变量与函数的概念

x2 10．已知函数 f(x)＝ . 1＋x2 1 1 (1)求 f(2)与 f2,f(3)与 f3; (2)由(1)中求得结果,你能发现 f(x)与 证明你的发现; (3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2
1 fx有什么关系？并
1 1 010)＋f2＋f3＋„＋f2
二、填空题
{1}∪[2,8] 6．将集合{x|x＝1 或 2≤x≤8}表示成区间为____________．
7．若 f(2x)＝x3,则
1 f(1)＝________. 8
1 1 1 3 解析 由 2x＝1 可知 x＝2,所以 f(1)＝2 y＝x2－x (－1≤x≤4,x∈Z)的值域为__________．
∴x<0 且 x≠－1,
∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
知识点二
两函数相同的判定
例 2 下列各题中两个函数是否表示同一函数: (1)f(x)＝x,g(x)＝( x)2; (2)f(t)＝t,g(x)＝ x3; x2－4 (3)f(x)＝ ,g(x)＝x＋2. x－2 点拨 3
要判断两个函数是否为同一函数,关键在于看函
2．区间的概念 设 a，b∈R，且 a<b. (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 闭区间 ，表示 为 [a，b] ． (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合叫做 开区间 ，表示为
(a，b) ．
(3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合叫做 半开
半闭区间 ，分别表示为 [a,b)或(a,b] ． (4)实数集 R 用区间表示为 (－∞，＋∞) ．
(1)由 x2－3x＋2≠0,得:x≠1,x≠2 6 ∴f(x)＝ 2 的定义域是{x∈R|x≠1 且 x≠2}． x －3x＋2 解
3x－1≥0 (2)由 1－2x≥0
1 1 ,得 ≤x≤ . 3 2
1 1 的定义域是3，2.
∴f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4
x＋1≠0 (3)由 |x|－x≠0 x≠－1 ,得 |x|≠x，
知识点三
求函数解析式
例 3 已知 f(x－1)＝x2－2x＋7. (1)求 f(2)和 f(a)的值; (2)求 f(x)和 f(x＋1)的解析式． 点拨
解答本题可先理清 f(x)是对应法则 f 对自变量
x 作用的结果,而 f(x－1)就是对应法则 f 对“x－1”作 用的结果,然后通过求特殊值 2 和字母 a 的函数值进 一步体会 f 的作用,进而求得 f(x)与 f(x＋1)的解析式 ．
课时作业
一、选择题 1． 下列各组函数表示同一函数的是 x2－9 A．y＝ 与 y＝x＋3 x－3 B．y＝ x2－1 与 y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与 y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1,x∈Z 与 y＝2x－1,x∈Z (
C
)
解析
A中的两函数定义域不同,B中的两函数值域不
同,D中的两函数对应法则不同．C正确．
(
C
)
解析
x－1≠0 由 |x|＋x>0
,得 x>0 且 x≠1.
5．给出四个命题: ①函数就是定义域到值域的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个 元素; ③因为 f(x)＝5(x∈R),这个函数值不随 x 的变化而变化,所 以 f(0)＝5 也成立; ④定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定了． 以上命题正确的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 ( D D．4 个 )
1 010.
1 2 2 2 x 2 4 1 1 2 解 (1)∵f(x)＝ 2,∴f(2)＝ 2＝ ,f ＝ 1 ＝5, 5 2 1＋x 1＋2 1＋22 1 2 2 3 9 1 1 3 f(3)＝ ,f3＝ 2＝ 1 ＝10. 1＋3 10 1＋32
规律方法
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相
同时,这两个函数才是同一函数,这就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定 是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数 的对应关系; (4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关．
三、解答题 9．求下列函数的定义域: 5－x (1)f(x)＝ ; (2)y＝ x－1＋ 1－x. |x|－3
解 (1)要使函数有意义,需满足 5－x≥0 x≤5 ,即 ,在数轴上标出,如图, |x|－3≠0 x≠± 3 即 x<－3 或－3<x<3 或 3<x≤5. 故函数 f(x)的定义域为(－∞,－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 当然也可以表示为{x|x<－3 或－3<x<3 或 3<x≤5}． x－1≥0 x≥1 (2)要使函数有意义,则 ,即 , 1－x≥0 x≤1 所以 x＝1,从而函数的定义域为{1}．
( B )
解析
1 2－1 2 2 －1 3 1 2 3 ∵f(2)＝ 2 ＝5,f2＝1 ＝－5 2 ＋1 2＋1 2
f(2) ∴ 1 ＝－1 f2
(x－1)0 4．函数 y＝ 的定义域是 |x|＋x A．(0,＋∞) B．(－∞,0) C．(0,1)∪(1,＋∞) D．(－∞,－1)∪(－1,0)∪(0,＋∞)
变式迁移 2 试判断下列函数是否为同一函数: (1)f(x)＝ x· x＋1与 g(x)＝ x(x＋1); (2)f(x)＝x2－2x 与 g(t)＝t2－2t; (3)f(x)＝1 与 g(x)＝x0(x≠0)．
解 (2)是,(1)、(3)不是． 对于(1),f(x)的定义域为[0,＋∞),而 g(x)定义域为 (－∞,－1]∪[0,＋∞)． (3)也是定义域不同．
求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都
有意义的未知数的取值范围． 1 解 (1)函数 y＝3－2x 的定义域为 R；
1－x≥0， (2)要使函数有意义,需 1－ 1－x≠0
x≤1 ⇔ x≠0
⇔x≤1 且
3 x≠0,所以函数 y＝ 的定义域为{x|x≤1 且 x≠0}＝ 1－ 1－x (－∞,0)∪(0,1];
2x＋3≥0， (4)要使函数有意义,需2－x>0， x≠0. 3 解得－ ≤x<2 且 x≠0, 2 1 1 所以函数 y＝ 2x＋3－ ＋ 的定义域为 2－x x 3 3 x|－ ≤x<2且x≠0＝－ ，0∪(0,2)． 2 2
解 (1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10;
f(a)＝f((a＋1)－1) ＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.
(2)方法一
(配凑法)
f(x)＝f((x＋1)－1)＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6, (或 f(x－1)＝(x－1)2＋6), ∴f(x)＝x2＋6. ∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7. 方法二 (换元法)设 t＝x－1,即 x＝t＋1, ∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6, 故 f(x)＝x2＋6. f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
数的两要素:定义域和对应关系是否相同，两者只要有 一个不同,两个函数就不是同一函数．
解
(1)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≥0},两个函数
的定义域不同,故不是同一函数． (2)g(x)＝x,两者的定义域和对应关系相同,故是同一函数． (3)f(x)的定义域为(－∞,2)∪(2,＋∞),g(x)的定义域为 R,故不 是同一函数．
第二章 函数
§2.1 2.1.1
学习目标 1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2． 通过实例领悟构成函数的三要素； 会求一些简单函数 的定义域． 3． 了解区间的概念， 体会用区间表示数集的意义和作用．
函数
函数(一)—变量与函数的概念 自主学案
自学导引 1．函数的有关概念 设集合 A 是一个非空的数集 ,对 A 中的 任意数x ,按照确 定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应 关系叫做集合 A 上的一个 函数 ． 记作 y＝f(x),x∈A . 其中 x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个 函数的 定义域 ． 如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f(a)或y|x＝a . 所有函数值构成的集合 {y|y＝f(x)，x∈A} 叫做这个函 数的值域． 函数 y＝f(x)也经常写作函数f 或 函数f(x) ． 因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定， 所 以确定一个函数就只需两个要素: 定义域和对应法则 ．
解
(1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2,
∴f(2)＝f(1＋1)＝12－3×1＋2＝0, f(a)＝f((a－1)＋1)＝(a－1)2－3(a－1)＋2＝a2－5a＋6. (2)f(x)＝f((x－1)＋1)＝(x－1)2－3(x－1)＋2 ＝x2－5x＋6, 即 f(x)＝x2－5x＋6, f(x－1)＝f((x－2)＋1)＝(x－2)2－3(x－2)＋2 ＝x2－7x＋12, 即 f(x－1)＝x2－7x＋12.
规律方法
求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于
零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零指数幂 的底数不等于零等．
变式迁移 1 求下列函数的定义域: 6 (1)f(x)＝ 2 ; x －3x＋2 (2)f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4; (x＋1)0 (3)f(x)＝ . |x|－x
－x≥0， (3)要使函数有意义,需 2 2x －3x－2≠0
x≤0， 1 ⇔ ⇔x≤0 且 x≠－ . 1 2 x≠2且x≠－ 2 －x 故函数 y＝ 2 的定义域为 2x －3x－2 1 1 1 x|x≤0且x≠－ ＝－∞，－ ∪－ ，0; 2 2 2