冀教版七年级数学下册第11章因式分解PPT课件
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冀教版七年级数学下册11.3.3 借助分组分解因式PPT课件
（来自《典中点》）
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3).
1
知识小结
(1)分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公
因式可以提．
(2)分组添括号时要注意符号的变化． (3)要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
11.3 公式法
第十一章 因式分解
第3课时 借助分组分解因式
1 利用因式分解的方法分解因式
2 利用十字相乘法分解因式
3 利用拆项法分解因式 4 利用换元法分解因式 5 利用配方法分解因式
知1－讲
例1 把a2－ab＋ac－bc分解因式．
把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两 分析：
组，分别提出公因式a和c后，另一个因式正好 都是a－b，这样就可以提出公因式a－b. 解：a2－ab＋ac－bc
＝(a2－ab)＋(ac－bc)
＝a(a－b)＋c(a－b) ＝(a－b)(a＋c)
分组 组内提公因式 提公因式
知2－讲
总 结
分解步骤：
(1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解； (4)直至完全分解.
知2－练
1 【中考· 台州】把多项式2x2－8分解因式，结果正 确的是( C ) A．2(x2－8) C．2(x＋2)(x－2) B．2(x－2)2
4 D．2x x x 宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式， 2 【中考·
知1－导
知识点
1 分组分解法
整 式 ＝a(m＋n)＋b(m＋n) 乘 法 ＝am＋an＋bm＋bn，
(a＋b)(m＋n)
am＋an＋bm＋bn
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3).
1
知识小结
(1)分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公
因式可以提．
(2)分组添括号时要注意符号的变化． (3)要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
11.3 公式法
第十一章 因式分解
第3课时 借助分组分解因式
1 利用因式分解的方法分解因式
2 利用十字相乘法分解因式
3 利用拆项法分解因式 4 利用换元法分解因式 5 利用配方法分解因式
知1－讲
例1 把a2－ab＋ac－bc分解因式．
把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两 分析：
组，分别提出公因式a和c后，另一个因式正好 都是a－b，这样就可以提出公因式a－b. 解：a2－ab＋ac－bc
＝(a2－ab)＋(ac－bc)
＝a(a－b)＋c(a－b) ＝(a－b)(a＋c)
分组 组内提公因式 提公因式
知2－讲
总 结
分解步骤：
(1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解； (4)直至完全分解.
知2－练
1 【中考· 台州】把多项式2x2－8分解因式，结果正 确的是( C ) A．2(x2－8) C．2(x＋2)(x－2) B．2(x－2)2
4 D．2x x x 宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式， 2 【中考·
知1－导
知识点
1 分组分解法
整 式 ＝a(m＋n)＋b(m＋n) 乘 法 ＝am＋an＋bm＋bn，
(a＋b)(m＋n)
am＋an＋bm＋bn
冀教版七年级下册数学(第十一章 因式分解)PPT教学课件
冀教版七年级下册数学 精品配套课件
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第十一章 因式分解
11.1 因式分解
学习目标 1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式 ？ 2
(3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，
所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.
辩一辩 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx × B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c ×
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17 ，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称 这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中
的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干
素数的乘积的形式．
例如 12 2 2 3
① 30 2 3 5
2.把下列多项式因式分解 ： 2 1 x 4
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公 因数为 23 6
12 进而很容易把分数 30
约分：分子与分母同除
以6，得 12
2 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项
式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块” 的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的 乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
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第十一章 因式分解
11.1 因式分解
学习目标 1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式 ？ 2
(3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，
所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.
辩一辩 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx × B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c ×
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17 ，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称 这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中
的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干
素数的乘积的形式．
例如 12 2 2 3
① 30 2 3 5
2.把下列多项式因式分解 ： 2 1 x 4
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公 因数为 23 6
12 进而很容易把分数 30
约分：分子与分母同除
以6，得 12
2 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项
式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块” 的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的 乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
冀教版数学七年级下册11.1《因式分解》课件3
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的 形式. 因式分解特点： 由多项式和的形式转化成几个整式的 积的形式。
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种
相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
x2-y2
9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的 形式. 因式分解特点： 由多项式和的形式转化成几个整式的 积的形式。
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种
相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
x2-y2
9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
冀教版七年级数学下册第十一章《11.3公式法》优 课件(共12张PPt)
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式,必须进 行到每一个多项式 都不能再分解为止.
练习
（1） 4x2 =( ) 2
（3）64x2y2=( ) 2
（2） 25m2 =( ) 2 （4） 100p4q2 = ( ) 2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)
（2）（x+p)2-(x+q)2
解：（2）(x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p-q).
把(x+p)和 (x+q)各看成 一个整体,设
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You made my day!
冀教版七年级数学下册11.1《因式分解》ppt课件
D：
正确
:
质因数分解：12 2 2 3 2 整数的乘法： 2 3 12
〔运算过程正好相反〕
互逆
:
:
1: ma b c ma mb mc
1: m a m b m c (m)( a+b+c )
2 : a ba b a2 b2
2 : a2 b2 ( a+b )( a-b )
:
因式分解：
1.写成整式积的方式
No Image
2.与整式乘法过程恰好相反
3.因式分解要分解彻底
:
:
:
提取公因式法的普通步骤： 〔1〕确定应提取的公因式 〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式 〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式
:
质因数分解
因式分解
把12进展质因数分解，以下正确的选项是D 〔〕
以下各式因式分解，正确的选项是Ｃ〔 〕？
12 25 2
×A：：必需是积得方式
12 3 4
3 : a b2 a2 2ab b2
3 : a2 2ab b2 (a+b )2
:
:
思索在上面小题中，等号左边是__多__项__式________,
等号右边是_整__式_乘__积_________的方式。像上面 这样把一个多项式分解成几个整式乘积的方式， 叫多项式的分解因式，也叫多项式的因式分解。
:
:
:
:
回想
质因数分解：6 2 3 10 25
把一个合数化为几个质数的积的方式，这种变形叫 质因数分解，也 叫分解质因数。
如：要把12进展质因数分解，以下正确的选项是：D
〔〕
12 25 2
A×：：必需是积得方式
正确
:
质因数分解：12 2 2 3 2 整数的乘法： 2 3 12
〔运算过程正好相反〕
互逆
:
:
1: ma b c ma mb mc
1: m a m b m c (m)( a+b+c )
2 : a ba b a2 b2
2 : a2 b2 ( a+b )( a-b )
:
因式分解：
1.写成整式积的方式
No Image
2.与整式乘法过程恰好相反
3.因式分解要分解彻底
:
:
:
提取公因式法的普通步骤： 〔1〕确定应提取的公因式 〔2〕多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式 〔3〕把多项式写成这两个因式的积的方式
:
质因数分解
因式分解
把12进展质因数分解，以下正确的选项是D 〔〕
以下各式因式分解，正确的选项是Ｃ〔 〕？
12 25 2
×A：：必需是积得方式
12 3 4
3 : a b2 a2 2ab b2
3 : a2 2ab b2 (a+b )2
:
:
思索在上面小题中，等号左边是__多__项__式________,
等号右边是_整__式_乘__积_________的方式。像上面 这样把一个多项式分解成几个整式乘积的方式， 叫多项式的分解因式，也叫多项式的因式分解。
:
:
:
:
回想
质因数分解：6 2 3 10 25
把一个合数化为几个质数的积的方式，这种变形叫 质因数分解，也 叫分解质因数。
如：要把12进展质因数分解，以下正确的选项是：D
〔〕
12 25 2
A×：：必需是积得方式
七年级数学下册第十一章因式分解11.1因式分解课件冀教版
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
4．若 x2－mx－15 可因式分解为(x＋3)(x＋n)，则 nm 的值为
(C )
A．－5
B．2
C．25
D．－25
5．已知多项式 2x2＋bx＋c 可分解因式为 2(x－3)(x＋1)，则
( D) A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2 C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6 6．若多项式 x2－mx－21 可以分解为(x＋3)(x－7)，则 m＝
随堂演基础练训(1练0分钟)
因式分解
1．下列从左边到右边的变化，是因式分解的是( D ) A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
2．下列式子：①(x＋2)(x－2)＝x2－4；②(3x＋2)(x－1)＝
3．多项式的因式分解与多项式的乘法运算是___相__反_______的变 形过程．
4．因式分解必须分解到每个因式都不能再____分__解______为止．
5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是( C ) A．x(a－b)＝ax－bx B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2 C．y2－1＝(y＋1)(y－1) D．a2＋6a＋10＝(a＋3)2＋1
第十一章 因式分解
11．1 因式分解
课
随
课
前
堂
后
热
演
作
身
练
业
课前基热础身训(练5分钟)
1．把一个多项式分解成几个整式____乘__积______的形式，叫做多 项式的因式分解，也叫做将多项式__分__解__因__式____其中每个整式都叫 做这个多项式的因式．
冀教版七年级数学下册第十一章《1132 完全平方公式因式分解》优课件(共13张PPT)
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3bab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？
三丶试一试;乘法公式
ab2 _a2__2_a_bb_2__ a-b2 _a_2_2_a_bb_2___
反过来,就得到:
a22abb2ab2
a22abb2a b2
a22abb2ab2
a22abb2a b2
即:两个数的平方和,加上(或者减去) 这两个数的积的_2_倍__,等于这两个数的 和(或者差)_的__平__方__.
运用这两个公式就可以把形式是完 全平方和(或差)的多项式_分__解__因_式__;
a22abb2(ab)2; a22abb2(ab)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 a、 b 各表示什么？
( 1 ) x 2 6 x 9 ； 是 a 表 示 x ， b 表 示 3 .
( 2 ) 1 4 a 2 ； 不是
( 3 ) x 2 2 x 4 ； 不是
( 4 ) 4 x 2 4 x 1 ； 不是
左边是:两数的平方和与这两数积 的两倍和(或差).这个式子叫完全 平方式
注意:
(1)正确选取a,b.
(2)公式分清.
分解因式
(1)3am 23an26amn
2a24b24ab
(3) -8a(2a+b)-b 2
应用范围: 二次三项式. 注意:(1)正确选取a,b.
(2)公式分清. (3)在因式分解中，通常先观察
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
例如: (2)a3bab
问题:你会对x2-6x+9因式分解吗？
三丶试一试;乘法公式
ab2 _a2__2_a_bb_2__ a-b2 _a_2_2_a_bb_2___
反过来,就得到:
a22abb2ab2
a22abb2a b2
a22abb2ab2
a22abb2a b2
即:两个数的平方和,加上(或者减去) 这两个数的积的_2_倍__,等于这两个数的 和(或者差)_的__平__方__.
运用这两个公式就可以把形式是完 全平方和(或差)的多项式_分__解__因_式__;
a22abb2(ab)2; a22abb2(ab)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 a、 b 各表示什么？
( 1 ) x 2 6 x 9 ； 是 a 表 示 x ， b 表 示 3 .
( 2 ) 1 4 a 2 ； 不是
( 3 ) x 2 2 x 4 ； 不是
( 4 ) 4 x 2 4 x 1 ； 不是
左边是:两数的平方和与这两数积 的两倍和(或差).这个式子叫完全 平方式
注意:
(1)正确选取a,b.
(2)公式分清.
分解因式
(1)3am 23an26amn
2a24b24ab
(3) -8a(2a+b)-b 2
应用范围: 二次三项式. 注意:(1)正确选取a,b.
(2)公式分清. (3)在因式分解中，通常先观察
七年级下册冀教版数学【授课课件】11.1 因式分解
) x 2) ；
（3）a 2 2ab b2 (a b)2 .
等式从左到右的变形叫做因式分解.每个多项式的因式分别为
（1）2和（x+2);(2)(x+2)和（x-2 )；(3)a+b.
探究新知
整式乘法
因式分解
x(x－2)=x2－2x，
(x＋y)(x－y)=x2－y2，
(x＋1)2=x2＋2x＋1.
所以m＋n = +1= .
当堂训练
4. 已知二次三项式x2-6x+a分解因式后的一个因式是
(x+2) ，求另一个因式及a的值.
解：因为x2-6x+a的最高次数是2，
所以可设x2-6x+a = (x+2) (x+m)，
则x2-6x+a =x2+(m+2)x+2m，
比较系数，得 m+2 =-6， 2m =a，
解得m=-8，a=-16.
所以另一个因式是x-8．
回顾反思
1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法：
（1）看是否是积的形式；
（2）看积中的每个因式是否都是整式;
（3）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
探究新知
问题3.请你举出有这样特征的一些式子.
探究新知
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解
因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
（3）a 2 2ab b2 (a b)2 .
等式从左到右的变形叫做因式分解.每个多项式的因式分别为
（1）2和（x+2);(2)(x+2)和（x-2 )；(3)a+b.
探究新知
整式乘法
因式分解
x(x－2)=x2－2x，
(x＋y)(x－y)=x2－y2，
(x＋1)2=x2＋2x＋1.
所以m＋n = +1= .
当堂训练
4. 已知二次三项式x2-6x+a分解因式后的一个因式是
(x+2) ，求另一个因式及a的值.
解：因为x2-6x+a的最高次数是2，
所以可设x2-6x+a = (x+2) (x+m)，
则x2-6x+a =x2+(m+2)x+2m，
比较系数，得 m+2 =-6， 2m =a，
解得m=-8，a=-16.
所以另一个因式是x-8．
回顾反思
1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式.
2.因式分解与整式乘法的关系
x2-y2
因式分解
( x+y ) ( x-y )
整式乘法
3.检验因式分解正确与否的方法：
（1）看是否是积的形式；
（2）看积中的每个因式是否都是整式;
（3）右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
探究新知
问题3.请你举出有这样特征的一些式子.
探究新知
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，
叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解
因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》公开课课件(共12张PPT)
1.因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就 是因式分解。
2.因式分解与整式乘法的关系
◆ 因式分解的特点：由和差形式（多项式） 转化成整式的积的形式；
◆ 整式乘法的特点：由整式积的形式转化成 和差形式（多项式）。
试一试：
下列由左边到右边的变形中，哪些是因式分解，哪些 不是？
（1）3248（ ）
•7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/242021/10/24October 24, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/242021/10/242021/10/242021/10/24
2.把下列多项式分解因式：
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 3:16:02 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
因 式 分 解
游戏
现有两种边长分别为a、b的正方形和长、宽分别为a、b的一 种矩形，你能从其中选择若干图形拼接成一个矩形图案，再从所 拼接的图案中找出一个等式吗？
a b b
a
a
b
a
a(a+b)= a2+ab
2ab+2b2= 2b(a+b) a2+2ab+b2=(a+b)2
七年级下册数学课件-《11.1因式分解》 冀教版
④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
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3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（ 5 x+n），则m+n的值为 ． 2
解析：由题意可得
x2+4mx+5=（x+5）（x+n）
=x2+（n+5）x+5n，
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第十一章 ·因式分解
1.因式分解
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导入新课
复习引入
问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多 项式可以分解成几个整式的积吗？ 可以。
√
× ×
E. 2a3b=a2•2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 × 提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
项式．(2)右边是积的形式。 (3)右边的因式全是整式。
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二、因式分解与整式乘法的关系
问题：因式分解与整式乘法的关系是什么？
多项式
因式分解
整式乘法
5n=5，4m=n+5
解得n=1，m=
3 2
，
m+n=1+
5 3 = 2 2
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4. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值。 解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
七年级数学下册第十一章因式分解公式法第2课时用完全平方公式分解因式习题课件新版冀教版ppt
=－4(a＋b)2
6.已知ab=2,a＋b=5,求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：a3b＋2a2b2＋ab3 =ab(a2＋2ab＋b2) =ab(a＋b)2. 当ab=2,a＋b=5时， a3b＋2a2b2＋ab3=2×52=50.
CONTENTS
4
用完全平方公 式因式分解
依据
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数乘 积的2倍等于这两个数的和(或差)的平方.
CONTENTS
2
用完全平方公式分解因式
问题1 多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们 分解因式吗？
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
=a2＋ab＋ab＋b2 提公因式
=a(a＋b)＋b(a＋b)
=(a＋b)(a＋b)
提公因式
=(a＋b)2
=a2－ab－ab＋b2 =a(a－b)－b(a－b) =(a－b)(a－b) =(a－b)2
七年级数学下册冀教版
第十一章 因式分解
11.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
1
CONTENTS
1
想一想：
回顾所学知识，完成下面内容 因式分解: 把一个多项式化为几个_整__式___的__乘__积__的形式的式子变形.
平方差: 两数_和__与这两数_差__的积,等于这两数的平方差.
完全平方公式: 两个数的和(或差)的平方，等于它们的_平__方__和_，加上 (或减去)它们的__积__的__2_倍___.这两个公式叫做(乘法的) 完全平方公式.
用完全平方公式分解因式 问题2.2 具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式?
具有a2＋2ab＋b2或a2一2ab＋b2特征的多项式能用完全平 方公式分解因式.
6.已知ab=2,a＋b=5,求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：a3b＋2a2b2＋ab3 =ab(a2＋2ab＋b2) =ab(a＋b)2. 当ab=2,a＋b=5时， a3b＋2a2b2＋ab3=2×52=50.
CONTENTS
4
用完全平方公 式因式分解
依据
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数乘 积的2倍等于这两个数的和(或差)的平方.
CONTENTS
2
用完全平方公式分解因式
问题1 多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们 分解因式吗？
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
=a2＋ab＋ab＋b2 提公因式
=a(a＋b)＋b(a＋b)
=(a＋b)(a＋b)
提公因式
=(a＋b)2
=a2－ab－ab＋b2 =a(a－b)－b(a－b) =(a－b)(a－b) =(a－b)2
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第十一章 因式分解
11.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
1
CONTENTS
1
想一想：
回顾所学知识，完成下面内容 因式分解: 把一个多项式化为几个_整__式___的__乘__积__的形式的式子变形.
平方差: 两数_和__与这两数_差__的积,等于这两数的平方差.
完全平方公式: 两个数的和(或差)的平方，等于它们的_平__方__和_，加上 (或减去)它们的__积__的__2_倍___.这两个公式叫做(乘法的) 完全平方公式.
用完全平方公式分解因式 问题2.2 具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式?
具有a2＋2ab＋b2或a2一2ab＋b2特征的多项式能用完全平 方公式分解因式.
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知1－导
知识点
1
因式分解的定义
观察下面计算2 0112－2 011×2 010和372－362的过程，
哪种更简便? 小明的方法 2 0112－2 011×2 010 =4 044 121－4 042 110 小亮的方法 2 0112－2 011×2 010 =2 011×(2011－2 010) =2011.
列式：37×102+37×93+37×105 =37×(102+93+105) =37×300=11100(棵) m ×102 a + 37 m × 105 37 m × 93 b + 37 c = m a + 93 b + 105 c ) 37 ×( 102
m· a+m· b+m· c= m (a+b+c)
x2－2x=x(x－2)，
x2＋2x＋1= (x＋1)2.
x2－y2=(x＋y)(x－y) ，
知1－导
归
纳
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做
多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每
个整式都 叫做这个多项式的因式.
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) 1 2 A．a ＋1＝ a a＋ a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
多项式x＋y与x－y的乘积为x2－y2
x2－y2=(x＋y)(x－y)
多项式x2－y2分解为x＋y与x－y的乘积
知2－讲
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解 一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆 的变形．
因式分解 即：多项式 整式乘积． 整式乘法
知2－讲
例2 对下列各式所进行的因式分解正确的是( D )
A．3x2－6xy－3x＝3x(x－2y) B．ab－a－b＋1＝(a＋1)(b－1)
C．2x2－5xy－3y2＝(2x－y)(x＋3y)
D．a2－4＝(a＋2)(a－2)
知2－讲
导引： 检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整 式相乘的积与左边的多项式是否相等．A中， ∵3x(x－2y)＝3x2－6xy≠3x2－6xy－3x，∴A不正 确；B中，∵(a＋1)(b－1)＝ab－a＋b－1≠ab－a－
知2－导
知识点
2
因式分解与整式乘法的关系
1. 多项式相乘的结果是什么？
2. 一个多项式进行因式分解的结果是什么？ 多项式的因式分解与乘法运箅是不同的.多项式的 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多 项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.
知2－导
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的 变形过程. (x＋y)(x－y)=x2－y2
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
知1－练
4
【中考· 常德】下列各式由左到右的变形中，属于 因式分解的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
2. 乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a＋b)(a－b)=a2－b2
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab＋b2
导入新知 近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志 愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。每队都 种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队
种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
(3) 5a＋10b=5(a＋2b)；
(4) x2－2x＋1=x(x－2)＋1. (2)(3)是因式分解． 解：
（来自教材）
知1－练
2 对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不 正确，请改正过来. (1) ab－b=b(a－1); (2) －10x－10=－10(x－ 1); (3) 3x＋3y=3(3x＋3y);
第十一章
因式分解
11.1
因式分解
1
课堂讲解
因式分解的定义
因式分解与整式乘法的关系
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知识回顾 1. 整式乘法有几种形式? (1)单项式乘单项式 (2)单项式乘多项式: m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc (3)多项式乘多项式：(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn
=2011.
知1－导
小明的方法
372－362 =1 62 = (37＋36)×(37－36) =73.
小亮的方法是运用了乘法对加法的分配律以及平方
差公式，运算较简单.
现在，我们来研究多项式的因式分解问题.
知1－导
由整式的乘法运算，我们知道： x(x－2)=x2－2x， (x＋1) 2=x2＋2x＋1. 反过来，可以把这些多项式写成整式乘积的形式： (x＋y)(x－y)=x2－y2，
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
知1－讲
1 紧扣因式分解的定义进行判断，因为 不是整式， 导引： a 1 所以a2＋1＝ a a＋ 不是因式分解，故A错误； a 因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误； 因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，
b＋1，∴B不正确；C中，∵(2x－y)(x＋3y)＝2x2
＋5xy－3y2≠2x2－5xy－3y2，∴C不正确；D中， ∵(a＋2)(a－2)＝a2－4，∴D正确.
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因 式分解，D正确．
知1－讲
总 结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是 因式分解．
知1－练
1 下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因
式分解？
(1) (m＋n)(m－n)=m2－n2 ； (2) m2－n2=(m＋n)(m－n)
(4) m2＋4m＋4＝m2＋4 (m＋1). (1)正确．(2)不正确，应为－10x－10＝－10(x＋1)． 解：
(3)正确．(4)不正确，应为m2＋4m＋4＝(m＋2)2.
知1－练
3
【中考· 海南】下列式子从左到右的变形是因 式分解的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)