copula相关系数

%!*稳健性
通常， 异常的数据观测值会对线性相关系数产生很大的 影响， 而秩相关系数有很强的稳健性， 对异常数据的抗冲击 能力很强。 时间序列数据的相关系数
%8* 多 变 量 高 斯 J@3710 。 这 种 J@3710 要 求 各 随 机 变 量 的
边缘分布为正态分布。 这种 J@3710 函数要求各随机 %!*多变量学生氏 6<J@3710 。 以上两种 J@3710 都属于椭圆 变量的边缘分布为学生 6 分布。
" #O M
K
Hale Waihona Puke Baidu
， 的协方差矩阵 #=
# " #
// !/
#/! #!!
$
，其中 #// 是 K 的协方差
矩阵， #!! 是 M 的 协 方 差 矩 阵 ， #/! =#L!/ 是 K ， M 的协方差矩 求出满足约束条件 阵。 取 K 和 M 的线性组合 &=’LK ， P=QLM ，
&’<?&A=’L#//’=/ ， &’<?PA=QL#//Q=/ 的 情 况 下 ， & 和 P 之间相
%8*简单自相关系数
自相关系数是描述时间序列数据中的观测值序列的成 员之间相关关系的统计量， 比如一阶自回归时间序列 &6+!&6<8H 在 ’6 满足白噪声的假设条件下， ’6 ， ! 即为一阶自相关系数。
%!*偏自相关系数
偏自相关度量着在除去小于 I 的相关影响下， 相隔 I 个 时期的时间序列观测值之间的相关性。 对于时间序列 &6， &6<8， &6<!&&6<
&&6<IH8 的影响后的相关性
&&6<I 之间的相关关系。
以上三大类相关系数是最常用的相关系数， 当然还有许 许多多的其他的相关系数， 在此略提一下。 这种相关系数主要是 ) ( 两定类变量之间的相关系数， 相关系数； 这种相关 " 一定距变量与一定类变量之间的相关系数， 系数主要有点二列相关系数及二列相关系数；
关 系 数 !?&DPA=
)*C?&DPA 的最大值， 这一最大的 !&’<?&A・!&’<?PA
相关系数即为典型相关系数。 线性相关系数主要具有如下性质 526： 即线性相关系数满足线性关系。 $ 正仿射不变性， 若 ! ?KDMA=! ， @L=’@NQ ， BL=RBNS ， ’DRT" ， ’DQDRDS "( 那 么 !
它在解 近年来， 有 关 J@3710 函 数 的 研 究 如 雨 后 春 笋 般 出 现 ， 决金融及风险管理问题方面比传统的方法更加精确， 尤其在 相关度分析领域更是彰显其魅力。 主要有以下三类： J@3710 函数也包含几个大类，
%8*单调增变换不变性
线性相关系数只有满足线性增变换的时候， 相关系数才 保持不变。而秩相关系数在满足增变换的时候， 不管是线性 的还是非线性的， 其相关系数都不发生变化。
IH8 !
*E<8F%6*+
* %6* ! "
<8
"#6#*%"* *%"*#6#]
(&6<I(&6 和 &6<I 的 偏 自 相 关 就 是 &6 和 &6<I 之 间 的 除 去 &6<8(&6< %A*复自相关系数。
复自相关描述时间序列中一个变量 &6 与多个变量 &6(&6<8，
则满足 J%7(^*+*E<8F%*%7*H*%^**的 * 称为 J@3710 生成元。 根据 J@3710 生成元的不同， 可以产生许多 J@3710 。比如 当 * %6*+%<8.6*+， 这 + "E8(]F 得 到 的 J@3710 为 D75U-1 J@3710 ， 又 如 当 *%6*+%6<+<8* _ + 种 J@3710 主要用来描述二元极值 分 布 ； 得到的 J@3710 为 J10)6@. J@3710 等等。
!"$
J@3710 。
它 %A*阿基米德 J@3710 。这种 J@3710 函数的应用最广泛， 可以使 我 们 把 对 多 变 量 J@3710 的 研 究 简 化 为 单 一 变 量 函 数 的研究， 这一单一变量函数就是 J@3710 生成元 * 。 假如一个函数 * ： E" ， 8F!E" ， ]F 满 足 ： (是 * 连 续 的 ， " 定义 7"E"(8F有 *’%7*>" ， #*%8*+" ，
２ # 在正态性分布假设条件下，线性相关系数同 &() 的边
J@3710 函数
介绍了相关系数之后， 再看一下 J@3710 的基本概念。早
缘分布完全决定了 （&() ） 的联合分布函数， 即 完 全 体 现 了 &() 之间的相依关系。
在 8KKK 年 ， L@M-4 NO P-1Q-. 和 ;@4610./ ， R4-M@. 出 版 了 一 部 介 绍 了 J@3710 的 基 本 理 论 ； 专 著 ESF， !""G 年 T5U-46@ J?-47V
B%&8(&!(& &.*+J%C8%&8*， C!%&!*， &C.%&.**
这里的 J%78(7!(&7.*就是 J@3710 连接函数。说到这， 不得 不提一下 2I104 定 理 ： 如 果 多 个 随 机 变 量 &8(&!(&&. 各 自 的 边 缘 分 布 C8%&8*， … C.%&.* 连 续 ， 那 么 就 存 在 唯 一 的 J@3710 C!%&!*， 函数 J%78(7!(&7.*使得
$ 线性相关系数的计算比较简单。 !"#
两定序变量之间的相关系数 这一类相关系数又 被 称 为 秩 相 关 系 数 ， 主 要 有 ,-./011 相关系数和 23-0450. 相关系数。 （% ） ， 假设有两个随机变量的 ,-./011 相 关 系 数 计 为 607 要 计 算 &() 之 间 的 % ， 我 们 设 %98( 样 本 %&8()8*， %&!()!*， &， %&.().*， 计算 % 如下式： :8*， %9!(:!*为独立同分布的向量，
基金项目： 国家自然科学创新研究群体科学基金 （3"9!/""/ ） ； 国家自然科学基金资助项目 （3"94/"/" ）
2
统计与决策 !""# 年 $ 月 （下）
理 论 新 探
%&’()’*+! 。
线性相关系数可以 " 在 %&()* 服 从 正 态 性 的 假 设 条 件 下 ， 即 若 ! %&()*+" ， 那 么 &() 相 互 独 充 分 反 映 &() 之 间 的 独 立 性 ， 立。 比如基尼相关系数、 中位数相关 #其 他 的 秩 相 关 系 数 ， 系数等。
@HD@I?/!IDI!EA之间的相关程度为偏相关系数。
对于三个变量 @/D@!D@4 来说，如果 </!D</4D<!4 分别为 @/ 和 @! 之间， 那么当 @4 保 @/ 和 @4 之间以及 @! 和 @4 之间的相关系数， 持不变的情况下， @/ 和 @! 之间的偏相关系数 </! ・4 为
理 论 新 探
相关系数与连接函数
孙禄杰， 柏满迎
（北京航空航天大学 经济管理学院， 北京 /"""$4 ）
摘 要： 相关系数在统计及金融分析中有着广泛的应用 ， 基 于 马 克 维 茨 的 均 值 %方 差 理 论 以 及 现 相关系数都担当了一个重要的角色。本文对目前普遍存在 代衡量风险水平广泛应用的 &’( 方法等， 进行 的相关系数进行概括并分类， 分析各类相关系数的特点， 并在此基础上结合连接函数 （)*+,-’ ） 优点及其在相关分析中的应用。 分析， 阐述 )*+,-’ 的概念、 关键词： 相关系数； 连接函数； )*+,-’ 中图分类号： .!/ 文献标识码 01 文章编号： （!""# ） /""!%#2$3 "$%"""2%"4 进行讨论。根据各相关系数的性质不同， 可以将相关系数分 为如下几类： 两定距变量或多定距变量线性相关系数 线性相关系数研究的是定距变量的相关关系， 根据变量 个数的不同， 可以有以下几种： 即上面所述的相关系数为 ?/A两个随机变量的相关系数， 简单直线相关系数， 它是许多相关系数的基础。
１
相关系数 我们最先接触的是两个随机变量的相关系数， 这一相关
系数我们在初等概率里就接触过了， 即：
</! ・4=
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!?/%<
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A?/%<!4 A
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>5?@%>?@AA?B%>?BAA6 )*C?@DBA = !>5?@%>?@AA!6・!>5?B%>?BAA!6 !&’<?@A&’<?BA
!+A%;E%98<9!*%:8<:A*="F<3E%98<9!*%:8<:A*>"F*
秩相关系数具有良好的性质， 主要有以下两点 ：
EGF
B%&8(&!(&&.*+J%C8%&8*(C!%&!*(&C.%&.** 2I104 定 理 为 建 立 合 适 的 J@3710 函 数 奠 定 了 理 论 基 础 。
UW.W， X1WQ0 Y7ZW0.@ ， [016-4 \-ZZ?W06@ 出 版 了 J@3710 的 第 二
部专著 ， 详 细 阐 述 了 J@3710 方 法 在 金 融 分 析 及 风 险 管 理 中 的应用。
J@3710 是 将 多 个 随 机 变 量 &8(&!(&&. 的 联 合 分 布 函 数 B
… C.%&.* 表 示 %&8， &!， & &.* 用 它 们 各 自 的 边 缘 分 布 C8%&8*， C!%&!*， 的函数， 即
%+;%%98<9!*%:8<:!*="*<;%%98<9!*%:8<:!*>"*
（! ） ， 考虑独立同分布的三个随 23-0450. 相关系数为 4?@ 机变量 %98(:8*， %9!(:!* 和 %9A(:A*， & 和 ) 之间有联合 分 布 函 数 B （& ， ， （& ） 和D （) ） ， 则 %9!(:A* 的 联 )） & 和 ) 相应的边缘分布为 C 计算 ! 如下： 合分布函数为 C%&*D%)*，
相关系数是衡量变量之间相关关系的程度和方向的变 量。纵观相关系数的发展历程， 直接应用各种相关系数对具 体问题进行分析的研究不少， 然而真正分析相关系数这一体 系， 对相关系数进行归类的研究却并不多， 国内傅德印先生 本文基于对各种相关系数的分析 曾 经 对 这 方 面 作 过 研 究 5/6， 对相关系数进行分类， 并将一些相关系数用连接函数 （)*+,7 进 行 表 示 。 连 接 函 数 最 早 可 以 追 溯 到 /898 年 :;-’< 提 出 -’ ） 然 而 )*+,-’ 的 发 展 却 是 最 近 几 年 的 事 情 。 国 的 :;-’< 定理， 内最先将 )*+,-’ 引 入 的 是 上 海 财 经 大 学 的 张 尧 庭 教 授 ， 后
5!6
!"!
?!A 一 个 变 量 B 与 多 个 变 量 @/D@!D" @E 之 间 的 相 关 系 数 为
复相关系数。 研究该组变量之间两个变量 ?4A给定一组变量 @/D@!D" @E，
来张尧庭教 授 又 将 )*+,-’ 函 数 应 用 到 相 关 系 数 的 分 析 中 546。 本文将对这方面作进一步的分析。
讨论两组变量 （@/D@!D" @+） 和 （B/DB!D" ?2A 在 多 元 统 计 中 ， 之间的相关系数时， 应用典型相关系数。 BJ） 令 K=?@/D@!D" @+AL， 记 +NJ 维 随 机 向 量 O= M=?B/DB!D" BJAL，
实际上这是最简单的线性相关系数，由公式我们可以看出， 此相关系数要想存在， @ 和 B 必须有一阶矩和二阶矩。 我们知道， 如 果 给 定 一 组 样 本 ?@/DB/A， 我 ?@!DB!A， "， ?@EDBEA， 们可以计算出 @ 和 B 的相关系数， 然而， 计算出来的相关系 数却未必能够准确反映出两随机变量之间的相关性。 举一个 如果 @FG?" ， 由相关系数计算公式我们 简单的例子 546： /A， B=@!， 可以求出： ・ ・ >5?@%>?@AA?B%>?BAA6=>?@BA%>?@A >?BA=>?@4A%>?@A >?@!A=" 因为对 于 标 准 正 态 分 布 的 任 何 奇 数 阶 矩 都 等 于 " ， 所以 然而由于 @ 和 B 有很强的函数关系， 存在 和的相关系数为 " 。 相关性，所以这一最简单的相关系数不能准确地描述相关 性。 我们先来看一下各种相关系数， 然后针对它们的优缺点