45.2014高考领航数学(理)7-6

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14年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载

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6．若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面夹角的大小为____________（结果用反三角函数表示）。
7．已知曲线 C 的极坐标方程为 3cos 4sin 1 ，则 C 与极轴的交点到极点的
距离为___________。
8．设无穷等比数列 an 的公比为
q ________。
2014 年高考真题理科数学（解析版）卷
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科）一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．函数 y 1 2 cos2 2x 的最小正周期是______________。
2．若复数
z

1

2i
，其中
i
是虚数单位，则
3．若抛物线 y2 2 px 的焦点与椭圆 x2 y2 1的右焦点重合，则该抛物线的准线方 95
程为_______________。
4．设
f
x
x

x
2
x a
，若
x a
f
2
5．若实数 x, y 满足 xy 1，则 x2 2 y2 的最小值为______________。

z
lim
n
x

1 z

z

______________。
的取值范围是_______________。
a3

a4

的取值范围为________________。
an
，则
Hale Waihona Puke 上海2014 年高考真题理科数学（解析版）卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II)理科数学 word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则12z z =（） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（） A. 33 B.93 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分）已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、填空题（13）12（14）1 （15）（1,3-）（16）[]1,1-三、解答题（17）解：（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。

【领航密卷——高考】湖南省2014届高三第一次联考数学(理)试题(pdf版,答案详细精解)

2014届高三联考试卷(一)数学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共40分)一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S ={y |y =2x},T ={x |y =l g (x -1)},则S ɘT =( )A.(0,+ɕ) B .[0,+ɕ) C .(1,+ɕ) D.[1,+ɕ)2.已知命题p ʒ∃x ɪR ,x -2>l gx ,命题q ʒ∀x ɪR ,x 2>0,则( )A.命题p ᶱq 是假命题B .命题p ɡq 是真命题C .命题p ᶱ(췍q )是假命题 D.命题p ɡ(췍q )是真命题3.函数y =l o g a (x +3)-1(a >0,且a ʂ1)的图象恒过定点A ,且点A 在直线m x +n y +1=0上(其中m ,n >0),则1m +2n的最小值等于( )A.16B .12C .9 D.84.设a ɪR ,函数f (x )=e x+a ㊃e -x 的导函数是f ᶄ(x ),且f ᶄ(x )是奇函数.若曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.l n 2B .-l n 2C .l n 22 D.-l n 225.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,若x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)与0的大小关系是( )A.f (x 1)+f (x 2)>0B .f (x 1)+f (x 2)=0C .f (x 1)+f (x 2)<0 D.f (x 1)+f (x 2)ɤ06.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则b 的取值范围是( )A.[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C .[1,3] D.(1,3)7.若关于x 的方程|x |x +2=k x2有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围为( )A.(0,1)B .12,()1C .12,()+ɕ D.(1,+ɕ)8.若对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λɪR )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立,则称f (x )是一个 λ 伴随函数 .有下列关于 λ 伴随函数的结论:①f (x )=0是常数函数中唯一一个 λ 伴随函数 ;②f (x )=x 不是 λ 伴随函数 ;③f (x )=x 2是 λ 伴随函数 ;④ 12 伴随函数至少有一个零点.其中正确结论是多少个( )A.1B .2C .3D.4第Ⅰ卷(选择题)答题表题号12345678答案第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二㊁填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)9.函数y =l o g a (x 2+2x -3).当x =2时,y <0,则此函数的单调递减区间是.10.设函数f (x )=x 2-4x +3,g (x )=3x-2,集合M ={x ɪR |f (g (x ))>0},N ={x ɪR |g (x )<2},则M ɘN 为 .11.设函数f (x )=(x +1)2+s i n x x 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.12.用m i n {a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值㊂设f (x )=m i n {2x,x +2,10-x }(x ȡ0),则f (x )的最大值为 .13.已知函数f (x )=2x-a , x ɤ0x 2-3a x +a ,x >{,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是.14.某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )=t 4+22 (0ɤt <40,t ɪN )-t 2+52 (40ɤt ɤ100,t ɪN ìîíïïïï),日销售量g (t)与时间t 的函数关系是g (t )=-t 3+1093(0ɤt ɤ100,t ɪN ).则这种商品的日销售额的最大值为.15.函数f (x )的定义域为D ,若对于任意x 1,x 2ɪD ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)ɤf (x 2),则称函数f (x )在D 上为非减函数㊂设函数f (x )为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:①f (0)=0;②f (1-x )+f (x )=1,xɪ[0,1];③当x ɪ0,[]14时,f (x )ȡ2x 恒成立㊂则f ()37+f ()59=.三㊁解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x 2-2x -8ɤ0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)ɤ0,m ɪR }.(1)若A ɘB =[2,4],求实数m 的值;(2)设全集为R ,若A ⊆C R B ,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分12分)已知命题pʒx1和x2是方程x2-m x-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3ȡ|x1-x2|对任意实数mɪ[-1,1]恒成立;命题qʒ不等式a x2+2x-1>0有解,若pᶱq为真命题,pɡq为假命题,求a的取值范围.18.(本小题满分12分)设f(x)=3a x2+2b x+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<b a<-1;(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.19.(本小题满分13分)设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且aʂ1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2m㊃f(x)在[1,+ɕ)上的最小值为-2,求m的值.20.(本小题满分13分)某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f (x)(单位:元/k g)与时间(表示距2月10日的天数,单位:天,xɪ(0,8])的数据如下表:时间x862价格8420(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=a x+b,f(x)=a x2+b x+c,f(x)=a㊃b x,f(x)=a㊃l o g b x,其中aʂ0;并求出此函数;(2)为了控制黄瓜的价格,不使黄瓜的价格过于偏高,经过市场调研,引入一控制函数h(x)=e x-(12-2m)x+39.(x>0)m称为控制系数.求证:当m>l n2-1时,总有f(x)<h(x).21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=12x2-a l n x(a>0).(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(3)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.2014届数学参考答案(联考试卷一)一㊁选择题:1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.D8.B解析:1.S ={y |y >0},T ={x |x >1},ʑS ɘT =(1,+ɕ),选C .2.由图象可知p 真,又q 假故选D .3.a =(-2,-1),ʑ2m +n =1,ʑ1m +2n =1m +2()n ㊃(2m +n )=4+n m +4m nȡ8.选D .4.fᶄ(x )=e x-a ㊃e -x ,又f ᶄ(x )为奇函数,ʑf ᶄ(0)=0,ʑa =1,设切点横坐标为x 0则f ᶄ(x 0)=e x 0-e -x 0=32,即e x 0=2,x 0=l n 2,选A .5.(理)不妨设x 1<x 2则x 1<2,x 2>2,又x 1+x 2<4,ʑ4-x 1>x 2>2,ʑf (4-x 1)>f (x 2),ʑ-f (x 1)>f (x 2),即f (x 1)+f (x 2)<0,故选C .6.f (x )=e x -1>1,ʑg (b )=-b 2+4b -3>-1,ʑ2-2<b <2+2,故选B .7.|x |x +2=k x 2=k |x |2,ʑx =0或1x +2=k |x |,ʑy =1x +2与y =k |x |有不为0的三个交点,ʑk >1,故选D .8.①λ=-1时f (x )可为任一常数函数②f (x )=x 时λx +(x +λ)=0不恒成立③f (x )=x2代入显然不是④λ=12时,f x ()+1=-12f (x ),ʑf ()12=-12f (0),又f (x )图象连续不断,ʑf (x )在0,[]12上至少有一个零点,故选B .二㊁填空题:9.(1,+ɕ) 10.{x |x <1} 11.2 12.6 13.49<a ɤ1 14.808.5 15.1三㊁解答题:16.解:(1)ȵA =[-2,4],B =[m -3,m ],A ɘB =[2,4].(2分)………………………………………………………ʑm -3=2m ȡ{4,ʑm =5.(6分)…………………………………………………………………………………(2)C R B ={x |x <m -3,或x >m },ȵA ⊆B ,ʑm <-2,或m -3>4,ʑm >7或m <-2.(12分)……………17.解:ȵx 1,x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,ʑx 1+x 2=m x 1x 2{=-2,ʑ|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2+8ʑ当m ɪ[-1,1]时,|x 1-x 2|m a x =3.由不等式a 2-5a -3ȡ|x 1-x 2|对任意实数m ɪ[-1,1]恒成立,可得:a 2-5a -3ȡ3ʑa ȡ6或a ɤ-1.ʑ命题p 为真命题时a ȡ6或a ɤ-1,命题p 为假命题时-1<a <6.(5分)………………命题q ʒ不等式a x 2+2x -1>0有解.①当a >0时,显然有解;②当a =0时,2x -1>0有解;③当a <0时,ȵa x 2+2x -1>0有解.ʑΔ=4+4a >0,ʑ-1<a <0.从而命题p :不等式a x 2+2x -1>0有解时a >-1ʑ命题q 是真命题时a >-1,命题q 是假命题时a ɤ-1.(10分)………………………………………………ȵp ᶱq 真,p ɡq 假,ʑp 与q 有且仅有一个为真.(1)当命题p 是真命题且命题q 是假命题时a ɤ-1.(2)当命题p 是假命题且命题q 是真命题时-1<a <6综上所述:a 的取值范围为a <6.(12分)……………………………………………………………………………18.解:(1)ȵf (0)>0,f (1)>0,所以c >0,3a +2b +c >0.由条件a +b +c =0,消去b 得a >c >0;由条件a +b +c =0消去c ,得a +b <0,2a +b >0.故-2<b a<-1.(6分)…………………………………………………(2)抛物线f (x )=3a x 2+2b x +c 的对称轴为x =-b 3a ,由-2<b a <-1得13<-b 3a <23.即对称轴x ɪ13,()23;而ә=4b 2-12a c =4[(-a -c )2-3a c ]=4(a 2+c 2-a c )>0,且f (0)>0,f (1)>0,所以方程f (x )=0在区间(0,1)内有两个不等的实根.(12分)………………………19.解:(1)由题意,对任意x ɪR ,f (-x )=-f (x ),即a -x -(k -1)a x =-a x+(k -1)a -x ,即(k -1)(a x +a -x )-(a x +a -x )=0,(k -2)(a x+a -x )=0,因为x 为任意实数,所以k =2.(4分)………………………………………………………………………(2)由(1)f (x )=a x-a -x ,因为f (1)=32,所以a -1a =32,解得a =2.故f (x )=2x -2-x ,g (x )=22x +2-2x -2m (2x-2-x ),令t =2x -2-x ,则22x +2-2x =t 2+2,由x ɪ[1,+ɕ),得t ɪ32,[)+ɕ,所以g (x )=h (t )=t 2-2m t +2=(t -m )2+2-m 2,t ɪ32,[)+ɕ,当m <32时,h (t )在ɪ32,[)+ɕ上是增函数,则h ()32=-2,94-3m +2=-2,解得m =2512(舍去)当m ȡ32时,则h (m )=-2,2-m 2=-2,解得m =2,或m =-2(舍去).综上,m 的值是2.(13分)…………………………………………………………………………………………20.解:(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f (x )与上市时间x 的变化关系的函数决不是单调函数,这与函数f (x )=a x +b ,f (x )=a ㊃b x,f (x )=a ㊃l o g b x ,均具有单调性不符,所以,在a ʂ0的前提下,可选取二次函数f (x )=a x 2+b x +c 进行描述,把表格提供的三对数据代入该解析式得到:64a +8b +c =836a +6b +c =44a +2b +c ìîíïïï=20,解得a =1,b =-12,c =40.所以,黄瓜价格f (x )与上市时间x 的函数关系是f (x )=x 2-12x +40.x ɪ(0,8].(6分)………………(2)设函数g (x )=h (x )-f (x )=e x -x 2+2m x -1,求导,结果见下表.gᶄ(x )=e x -2x +2m ,继续对g ᶄ(x )求导得g ᵡ(x )=e x-2.表格如下:x(0,l n 2)l n 2(l n 2,+ɕ)g ᵡ(x )-0+gᶄ(x )减极小值增由上表可知g ᶄ(x )ȡg ᶄ(l n 2),而gᶄ(l n 2)=e l n 2-2l n 2+2m =2-2l n 2+2m =2(m -l n 2+1),由m >l n 2-1知g ᶄ(l n 2)>0,所以g ᶄ(x )>0,即g (x )在区间(0,+ɕ)上为增函数.于是有g (x )>g (0),而g (0)=e 0-02+2m ˑ0-1=0,故g (x )>0,即当m >l n 2-1且x >0时,e x >x 2-2m x +1.即h (x )>f (x ).(13分)………………………21.解:(1)a =2,f (x )=12x 2-2l n x ,f ᶄ(x )=x -2x ,f ᶄ(1)=-1,f (1)=12,f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y -3=0.(3分)…………………………………………………(2)由f ᶄ(x )=x -a x =x 2-a x,由a >0及定义域为(0,+ɕ),令f ᶄ(x )=0得x =a .①若a ɤ1,即0<a ɤ1,在(1,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,因此,f (x )在区间[1,e ]的最小值为f (1)=12.②若1<a <e ,即1<a <e 2,在(1,a )上,f ᶄ(x )<0,f (x )单调递减;在(a ,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )单调递增,因此f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (a )=12a (1-l n a ).③若a ȡe ,即a ȡe 2,在(1,e )上,f ᶄ(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减,因此,f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (e )=12e 2-a .综上,当0<a ɤ1时,f m i n (x )=12;当1<a <e 2时,f mi n x =12a (1-l n a );当a ȡe 2时,f mi n (x )=12e 2-a .(9分)………………………………………………………………………(3)由(2)可知当0<a ɤ1或a ȡe 2时,f (x )在(1,e )上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当1<a <e 2时,要使f (x )在区间(1,e)上恰有两个零点,则ʑ12a (1-l n a )<0f (1)=12>0f (e )=12e 2-a >ìîíïïïïïï0,即a >e a <12e {2,此时,e <a <12e 2.所以,a 的取值范围为e ,12e ()2.(13分)………………………………………………………………………。

【领航密卷】江西省2014届高三第六次联考数学(理)试题 PDF版含详解

第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共5 0 分)
} , ) } , ( ) 若全集 U =R, 集合 A= { 则 ∁U ( 1. x | | 2 x+3 |<5 B= { x | l o x+2 A∩B) = g 3( y= { } B. { } C. { } D. { } A. x | x≤4或x≥ 1 x | x<4或x> 1 x | x<2或x> 1 x | x≤2或x≥ 1 ( ) 的前 n 项和 , 则“ 是“ 数列 { 为等差数列 ” 的 2. S a S a n 是数列 { n} n 是关于n 的二次函数 ” n} 充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件 A. B. C. D. o s 6 x 的图像大致为函数 y= c 3. x 2 -2-x ( )
2ö æ ç ÷ , , D.-∞ ∪( 1 +∞) 5ø è ( ) ( )
A. 3
的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为 B. 4 C. 5
题号答案
1
2
第 Ⅰ 卷( 选择题 ) 答题表
3 4 5 6 7
无穷个 D.
8 9 1 0
1与函数 ( ) 3 h x =x a x ( )
) ( 设 y=f( 是某港口水的深度 y( 米) 关于时间t 时) 的函数 , 其中 0≤ 下表是该港口某一 1 1. t t ≤2 4. 天从 0 时至 2 4 时记录的时间t 与水深y 的关系 : ) 经长期观察 , 函数 y=f( 的图象可以近似地看成函数 y=h+A 的图象. 最能近似 t s i n( ω x+ϕ) 表示表中数据间对应关系的函数是 . .
n n+1

2014版《高考领航》系列丛书高考数学模拟试题精编——山东省(80页)(漓江出版社,将于2013年9月上市,word

山东省数学高考模拟试题精编一【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由． (文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB ＝1，AA 1＝62，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1；(2)求四面体D 1－AB 1C 的体积．19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望． (文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1)求x 和y 的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．20．(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee －1，1e －1，求实数k ，b 的值．22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2C ．0或－2D ．0或±22．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x ＞0 C ．若x ≤1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜0 3．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i4．(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2－45y 2＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1(文)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( ) A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0,0＜φ＜π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．18.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．19．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .21．(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ→＝92时，求此时直线l ′的方程； (Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编三【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)求三棱锥D －ABP 和三棱锥B －PCD 的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．20．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1＋i2－i (其中是虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( )A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(文)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 3．(理)如图所示，要使电路接通即灯亮，开关不同的闭合方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( ) A ．3 2 B ．2 2 C. 2 D ．14．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为a ＋b 2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N (1,22)，且p (－1≤ξ≤1)＝0.3，则p (ξ＞3)＝0.2 其中正确的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ∧＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．83% B ．72% C ．67% D ．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的形状为()A．不确定B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________． 14．(理)如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.(文)曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， (2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos2A2＝cos2B2＋cos2C2－2cosB2cosC2sinA2.则：若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B 上的动点，当P A＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)：某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优的天数，求X 的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个． (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x (1)当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x ＝13是f (x )的一个极值点． (1)求ba 的值；(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．山东省数学高考模拟试题精编五【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1) D ．(1，－2)2．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”3．已知a＝0.7－13，b＝0.6－13，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 25．(理)如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x27．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 8.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)教师版

2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设 z=，则 z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【剖析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z 的共轭可求．【解答】解：∵ z= =，∴．应选： D．2．（5 分）（2014?纲领版）设会合M={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则 M ∩N=（）A．（ 0， 4]B．[ 0， 4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣ 1，0]【剖析】求解一元二次不等式化简会合M ，而后直接利用交集运算求解．2【解答】解：由 x ﹣3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜x＜4．∴M={ x| x2﹣ 3x﹣4＜0} ={ x| ﹣1＜x＜4} ，又 N={ x| 0≤x≤5} ，∴M∩N={ x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ∩{ x| 0≤x≤5} =[ 0， 4）．应选： B．3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a ，°则（）D．c＞a＞b【剖析】可得b=sin35 °，易得b＞a，c=tan35 °=＞sin35 °综合可得．，【解答】解：由引诱公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35 °，由正弦函数的单一性可知b＞a，而 c=tan35 °=＞ sin35 °=b，∴ c＞b＞a应选： C．4．（5 分）（2014?纲领版）若向量、知足：| | =1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| | =（）A ．2B ．C ．1D ．【剖析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+ ） ?，（ 2+ ） ? ，=0 =0由此求得 | | ．【解答】解：由题意可得，（ + ）?=+=1+，∴﹣ ；=0= 1（2+）?=2 + ﹣，∴ 2 ，=2+ =0 b =2则||=，应选： B ．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【剖析】依据题意，分 2 步剖析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式挨次求出每一步的状况数量，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：依据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法，则不一样的选法共有 15× 5=75 种；应选： C ．．（分）（纲领版）已知椭圆： + （＞＞）的左、右焦点为、 6 52014?C=1 a bF 1 2，离心率为，过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点，若△ AF 1 B 的周长为4，F则 C 的方程为（）A ．+=1． +y 2 =1B C ． +=1D ．+ =1【剖析】利用△ AF 1B 的周长为 4 ，求出 a=，依据离心率为，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△ AF1B 的周长为 4，∵△ AF1B 的周长 =| AF1|+| AF2|+| BF1|+| BF2| =2a+2a=4a，∴4a=4 ，∴a= ，∵离心率为，∴，c=1，∴ b==，∴椭圆 C 的方程为+=1．应选： A．7．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【剖析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为 f ′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当 x=1 时， f ′（ 1） =2，即曲线 y=xe x﹣1在点（ 1， 1）处切线的斜率k=f （′1）=2，应选： C．8．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．PO1上，记为O，求出PO1，【剖析】正四棱锥P﹣ ABCD的外接球的球心在它的高OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为 4，底面边长为 2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R= ，∴球的表面积为4π?（）2=．故： A．9．（5 分）（2014?大版）已知双曲 C 的离心率 2，焦点 F1、F2，点 A 在C 上，若 | F1A| =2| F2A| ，cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲的定，以及余弦定理成立方程关系即可获得．【解答】解：∵双曲 C 的离心率 2，∴ e=，即c=2a，点 A 在双曲上，| F1A| | F2A| =2a，又 | F1A| =2| F2A| ，∴解得 | F1A| =4a， | F2A| =2a，|| F1F2| =2c，由余弦定理得cos ∠ AF2F1 ===．故： A．10．（ 5 分）（2014?大版）等比数列 { a n } 中， a4， 5 ，数列n} 的前 8 =2 a =5{ lga和等于（）A．6B．5C．4D．3【剖析】利用等比数列的性可得 a1 8 27 3 6 4 5．再利用数的运算性a =a a =a a =a a =10即可得出．【解答】解：∵数列 { a n } 是等比数列， a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1 +lga2+⋯+lga8=lg（a1a2?⋯ ?a8）=4lg10=4．应选： C．11．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．AB 与CD 所成角，【剖析】第一作出二面角的平面角，而后再结构出异面直线利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过 A 点做 AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足为 E，过点 A 做 AF∥CD，过点 E 做 EF⊥AE，连结 BF，∵AE⊥l∴∠ EAC=90°∵CD∥AF又∠ ACD=135°∴∠ FAC=45°∴∠ EAF=45°在 Rt△BEA中，设 AE=a，则 AB=2a，BE= a，在 Rt△AEF中，则 EF=a，AF= a，在 Rt△BEF中，则 BF=2a，∴异面直线 AB 与 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．应选： B．12．（ 5 分）（2014?纲领版）函数 y=f （ x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f （ x ）的反函数是（）A ．y=g （x ）B ．y=g （﹣ x ）C ．y=﹣g （x ）D ．y=﹣g （﹣ x ）【剖析】设 P （x ，y ）为 y=f （ x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（ y ，x ）一点在 y=f （ x ）的图象上， P ′（y ，x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （ x ）图象上，代入分析式变形可得．【解答】解：设 P （ x ， y ）为 y=f （x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（y ， x ）一点在 y=f （x ）的图象上，又∵函数 y=f （x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，∴ P ′（y ， x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （x ）图象上，∴必有﹣ y=g （﹣ x ），即 y=﹣ g （﹣ x ）∴ y=f （ x ）的反函数为： y=﹣g （﹣ x ）应选： D ．二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分 )13．（5 分）（ 2014?纲领版）的睁开式中 x 2y 2 的系数为70 ．（用数字作答）【剖析】先求出二项式睁开式的通项公式，再令x 、y 的幂指数都等于 2，求得 r的值，即可求得睁开式中 x 2y 2 的系数．【解答】解：的睁开式的通项公式为T r +1 r?= ?（﹣ ）= ? 1 ?（﹣ 1） r ??，令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，故睁开式中 x 2y 2的系数为=70，故答案为： 70．、知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为5 ．【剖析】由拘束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图获得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 C（ 1， 1）．化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大．此时 z max=1+4×1=5．故答案为： 5．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于．【剖析】设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，由直角三角形中的边角关系求得sin θ=的值，可得cos θ、 tan θ的值，再依据tan2 θ=，计算求得结果．【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA==，圆的半径为 r=，∴ sin θ= =，∴ cosθ=，tanθ== ，∴ tan2 θ=== ，故答案为：．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是（﹣∞，2]．【剖析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，而后令t=sinx 换元，依据给出的x 的范围求出t 的范围，联合二次函数的图象的张口方向及对称轴的地点列式求解 a 的范围．【解答】解：由 f（ x）=cos2x+asinx=﹣2sin2 x+asinx+1，令 t=sinx，则原函数化为 y=﹣2t2 +at+1．∵ x∈（，）时f（x）为减函数，则 y=﹣2t 2+at+1 在 t∈（，1）上为减函数，∵ y=﹣2t2+at+1 的图象张口向下，且对称轴方程为t= ．∴，解得： a≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2] ．故答案为：（﹣∞， 2] ．三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．【剖析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[ π﹣（A+C）] =﹣tan （A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵ tanA= ，∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ．∴ tanB=tan[ π （ A+C）] = tan（ A+C）=，== 1∵ B∈（ 0，π），∴B=18．（ 12 分）（ 2014?大版）等差数列 { a n} 的前 n 和 S n，已知 a1=13，a2整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通公式；（ 2）b n=，求数列{ b n} 的前n 和T n．【剖析】（1）通 S n≤ S4得 a4≥0，a5≤0，利用 a1=13、 a2整数可得 d= 4，而可得；（ 2）通 a n =13 3n，分别分母可得b n= （），并相加即可．【解答】解：（1）在等差数列 { a n} 中，由 S n≤S4得：a4≥ 0， a5≤0，又∵ a1=13，∴，解得≤d≤ ，∵ a2整数，∴ d= 4，∴{ a n} 的通： a n=17 4n；（ 2）∵a n =17 4n，∴ b n===（），于是 T n=b1+b2+⋯⋯+b n[ （）+（）+⋯⋯+（） ]== （）=．．（分）（ 2014?大版）如，三棱柱1 11中，点A1 在平面ABC19 12ABC ABC内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明： AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA 与平面1BCC的距离为1B1，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．1【剖析】（Ⅰ）由已知数据联合线面垂直的判断和性质可得；（Ⅱ）作协助线可证∠ A1FD 为二面角 A1﹣ AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC，A1D? 平面 AA1 C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面 A1 BC， AB1? 平面 A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C，BC? 平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面BCC1B1，又直线 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A为直线AA1与平面 BCC的距离，即 A，1E1B11E=∵A1C 为∠ ACC1的均分线，∴ A1D=A1E= ，作 DF⊥ AB，F 为垂足，连结 A1 F，又可得 AB⊥A1D， A1 F∩ A1D=A1，∴AB⊥平面 A1DF，∵ A1 F? 平面 A1DF∴A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 为 AC中点，∴ DF== ，∴tan∠ A1FD= = ，∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan20．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．【剖析】记 A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设施，i=0， 1，2，B 表示事件：甲需要设施， C 表示事件，丁需要设施， D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施（Ⅰ）把 4 个人都需使用设施的概率、 4 个人中有 3 个人使用设施的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PX i，再利用数学希望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日起码3 人需使用设施”的概率为0.6×0.5× 0.5×0.4+（1﹣0.6）× 0.5×0.5× 0.4+0.6×（ 1﹣0.5）× 0.5× 0.4+0.6×0.5×（ 1﹣ 0.5）× 0.4+0.6×0.5×0.5×（ 1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4P（X=0） =（ 1﹣0.6）× 0.52×（ 1﹣0.4）=0.06P（X=1） =0.6×0.52×（ 1﹣0.4）+（ 1﹣ 0.6）× 0.52×0.4+（1﹣0.6）× 2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4） =P（A2?B?C）=0.52× 0.6×0.4=0.06，P（X=3） =P（D）﹣ P（ X=4）=0.25，P（X=2） =1﹣P（X=0）﹣ P（X=1）﹣ P（X=3）﹣ P（X=4）=1﹣0.06﹣ 0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学希望 EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=221．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【剖析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（ x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得 x0= ，依据 | QF| = | PQ| 求得 p 的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 | AB| ．把直线 l 的′方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 | MN| ．因为 MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴ | PQ| = ．又 | QF| =x0+ = + ， | QF| = | PQ| ，∴+ = ×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故 C 的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直， y2=4x 的焦点 F（ 1， 0），设 l 的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，明显鉴别式△ =16m2+16＞ 0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中点坐标为 D （ 2m2+1 ， 2m ），弦长 | AB| =| y1﹣y 2| =（m2+1）．=4又直线 l 的′斜率为﹣ m，∴直线 l ′方程为的x=﹣y+2m2+3．过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、 B 两点，若 AB 的垂直均分线 l 与′ C 订交于 M 、N 两点，把线 l ′方程代入抛物线方程可得的y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴ y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴ | MN| =| y3﹣y4| =，∵MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，∴+DE2= MN 2，∴ 4（ m2+1）2 ++= ×，化简可得m2﹣1=0，∴m=± 1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣ 1=0．22．（ 12 分）（ 2014?纲领版）函数 f（ x） =ln（ x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，经过议论 a 的取值范围，即可获得 f （x）的单一性；（Ⅱ）利用数学概括法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣ 1，+∞），f （′x）=，①当 1＜a＜2 时，若 x∈（﹣ 1，a2﹣2a），则 f （′x）＞ 0，此时函数 f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，0），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a，0）上是减函数，若 x∈（ 0，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数．②当 a=2 时， f ′（x）≥0，此时函数 f（ x）在（﹣ 1，+∞）上是增函数，③当 a＞2 时，若 x∈（﹣ 1，0），则 f ′（x）＞ 0，此时函数 f （x）在（﹣ 1， 0）上是增函数，若 x∈（ 0，a2﹣ 2a），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ 0，a2﹣2a）上是减函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a， +∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2 时，此时函数 f（x）在（﹣ 1， +∞）上是增函数，当 x∈（ 0，+∞）时， f（ x）＞ f（ 0） =0，即 ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3 时， f（ x）在（ 0，3）上是减函数，当 x∈（ 0，3）时， f（x）＜ f（0）=0，ln（x+1）＜，下边用数学概括法进行证明＜a n≤成立，①当 n=1 时，由已知＜，故结论成立．②假定当 n=k 时结论成立，即＜，则当 n=k+1 时， a n+1（n+1）＞ ln（）＞，=ln aa k+1=ln（a k+1）＜ ln（）＜，即当 n=k+1 时，＜成立，综上由①②可知，对任何n∈N?结论都成立．。

44.2014高考领航数学(理)7-5.

课时规
范
(2)利用计算关系 PB1⊥PC，PB1⊥PA
训练
基
【证明】 (1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1
础知
识
梳
中，AB＝AD＝1，∴底面 ABCD 是正方形，
理
聚
∴AC⊥BD.又 DD1⊥平面 ABCD，
焦考
向
AC⊂平面 ABCD，
透析
感
∴AC⊥DD1.
悟经

典
又 BD∩DD1＝D，BD⊂平面 BDD1，DD1⊂平面 BDD1，∴AC
焦考
向
透
又 PA∩PC＝P，PA⊂平面 PAC，PC⊂平面 PAC，
析
感
∴PB1⊥平面 PAC.
悟经典
考
【方法总结】面面垂直的关键是线面垂直
题
课
两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，
时规
范
训
运用时要注意“平面内的直线”．
练
基
2．(2013·海淀区期末练习)在四棱锥 P－ABCD
规范
训
练
垂直问题及计算的规范解答
基
础
知
(2011·高考辽宁卷)如图，四边形 ABCD
识梳
理
为正方形，QA⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB
聚
焦
＝12PD.
考向透析
(1)证明：PQ⊥平面 DCQ；
感
悟
(2)求棱锥 Q－ABCD 的体积与棱锥 P－DCQ 的体积的比值．
经典
考
【解题指南】 (1)证明 PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得 PQ⊥平题
透析
感

【领航密卷】2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题(pdf版,答案详细精解)

一、选择题 : 1 .A 2 .D 3 .D 4 .D 5 . B 6 .D 7 . B 8 . B 9 . B 1 0 .D 1 1 . B 1 2 .D 解析 : x 2 } } , ( ) } } , } 所以 M∩N={ 选 A. 1. M={ | 2, x> 0 ={ | 1 N={ x | l 2 xx ={ x | 0 < x< 2 x | 1 < x< 2 . g y y= y y> y= ) , ( ) , ( ) , ( ) 因为 P( 所以所以所以 2. ≤4 =0 . 7 9 P >4 =0 . 2 1 P 1≤ ≤4 =0 . 2 9 P -2≤ ≤1 =0 . 2 9 . ξ ξ ξ ξ 若α⊥ 则 γ∥ 错误 , 可能平行 , 也可能相交 ; 3. A. γ, α⊥ β, β, 若 m∥ 则α∥ 错误 , 可能平行 , 也可能相交 , 要判断两个平面平行, 需要两个平面内 B. n, m⊂ α, n⊂ β, β, 的两条相交直线相互平行 ; 若 m∥ 则 n∥ 错误 , 可能是 n∥ 也可能是 n⊂ C. n, m∥ α, α, α, α; 若 n⊥ 则α∥ 正确 . 垂直于同一条直线的两个平面平行 . 选 D. D. α, n⊥ β, β, 5 5 5 a 1 1 1ö , 1 ö 的展开通项 æ ö æ ö æ ö æ æ , , , 令 x= 得 1+ 所以 a=1 所以 x+ 4. 1 a=2 2 x= x+ 2 x2 xxøè xø xø è xø è xø è è r 5 1ö 1ö 展 r 5 ræ r r 5 r 5 2 r ) , , , , 为: 由5 得r= 由5 得r= 所以 æ C 2 x) =( 1 C5 2x , 2 r = 1 2 2 r=-1 3 2 x5( xø è xø è 5 5 1 1 1 æ ö æ ö æ ö 1 , , 开式中 x 项的系数为 8 展开式中 x 项的系数为所以 x+ 的展开式中 0 2 x4 0 2 xxø xø è xø è è 常数项为 8 0 4 0 = 4 0 . 第一次循环 : 第二次循环 : 第三次循环 : 第四次循 5. k=1, k=2, k=2, k=3, k=3, k=4, p=1, p=2, p=6, 环: 第五次循环 : 第六次循环: 此时条件不成立, k=4, 4, k=5, k=5, 2 0, k=6, k=6, 2 0, p=2 p=1 p=7 输出 p=7 选 B. 2 0, , , 由三视图知该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体其中圆锥的底面半径为 1, 高为 3. 四棱 6. 1 1 1 2 锥的底面为边长是 2 的正方形 , 高为 3, 所以这个几何体的体积为 V = ×π×1 × 3× + ×2 3 2 3 ( )3 8+π 选 D. ×2× 3= . 6 πö , 3 π 所以函 æ 因为 f( 且| 7. x) =s i n ω x+ 3 c o s ω x=2 s i nω x+ a) = -2, =0, α|的最小值为 , f( f( β) β 3ø 4 è π 2 π 2 , 数 f( 的周期为 3 所以 ω=2 x) π = = . T 3 π 3 x+3 , ( , ) ( ) , ) , 易知函数恒过定点所以 A( 又因为点 A 在直线x + y 8. a -2 a>0 a≠1 -3, -1 -3, -1 y= m n 3 1 3 1 3 m 3 n 3 m 3 n æ ö · =1 所以 + =1, 所以3 =-1 上 , m+n= ( 3 m+n) + =1 0+ + ≥1 0+2 6, m n n m n m èm n ø 所以 3 选 B. m+ n 的最小值为 1 6. ) ) ) ) 的几何意义为在 ( 处切线斜率 , 的几何意义为在( 处切线斜率, 9. ′( 2 2, ′( 2 ′( 3) 3, ′( 3) 3) -f f f f f f( ( ) ( ) f f 3 2 ( ) , ) ) ) ) ) 所以 f( 的几何意义范围点 ( 与点 ( 连线割线的斜率, 由 2 = 3 -f( 2 2, ′( 2 3, ′( 3) f f 3-2 , ( ) ( ) ( ) ( ) , 图象可知 0<f ′ 3 <f 3 -f 2 <f ′ 2 选 B. , , 因为 △F 所以设成等差数列 , 且设 1 0. P F | P F | | P F | | F F | | P F | = xd, | P F 1 2 的三条边长成等差数列 , 2 1 1 2 2 1 d , , ( ) , , , ( 则即又所以 | = x, | F F | = x + d x + d =2 c x x d = d =2 a x =2 c d a = . ∠ F P F =9 0 ° x 1 2 1 2 2 5 d 5 所以双曲线的离心率为 c 2 2 2 2 , , 解得 x= 即c 选 D. d) + x =( x+ d) 4 d, = d, e = = = 5 2 a d 2 1 2 2 1 1 2 若甲单独一组 , 则C 则C 所以不同的安排方案共有 1 1. C A2 =1 2有种。若甲不单独一组, C A2 =1 2, 2 3 3 2 选 B. 2 4种, 1 , 渐近线的夹角为 9 在同一支上 , 任意 ( 不存在 1 2. ①y= 是以x, 0 ° x ∈M , y 轴为渐近线的双曲线 , y 1, 1) x ( 不满足 “ 垂直对点集 ” 的定义 ; 对任意( 在另一支上也不存在( x ∈M , x ∈M , x ∈M , y y y 2, 2) 1, 1) 2, 2) ; ( 使得 x 所以不满足 “ 垂直对点集 ” 的定义 , 不是 “ 垂直对点集 ” x ②M = { x, | y y y) y= 1 2+ 1 2 =0 成立 , } , ( 在曲线上 , 两点构成的直角始终存在 , 所以 M={ 是“ 垂直对点 i n x+1 x, | i n x+1} y=s y) y=y=s ; ( , ) , ; 集” 对于 ③M = { 取 M( 不存在满足条件的点 , 所以不是“ 垂直对点集” 对于 x, | l o x} 1, 0 g y) y= 2 x ( } , , 两点构成的直角始终存在 , 所以是 “ 垂直对点集 ” 故选 D. ④M = { x, | e -2 y) y= 二、填空题 :

37.2014高考领航数学(理)6-6

【A 级】基础训练1．(2012·高考江西卷)下列命题中，假命题为( )A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数 C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn 都是偶数解析：举反例验证．选项B 中，若z 1＋z 2为实数，则保证z 1，z 2虚部互为相反数即可，并不需要z 1，z 2互为共轭复数，如z 1＝1－i ，z 2＝2＋i.故B 不对．答案：B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，所以(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案：D3．(2013·北京海淀区高三一模)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( ) A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列解析：若∀n ∈N *，总有c n ∥b n ，则可知c n ＝λb n (λ≠0)，用坐标表示可得a n ＝λn (λ≠0)，即数列{a n }为等差数列，故选A. 答案：A4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2. 答案：a 2＞b 2＋c 25．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的反设应该是________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥126．若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由Δ1＜0即a 2－4(－a )＜0，得－4＜a ＜0；由Δ2≥0即a 2－4(3－a )≥0得a ≤－6或a ≥2. 答案：(－4,0) (－∞，－6]∪[2，＋∞)7．已知a ，b 为非零向量，且a ，b 不平行，求证：向量a ＋b 与a －b 不平行．证明：假设向量a ＋b 与a －b 平行，即存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )成立，则(1－λ)a ＋(1＋λ)b ＝0，∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝0，1＋λ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－1，所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立． 8．已知常数p ＞0且p ≠1，数列{a n }的前n 项和S n ＝p1－p·(1－a n )，数列{b n }满足b n ＋1－b n＝log p a 2n －1且b 1＝1.(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当n ≥k 时，b n ≥(1－λ)(3n －2)恒成立，求k 的最小值．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p 1－p (1－a n )－p 1－p(1－a n －1)，整理得a n ＝pa n－1.由a 1＝S 1＝p 1－p (1－a 1)，得a 1＝p ＞0，则恒有a n ＝p n ＞0，从而a na n －1＝p .所以数列{a n }为等比数列．(2)由(1)知a n ＝p n ，则b n ＋1－b n ＝log p a 2n －1＝2n －1，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝n 2－2n ＋2，所以n 2－2n ＋2≥(1－λ)(3n －2)，则(3n －2)λ＋n 2－5n ＋4≥0在λ∈[0,1]时恒成立．记f (λ)＝(3n －2)λ＋n 2－5n ＋4，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥0f (1)≥0，解得n ≥4或n ≤1.又n ≥2，所以n ≥4.综上可知，k 的最小值为4.【B 级】能力提升1．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．答案：C2．(2013·临沂重点中学联考)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αB ．若b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αC ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥bD ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b解析：直线c 只垂直于平面α内的直线a 不能推出c ⊥α，所以A 选项错误；由b ⊂α，a ∥b 要推出a ∥α，还缺a ⊄α这一条件，所以B 选项错误；a ∥α时，a 可与平面α内的直线平行或异面，所以C 选项错误；D 选项显然成立．答案：D3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，g (x )＝1＋ln x ，h (x )＝e x ＋x 的零点分别为a ，b ，c ，则( )A ．c >a >bB ．a >c >bC ．a >b >cD ．b >a >c解析：由g (x )＝0，解得x ＝1e ，即函数g (x )的零点b ＝1e ；由e x ＞0知，函数h (x )的零点c ＜0；由f (1)＝1＞0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋ln 1e ＝1e －1＜0，及零点存在性定理可知，函数f (x )的零点a ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1.综上可知a ＞b ＞c . 答案：C4．(2013·陕西西安二模)设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．解析：对于①，a 、b 均可小于1；对于②，a 、b 均可等于1；对于④、⑤，a 、b 均可为负数；对于③，若a 、b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则a 、b 中至少有一个实数大于1. 答案：③5．(2013·河北唐山三模)已知a ，b ，μ∈R ＋且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．解析：∵a ，b ∈R ＋且1a ＋9b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16. ∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ， ∴0＜μ≤16. 答案：(0,16]6．(2013·福州市高三第一学期期末质量检查)“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图(1)、图(2)中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________.解析：图(1)中阴影部分面积为1×1×sin(α＋β)，图(2)中阴影部分面积为sin αcos β＋cos αsin β，所以该图所验证的一个三角恒等变换公式为 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 答案：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β7．(2013·东北三校模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线． (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．h′(x)＝1x＋1－x2＋x－1＝－x3x＋1.h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．。

高考领航2014届高考数学(理)小题精炼：20算法与框图

小题精练(二十) 算法与框图(限时：60分钟)1．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝2，则输出y 的值为( )A ．5B ．9C ．14D ．412．(2013·高考江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜113．(2014·石家庄市模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为()A ．1B ．9C ．17D ．204．(2013·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．5855．(2013·高考广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．76．在如图所示的程序框图中，输入A ＝192，B ＝22，则输出的结果是()A ．0B ．2C ．4D ．67．(2013·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1 B.23C.1321 D.6109878．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ()A.16B.2524C.34 D ． 11129．(2013·高考辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A.511B.1011C.3655D.725510．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为()A ．0.2，0.2B ．0.2，0.8C ．0.8，0.2D ．0.8，0.811．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()A．T＞0？，A＝M＋W50B．T＜0？，A＝M＋W50C．T＜0？，A＝M－W50D．T＞0？，A＝M－W5012．某算法的程序框图如图所示，执行该算法后输出的结果i的值为()A．4 B．5C．6 D．713．(2014·惠州市调研考试)阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．14．执行如图所示的程序框图，输出的结果是________．15．(2013·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．________．小题精练(二十)1．解析：选D.第一次循环后：x ＝5，y ＝14；第二次循环后：x ＝14，y ＝41，此时|x －y |＞9，终止循环，故输出y 的值为41.2．解析：选 B.根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S ＜9. 3．解析：选C.逐次运行的结果是S ＝9，T ＝4；S ＝17，T ＝20，此时T ＞S ，输出S 的值为17，故选C.4．解析：选B.按照程序框图执行算法，写出运行结果．程序框图执行过程如下：x ＝1，S ＝0，S ＝1，S ＜50⇒x ＝2，S ＝9，S ＜50⇒x ＝4，S ＝73＞50，跳出循环，输出S ＝73.5．解析：选C.根据初始化条件，顺次执行程序就可以得出结果．第一次执行循环：s ＝1，i ＝2(2≤3成立)；第二次执行循环：s ＝2，i ＝3(3≤3成立)；第三次执行循环：s ＝4，i ＝4(4≤3不成立)，结束循环，故输出的s ＝4，故选C. 6．解析：选B.输入后依次得到：C ＝16，A ＝22，B ＝16；C ＝6，A ＝16，B ＝6；C ＝4，A ＝6，B ＝4；C ＝2，A ＝4，B ＝2；C ＝0，A ＝2，B ＝0.故输出的结果为2，选B.7．解析：选C.利用程序框图所表示的算法逐步求解．当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的，因此输出S ＝1321.8．解析：选D.利用框图的条件结构和循环结构求解．s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34； n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.9．解析：选A.因为S ＝13，i ＝4<10，所以S ＝13＋115＝25，i ＝6<10，所以S ＝25＋135＝37，i ＝8<10，所以S ＝37＋163＝49，i ＝10＝10，所以S ＝49＋199＝511，i ＝12>10，输出S ＝511.10．解析：选C.根据输入的a 的值的不同而执行不同的程序．由程序框图可知：当a ＝－1.2时，∵a <0， ∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8， a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8.当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2.11．解析：选D.依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.12．解析：选C.第一次循环S ＝1，满足S <30，所以P ＝0＋1＝1，S ＝1＋1＝2，i ＝1＋1＝2；第二次循环S ＝2，满足S <30，所以P ＝1＋2＝3，S ＝2＋3＝5，i ＝2＋1＝3；第三次循环S ＝5，满足S <30，所以P ＝3＋3＝6，S ＝5＋6＝11，i ＝3＋1＝4；第四次循环S ＝11，满足S <30，所以P ＝6＋4＝10，S ＝11＋10＝21，i ＝4＋1＝5；第五次循环S ＝21，满足S <30，所以P ＝10＋5＝15，S ＝21＋15＝36，i ＝5＋1＝6；第六次循环S ＝36，不满足S <30，输出的i ＝6.13．解析：执行程序框图可得n ＝5，k ＝0；n ＝16，k ＝1；n ＝49，k ＝2；n ＝148，k ＝3；n ＝148×3＋1>150，循环结束，故输出的k 值为3. 答案：314．解析：共循环2 013次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014＝1－12 014＝2 0132 014.答案：2 0132 01415．解析：利用程序框图表示的算法逐步求解．当a ＝1，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为3，当a ＝3，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为5，当a ＝5，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为7，当a ＝7，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为9，由于9>8成立，故输出a 的值为9. 答案：9 16．解析：S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3. 答案：31．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则()A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数解析：选D.由图易知，该程序框图的功能是选择A 的最大数和选择B 的最小数，选D.2．(2013·长春市高三质检)如图的程序框图，如果输入三个实数b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A．c＞x?B．x＞c?C．c＞b?D．b＞c?解析：选A.由于要取a，b，c中最大项，输出的x应当是a，b，c中的最大者，所以应填比较x与c大小的语句，结合各选项知选A.3．(2014·温州市高三质检)按如图所示的程序框图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________．解析：由题意，得x＝20，k＝0；k＝1，x＝39；k＝2，x＝77；k＝3，x＝153，循环终止，输出的k＝3.答案：3。

43.2014高考领航数学(理)7-5

【A级】基础训练1．(2013·惠州调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案：C2．给出下列条件(其中l和a为直线，α为平面)：①l垂直α内一凸五边形的两条边；②l 垂直α内三条不都平行的直线；③l垂直α内的无数条直线；④l垂直α内正六边形的三条边；⑤a∥α，l⊥a.其中是l⊥α的充要条件的是()A．①②⑤B．③④C．①③⑤D．②④解析：因为凸五边形可能存在两条边平行，所以①不正确；②正确；因为α内有无数条直线平行，所以③不正确；因为正六边形的三条边中必有两条边不平行，故④正确；⑤不正确，选D.答案：D3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PA⊥ADB．平面ABCDEF⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．故选A.答案：A4．(2013·绵阳质检)在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析：如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案：①②5．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：DM⊥PC(或BM⊥PC等)．连接AC，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(不惟一)7．(2013·湖北黄冈模拟)如图，在三棱柱ABC－AB1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1⊥平面ABC，点D是BC的中点．(1)求证：AD⊥C1D；(2)求证：A1B∥平面ADC1.证明：(1)因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，因为BC∩C1C＝C，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥C1D.(2)连接A1C交AC1于点E，连接DE.因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以ED∥A1B，又ED⊂平面ADC1，A1B∉平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.8．(2013·武汉模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°.(1)求棱柱的高；(2)求B1C1与平面A1BC1所成的角的大小．解：(1)由三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱可知，AA1即为该三棱柱的高．如图，因为BC∥B1C1，所以∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或其补角．连接A1C，因为AB＝AC，所以A1B＝A1C＝1＋AA21.在Rt△ABC中，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，可得BC＝ 2.又异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，所以∠A1BC＝60°，即△A1BC为正三角形．于是A1B＝BC＝ 2.在Rt△A1AB中，由1＋AA21＝A1B＝2，得AA1＝1，即棱柱的高为1.(2)连接B1A，设B1A∩BA1＝E，连接C1E，由(1)知，B1A1＝AA1＝1，所以矩形BAA1B1是正方形，所以B1E⊥A1B.又由A1C1⊥平面A1B1BA，得A1C1⊥B1E，所以B1E⊥平面A1BC1.故∠B1C1E就是B1C1与平面A1BC1所成的角．在Rt△A1B1C1中，由A1B1＝A1C1＝1，∠B1A1C1＝90°，得B1C1＝ 2.在Rt△B1EC1中，由B1E＝12AB1＝22，B1C1＝2，得sin∠B1C1E＝B1EB1C1＝12，故∠B1C1E＝30°.因此B1BC1与平面A1C1所成的角为30°.【B级】能力提升1．(2013·潍坊市适应性训练)已知两条直线a、b与两个平面α、β，b⊥α，则下列命题中正确的是()①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析：过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β可得α∥β，命题③为真命题，故正确选项为A.答案：A2．(2013·开封质检)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．答案：B3．(2013·金丽衢十二校二次联考)已知α，β是不同的两个平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：对于A，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面．故选项A 正确；对于B ，如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面相互平行，故选项B 正确；对于C ，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，故选项C 正确；对于D ，注意到直线m 与直线n 可能异面，因此选项D 不正确．综上所述，选D.答案：D4．(2013·东北三校联考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F为线段EC (端点除外)上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABCF ，DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABCF ，∴DK ⊥AF .∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点，∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x＝x a ，整理x 2－3ax ＋2a 2＝0解得x ＝a 或x ＝2a .答案：a 或2a6．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过A 作AC ⊥平面β于C ，C 为垂足，连结CB ，过C 作CD ⊥l 于D ，连结AD ，则AD ⊥l ，∴∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，即∠ADC ＝60°.∵AC ⊥β，∴∠ABC 为直线AB 与平面β所成角．设AB ＝1，则AD ＝12，AC ＝12×32＝34，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝341＝34. 答案：347．(2012·高考湖北卷)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？解：(1)证明：因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD .又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD .因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ，平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是，由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1.又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1 300(cm 2)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h等腰梯形的高＝202＋4×12×(10＋20)132－⎣⎡⎦⎤12(20－10)2＝1 120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm)2，故所需加工处理费为0．2S＝0.2×2 420＝484(元)．。

46.2014高考领航数学(理)7-7

考题
【审题视点】建立以 A 为原点的空间坐标系，利用数量积证
课时
规
明 B1E⊥AD1，设 P(0,0，z0)利用法向量待定 z0，利用法向量的夹角
范训练
研究二面角的大小待定 B 点坐标．
【解】 (1)证明：以 A 为原点，A→B，A→D，
基
础
知
A—→A1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立
OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．
基
①如图①，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直
础知
识
梳
线，则二面角的大小θ＝〈A→B，C→D〉．
理聚
焦
考
向
透
析
感
悟
经
典
考
②如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法题
课
向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
10 10 .
规范训练
答案：D
基
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝12，那么直
础知
识
梳
线B1C1和平面A1BCD1的距离是________．
理
聚
答案：6103
焦考向透
析
5．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD
感
悟
经
⊥平面ABCD，SD＝2，AD＝ 2.则二面角C－AS－D
故有sin θ＝|cos〈m，n〉|.
经典
考
◆利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β 题
课
时
的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，

【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件：第7章第7讲

(3)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为________．
第七章第7讲
第14页
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课前自主导学核心要点研究课课精彩无限经典演练提能限时规范特训
3. 求空间的距离 (1)点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d ＝________. (2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．
第七章第7讲
第23页
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课前自主导学核心要点研究课课精彩无限经典演练提能限时规范特训
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)．又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第七章第7讲
第22页
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[解]
课前自主导学核心要点研究课课精彩无限经典演练提能限时规范特训
(1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
设 AB＝a，则 A(0,0,0)，D(0，1,0)，
D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故A→D1＝(0,1,1)，B→1E＝－a2，1，－1， A→B1＝(a,0,1)，A→E＝a2，1，0. ∵A→D1·B→1E＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.
第七章第7讲
第10页
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