拉普拉斯表变换在求解微分方程中的应用
浅谈拉普拉斯变换的应用
浅谈拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种实用的数学处理方法，它使本经常以振动形式变化的函数在时间维度上单调变化，为解决许
多不能立即解决的动态问题提供了有效的方法。
拉普拉斯变换与傅里
叶变换、快速傅里叶变换等傅里叶分析方法同属基础数学处理方法之一，它具有易于理解、快速计算等特点，可将一些线性或非线性的积
分形式的问题转换成求解一个简单的算式来进行计算，因此在工程中
有着广泛的应用。
拉普拉斯变换主要应用于积分微分方程求解，它可以将一些本不
能立即求出的复杂的积分形式的动态问题变形为简单的算式，从而快
速得出解析解。
拉普拉斯变换可广泛应用于工程模型的建立与分析，
比如可以应用于惯性对称模型、拉格朗日水淹模型等，求解一些复杂
的随机变量模型；也可以用于状态空间方程，能够快速求出所需的状
态变量；此外，它还可以用于系统的平滑滤波等，使系统模型的分析
更加准确。
拉普拉斯变换在工程中的应用还不仅于此，它在信号处理、传感
器过滤、非线性系统的分析，以及控制系统分析中也都有着重要作用。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用来提取有用的低频信息，以及用
来去除高频干扰信号；在非线性系统分析中，它可以用来精确分析系
统动态行为，确定系统稳定性等；在控制系统分析中，它能够用来分
析系统跟踪误差，确定控制策略等。
综上所述，拉普拉斯变换有着广泛的应用，在工程中可以用来解
决许多复杂的动态问题，并且具有易于理解、快速计算等特点，使得
它成为工程中不可多得的有效处理方法。
(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
微分积分方程利用拉普拉斯变换
微分积分方程利用拉普拉斯变换
微分积分方程利用拉普拉斯变换是指使用拉普拉斯变换来对微分积分方程进行解决。
无论是线性或非线性都可以采用这种方法。
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数的变换，它通常用于解决常微分方程（ODE）、求解积分方程等问题。
运用拉普拉斯变换求解微分积分方程，是将微分积分方程变换为一个关于新变量的线性方程组，解决线性系统，从而求解原问题的方法。
通常，拉普拉斯变换求解微分积分方程的过程如下: 首先，将微分积分方程写成常微分方程的形式，然后将常微分方程用拉普拉斯变换变换为线性的方程组；再求解该线性方程组，最后倒换回原来的变量得到解决方案，称之为拉普拉斯变换求解微分积分方程。
拉普拉斯变换求解微分积分方程的优势在于：其过程更加简单，不需要计算复杂的积分，因此可以极大地缩短求解时间；其次，可以易于定位问题，如将微分积分方程中的隐藏模式转换为明显的模式；第三，可以实现快速迭代求解，从而有效地避免采用数值方法的结果的不精确性和可能的精度损失。
拉普拉斯变换求解微分积分方程的本质是，将原问题从时域转换到频域，以提高求解效率，这使用拉普拉斯变换求解微分积分方程成为数值计算中的一种有效技术。
拉普拉斯变换 微分方程
拉普拉斯变换微分方程
拉普拉斯变换与微分方程
拉普拉斯变换（Laplace Transform）是一种重要的数学工具，它是将一个在时间域中的函数转换为在复平面上的复函数的过程。
拉普拉斯变换广泛应用于控制工程、信号处理、电路分析与设计等领域。
在微积分学中，微分方程是一种数学模型，它描述了系统或过程的动态行为。
拉普拉斯变换可以通过将微分方程转化为代数方程的形式，来进一步研究微分方程的性质和解析解。
在微积分学中，微分方程可以分为常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs）。
例如一阶线性常微分方程可以表示为：dy/dt+a*y=f(t)，其中y是未知函数，a是一个常数，f(t)是已知的函数。
拉普拉斯变换可以将这个方程转化为：Y(s)=F(s)/(s+a)，其中Y(s)和F(s)分别是y(t)和f(t)在复平面上的拉普拉斯变换。
这个转化使得求解y(t)变得容易和简便，只需将Y(s)反变换回y(t)，即可得到y(t)的解析表达式。
同样的方法也可以用于高阶常微分方程和偏微分方程的求解。
除了求解微分方程的解析解外，拉普拉斯变换还可以用于分析系统的稳定性、阻尼特性、响应时间等特性。
例如，一个控制系统的传递函数可以表示为：G(s)=Y(s)/U(s)，其中U(s)和Y(s)是输入信号和输出信
号在复平面上的拉普拉斯变换。
通过分析G(s)的极点和零点分布，就可以预测系统的频率响应、稳定性等性质。
总之，拉普拉斯变换与微分方程密切相关，它们是工程和科学中重要的数学工具，为我们理解和分析各种动态系统提供了有效的方法和手段。
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
பைடு நூலகம்
2.3 拉氏反变换
由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反 变换常用下式表示：
f (t ) L [ F ( s)]
1
2 j
1
c j
c j
F ( s )e
表2-1 常用函数的拉氏变换对照表
2.2 拉氏变换的运算定理
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换 的代数和。即:
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即:
f (t )dt
t 0
f (t )dt
2
t 0 f (t )dt
s
n
n 1 t 0
0
则：L[ f (t )dt ]
n
F ( s)
上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的 n 拉氏式等于其象函数除以 s
5.延迟定理 当原函数 f (t )延迟 时间，成为 f (t )时，它 的拉氏式为： s L[ f (t )] e F ( s) 上式表明，当原函数 f (t ) 延迟 ，即成 f (t ) 时， 相应的象函数 F (t )应乘以因子 e s 。 6.终值定理 上式表明原函数在 f (t ) 时的数值(稳态值)，可以通过 将象函数 F (t )乘以 s 后，再求 s 0的极限值来求得。 条件是当 t 和 s 0 时，等式两边各有极限存在。 终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统 的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的 应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
拉普拉斯变换求解微分方程典型范例
Laplace 变换在微分方程(组)求解例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011n nn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰ （*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1n n nn d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即()()()1nnn n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1nnn m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s d L tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++= 由此得()32331s s s X s s+++= 把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271s s Y s s s -+=+-+ 于是 ()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dx x ydt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333t t t x t te y t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()212100s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t t y t t=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s +=求解得()()()1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410s s Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f te dt +∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t=。
微分方程的拉普拉斯变换法
微分方程的拉普拉斯变换法微分方程是描述自然现象和工程问题的数学模型，而解微分方程是研究微分方程的核心内容之一。
在解微分方程的过程中，拉普拉斯变换法是一种常用的方法，常被用来处理线性常系数微分方程。
本文将介绍微分方程的拉普拉斯变换法的基本原理和应用。
基本原理拉普拉斯变换是一种对函数进行变换的方法，可以将一个在时间域内的函数转换成一个在频域内的函数。
在解微分方程时，我们常常将微分方程转化为代数方程以便求解，而拉普拉斯变换可以帮助我们实现这一目的。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：$$F(s) = \\int_{0}^{\\infty} e^{-st} f(t) dt$$其中s是变换后的频域变量。
通过拉普拉斯变换，我们可以将原微分方程转化为一个代数方程，从而更容易地求解。
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在解微分方程中有着广泛的应用。
通过将微分方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到一个关于变换后频域变量的代数方程，然后通过解这个代数方程来求得原微分方程的解。
举一个简单的例子：考虑一个二阶常系数线性微分方程：$$\\frac{d^2y}{dt^2} + a\\frac{dy}{dt} + by = f(t)$$其中a、b是常数，f(t)是已知函数。
我们可以对该微分方程进行拉普拉斯变换，得到：s2Y(s)+asY(s)+bY(s)=F(s)其中Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换。
通过解这个代数方程，我们可以得到Y(s)，然后通过拉普拉斯逆变换得到原微分方程的解y(t)。
总结拉普拉斯变换方法是解微分方程的强大工具之一，它可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。
通过学习和掌握微分方程的拉普拉斯变换法，我们可以更加高效地解决微分方程相关的问题。
在工程和科学领域，拉普拉斯变换方法被广泛应用，有着重要的理论和实际意义。
以上就是关于微分方程的拉普拉斯变换法的简要介绍，希望对读者有所帮助。
如果想深入了解该方法，建议学习相关课程或参考相关书籍进一步学习。
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。
其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。
拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。
设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。
函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。
二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。
因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。
2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。
利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。
3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。
利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。
三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。
特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。
因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。
拉普拉斯变换求解微分方程典型范例
拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace 变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值范围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011nnn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰.主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰（*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1nnnn dL f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦即()()()1nnnn d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1n nnmmn d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1）对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦ ()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s dL tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d dL tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++=由此得()32331s s s X s s+++=把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++例2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271ss Y s s s -+=+-+ 于是()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t tt y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+-2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dxx y dt dyx y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解.解设()()()0stX s L x t e x t dt+∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0stY s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333tt tx t tey t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()21210s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t ty t t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y ==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y dus y dys u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s+=求解得()()()1,1sxu x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111tx u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410ss Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13ty t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d ds X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f t e dt+∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为()sin t=x tt。
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的实际应用
拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的实际应用拉普拉斯变换的实际应用在工程学上的应用应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1．例2求解初值问题用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组)转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解．2 利用拉氏变换求积分方程用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁．答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。
该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。
用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。
答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。
s域电路分析拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯变换在微分方程中的应讲解
指导老师：常莉红拉普拉斯变换在微分方程中的应用王彦朋（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）摘 要： 利用了拉普拉斯变换及其它的性质,讨论了它在线性时不变系统的时域响应和电路分析中的应用.关键词：拉普拉斯变换；微分方程；电路分析随着计算机的飞速发展，系统分析和设计的方法发生了革命性的变化.原来用传统的模拟系统来进行的许多工作，现在都可能用数字的方法来完成.因此，数字电路、离散系统的分析方法就更显得很重要了.其中，拉普拉斯变换是分析这类系统极为有效的方法，从而给学习使用者在应用上带来很大的方便.1 拉普拉斯变换的定义定义[]1：设函数()f t 是定义在[]0∞，+上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()0e d st F sf t t +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为()()F s L f t =⎡⎤⎣⎦；相应地，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为()()1f t L F s -=⎡⎤⎣⎦.有时我们也称()f t 与()F s 分别为象原函数和象函数.2 拉氏变换存在定理若函数()f t 满足下列条件：（1）在0t ≥的任何有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时，()f t 具有有限的增长性，即存在常数0M >及0c ≥，使得()e ct f t M ≤ ()0t ≤<+∞（其中c 称为()f t 的增长指数）.则象函数()F s 在半平面Re s c >上一定存在，且是解析的.3 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12,a a 为任意常数，则有()()()()11221122L a f t a f t a F s a F s +=+⎡⎤⎣⎦.（2） 微分性质：若()[](),s F t f L =则()()()d 0d L f t sF s f t -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（3） 积分性质：若()[](),s F t f L =则()()01t L f t dt F s s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰.（4） 位移性质：若()[](),s F t f L =则()()e atL f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦.（5） 延迟性质：若()[](),s F t f L =则当00t >时，有()()()000e st L f t t u t t F s ---=⎡⎤⎣⎦. （6） 卷积性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦则有()()()()1212L f t f t F s F s *=⎡⎤⎣⎦.（7） 初值定理与终值定理:①初值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,s t f t sF s +→∞→=或()()0lim s f sF s +→∞=. ②终值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,t s f t sF s →∞→=或()()0lim s f sF s →∞=.4 拉普拉斯变换的应用4.1 利用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数()t f 及其各阶导数的方程称为微分方程.如果()t f 及其各阶导数都是一次的，则称之为线性微分方程.例 解微分方程()()()()()22d d 22e ,00,0 1.d d tf t f t f t f f t t-'-+=== 解 方程两端同时进行拉氏变换，得()()()211221s F s sF s F s s --+=+ 整理得()()()()()()22221117151551221111s s F s s s s s s s +-==-+++-+-+-+ ()s F 的反拉普拉斯变换就是原方程的解，即()()1117e e cos sin 555t t f t L F s t t --⎛⎫==+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 从以上分析可知，所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法，实质上就是把时间域里的问题变换到s 域去求解，最后通过反变换再返回时间域.上述拉普拉斯变换中的复数s （或s 域）常常称为复频率（或复频域）. 4.2 利用拉普拉斯变换求解线性系统的响应这里讨论的范围，只限于线性系统.所谓系统，是用来处理各种输入信号的装置，这种处理可以用硬件来实现，如由各种电器元件组成的电路网络，机械元件组成的运动系统，都称为系统.这些系统的规律也可以用某中数学方法来描述，如电路方程，微分方程，硬件系统的传递函数（网络函数）等.这时，我们也称这些数学表达方式为系统.也就是说，系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律.系统可以用软件表示，因为只要把这些规律掌握了，对实际系统的特性也就能充分地了解了.关于信号，在电路网络中就是指电压和电流.一般通指系统中一些变量和机械系统的位置、速度、压力和流量等等.设一个系统，在输入信号为()t f 1和()t f 2时的输出信号为()t y 1和()t y 2，若输入信号为()()t bf t af 21+时，其输出信号为()()t by t ay 21+（b a ,为常数），则这个系统为线性系统.如果系统的参数（如电阻、电容值等）是不随时间改变的，则称该系统为线性定常系统或线性时不变系统.利用拉普拉斯变换求线性系统的响应是其重要的应用之一.下面通过举例说明高阶微分方程的复频域解与状态方程的复频域解.4.2.1 高阶微分方程的复频域解对于线性系统，将微分方程的全解分解为零输入响应和零状态响应.其中，零输入响应是指没有外加激励信号的作用，仅由系统的储能元件的初始储能所引起的响应，用()zi r t 表示. 零状态响应是指系统初始条件为零（即系统中储能元件的初始储能为零）时，由外加激励信号()e t 产生的响应，用()zs r t 表示.系统的完全响应是零输入响应与零状态响应的和[]2，即()()()zi zs r t r t r t =+.例 系统的方程为()()()()()22d d d322,d d d r t r t r t e t e t t t t++=+()()()().00,10,='==---r r t u e t e t 求零状态响应、零输入响应和完全响应.解 由于()()e t e t u t -=是因果信号，且(),11+=s s E 用拉普拉斯变换求解. 设()(),s R t r ↔则()()()()10-=-↔'-s sR r s sR t r ()()()()()s s R s r sr s R s t r -='--↔''--2200系统方程两边同时进行拉普拉斯变换，有()()()()()231221s R s s sR s R s s E s -+-+=+⎡⎤⎣⎦求得()()()233122+++++=s s s s E s s R ()()233231222+++++++=s s s s s s E s ()()s R s R zi zs +=零状态响应的拉氏变换为()()s E s s s s R zs 23122+++=()()211121s s s s +=⋅+++ ()2313112+-++++-=s s s 则零状态响应为()()()2e 3e 3e t t t zs r t t u t ---=-+-零输入响应的拉氏变换为()21122332+-++=+++=s s s s s s R zi 则零输入响应为()()()22e e t t zi r t u t --=-完全响应的拉氏变换为()()()2222131543232121s s R s E s s s s s s s s ++--=⋅+=+++++++++ 完全响应为()()()()()2e 5e 4e t t t zi zs r t r t r t t u t ---=+=-+-通过上述例题分析可知：利用拉普拉斯变换求系统响应，需首先将描述系统输入输出关系的高阶微分方程逐项进行拉普拉斯变换，得到复频域的代数方程，求出代数方程的解答后，经过反变换即可得到时域解.4.2.2 状态方程的复频域解法 线性系统的状态方程的标准形式为()()()d d t A t B t tλλ=+ （1） 系统的输出方程为()()()y t C t D t λ=+（2） 式中，,,,A B C D 为系数矩阵；,y x λ，分别为状态变量、输出变量和系统的输入变量.对状态方程式()1两边作拉普拉斯变换，得()()()()0s s A s BX s λ-Λ-=Λ+式中，()()()();s L t X s L x t λΛ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦上式经整理得()()()()()110s sI A sI A BX s λ---Λ=-+- （3）对输出方程式()2作拉普拉斯变换，将式()3代入其中，得()()()Y s C s DX s =Λ+()()()()110C sI A C sI A B D X s λ---⎡⎤=-+-+⎣⎦()()zi zs Y s Y s =+ （4）其中，()()10zi Y C sI A λ--=-为系统的零输入响应；()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦为系统的零状态响应.式()()34与式经拉氏反变换后，得到时域形式的解()()()()(){}1110t L sI A sI A BX s λλ----⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦（5） ()()()()(){}1110y t L C sI A C sI A B D X s λ----⎡⎤=-+-+⎣⎦（6）比较式()5与状态方程的时域解，即()()()()0e 0e d tA t At t Bx τλλττ---=+⎰可见，状态转移矩阵()()111adj e At sI A L sI A L sI A ---⎡⎤-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦（7） 式中，()adj sI A -是()sI A -的伴随矩阵；sI A -是()sI A -的特征多项式.利用式()7可以较方便地计算出e ,At 从而可以求出系统的零输入响应与零状态响应.例 已知状态方程和输出方程中的各矩阵分别为,1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A 01,10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C ,0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D 输入矢量为()(),⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u δ初始状态为()(),01001211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ求输出().t y解 首先求e At 的拉普拉斯变换.由式()7有()1112e 01Ats L sI A s ----⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦+⎣⎦()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=110121110211112s s s s s s s 由()()()---=01λA sI C s Y zi 得系统零输入响应的复频域解，即()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01101110121110112z s s s s s Y i 系统零状态响应的复频域解()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦2121110110110111010101s s s s ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪--⎢⎥=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=1101111s s s s s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=1112s s因此得系统全响应的时域解为()()()11zi zs y t L Y s L Y s --=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦e 2e 3e 0e e t t t t t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()0≥t由上例可见，矩阵A 的特征值决定了系统的自由响度.实际上它们就是系统的固有频率，因此可根据A 的特征值来判断系统的特性.4.3 拉普拉斯变换在电路分析中的应用4.3.1 关于线性动态电路的s 域分析法动态电路的s 域分析法，是指应用拉普拉斯变换的电路模型法.其关键在于正确作出动态电路的s 域模型.作电路的s 域模型和进行s 域分析.应明确如下几点.1. s 域中的电压和电流在s 域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示.通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数.电路中的电压和电流用它的象函数表示，如()()s U t u →，()()s I t i →，()()c c u t U s →，()()L L i t I s →等.2.R ，L ，C 元件的s 域形式及其s 模型 （1）电阻元件R 的s 域形式为()()U s RI s =，或()()s GU s I =s 域模型如图1()a ,()b 所示.（2）电感元件L 的s 域形式为()()()0L L L U s sLI s Li -=- 或()()()01L L L i I s U s sL s-=+ s 域模型如图2()a ,()b 所示.其中sL 称为复频域感抗，1sL称为复频域感纳.()-0L Li 是由电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s I L 为非关联参考方向；()0L i s -是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与1sL中电流参考方向相同.（3）电容元件C 的s 域形式为()()01c c c u U I s sC s-=+ 或()()()0c c c I s sCU s Cu -=-其中，sC 1称为复频域容纳,()0c u s-是由电容元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s U c 参考方向一致，()-0c Cu 是由电容元件初始状态产生的附加电流源电流，与()s U c 为非关联参考方向.由于R ，L ，C 元件阻抗和导纳两种s 域模型，故一个时域动态电路便可以作出两种s 域模型.电路分析时宜采用哪一种s 域模型呢？应视电路的结构而定.一般而言，串联电路宜采用阻抗s 域模型，并联电路则宜采导纳抗s 域模型. 3.基尔霍夫定律的s 域形式[]3基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL ）和电压定律（KVL ）. （1）KCL ：在s 域中沿任一节点处各支路电流象函数的代数和为零，即()0I s =∑.（2）KVL ：在s 域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为零，即()0U s =∑.4. s 域阻抗与s 域导纳（1）零状态RLC 串联电路的s 域阻抗()s Z ，是各元件阻抗之和，即()1Z s R sL sC=++（2）零状态RLC 并联电路的s 域导纳()s Y ，是各元件导纳之和，即()1Y s G sC sL=++ （3）s 域阻抗与s 域导纳，是互为倒数的关系，即()()1Z s Y s =，或()()1Y s Z s =（4）s 域阻抗()s Z 与s 域导纳()s Y 两端电压和通过电流象函数()s U ，()s I 符合欧姆定律，称为欧姆定律的s 域形式，即()()()s I s Z s U =或()()()s U s Y s I =下面举例来说明线性动态电路的s 域分析法.例 应用s 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应,如图-4()a 所示电路,求阶跃响应()u t 和()i t .图4.3.1-4解 （解题思路）本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应.作s 域模型中没有附加电源.s 域分析计算的步骤是，首先做出时域电路的s 域模型，然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反变换为时域响应.（解题方法）（1）作出时域电路的s 域模型如图4()b 所示.其电压源的象函数是,10s复频域感抗(),s s Z L =复频域容抗()1C Z s s=.（2）求电压(),t u 应用节点分析法，列出节点方程为()110111+=⎪⎭⎫⎝⎛+++s s s U s s 化简整理得()()()()j s j s s s s s s U ++-+=++=111022102js k j s k s k +++-++=11321 计算待定常数()522100201=++=•===s s s s s U s k()()()45251101112-<-=++=•-+=+-=+-=js j s j s s s U j s k 452523-<-==k k 进行拉氏变换得出()()()()15cos 45t u t L U s t t V ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)求()t i电路的s 域阻抗为 ()()111+++=s s s Z 故 ()()()()()22110111102+++=+++==s s s s s s s s Z S U s I S ()()()j s j s s s ++-++=11110js k j s k s k +++-++=11321计算待定常数()()5221100201=+++=•===s s s s s s I s k()()()()2111011451s js js k s j I s s s j =-+=-++=+-•==<-++3245k k ==<- ()5I s s =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行反拉氏变换得出()()()()15cos 45t i t L I s t t A ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦本文通过讨论了拉普拉斯变换在线性时不变系统的时域响应，对复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应.这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算易于进行.应用拉普拉斯变换分析动态电路，把时域电路直接变换为复频域电路，即s 域模型.根据s 域模型进行分析计算，得出响应量的s 域形式，最后反变换为时域响应.这种分析方法易于对任意函数激励的动态电路进行分析计算，是一种具有广泛意义的分析方法. 除了以上所述内容之外，拉普拉斯变换还有许多应用，例如数学上还可以用来解一类积分方程，偏微分方程等等.致谢：本文在撰写过程中得到常莉红老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献：[1] 华中理工大学数学系编著.复变函数与积分变换[M ].北京：高等教育出版社1997：210-211.[2] 姜建国，曹建中，高玉明编著.信号与系统分析基础（第二版）[M ].北京：清华大学出版社，2006：27-28.[3] 马金龙，胡建萍，王苑苹编著.信号与系统[M ].北京：科学出版社，2006：222-223.Laplace transform and Its Application in the differentialequationsWANG Yan-peng（Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi,China）Abstract: Laplace transform and other application are utilized in the article,and then it is discussed to a linear not change the domain of the system and circuit analysis.Key words: Laplace transform; Differential equation;Circuit analysis宝鸡文理学院本科毕业论文任务书注：课题性质分为①理论型②实践应用型。
拉普拉斯变换在常微分方程中的应用
拉普拉斯变换在常微分方程中的应用常微分方程是数学中的重要分支，用于描述物理、工程、经济等领域中的变化关系。
而拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化问题的求解过程。
本文将探讨拉普拉斯变换在常微分方程中的应用，展示它在解决实际问题中的重要性。
一、拉普拉斯变换的定义与性质在介绍拉普拉斯变换在常微分方程中的应用之前，我们先来回顾一下拉普拉斯变换的定义及其基本性质。
拉普拉斯变换是一种将函数从时域转换为频域的方法。
对于函数f(t)，它的拉普拉斯变换记作F(s)，定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, +∞] e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为实变量。
拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、平移性、微分性和积分性等，这些性质为我们在求解常微分方程时提供了便利。
二、拉普拉斯变换在常微分方程求解中的应用1. 初值问题的求解拉普拉斯变换常常用于求解常微分方程的初值问题。
对于一个满足初始条件的常微分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，再通过代数运算求解得到结果。
例如，考虑二阶线性常微分方程 y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0，初始条件为y(0) = 1，y'(0) = 0。
对其进行拉普拉斯变换，得到s^2Y(s) - s + 2sY(s) - 1 + Y(s) = 0整理得到Y(s) = 1 / (s^2 + 2s + 1)通过部分分式分解，我们可以将 Y(s) 分解为两个简单分式的和，然后查找分解后的形式在拉普拉斯变换表中对应的反变换，得到原方程的解 y(t)。
2. 非齐次线性常微分方程的求解拉普拉斯变换还可以用于求解非齐次线性常微分方程。
对于非齐次线性常微分方程 y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t) = f(t)，我们可以通过拉普拉斯变换将其转化为一个代数方程，并利用拉普拉斯变换表中的性质求解。
拉普拉斯变换 微分方程
拉普拉斯变换与微分方程引言微分方程是数学中重要的一门学科，广泛应用于物理学、工程学等领域。
而拉普拉斯变换则是一种常用于解微分方程的工具，它能够将微分方程转化为代数方程，更便于求解。
本文将深入探讨拉普拉斯变换与微分方程的关系，以及如何利用拉普拉斯变换解微分方程。
拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种由法国数学家拉普拉斯在19世纪提出的数学工具，用于将一个函数或信号在时间域上的表达转换为在复平面上的表达。
对于一个定义在半无穷区间上的函数f(t)，它的拉普拉斯变换被定义为：+∞F(s)=∫e−stf(t)dt0−其中，s是复平面上的复变量，常被称为拉普拉斯变换变量。
拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有许多有用的性质，这些性质为解微分方程提供了便利。
以下是一些常见的拉普拉斯变换性质：线性性质如果f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意的实数a和b，af(t) + bg(t)的拉普拉斯变换为aF(s) + bG(s)。
平移性质如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s + a)，其中a为正实数。
初值定理如果f(t)是一个连续函数，且存在极限lim(t->0) f(t) = L，那么L就是f(t)在t=0的初值，在拉普拉斯变换中，F(s) = L/s。
终值定理如果f(t)是一个连续函数，且存在极限lim(t->∞) f(t) = L，那么L就是f(t)在t趋向于无穷时的终值，在拉普拉斯变换中，lim(s->0) sF(s) = L。
拉普拉斯变换与微分方程的关系微分方程是描述自然现象中变化的数学方程，可以分为常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换可以通过转化微分方程为代数方程，从而更容易求解。
普通微分方程的解法对于给定的普通微分方程，我们可以通过Laplace变换将其转换为一个代数方程来求解。
具体的步骤如下：1.对于已知的微分方程，我们首先对方程的两边取拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换微分性质
拉普拉斯变换微分性质
拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具，它可以将时域函数转换成频域函数。
在信号处理领域，拉普拉斯变换往往被用于分析正弦波、低通滤波器、高通滤波器等等。
它还可以作为一种重要的数学工具，用于求解微分方程，其性质可以用来分析电路、控制系统等。
拉普拉斯变换的最大特点就是它有很强的微分性质。
它的基本定义是：如果存在一个无穷级数的函数f(t)，使得它的拉普拉斯变换F(x)满足：
F(s)=∫(-∞,∞)[f(t)e^(-st)dt]
那么我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
因此，可以看出，拉普拉斯变换的微分性质非常强。
它可以将时域函数转换成频域函数，同时保留原函数的微分性质。
在信号处理领域，拉普拉斯变换可以用来分析正弦波、低通滤波器、高通滤波器等等系统。
拉普拉斯变换的微分性质可以有效地应用在求解微分方程的问题上。
例如，当我们想求解一个常微分方程的解时，可以用拉普拉斯变换来解决。
因为拉普拉斯变换本身就是一种微分运算，它可以将一个常微分方程转换成一个拉普拉斯变换的形式，并用它来求解方程。
另一方面，拉普拉斯变换的微分性质也可以用于分析电路和控制系统等。
例如，可以使用拉普拉斯变换来分析电路中的线性元件，如电阻、电容和电感等，以及控制系统中的传感器、执行器和控制器等。
有了这些分析，可以更好地理解电路和控制系统的工作原理，从而更好地设计出有效的电路和控制系统。
总而言之，拉普拉斯变换微分性质非常强，可以不仅用于求解微分方程，而且还可以用于分析电路和控制系统等。
拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具，对信号处理领域以及其他领域都有着重要的理论和应用价值。
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
拉普拉斯求解微分方程
拉普拉斯求解微分方程拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于工程和科学领域。
在微分方程的求解中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
本文将以拉普拉斯求解微分方程为主题，介绍拉普拉斯变换的原理和应用。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是一种从时域到频域的变换方法，可以将一个函数从时域转化为复数域。
对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，t是时间变量，e^(-st)是拉普拉斯变换中的核函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数从时域转化为频域，从而可以更方便地进行分析和求解。
二、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程拉普拉斯变换在求解微分方程时非常有用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以简化求解过程。
例如，考虑一个线性常系数微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(t)其中，y是未知函数，f(t)是已知函数，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0是常数。
我们可以对方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到：a_n [s^n Y(s) - s^(n-1) y(0) - s^(n-2) y'(0) - ... - y^(n-1)(0)] + a_(n-1) [s^(n-1) Y(s) - s^(n-2) y(0) - ... - y^(n-2)(0)] + ... + a_1 [s Y(s) - y(0)] + a_0 Y(s) = F(s)其中，Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，y(0), y'(0), ..., y^(n-1)(0)是y(t)在t=0时的初始条件，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
通过求解上述代数方程，可以得到Y(s)，然后再进行拉普拉斯逆变换，即可得到y(t)的解。
拉普拉斯(laplace)变换法解常微分方程的初值问题
拉普拉斯(laplace)变换法解常微分方程的初值问题要求：拉普拉斯变换是求解微分方程和求解初值问题的有力工具。
本文将讨论拉普拉斯变换及其在求解常微分方程初值问题中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将函数从时域变换到频域。
它是以18世纪法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的名字命名的。
函数f(t)的拉普拉斯变换定义为F(s) = L{f(t)} = ∫_0^∞ f(t) exp(-st) dts是复数。
拉普拉斯逆变换由f(t) =L^-1 {F(s)}=∫_\infty^s F(s) exp(st) ds拉普拉斯变换是求解常微分方程的有力工具。
基本思想是通过拉普拉斯变换将给定的ODE从时域转换到频域。
然后我们可以解变换后的方程用拉普拉斯逆变换将解变换回时域。
ode的初值问题也可以用拉普拉斯变换来解决。
假设我们想解初值问题y'(t) + ay(t) = g(t)y(0) = y_0其中a y_0和g(t)是已知的。
我们可以对方程两边做拉普拉斯变换得到sY(s) - y_0 + aY(s) = ∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt或者Y(s) = [1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}然后我们就可以解出Y(s)并进行拉普拉斯逆变换来得到初值问题的解y(t) = L^-1 {Y(s)}= ∫_\infty^s {[1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}}exp(st) ds这给了我们初值问题的解，以卷积积分的形式。
总之，拉普拉斯变换是求解常微分方程初值问题的有力工具。
它不仅方便，使用起来相对简单，而且为我们提供了一个精确的通用解。
此外，拉普拉斯变换还可用于求解偏微分方程的初值问题，使其更加实用。
傅里叶变换拉普拉斯变换求解偏微分方程
傅里叶变换拉普拉斯变换求解偏微分方程偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具。
在科学技术领域广泛应用，如物理学、工程学、天文学等。
解析方法是解决偏微分方程的一种重要方法。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是解析方法中的两个重要工具，可以用来求解偏微分方程。
傅里叶变换是将一个函数在时间域的表达式转换为在频率域的表达式。
它是一种将信号从时间域转换到频率域的技术，可以将时域信号分解成不同频率的正弦和余弦波。
在偏微分方程中，傅里叶变换可以通过将方程中的函数进行傅里叶变换，将偏微分方程转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
拉普拉斯变换是将一个函数在时间域的表达式转换为在复频域的表达式。
它是一种将时间域信号转换为复平面上的函数的技术。
在偏微分方程中，拉普拉斯变换可以将偏微分方程转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
以热传导方程为例，热传导方程是描述物体温度分布变化的偏微分方程，可以使用傅里叶变换和拉普拉斯变换求解。
假设一个物体的初始温度分布为f(x)，热传导方程可以表示为：∂u(x,t)/∂t = k * ∂^2u(x,t)/∂x^2其中，u(x,t)是时间t和位置x上的温度，k是热传导系数。
使用傅里叶变换，将u(x,t)进行傅里叶变换，得到U(k,t)，则热传导方程可以表示为：∂U(k,t)/∂t = -k * k * U(k,t)使用拉普拉斯变换，将u(x,t)进行拉普拉斯变换，得到U(s)，则热传导方程可以表示为：s * U(s) - f(x) = -k * U''(s)其中，U''(s)表示U(s)对x的二阶导数。
通过求解上述代数方程，可以得到热传导方程的解。
傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用，使得求解偏微分方程的过程更加简便、高效。
除了热传导方程外，傅里叶变换和拉普拉斯变换还可以应用于其他偏微分方程的求解。
例如，波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程等，都可以使用这两种变换转化为代数方程的形式，从而求得方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1 拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (2)2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (2)3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数微分方程 (4)3.3含 函数的微分方程 (4)3.4常微分方程组 (5)3.5求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 (6)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (8)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (8)4.2有界问题与无界问题 (9)4.3多维偏微分方程的求解 (11)结束语 (13)参考文献 (13)英文摘要 (14)致谢 (14)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班 学 生 岳艳林指导老师 韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用。
本文以讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用为目的，首先，介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次，给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；随后，举例拉普拉斯变换在求解微分方程与典型偏微分方程中的应用；最后，总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：线性微分方程；特解；偏微分方程；多维拉普拉斯变换 引言拉普拉斯变换在许多科学技术和工程领域有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着非常重要的作用。
人们在研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学模型是线性的。
换句话说，它可以用线性的微分方程、微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述。
用拉普拉斯变换法去分析和求解这类线性方程是十分有效的，甚至是不可缺少的。
1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分)()(0是复参量s dt e t f st -+∞⎰在s 的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st -+∞⎰=)()(0我们称此式为函数()f t 的Laplace 变换式。
若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换。
拉普拉斯变换是存在一定条件的，Laplace 变换存在定理如下： 若函数()f t 满足下列条件：（1）在0t ≥的任一有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时,()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得()ct f t Me ≤(0t ≤<+∞)成立。
则()f t 的Laplac e 变换dt e t f s F st -+∞⎰=)()(0在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>上绝对收敛且一致收敛，并且在c s >)Re(的半平面内，()F s 为解析函数[1]。
1.2 拉普拉斯变换的性质[1,2]（1）线性性质 若α，β是常数，11[()]()L f t F s =，22[()]()L f t F s =，则 1212[()()]()+()L f t f t F s F s αβαβ+= （2）微分性质 若[()]()L f t F s =，则12(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----'=---⋅⋅⋅--（3）积分性质 若[()]()L f t F s =，则01[()][()]t L f t dt L F s s=⎰（4）位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =--> （5）延迟性质 若[()]()L f t F s =，且0t <时()=0f t ，则对于任一非负实数τ，[()]()s L f t e F s ττ--=（6）相似性性质 若[()]()L f t F s =，则1[()]()sL f at F a a=（7）卷积性质 若11[()]()L f t F s =，22[()]()L f t F s =，则 11212[()()]()()L f t f t F s F s *=2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为象函数的代数方程；（2）解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数； （3）对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的解。
流程图如下[3]：图2.1 拉普拉斯变换求解微分方程的流程图3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用对于线性微分方程，无论是初值问题还是边值问题，无论是常系数微分方程还是变系数微分方程以及含有δ函数的微分方程和微分方程组，应用拉普拉斯变换求解比起其他解法具有不可替代的优越性。
3.1 初值问题与边值问题例：求解初值问题43t y y y e -'''++=，(0)(0)1y y '==。
解：设()[()]Y s L y t =，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2'1[()(0)(0)]4[()(0)]3()1s Y s sy y sY s y Y s s --+-+=+结合初始条件，得出象函数，整理展开成部分分式，有22266711131()(1)(3)412(1)43s s Y s s s s s s ++==⋅+⋅-⋅+++++ 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为1337131()[()][(72)3]4244t t t t t y t L Y s e te e t e e ------==+-=+-例：求解边值问题0y y ''-=，(0)0y =，(2)1y π'=。
解：设()[()]Y s L y t =，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 2[()(0)(0)]()0s Y s sy y Y s '---=代入初始条件，得2(0)111()(0)()1211y Y s y s s s ''==---+求反演，得11()[()](0)()(0)sinh 2t t y t L Y s y e e y t --''==-= 象函数的代数方程象函数原函数微分方程解代数方程取拉普拉斯变换取拉普拉斯逆变换将条件1)2(='πy 代入上式可得1(0)sinh 2y π'=所以，方程的解为sinh ()sinh 2ty t π=3.2 常系数与变系数微分方程例：求解常系数微分方程20y y y '''-+=，(0)0y =，(1)2y =。
解：设()[()]Y s L y t =，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有2[()(0)(0)]2[()(0)]()0s Y s sy y sY s y Y s '---++= 结合初始条件，得出象函数22(0)(0)()21(1)y y Y s s s s ''==-+- 对方程两边同时求反演1()[()](0)t y t L Y s y te -'==将条件2)1(=y 代入上式，可得2(0)y e'=所以，方程的解为112()[()]2t t y t L Y s te te e--===例：求解变系数微分方程20ty y ty '''++=，(0)1y =，00(0),(y c c '=为常数）。
解：设()[()]Y s L y t =，对方程两边同时取拉普拉斯变换[]2[][]0L ty L y L ty '''++=2[2()()(0)]2[()(0)]()0d dsY s s Y s y sY s y Y s ds ds--++--=结合初始条件整理，并且两边积分可得()arctan Y s s c =-+ 利用0)(lim =∞→s Y s ，可得2π=c所以，ss s Y 1arctan arctan 2)(=-=π对方程两边同时求反演，可得方程的解为 11()[()]sin y t L Y s t t -==3.3 含δ函数的微分方程例：质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端，当物体在0t =时在x 方向受到冲击力()()f t A t δ=，其中A 为常数。
若物体自静止平衡位置0x =处开始运动，求该物体的运动规律()x t [1]。
解：根据牛顿定律，有()mx f t kx ''=-其中kx -由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。
所以，物体运动的微分方程为()(0)mx kx f t t ''+=≥，且(0)(0)0x x '==，这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设[()]()L x t X s =，并考虑到初始条件，则得2()()ms X s kX s A +=如果记20kmω=,有2201()A X s m s ω=⋅+ 对方程两边同时取反演，从而方程的解为00()sin Ax t t m ωω=可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是0Am ω，角频率是0ω， 称0ω为该系统的自然频率（或称固有频率）。
3.4 常微分方程组 例：求解三维常微分方程组0)0()0()0()0()0(.0,0,0='='='==⎪⎩⎪⎨⎧=+''++=+-''+=++-''z y x z y z z y x z y y x z y x x 解：设()[()]X s L x t =，()[()]Y s L y t =，()[()]Z s L z t =，对方程组的三个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有222(1)()()()0,()(1)()()0,()()(1)()0.s X s Y s Z s X s s Y s Z s X s Y s s Z s ⎧-+-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩解该方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+-⋅-=-+-==+⋅+-⋅=-+=.131231)2)(1()()(,131232)2)(1()(222222223s s s s s s s s Z s Y s s s s s s s s X 取其逆变换，可得原方程组的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+=.cos 31)2cosh(31)()(,cos 31)2cosh(32)(t t t z t y t t t x3.5求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解非齐次微分方程求特解的方法通常有比较系数法、常数变易法、算子法等，用拉普拉斯变换法求解微分方程的特解也比较方便。