x e x f y βββ--== （2）以模型（1）来拟合。
散点图如下：线性化模型模型(1)可通过如下的变量代换化为线性模型：x xy 21121111θθβββ+=+= （3） 对经过嘌呤酶素处理的实验数据，应用模型（3），作线性回归，统计结果如下：从而可算出04841.0ˆ8027.195ˆ21==ββ拟合欠佳！非线性模型及求解可以用非线性回归方法直接估计模型（1）中的参数，利用Matlab统计工具箱中的命令进行，使用格式为：[beta,R,J]=nlinfit(x,y,’model’,beta0)其中输入x为自变量数据矩阵，每列一个变量；y为因变量数据向量；model为模型的M函数文件名，beta0为参数的初始值。
将实际数据输入后执行以下程序：beta0=[195.80 0.0484];[beta,R,J]=nlinfit(x,y,'huaxue1',beta0);betaci=nlparci(beta,R,J);beta,betacixx=0:0.01:1.2;yy=beta(1)*xx./(beta(2)+xx);plot(x,y,'*',xx,yy)，nlintool(x,y,'huaxue1',beta)function y=huaxue1(beta,x)y=beta(1)*x./(beta(2)+x);对经过嘌呤酶素处理的实验数据，应用模型（１），作非线性回归，结果如下：图形如下：最终反应速度为6818.212ˆ1=β，达到最终反应速度一半时，底物的浓度（“半速度点”）为06412.0ˆ2=β。
混合反应模型 嘌呤酶素处理会影响最终反应速度，而基本不影响半速度点2β，考虑如下的混合反应模型：12221211)()(),(x x x x x f y +++==γβγββ （４）其中：1x 为底物的浓度，2x 为一示性变量（０－１变量，处理与否用０——１表示）。
（略）思考与练习：软件开发人员的薪金一高技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，需依照收集的数据建立一数学模型。
表中管理一列中１表示管理人员，０表示非管理人员，教育一列中，１表示中学程度，２表示大学程度，３表示研究生（更高）。
模型:εβββββ+⋅+⋅+⋅+⋅+=241322110E E x x y⎩⎨⎧=否则人属于中学如果第011i E i⎩⎨⎧=否则人属于大学如果第012i E i2．1Y=a＋bX回归线为一条直线，它是一元曲线模型的特殊情况。
当b＞0时，Y随X增大而线性增大（图la）；当b＜0时，Y随X增大而线性减小（图lb）。
直线与Y轴的交点为（0，a）。
2．2 Y=aX b当a＞0， 0＜b＜l时，Y单调递增且下凹，曲线过原点；当a＞0，b＞l时，y单调递增且上凹，曲线过原A，（图2a）；当a＞0， b＜0时，Y随X增大单调递减上凹，以X 轴和Y 轴为渐近线（图2b）。
图1-17常用数学模型的示意曲线（图中未特别标注a<0者均为a>0)2．3Y=a e bX当a＞0， b＞0时，Y随X增大单调递增上凹（图3a）；当a＞0， b＜0时，Y单调递减仍上凹，并向X轴渐近。
曲线与Y轴的交点为（0，a）（图3b）。
2．4Y=aXe bX当a＞0， b＞0时，Y随X增大而急速上升，曲线通过原点且上凹（图4a）。
当a＞0，b ＜0时，在X 的区间（0，-1/b）上，Y 单调递增，曲线通过原点；在X=-1／b时，Y max＝-a/(be）；在X的区间（-1/b，+∞）上，Y单调递减，其中，在区间（0，2/b）上，曲线下凹；在区间（-2/b，+∞）上，曲线上凹，向X轴渐近；拐点坐标为X=-2/b，Y=-2a /(be2）（图4b）。