中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练附答案解析(1)
2022-2023学年人教版中考数学复习 圆综合压轴题 专题提升训练
2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：△CBG∽△ABE；（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．（1）求证：DC＝DE；（2）若AE＝4，．求：①BE的长；②cos∠BDF的值．10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．（3）若DC+DE＝6，求AE的长．15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．参考答案1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴＝，∴AM2＝MC•MN，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝6．∴2AM2＝62，∴AM2＝18，∴MC•MN＝18．3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．（2）如图∵CF与⊙O相切，∴∠ACF＝90°．∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．∵∠CAF＝2∠BCF．∴∠CAF＝2∠CAE．∴∠CAE＝∠BAE．∴∠BCF＝∠BAE．∵BG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB＝∠AEB＝90°．∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，∴△CBG∽△ABE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，∴∠DCE＝∠BCF．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴CD⊥AF．∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，∴BD＝BG．∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，∵BG＝2，∴BD＝BG＝2．∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°．∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，∴AC＝2CD．∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，∴∠ACE＝∠ABE．∴AB＝AC．设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．∵∠ADC＝90°，∴AD＝r．∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．∴⊙O的半径长为4+6．4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．6．（1）证明：如图，连接DB，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵DF∥AC，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，∴EB＝EF，∵∠DBF＝90°，∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，∴∠DBE＝∠EDB，∴DE＝EB，∴DE＝EF；（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵OC＝OD，DE＝EF，∴OE∥FC，FC＝2OE，∴∠AEO＝∠B，∵OE⊥OA，在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，∴＝，∴AE＝，∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）证明：连接OD，BE，∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，∴∠ODH＝∠DHA＝90°，∴OD∥CA，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∵∠OBD＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，∴∠AFE＝∠OFD，∴△AFE∽△OFD，∴，∵AE＝4，∴OD＝6，∵AB为⊙O的直径，∴；∴BE的长为8；②在Rt△AEB中，，∵∠BDF＝∠BAE，∴．10．解：（1）0＜x＜90，（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，∴△BDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴BE＝BF．11．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．12．（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，∴EF＝＝5，∴CF＝CE+EF＝8，在Rt△OCF中，tan F＝＝，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，在Rt△DFC中，CF＝＝1，设AD＝DE＝BF＝x，则x+x+1＝9，x＝4，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝5，∴BG＝10，在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，∴＝＝，∴EG＝×6＝．14．（1）证明：连接OC．∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，∴BC＝＝6，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝4.8．（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB，∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．16．（1）证明：如图，连接OC，∵P A切⊙O于A．∴OA⊥P A，∴∠P AO＝90°，∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠AOP＝∠COP，在△P AO和△PCO中，∴△P AO≌△PCO（SAS），∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵OP∥BC，∴PO⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，在Rt△P AD中，P A＝＝＝，∵∠APO＝∠DP A，∴Rt△P AD∽Rt△POA，∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，∵AO＝BO，OD∥BC，∴BC＝2OD＝6，在Rt△ACB中，AB＝＝10，∵点E是的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，∴AE＝BE，∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．∴∠E＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AC＝AB＝12，在Rt△AMC中，AM＝＝8，设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，∴BE＝2OM＝7，∵∠E＝∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴＝，即＝∴PC＝．18．解：（1）证明：连接OD，∵OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD，交OE于M，在Rt△ODE中，∵OD＝，DE＝2，∴OE＝＝＝，∵OE∥AB，∴△COE∽△CAB，∴＝，∴AB＝5，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，∴AD＝，∴CD＝＝，∵EF∥AB，∴，∴CM＝DM＝CD＝，∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．∴△ADF的面积为．19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∵∠PDA＝∠PBD，∴∠1＝∠PDA，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，∴OD⊥PD，∴PD为⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵ED和EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，而∠BED＝60°，∴△EDB为等边三角形，∴∠EBD＝60°，∴∠PBD＝30°，∴∠PDA＝30°，而∠ADB＝90°，∴∠P＝30°，在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，OP＝2OD＝2，∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．20．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．。
圆的综合压轴题(解析版)
圆的综合压轴题命题趋势中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
热考题型解读考向一：圆中弧长与面积的综合题考向二：圆与全等三角形综合题考向三：圆的综合证明问题考向四：圆与等腰三角形的综合考向五：圆的阅读理解与新定义问题考向六：圆与特殊四边形综合考向一：圆中弧长与面积的综合题1(2023•河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，AB =50cm ，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN ∥GH ．计算：在图1中，已知MN =48cm ，作OC ⊥MN 于点C .(1)求OC 的长．操作：将图1中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM =30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中．(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理得出MC =12MN =24cm ，由勾股定理计算即可得出答案；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH ，进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数的定义求出OD ，再与(1)中OC 相减即可得出答案；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°，分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【解答】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =圆的综合压轴题（解析版）MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =圆的综合压轴题（解析版）AB =25cm ，在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7(cm )；(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cπ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cπ；(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°，∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ =QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE •OE =2533(cm )，EQ 的长为30×π×25180=25π6(cm )，∵2533-256π=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ ．2(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达的位置△AB ′C ′的位置，那么可以得到：AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′．()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 ；(2)如图2，小王将一个半径为4cm ，圆心角为60°的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A ′B ′C ′的位置．①请在图中作出点O ；②如果BB ′=6cm ，则在旋转过程中，点B 经过的路径长为 32π2cm ；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】(1)由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②由∠BOB '=90°，OB =OB '，可得OB =62=32，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，求出A 'D =A M ∠PA B cos =230o cos =433，DM =12A 'D =233，可得S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，证明△PB ′D ≌△PCD (SSS )可知阴影部分关于PD 对称，故重叠部分面积为2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．【解答】解：【问题解决】(1)根据题意，AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①如图：作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②∵∠BOB '=90°，OB =OB '，∴△BOB '是等腰直角三角形，∵BB '=6，∴OB =62=32，∵90π×32180=32π2(cm )，∴点B 经过的路径长为32π2cm ，故答案为：32π2cm ；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，如图：∵点P 为BC中点，∴∠PAB =∠PAC =12∠BAC =30o ，由旋转得∠PA 'B '=30°，PA =PA ′=4，在Rt △PAM 中，PM =PA •sin ∠PAM =4×sin30°=2，∴A 'M =PA '-PM =4-2=2，在Rt △A ′DM 中，A 'D =A M ∠PAB cos =230ocos =433，DM =12A 'D =233，∴S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，下面证明阴影部分关于PD 对称：∵∠PAC =∠PA 'B '=30°，∠ADN =∠A 'DM ，∴∠AND =∠A 'MD =90°，∴∠PNA '=90°，∴PN =12PA '=2，∴AN =PA -PN =2，∴AN =A ′M ，∴△AND ≌△A 'MD (AAS )，∴AD =A ′D ，∴CD =B 'D ，∵PD =PD ，PB '=PC ，∴△PB ′D ≌△PCD (SSS )，∴阴影部分面积被PD 等分，∴S 阴影=2(S 扇形PA 'B '-S △A 'DP )=2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．∴两个纸板重叠部分的面积是8π-833cm 2．考向二：圆与全等三角形综合题3(2023•济宁)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD =CB ，BE 切⊙O 于点B ，过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ，EF =2BF ．(1)如图1，连接BD ，求证：△ADB ≌△OBE ；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使∠MCN =60°，连接MN ．请问：三条线段MN ，BM ，DN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．【分析】(1)根据CF ⊥OE ，OC 是半径，可得CF 是圆O 的切线，根据BE 是圆O 的切线，由切线长定理可得BF =CF ，进而根据sin E =CF EF =12，得出∠E =30°，∠EOB =60°，根据CD =CB 得出CD =CB ，根据垂径定理的推论得出OC ⊥BD ，进而得出∠ADB =90°=∠EBO ，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD =BO =12AB ，即可证明△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC =∠MBC ，证明△HDC ≌△MBC (SAS )，结合已知条件证明△CNH ≌△CNM (SAS )，得出NH =MN ，即可得出结论．【解答】(1)证明：∵CF ⊥OE ，OC 是半径，∴CF 是圆O 的切线，∵BE 是圆O 的切线，∴BF =CF ，∵EF =2BF ，∴EF =2CF ，sin E =CF EF =12，∴∠E =30°，∠EOB =60°，∵CD =CB ，∴CD =CB，∴OC ⊥BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°=∠EBO ，∵∠E +∠EBD =90°，∠ABD +∠EBD =90°，∴∠E =∠ABD =30°，∴AD =BO =12AB ，∴△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)解：MN =BM +DN ，理由如下：延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，如图2所示，∵∠CBM +∠NDC =180°，∠HDC +∠NDC =180°，∴∠HDC =∠MBC ，∵CD =CB ，DH =BM ，∴△HDC ≌△MBC (SAS )，∴∠BCM =∠DCH ，CM =CH ，由(1)可得∠ABD =30°，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴∠A =60°，∴∠DCB =180°-∠A =120°，∵∠MCN =60°，∴∠BCM +∠NCD =120°-∠NCM =120°-60°=60°，∴∠DCH +∠NCD =∠NCH =60°，∴∠NCH =∠NCM ，∵NC =NC ，∴△CNH ≌△CNM (SAS )，∴NH =MN ，∴MN =DN +DH =DN +BM ，∴MN =BM +DN ．4(2023•哈尔滨)已知△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，N 为AC的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证：BC =2OH ；(2)如图②，点D 在⊙O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB =DC ，求证OD ∥AC ；(3)如图③，在(2)的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG ⊥DO ，交DO 于点G ，DG =CH ，过点F 作FR ⊥DE ，垂足为R ，连接EF ，EA ，EF ：DF =3：2，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM ⊥DC ，交DC 的延长线于点M ，若FR =CM ，AT =42，求AB 的长．【分析】(1)连接OC ，证明OH 是△ABC 的中位线，即可得到BC =2OH ；(2)设∠BDC =2α，证明△DOB ≌△DOC (SSS )，可得∠BDO =∠CDO =12∠BDC =α，再推导出∠CDO =∠ACD ，即可证明DO ∥AC ；(3)连接AD ，延长AE 与BC 交于W 点，延长AC 、TM 交于L 点，先证明△DGF ≌△CHE (AAS )，得到DF =CE ，再证明△DFG ≌△AFH (ASA )，得到AE =DF ，从而判断出四边形ADFE 是矩形，得到EF ⊥BD ，求出tan ∠EDF =32，通过证明△FRK ≌△CML (AAS )，推导出CL =FK =2FG =CW ，再证明△AWC ≌△TLC (AAS )，则AC =TC ，在Rt △ACT 中，由AT =42，求出AC =CT =4，在Rt △ABC中，tan ∠BAC =32=BC AC，求出BC =6，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=213．【解答】(1)证明：如图①，连接OC ，∵N 是AC 的中点，∴AN =CN ，∴∠AON =∠CON ，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位线，∴BC=2OH；(2)证明：如图②，设∠BDC=2α，∵BD=CD，DO=DO，BO=OC，∴△DOB≌△DOC(SSS)，∠BDC=α，∴∠BDO=∠CDO=12∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴DO∥AC；(3)解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌△CHE(AAS)，∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴∠EHC=∠DGF，∵AH=HC，∴△AEC是等腰三角形，∴AE=EC，∠EAC=∠ECA，∵∠BDO=∠ODE=∠ECA，∴∠EAH=∠FDG，∵DG=CH，∴DG=AH，∴△DFG≌△AFH(ASA)，∴AE=DF，∵∠DEA=2∠ECA，∠FDE=2∠ODE，∴∠FDE=∠DEA，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴四边形ADFE是矩形，∴EF⊥BD，∵EF：DF=3：2，∴tan∠EDF=32，∵FR⊥CD，FG⊥DO，∴∠ODE=∠RFK=90°，∵∠ECA=∠MCL，∴∠RFK=∠LCM，∵CM⊥MT，∴∠CML=90°，∵FR=CM，∴△FRK≌△CML(AAS)，∴CL=FK=2FG，∵BC=2OH，EH=OH，∴EH是△AWC的中位线，∴CW=2EH，∵EH=FG，∴CL=FK=2FG=CW，∵∠TCL=∠CMT=90°，∴∠MCL=∠CTM，∵∠ACE=∠ECA=∠LCM，∴∠CTM=∠WAC，∴△AWC≌△TLC(AAS)，∴AC=TC，在Rt△ACT中，AT=42，∴AC=CT=4，∵AW∥BD，∴∠BAW=∠DBC，∵∠DBO=∠BDO，∠EAC=∠BDO=∠ODE，∴∠BAC=∠BDE，在Rt△ABC中，tan∠BAC=32=BCAC，∴BC=6，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=213．5(2023•长春)【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上(点P不与点A、C重合)，连接PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为 223 ．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA(SAS)，得出PB=EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△GBA(SAS)，进而判断出∠PBG=90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB=90°，∴∠APB=12∠AOB=45°(在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半)，故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB=EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠APB=60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB=PE=AE+AP=PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAG=180°，∴∠BCP =∠BAG ，∵BA =BC ，∴△PBC ≌△GBA (SAS )，∴PB =GB ，∠PBC =∠GBA ，∵∠ABC =90°，∴∠PBG =∠GBA +∠ABP =∠PBC +∠ABP =∠ABC =90°，∴PG =2BP ，∵PG =PA +AG =PA +PC ，∴PC =PG -PA =2×22PA -PA =3PA ，∴PB PC =22PA 3PA=223，故答案为：223考向三：圆的综合证明问题6(2023•黄石)如图，AB 为⊙O 的直径，DA 和⊙O 相交于点F ，AC 平分∠DAB ，点C 在⊙O 上，且CD ⊥DA ，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求证：AC •PC =BC 2；(3)已知BC 2=3FP •DC ，求AF AB的值．【分析】(1)连接OC ，由等腰三角形的性质得∠OAC =∠OCA ，再证∠DAC =∠OCA ，则DA ∥OC ，然后证OC ⊥CD ，即可得出结论；(2)由圆周角定理得∠ACB =90°，∠DAC =∠PBC ，再证∠BAC =∠PBC ，然后证△ACB ∽△BCP ，得AC BC =BC PC，即可得出结论；(3)过P 作PE ⊥AB 于点E ，证AC •PC =3FP •DC ，再证△ACD ∽△BPC ，得AC •PC =BP •DC ，则BP •DC =3FP •DC ，进而得BP =3FP ，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ，∴∠DAC =∠OCA ，∴DA ∥OC ，∵CD ⊥DA ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；(2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠BAC ，∵∠DAC =∠PBC ，∴∠BAC =∠PBC ，又∵∠ACB =∠BCP ，∴△ACB ∽△BCP ，∴AC BC =BC PC，∴AC •PC =BC 2；(3)解：如图2，过P 作PE ⊥AB 于点E ，由(2)可知，AC •PC =BC 2，∵BC 2=3FP •DC ，∴AC •PC =3FP •DC ，∵CD ⊥DA ，∴∠ADC =90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BCP =90°，∴∠ADC =∠BCP ，∵∠DAC =∠CBP ，∴△ACD ∽△BPC ，∴AC BP =DC PC，∴AC •PC =BP •DC ，∴BP •DC =3FP •DC ，∴BP =3FP ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB =90°，∴PF ⊥AD ，∵AC 平分∠DAB ，PE ⊥AB ，∴PF =PE ，∵==，∴===．7如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接AC ，AD ，BC ，作CF ⊥AD 于点F ，交线段OB 于点G (不与点O ，B 重合)，连接OF ．(1)若BE=1，求GE的长．(2)求证：BC2=BG•BO．(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【分析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°，结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD，进而可得∠BCD=∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE=BE=1；(2)证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2=BA•BE，再根据AB=2BO，BE=12BG，可证BC2=BG•BO；(3)方法一：设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，可证a=90°-β，∠OCF=90-3α，通过SAS 证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF=∠OAF，即90°-3a=a，则∠CAD=2a=45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】(1)解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠D=90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D=90°，∴∠DAE=∠FCD，由圆周角定理得∠DAE=∠BCD，∴∠BCD=∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE(ASA)，∴GE=BE=1；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ABC=∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BC BE =BA BC，∴BC2=BA•BE，由(1)知GE=BE，∴BE=12BG，∴BC2=BA•BE=2BO•1BG=BG•BO；2(3)解：∠CAD=45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE=DE，∠AED=∠AEC=90°，∵AE=AE，∴△ACE≌△ADE(SAS)，∴∠DAE=∠CAE，设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=α，∵∠ACB=90°，∴∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α，∵∠CGE=∠OGF=β，∠GCE=α，∠CGE+∠GCE=90°，∴β+α=90°，∴α=90°-β，∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α，∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β，∴∠COF=∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF(SAS)，∴∠OCF=∠OAF，即90°-3α=α，∴α=22.5°，∴∠CAD=2a=45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AHO=90°，∵OA=OC，∴AF =CF ，∵CF ⊥AD ，∴△AFC 是等腰直角三角形，∴∠CAD =45°．8(2023•永州)如图，以AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 到点D ．使得∠BAC =∠BDA ，点E 在DA 的延长线上，点M 在线段AC 上，CE 交BM 于N ，CE 交AB 于G ．(1)求证：ED 是⊙O 的切线；(2)若AC =6，BD =5，AC >CD ，求BC 的长；(3)若DE •AM =AC •AD ，求证：BM ⊥CE ．【分析】(1)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°，故∠BAC +∠ABC =90°，由∠BAC =∠BDA 得∠BDA +∠ABC =90°，有∠BAD =90°，即可得证；(2)证明△ACB ∽△DCA ，则BC AC =AC DC =AC BD -BC ，可得BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，由AC >CD 即可得到BC 的长；(3)先证明△ABC ∽△DAC ，则AC DC =AB AD ，得到AC •AD =CD •AB ，由DE •AM =AC •AD 得到DE •AM =CD •AB ，故AM DC=AB DE ，由同角的余角相等得∠BAM =∠CDE ，有△AMBB ∽△DCE ，得∠E =∠ABM ，进一步得到∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，则∠BNG =90°，即可得到结论．【解答】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠BAC +∠ABC =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴∠BDA +∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∴ED 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠BDA ，∠ACB =∠DCA =90°，∴△ACB ∽△DCA ，∴BC AC=AC DC =AC BD -BC ，∴BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，当BC =2时，CD =BD -BC =3，当BC =3时，CD =BD -BC =2，∵AC >CD ，即6>CD ，∴BC =3；(3)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠DCA =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC DC =AB AD，∴AC •AD =CD •AB ，∵DE •AM =AC •AD ，∴DE ．AM =CD •AB ，∴AM DC=AB DE ，∵∠BAM +∠CAD =∠CDE +∠CAD =90°，∴∠BAM =∠CDE ，∴△AMB ∽△DCE ，∴∠E =∠ABM ，∵∠EGA =∠BGN ，∴∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，∴∠BNG =90°，∴BM ⊥CE ．9(2023•广东)综合探究如图1，在矩形ABCD 中(AB >AD )，对角线AC ，BD 相交于点O ，点A 关于BD 的对称点为A ′．连接AA ′交BD 于点E ，连接CA ′．(1)求证：AA '⊥CA '；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，⊙O 与CD 相切，求证：AA =3CA ；②如图3，⊙O 与CA ′相切，AD =1，求⊙O 的面积．【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE =A ′E ，AA ′⊥BD ，根据四边形ABCD 是矩形，得出OA =OC ，从而OE ∥A ′C ，从而得出AA ′⊥CA ′；(2)①设CD ⊙O 与CD 切于点F ，连接OF ，并延长交AB 于点G ，可证得OG =OF =OE ，从而得出∠EAO =∠GAO =∠GBO ，进而得出∠EAO =30°，从而AA =3CA ；②设⊙O 切CA ′于点H ，连接OH ，可推出AA ′=2OH ，CA ′=2OE ，从而AA ′=CA ′，进而得出∠A ′AC =∠A ′CA =45°，∠AOE =∠ACA ′=45°，从而得出AE =OE ，OD =OA =2AE ，设OA =OE =x ，则OD =OA =2x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得出x 2+2-1 x 2=1，从而求得x 2=2+24，进而得出⊙O的面积．【解答】(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE=A′E，AA′⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；(2)①证明：如图2，设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，∴OF⊥CD，OF=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=12BD，AB∥CD，AC=BD，OA=12AC，∴OG⊥AB，∠FDO=∠GBO，OA=OB，∴∠GAO=∠GBO，∵∠DOF=∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)，∴OG=OF，∴OG=OE，由(1)知：AA′⊥BD，∴∠EAO=∠GAO，∵∠EAB+∠GBO=90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，∴3∠EAO=90°，∴∠EAO=30°，由(1)知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CAAA，∴tan30°=CAAA，∴AA =3CA ；②解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′，由(1)知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA=OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OH AA =OCAC=12，OECA=OAAC=12，∴AA′=2OH，CA′=2OE，∴AA′=CA′，∴∠A′AC=∠A′CA=45°，∴∠AOE=∠ACA′=45°，∴AE=OE，OD=OA=2AE，设AE=OE=x，则OD=OA=2x，∴DE=OD-OE=(2-1)x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2+2-1x2=1，∴x2=2+24，⋅π．∴S⊙O=π•OE2=2+24考向四：圆与等腰三角形的综合10(2023•宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC 相切于点D，连结AD，BE=3，BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 6或230 ．【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD=6，然后分三种情况讨论：①当AP=PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′=AD时，③如图3，当DP′′=AD时，分别进行求解即可．【解答】解：如图1，连接OD，DE，∵半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB=OE+BE=OD+3，BD=35．∴OB2=BD2+OD2，∴(OD+3)2=(35)2+OD2，解得OD=6，∴AO=EO=OD=6，①当AP=PD时，此时P与O重合，∴AP=AO=6；②如图2，当AP′=AD时，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴==，∴==，∴AC=10，CD=25，∴AD===230，∴AP′=AD=230；③如图3，当DP′′=AD时，∵AD=230，∴DP′′=AD=230，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC，过点D作DH⊥AE于点H，∴AH=P″H，DH=DC=25，∵AD=AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL)，∴AH=AC=10，∴AH=AC=P″H=10，∴AP″=2AH=20(P为AB边上一点，不符合题意，舍去)，综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230．故答案为：6或230．11(2023•上海)如图(1)所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图(2)所示，连接OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；(3)连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求的值．【分析】(1)由∠ABC=∠C，∠ODB=∠ABC，即得∠C=∠ODB，OD∥AC，根据F是OB的中点，OG =DG，知FG是△OBD的中位线，故FG∥BC，即可得证；(2)设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，有OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，故∠AEO=∠DOE =α，得出∠OFE=∠AEO=α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2=AO-AF，由AE2=EO2-AO2，有EO2 -AO2=AO×AF，解方程即可答案；(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明△BGO∽△BPA，得出，设OG=2k，AP=3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FAE，即得AE=2OG=4k，PE=AE-AP=k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO中，，，得出==，可得△PQE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a=2k，进而即可求得答案．【解答】(1)证明：如图：∵AC=AB，∴∠ABC=∠C，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABC，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵F是OB的中点，OG=DG，∴FG是△OBD的中位线，∴FG∥BC，即GE∥CD，∴四边形CEGD是平行四边形；(2)解：如图：由∠OFE=∠DOE，AO=4，点F边OB中点，设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，∴∠AEO=∠DOE=α，∴∠OFE=∠AEO=α，∵∠A=∠A，∴△AEO∽△AFE，∴，即AE2=AO•AF，在Rt△AEO中，AE2=EO2-AO2，∴EO2-AO2=AO×AF，∴(2a)2-42=4×(4+a)，解得：或(舍去)，∴OB=2a=1+33；(3)解：①当OG=OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；②当BG=OB时，延长BG交AC于点P，如图所示，∵点F是OB的中点，AO=OF，∴AO=OF=FB，设AO=OF=FB=a，∵OG∥AC，∴△BGO∽△BPA，∴，设OG=2k，AP=3k，∵OG∥AE，∴△FOG∽△FAE，∴，∴AE=2OG=4k，∴PE=AE-AP=k，设OE交PG于点Q，∵OG∥PE，∴△QPE∽△QGO，∴，∴PQ=a，QG=a，，在△PQE与△BQO中，，，∴，又∠PQE=∠BQO，∴△PQE∽△OQB，∴，∴，∴a=2k，∵OD=OB=2a，OG=2k，∴，∴的值为12．12(2023•泰州)已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；逆向思考(2)如图②，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；②构造直角三角形；(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；(3)根据CD=2CB-CA，构造一条线段等于2CB-CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．【解答】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，∴3∠C=135°，∴∠C=45°．②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，∵∠C=45°，AC=8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=42，∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=52，在直角三角形ABM中，BM==32，∴BC=CM+BM=42+32=72．(2)延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，∵∠APB=2∠C，∴∠APB=2∠N，∵∠APB=∠N+∠PBN，∴∠N=∠PBN，∴PN=PB，∵PA=PB，∴PA=PB=PN，∴P为该圆的圆心．(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∵∠APB=90°，∴∠C=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE=BC，∵BP⊥AF，PA=PF，∴BA=BF，∵AF是直径，∴∠ABF=90°，∴∠EBC=∠ABF=90°，∴∠EBA=∠CBF，∴△EBA≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∵CD=2CB-CA=CE-CA=AE，∴CD=CF，∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．考向五：圆的阅读理解与新定义问题13(2023•青海)综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图2中计算C到BD的距离d1．(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图4中计算C到BD的距离d2(结果保留根号)．(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD=60°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，在图6中计算C 到BD的距离d3= 2-3 (结果保留根号)．(4)归纳推理：比较d1，d2，d3大小：d1>d2>d3 ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离越小(填“越大”或“越小”)．(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d=0.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．【分析】(1)△ABC是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(2)△ABE是等腰直角三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(3)△ABD是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(4)比较大小得出结果；(5)圆的半径相等，从而得出结果．解：(1)图1，【解答】Array 3∵AB=AD=2，AC⊥BD，∴∠BAC=∠CAD=1∠BAD=60°，2∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∴d1=CE=1AC=1；2(2)如图2，∴∠ABD=∠ADB=45°，=2，∴AE=AB•sin∠ABD=2×22∴d2=CE=AC-AE=2-2；(3)如图3，∴AB=BD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD =60°，在Rt △ABE 中，AE =AB •sin ∠ABD =2•sin 60°=3，∴d 3=AC -AE =2-3，故答案为：60°，2-3；(4)∵1>2-2>2-3，∴d 1>d 2>d 3，越小；故答案为：d 1>d 2>d ，越小；(5)∵圆的半径相等，∴d =0，故答案为：0．14(2023•陕西)(1)如图①，∠AOB =120°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =4．点E ，F 分别在边OA ，OB 上，且∠EPF =60°，连接EF ．求线段EF 的最小值；(2)如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P 是拱桥AB的中点，桥下水面的宽度AB =24m ，点P 到水面AB 的距离PH =8m ．点P 1，P 2均在AB上，PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，在点P 1，P 2处各装有一个照明灯，图中△P 1CD 和△P 2EF 分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P 1，P 2左右转动，且光束始终照在水面AB 上．即∠CP 1D ，∠EP 2F 可分别绕点P 1，P 2按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段CD ，EF 在AB 上，此时，线段ED 是这两灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP 1D =∠EP 2F =90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB 都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)【分析】(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，证明△PCF ≌△PDE (AAS )，可得CF =DE ，即可得OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，而∠POD =∠POC =60°，知OD =OC =12OP =2，故OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，有OG =12x ，GF =32x ，由勾股定理得EF ====，即知线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，由点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，可得122+(r -8)2=r 2，r =13，求出P 1K =P 2K =5m ，OK ===12(m )，PK =OP -OK =13-12=1(m )，KH =PH -PK =8-1=7(m )，可得P 1T =KH =7m ，故AT =P 1T ，∠P 1AT =45°，可得△AP 1D 是等腰直角三角形，即得AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，故DE =EF -DB =14-10=4(m )，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，可得AP 2==(m )，而cos ∠P 2AM ==，可得AF =，同理BC =，故CF =AF +BC -AB =(m )．【解答】解：(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，如图：∵∠AOB =120°，∠EPF =60°，∴∠OEP +∠OFP =180°，∵∠OEP +∠PED =180°，∴∠OFP =∠PED ，即∠PFC =∠PED ，∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB ，PD ⊥OA ，∴PC =PD ，∵∠PCF =∠PDE =90°，∴△PCF ≌△PDE (AAS )，∴CF =DE ，∴OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，∵∠POD =∠POC =60°，∴∠OPD =∠OPC =30°，∴OD =OC =12OP =2，∴OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，如图：∵∠OFG =∠AOB -∠G =120°-90°=30°，∴OG =12x ，GF =32x ，∴EG =OE +OG =4-12x ，∴EF ====，∴当x =2时，EF 取最小值12=23，∴线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，如图：∵点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，∴O ，P ，H 共线，AH =BH =12AB =12m ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，在Rt △AHO 中，AH 2+OH 2=OA 2，∴122+(r -8)2=r 2，解得r =13，∴OP 1=13m ，∵PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，∴P 1K =P 2K =5m ，∴OK ===12(m )，∴PK =OP -OK =13-12=1(m )，∴KH =PH -PK =8-1=7(m )，∴P 1T =KH =7m ，∵AT =AH -TH =12-5=7(m )，∴AT =P 1T ，∴∠P 1AT =45°，∵∠CP 1D =90°，即∠AP 1D =90°，∴△AP 1D 是等腰直角三角形，∴AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，∴DB =AB -AD =24-14=10(m )，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，∴DE =EF -DB =14-10=4(m )，∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，如图：∵AT =P 1T =7m =P 2M ，P 1P 2=10m ，∴AM =AT +TF =17m ，∴AP 2===(m )，∵cos ∠P 2AM ==，∴=，∴AF =，同理BC =，∴CF =AF +BC -AB =+-24=(m )；∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为m ；综上所述，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m 或m ．15(2023•北京)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A (-1，0)，B 1(-22，22)，B 2(22，-22)．①在点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)中，弦AB 1的“关联点”是C 1，C 2 ；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M (0，3)，N (655，0)，对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．【分析】(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；(2)根据M (0，3)，N (655，0)两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：(1)①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A (-1，0)，B 1(-22，22)，点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)，∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，∵C 1(-1，1)，A (-1，0)的横坐标相同，与B 1(-22，22)在直线y =-x 上，∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A (-1，0)，B 2(22，-22)，设C (a ，b )，如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1(2，0)，∴OC1=2，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2(-1，1)，∴OC2=2，综上所述，OC=2；(2)∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0，3)，N(655，0)，OM>ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图所示，①当S位于点M(0，3)时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M(0，3)，⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ=，∴PJ==，Q1J=，∴PQ1==233，同理PQ2==26 3，∴当S位于M(0，3)时，PQ1的临界值为233和26 3；②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时，，∵M(0，3)，N(655，0)，∴MN=，∴=2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ=1或3，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和3，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，综上所述，t的取值范围为1≤t≤233，263≤t≤3．16在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(60°<α<180°)．点D是BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【分析】(1)根据旋转的性质得到AE =AD ，∠DAE =α，证明∠BAE =∠CAD ，进而证明△ABE ≌△ACD ，可以得到∠AEB =∠ADC ，由∠ADC +∠ADB =180°，可得∠AEB +∠ADB =180°，即可证明A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)连接OA ，OD ，根据等边对等角得到∠ABC =∠ACB =∠DAC ，由圆周角定理得到∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，再由OA =OD ，得到∠OAD =∠ODA ，利用三角形内角和定理证明∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，可证明AC 是⊙O 的切线；(3)作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，先求出∠B =∠C =30°，再由三线合一定理得到BM =CM =12BC =3，AM ⊥BC ，解直角三角形求出AB =23，则BG =12AB =3，再解Rt △BGF 得到BF =2，则FM =1；由⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，可得点P 一定在AB 的垂直平分线上，故当MP ⊥GF 时，PM 有最小值，据此求解即可．【解答】(1)证明：由旋转的性质可得AE =AD ，∠DAE =α，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠BAD =∠DAE -∠BAD ，即∠BAE =∠CAD ，又∵AB =AC ，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠AEB =∠ADC ，∵∠ADC +∠ADB =180°，∴∠AEB +∠ADB =180°，∴A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)证明：如图所示，连接OA ，OD ，∵AB =AC ，AD =CD ，∴∠ABC =∠ACB =∠DAC ，∵⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，∴∠AOD =2∠ABC ，∴∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠OAD +∠ODA +∠AOD =180°，∴2∠DAC +2∠OAD =180°，∴∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，∴OA ⊥AC ，又∵OA 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(3)解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，PM ，如图：∵AB =AC ，∠BAC =120°，。
中考数学总复习《二次函数与圆综合压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数与圆综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -，顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点． 以AB 为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线表达式及点D 的坐标；(2)试判定直线CM 与D 的位置关系，并说明理由；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，连接CP ，将线段CP 绕点P 旋转90︒，点C 的对应点为点C '，是否存在点C '恰好落在抛物线上？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．2．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1），点P 是线段BC 上的一动点，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，连接CQ ，若CQ 平分OCB ∠，求点P 的坐标；(3)如图（2），过A ，B ，C 三点作I ，直线()3y t t =>交I 于点M ，N ，交抛物线于点E ，F ． 若EM FN MN +=，求t 的值3．如图，在平面直角坐标系中，M 交x 轴于点()()1,04,0A B -、，交y 轴负半轴于点C AB ，为M 的直径．(1)求图象经过点A 、B 、C 的二次函数的解析式；(2)设点D 为（1）中二次函数图象的顶点，求直线CD 的函数解析式； (3)判断直线CD 与M 的位置关系，并说明理由．4．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()1222y x x m =+-与x 轴交于()2,0A -、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)连接BC ，则OCB ∠=______︒；(2)如图2，若P 经过A 、B 、C 三点，连接PA 、PC ，若OBC △与PAC △的周长之比为3:5，求该抛物线的函数表达式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP ，抛物线对称轴上是否存在一点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OAP △相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数22y x ax c =+-的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明．8．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -．顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点．以AB为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线解析式及点D 的坐标；(2)猜测直线CM 与D 的位置关系，并证明你的猜想；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段CP 绕点P 逆时针旋转90︒，使点C 的对应点C '恰好落在抛物线上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．为半径作圆，请判断P是不是二次函数轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为求POA周长最小值．．如图，抛物线作C的切线切点为点11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，且4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使ABC BCM ∠=∠，如果存在，求M 点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D 是抛物线第二象限上一动点，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点A 、B 、D 的圆与DF 交于E 点，求ABE 的面积．12．如图，二次函数()20y x bx c a =-++≠的图像经过点()1,0A -和()3,0B ，交y 轴于点C ，点E 为该二次函数图象上第一象限内一动点．(1)b =__________，c =__________；PBEPACSS-的值最大时，求点交直线BC 于点F ，为直径的M 与BC 当EFR 周(1)如图1，若1OH =，求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P 是线段HD 上一点，当113AH AD AP+=时，求点P 的坐标（用含b 的代数式表示）； (3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y 轴于点C ，过A ，B ，C 三点作Q ，经过点Q 的直线y hx q =+交Q 于点F ，I ，交抛物线于点E ，G ．当EI GI FI =+时，求22h 的值．15．二次函数2225y x mx m m =-++-．(1)当1m =时，函数图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． ①写出函数的一个性质；①如图1，点P 是第四象限内函数图象上一动点，求出点P 坐标，使得BCP 的面积最大；①如图2，点Q 为第一象限内函数图象上一动点，过点Q 作QF x ⊥.轴，垂足为F ，ABQ 的外接圆与QF 交于点D ，求DF 的长度；(2)点()11,M x y 、()22,N x y 为函数图象上任意两点，且12x x <.若对于123x x +>时，都有12y y <，求m 的取值范围．参考答案是D 的切线152738t +=(3)直线CD 与M 相切()24-， 0a =；BN 32S ⎧-⎪⎪=⎨与D 相切(3))3-或45⎛- ⎝4)-(3)ABE S △的坐标315,⎛⎫与C 相切第 11 页 共 11 页 15．【答案】(1)①函数图象的顶点坐标为()1,4-；①278；①1DF =(2)32m <。
中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】
中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD 交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF ＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．。
中考数学压轴题-圆的压轴题 含解析
圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。
（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。
2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题含参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题1．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）求证：24BC CF AC =⋅；（3）若O 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．2．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥DC ，连接AC ，BC.（1）求证：AC 是∠DAB 的角平分线；（2）若AD ＝2，AB ＝3，求AC 的长.3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，DE AC ⊥交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若364AC tanE ==，，求AF 的长．4．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，（1）求证：△CDE 是等腰三角形；（2）若AB=4，)21AE =，求证：△OBC ≌△DCE ．5．已知锐角△ABC 内接于圆O ，D 为弧AC 上一点，分别连接AD 、BD 、CD ，且∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ．（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，在CD 延长线上取点E ，连接AE ，使AE ＝AD ，过E 作EF 垂直BD 的延长线于点F ，过C 作CG ⊥EC 交EF 延长线于点G ，设圆O 半径为r ，求证：EG ＝2r ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，若AC ＝BC ，DE ＝4CD ，当△ACD 的面积为10时，求DG 的长度．6．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点E 在O 外，连接CE ，ACB ∠的平分线交O 于点D .（1）若BCE BAC ∠=∠，求证：CE 是O 的切线；（2）若4AD =，3BC =，求弦AC 的长.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90o ，以BC 为直径的半圆⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE 并延长，交CB 延长线于点F ．（1）判断直线DF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CF ＝8，DF ＝4，求⊙O 的半径和AC 的长．8．在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （22，－22），M(－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线y =k x （k≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围.（2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x y ，，()22B x y ，，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.9．如图，点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点，AC 是⊙O 的切线，C 为切点.AD ＝CD ，（1）求证：AC ＝BC ；（2）若⊙O 的半径为1，求△ABC 的面积.10．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BO 为△ABC 的角平分线，以点O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与线段AC 交于点D.（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若tanA ＝34，AD ＝2，求BO 的长.11．如图①，A 是O 外一点，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 于点C ，过点B 作//BD AC ，交O 于点D ，连接DO ，并延长DO 交O 于点E ，连接AE .已知2BD =，O 的半径为3.（1）求证：AE 是O 的切线；（2）求AE 的长；（3）如图②，若点M 是O 上一点，且3BM =，过A 作//AN BM ，交弧ME 于点N ，连接ME ，交AN 于点G ，连接OG ，则OG 的长度是.12．我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．（1）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，△DEF 是△ABC 的垂足三角形，求DE 的长．（2）如图2，圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，△ABC 的垂足三角形DEF 的周长为y ．①求y 与x 的关系式；②若△DEF 的周长为19225时，求⊙O 的半径．13．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，D 为圆上一点，且B ，D 两点位于AC 异侧，连接BD ，交AC 于E ，点F 为BD 延长线上一点，连接AF ，使得∠DAF ＝∠ABD.（1）求证：AF 为⊙O 的切线；（2）当点D 为EF 的中点时，求证：AD 2＝AO•AE ；（3）在（2）的条件下，若sin ∠BAC ＝13，AF ＝2，求BF 的长.14．如图，△ABC 内接于⊙O ，直径BD 交AC 于E ，过O 作FG ⊥AB ，交AC 于F ，交AB 于H ，交⊙O 于G ．（1）求证：OF•DE=2OE•OH ；（2）若⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）15．如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 切圆O 于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB ，AD ，BD ，CD ，∠P=30°．（1）求证：PB=BC ；（2）若AD=6，tan∠DCA=34，求BD的长．16．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点E，点O是线段AC上的一点，以AO为半径作圆O 交线段AC于点G，设AO=m．（1）直接写出AE的长：AE=；（2）取BC中点P，连接PE O与△BPE一边所在的直线相切时，求出m的长；（3）设圆O交BE于点F，连接AF并延长交BC于点H．①连接GH，当BF=BH时，求△BFH的面积；②连接DG，当tan∠HFB=3时，直接写出DG的长，DG．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O 经过点B.（1）求⊙O的半径；（2）点P为 AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在(2)的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值.18．О 直径12AB cm AM =，和BN 是О 的切线，DC 切О 于点E 且交AM 于点D ，交BN 于点C ，设AD x BC y ==，．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）x y ，是关于t 的一元二次方程22300t t m -+=的两个根，求x y ，的值；（3）在（2）的条件下，求COD ∆的面积．19．（1）问题发现：如图1，ABC 内接于半径为4的O ，若60C ∠=︒，则AB =；（2）问题探究：如图2，四边形ABCD 内接于半径为6的O ，若120B ∠=︒，求四边形ABCD 的面积最大值；（3）解决问题：如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条弧形道路CD 围成，点M 是AB 道路上的一个地铁站口，已知AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，CD 的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 处，另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，给定圆C 和点P ，若过点P 最多可以作出k 条不同的直线，且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数，则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2，（1）若点M 的坐标为()11，，则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为，点M 关于圆O 的特征值为；（2）直线y x b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点，求b 的取值范围；（3）点T 是x 轴正半轴上一点，圆T 的半径为1，点R ，S 分别在圆O 与圆T 上，点R 关于圆T 的特征值记为r ，点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时，若存在点R ，S ，使得3r s +=，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．21．如图，AB 是⊙O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连接DA 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F ．（1）求证：CE=EF ；（2）连接AF 并延长，交⊙O 于点G ．填空：①当∠D 的度数为时，四边形ECFG 为菱形；②当∠D 的度数为时，四边形ECOG 为正方形．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，O 的半径为4，90ADC AB BC ∠=︒=，，对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作PE AD ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F.（1）求证：四边形DEPF 为正方形；（2）若 2AD CD =，求正方形DEPF 的边长；（3）设PC的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O 的切线（2）证明：连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =，则12DB DC BC ==，∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA ∽，∴2CD CF AC =⋅，即24BC CF AC=⋅（3）解：连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 422OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯∠⨯∠= ，21201643603OAE S OAE S S ππ︒︒=-=⨯-- 阴影部分扇形2．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴AD ACAC AB，∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，∴AC＝3．【答案】（1）证明：如下图，连接OD，∵AB AC =，OB OD =，∴B C ∠=∠，B ODB ∠=∠，∴ODB C ∠=∠，∴//OD AC ，∴ODE CFD ∠∠=，又∵DE AC ⊥，∴90CFD ∠= ，∴90ODE ∠= ，∴DE 是O 的切线．（2）解：∵AC=6，∴11322OD OB AB AC ====，在Rt ODE 中，34OD tanE ED ==，∴4ED =，5OE ==，∴532AE OE OB =-=-=，又∵90AEF OED AFE ODE ∠∠∠∠=== ，，∴AFE ODE ~ ，∴AE AF OE OD =，即2=53AF ，∴65AF =．4．【答案】（1）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，又∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，又∵OA=OC ，∴△AOC 是正三角形，又∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°，又∵ED ⊥AB 于F ，∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°，∴∠DCE=∠DEC ，故△CDE 为等腰三角形（2）证明：在Rt △ABC 中，∵AB=4，AC=AO=2，∴BC ==，而)212CE =+-=，∴BC=CE ，又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，∴△OBC ≌△DCE （ASA ）5．【答案】（1）证明：如图1中，∵∠ADB ＝∠ACB ，∠ACB ＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ADB ＝90°﹣12BAD ，∵∠ABD ＝180°﹣∠BAD ﹣（90°﹣12∠BAD ）＝90°﹣12∠BAD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD （2）证明：如图2中，连接BE 交AC 于L ，连接AO ，延长AO 交BD 于J ，交BE 于T ，连接CO ，延长CO 交⊙O 于K ，连接BK ．∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠ADE+∠ADC ＝180°，∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADE ＝∠ABC ＝∠AED ，∵AB ＝AD ，∴ AB AD ，∴∠ACB ＝∠ACE ，AJ ⊥BD ，∵AC ＝AC ，∴△ACB ≌△ACE （AAS ），∴CB ＝CE ，∵AB ＝AE ，∴AC ⊥BE ，∴∠ALB ＝∠AJB ＝90°，∵∠ATL ＝∠BTJ ，∴∠TAL ＝∠TBJ ，∵AB ＝AD ＝AE ，∴∠BED ＝12∠BAD ＝∠BAJ ，∵∠EDF ＝∠DBE+∠DEB ，∴∠EDF ＝∠BAC ，∵∠K ＝∠BAC ，∴∠K ＝∠EDF ，∵CG ⊥CE ．EG ⊥BF ，∴∠DFE ＝∠GCG ＝90°，∵∠DEF+∠EDF ＝90°，∠DEF+∠G ＝90°，∴∠G ＝∠EDF ＝∠K ，∵∠CBK ＝∠GCE ＝90°，∴△CBK ≌△ECG （AAS ），∴EG ＝CK ＝2r（3）解：如图3中，在图2的基础上作AH ⊥DE 于H ．∵DE ＝4CD ，∴可以假设CD ＝k ，DE ＝4k ，则CE ＝CB ＝CA ＝5k ，∵AE ＝AD ，AH ⊥DE ，∴DH ＝EH ＝2k ，CH ＝CD+DH ＝3k ，∴AH ＝4k =，AD ＝=∵S △ACD ＝12•CD•AH ＝12•k•4k ＝10，∴k ＝（负根舍弃），∴CD ＝，AC ＝BC ＝EC ＝5，AD ＝AB ＝10，设CK 交AB 于J ，OA ＝OC ＝r ，则BJ ＝AJ ＝5，CJ ＝10==在Rt △AOJ 中，则有r 2＝52+（10﹣r ）2，解得r ＝254，∴EG ＝2r ＝252，∴CG ＝552==∴DG ＝2=6．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵∠BCE=∠BAC ，∴∠BCE=∠BAC=∠OCA ，∵∠OCA+∠OCB=90︒，∴∠BCE +∠OCB=90︒，∴∠OCE=90︒，∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：连接DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∵CD 平分∠ACB ，∴ AD DB=，∴AD DB =，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴AB ==，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90︒，∴AC ==．7．【答案】（1）解：相切证明：连接OD ，OE∵点E 是AB 中点，点O 是BC 中点∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC∴∠1＝∠4，∠2＝∠3∵OC ＝OD ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2∵OB ＝OD ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△ODE∴∠ODE ＝∠OBE ＝90o∴OD ⊥DE ，∴直线DF 与⊙O 相切.（2）解：设⊙O 半径为x ，则OD ＝x ，OF ＝8－x在Rt △FOD 中，222OD FD OF +=，∴2224(8)x x +=-，∴x ＝3∴⊙O 半径为3∵∠FBE ＝∠FDO ＝90°，∠F ＝∠F ，∴△FBE ∽△FDO ，∴BF BE DF OD =，∵BF ＝FC －BC ＝2，OD ＝3，DF ＝4，∴BE ＝32，∵点E 是AB 中点，∴AB ＝2BE ＝3在Rt △ABC 中，AC ＝＝8．【答案】（1）F 解：∵⊙O 的半径为1.∴⊙O 的“梦之点”坐标为2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和2222⎛ ⎝⎭，.又∵双曲线k y x=（k≠0）与直线y=x 的交点均为圆的“梦之点”，∴将2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线表达式中，得，1=2k xy =，∵点P 位于⊙O 内部.∴102k <<（2）解：－1≤t≤3（3）解：由“梦之点”定义可得：()11A x x ，，()22B x x ，.则21x ax ax =-+.整理得，()2110ax a x -++=，解得，11x =，21x a=.把两个根代入122x x -=中，即112a -=，解得，11a =-，213a =.当1a =-时，21y x x =-++，其顶点坐标为1524⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当13a =时，211133y x x =-+，其顶点坐标为111.212⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 为切线，C 为切点，∴∠ACO ＝90°，即∠DCO+∠2＝90°，又∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠DCO+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∵AD ＝CD ，OB ＝OC ，∴∠A ＝∠2，∠B ＝∠1，∴∠A ＝∠B ，∴AC ＝BC ；（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形，∵∠CDO ＝∠A+∠2，∠DOC ＝∠B+∠1，∴∠CDO ＝∠DOC ，即△DCO 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠1＝∠2＝30°，CD ＝AD ＝1，∴BC ＝＝＝，在Rt △BCD 中，作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BEC 中，∠B ＝30°，∴CE ＝1BC 2=，BE ＝32，∴S △ABC ＝1AB CE 2⋅＝1324⨯=.10．【答案】（1）证明：过O 作OH ⊥AB 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∵BO 为△ABC 的角平分线，OH ⊥AB ，∴OH ＝OC ，即OH 为⊙O 的半径，∵OH ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为3x ，则OH ＝OD ＝OC ＝3x ，在Rt △AOH 中，∵tanA ＝34，∴OH AH ＝34，∴3x AH ＝34，∴AH ＝4x ，∴AO ＝22OH AH +＝22(3)(4)x x +＝5x ，∵AD ＝2，∴AO ＝OD+AD ＝3x+2，∴3x+2＝5x ，∴x ＝1，∴OA ＝3x+2＝5，OH ＝OD ＝OC ＝3x ＝3，∴AC ＝OA+OC ＝5+3＝8，在Rt △ABC 中，∵tanA ＝BC AC ，∴BC ＝AC•tanA ＝8×34＝6，∴OB ＝22OC BC +＝2236+＝35.11．【答案】（1）证明：连接OB∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒∵//BD AC ，∴AOE D ∠=∠，AOB OBD ∠=∠∵OB OD =，∴D OBD ∠=∠，∴AOE AOB ∠=∠，∵OE OB =，OA OA =，∴()SAS AOE AOB ≌∴90OEA OBA ∠=∠=︒∴OE AE⊥又∵点E 在圆上，∴AE 是O 的切线.（2）解：过点O 作OH BD ⊥交BD 于点H .∵OH BD ⊥，O 为圆心，∴112DH BD ==，90OHD ∠=︒在Rt OHD 中，OH ==∵OHD AEO ∠=∠，D AOE ∠=∠，∴AOE ODH∽∴AE OH OE DH=∴2231OH OE AE DH ⨯===（3）12．【答案】（1）解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴D 是BC 的中点，又∠BEC 是直角，∴DE ＝12BC ＝3．（2）解：①如图，连接CE ，同理（1）可得DE ＝BD ＝DF ＝3，∴∠B ＝∠BED ＝∠ACB ，∴△BDE ∽△BAC ，∴36BE x =，∴BE ＝18x ，∴AE ＝x ﹣18x ，同理可得：AF ＝x ﹣18x，∴AE ＝AF ，∵AB ＝AC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AE BC AB =，∴EF ＝6﹣2108x ，∴y ＝12﹣2108x ；②当y ＝19225时，x ＝5，如图，连接AD ，∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心O 在线段AD 上，连接BO ，设⊙O 的半径为r ，则32+（4﹣r ）2＝r 2，∴r ＝258，即⊙O 的半径为258．13．【答案】（1）证明：连接CD .AC 是直径，90ADC ∴∠=︒，90DAC ACD ∴∠+∠=︒，ABD ACD ∠=∠ ，DAF ABC ∠=∠，DAF ACD ∴∠=∠，90DAF DAC ∴∠+∠=︒，90FAC ∴∠=︒，AF ∴为O 的切线（2）证明：90FAE ∠=︒ ，DF DE =，AD DE DF ∴==，DAE AED ∴∠=∠，OA OD = ，DAO ADO ∴∠=∠，ADO AED ∴∠=∠，OAD DAE ∠=∠ ，ADO AED ∴ ∽，∴AD AO AE AD=，2AD AO AE∴=⋅（3）解：如图，过点B 作BJ EC ⊥于J .AC 是直径，90ABC ∴∠=︒，1sin 3BC BAC AC ∴∠==，∴可以假设BC a =，3AC a =，BJ AC ⊥ ，90AJB ∴∠=︒，90BAC ABJ ∴∠+∠=︒，90ABJ CBJ ∠+∠=︒，CBJ BAC ∴∠=∠，1sin sin 3CJ CBJ BAC BC ∴∠=∠==，13CJ a ∴=，223BJ ∴==，DA DE = ，DAE AED CEB ∴∠=∠=∠，DAE CBE ∠=∠ ，CEB CBE ∴∠=∠，CE CB a ∴==，1233EJ EC CJ a a a ∴=-=-=，2AE AC EC a =-=，//AF BJ ，∴AF AE BJ EJ=，∴222233a a =，a ∴=，AE ∴=，3EJ =，3BJ =，6EF ∴==，2BE ==，628BF EF BE ∴=+=+=14．【答案】（1）证明：∵BD 是直径，∴∠DAB=90°．∵FG ⊥AB ，∴DA ∥FO ．∴△FOE ∽△ADE ．∴FO OE AD DE=，即OF•DE=OE•AD ∵O 是BD 的中点，DA ∥OH ，∴AD=2OH∴OF•DE=OE•2OH（2）解：∵⊙O 的半径为12，且OE ：OF ：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6代入（1）中OF•DE=OE•AD ，得AD=12．∴OH=12AD=6．在Rt △OHB 中，OB=2OH ，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°．∴BH=BO•sin60°=122⨯=2OHB GOB 60121=S S =6183602S ππ⨯⨯∴--⨯⨯- 阴影扇形15．【答案】（1）证明：连接OB ，∵PB 是圆O 的切线∴∠OBP=90°∵∠BOP=90°-∠P=90°-30°=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∵∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=60°∴∠OCB=30°=∠P∴PB=BC（2）解：过点A作AE⊥BD于点E ，∴∠AED=∠AEB=90°，∵AC是直径，∴∠ADC=90°在Rt△ADC中，tan∠DCA=634ADDC DC==，解之DC=8∴10 =在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AB=1110522AC=⨯=在Rt△ADE中，∠ADE=∠ACB=30°∴DE=6×cos30°=AEB=∠ADC，∠ABE=∠ACD∴△ABE∽△CAD∴AB BEAC DC=，即5108BE=解之：BE=4∴DB=DE+BE=16．【答案】（1）AE=18 5（2）解：当圆O与△BPE的BE边相切时，点E和点G重合，则AE⊥BE∴AE是圆O的直径∴m=111892255AE=⨯=；当圆O与△BPE的BP边相切时，切点为F，连接OF∴∠OFC=∠BEC=90°∵∠OCF=∠BCE∴△OFC∽△BCE∴OF OC BE BC=在Rt△ABC中，BE⊥AC∴AB·BC=AC·BE即6×8=10BE解之：BE=245∴102485m m-=解之：m=154;当圆O与△BPE的PE边相切时，交PE的延长线于点F，切点为F，连接OF∴∠OFE=∠BEC=90°∵∠OEF=∠CEP∵点P是Rt△BEC斜边上的中线∴CP=PE∴∠ECP=∠CEP∴∠OEF=∠ECP∴△OFC∽△CBE∴OF OEBE BC=∵圆O的半径为m∴OE=185-m，OF=m∴1852485mm-=解之：m=2720;答：当圆O与△BPE一边所在的直线相切时，95m=，154m=，2720m=（3）过点F作FM⊥AB，过点F作FN⊥BC于点N易证四边形BMFN是矩形∴FN=BM，∵BH=BF∴∠1=∠2,∵∠1=∠5，∠5+∠3=90°，∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴AF平分∠CAB，FE⊥AC，FM⊥AB∴EF=FM在Rt△AEF和Rt△AMF中A=AA=A∴Rt△AEF≌Rt△AMF（HL）∴AE=AM=3.6∴BM=AB-AM=6-3.6=2.4即FN=2.4，∵FM∥BH∴△AFM∽△ABH∴MF AMBH AB=∴3.6365MFBH==，设MF=3x，则BH=BF=5x，在Rt△BMF 中，4x=4x=2.4解之：x=0.6∴BH=5×0.6=3∴S△BFH=11121832255BH FN⋅=⨯⨯=；；1255 17．【答案】（1）解：连接OB，如图，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°，在Rt△OBC中，cosBC OBCOB∠=，即1 cos30OB︒=，解得233 OB=，即⊙O 的半径为23 3（2）解：连接OP，设AB与QP交于点M，∵点P为 AB的中点，∴OP⊥AB，∴∠QPO+∠PMB=90°，∵PQ⊥AC，∴∠A+∠AMQ=90°，又∵∠AMQ=∠PMB，∴∠QPO=∠A=30°，在Rt△OPQ中，sinOQ QPOOP∠=，即sin30233︒=，∴2313323 OQ==（3）解：在Rt△OBC中，∵3OB =，∠OBC=30°，∠ACB=90°∴3sin 30°=3OC OB =⨯，∴233CQ CO OQ =+=，∴tan 2PQ PCA CQ ∠==18．【答案】（1）解：如图，作DF BN ⊥交BC 于F ；AM BN 、与O 切于点A B、AB AM AB BN ∴⊥⊥，．又DF BN ⊥ ，∴BAD ABC BFD ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFD 是矩形，12BF AD x DF AB ∴====，，BC y = ，FC BC BF y x ∴=-=-；DE 切O 于E ，DE DA x CE CB y ∴====，，则DC DE CE x y =+=+，在Rt DFC ∆中，222CD FC DF =+，即222()()12x y y x +=-+，整理为：36y x =，y ∴与x 的函数关系式是36y x=．（2）解：由（1）知36xy =，∵x y ，是方程22300t t m -+=的两个根，∴根据韦达定理知，2m xy =，即72m =；∴原方程为215360t t -+=，解得：12123t t ==，．即=3=12或123x y =⎧⎨=⎩．（3）解：如图，连接OD OE OC ，，，AD BC CD ，，是O 的切线，OE CD AD DE BC CE ∴⊥==，，，AOD ODE OBC COE S S S S ∆∆∆∆∴==，，111==(312)1245222COD COE ODE ABCD S S S S ∆∆∆∴=+⨯⨯+⨯=梯形19．【答案】（1）（2）解：∵∠ABC=120︒,四边形ABCD 内接于O ，∴∠ADC=60︒，∵O 的半径为6，∴由（1）得AC=,如图，连接AC ，作DH ⊥AC,BM ⊥AC,∴四边形ABCD 的面积=111()222AC DH AC BM AC DH BM ⋅⋅+⋅⋅=⋅+,当DH+BM 最大时，四边形ABCD 的面积最大，连接BD ，则BD 是O 的直径，∴BD=2OA=12，BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 的面积=111222AC BD ⋅⋅=⨯=.∴四边形ABCD 的面积最大值是（3）解：存在；∵AD BM =1=千米，2AM BC ==千米，60A B ∠=∠=︒，∴△ADM ≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180︒-∠B=120︒，∴∠AMD+∠BMC=120︒，∴∠DMC=60︒，∴△CDM 是等边三角形，∴C 、D 、M 三点共圆，∵点P 在弧CD 上,∴C 、D 、M 、P 四点共圆，∴∠DPC=180︒-∠DMC=120︒，∵CD 弧的半径为1千米，∠DMC=60︒，∴CD=,∵2()0PD PC -≥,∴2()4PD PC PD PC +≥⋅,∴PD PC +≥,∴当PD=PC 时，PD+PC 最大，此时点P 在弧CD 的中点，交DC 于H ,在Rt △DPH 中，∠DHP=90︒,∠DPH=60︒，DH=12DC=32,∴1sin 60DH DP == ，∴四边形DMCP的周长最大值=DM+CM+DP+CP=2+.20．【答案】（1）；3的特征值为4的点，（2）解：设点G是O∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条， 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2，=，∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上，=+分别与x，y轴交于点A、B，直线y x b()0，，B b∴-，，()A b∴==，OA OB bOBH∴∠=︒，45b>时，线段AB与以O为半径的圆相切时，点G特征值为4，当0设切点为为H，连接OH，则OH=，∴==OB，∴=b，设以O为半径的圆与y轴正半轴的交点记为1B，OB=，则1当线段AB 与以O 1B 时，可得b =，b ≤≤同理可求当0b <时，b ≤≤，综上，b b b ≤≤-≤（3）当372122t -≤≤+时，存在点R ，S ，使得3r s +=21．【答案】（1）证明：连接OC ，如图，.∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ，∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°∵DO ⊥AB ，∴∠3+∠B=90°，而∠2=∠3，∴∠2+∠B=90°，而OB=OC ，∴∠4=∠B ，∴∠1=∠2，∴CE=FE（2）30°；22.5°22．【答案】（1）证明：∵PE AD ⊥，PF DC ⊥，∴90PED PFD ∠∠==︒，∴90ADC PED PFD ∠∠∠===︒，∴四边形DEPF 是矩形，∵90ADC ∠=︒，∴AC 是圆O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∵AB BC =，∴45ACB BCA ∠=∠=︒， AB BC=，∴45ADB CDB ∠=∠=︒，∴45DPE ADB ∠∠==︒，∴PE DE =.∴四边形CEPF 是正方形；（2）解：∵ 2AD CD=，AC 是圆O 的直径，∴ AD 的度数为120︒， AD 的度数为60︒，∴30DAC ∠=︒，60DCA ∠=︒，∴12PE sin DAC AP ∠==，3602PF sin DCA sin PC ∠=︒==，∴2AP PE =，233PC PF =，∵2428AC AP PC r =+==⨯=，正方形DEPF 中，PE PF =，∴23283PF PF +=，∴2PF =.（3）解：在ED 上取点G ，使EG CF =，连接PG ，由（1）得：PE PF =，90GEP PFC ∠∠==︒，∴GPE CPF ≌，∴PG PC x ==，GPE FPC ∠∠=，CEP PFC S S = ，∴阴影部分的面积等于APG ABC S S + ，∵90EPF ∠=︒，∴90APE CPF ∠∠+=︒，∴90GPE APE ∠∠+=︒，即90APG ∠=︒，∵8AC =，∴8AP x =-，∴()11822APG S AP PG x x =⋅=- ，∵ABC 是等腰直角三角形，8AC =，∴AB BC ==，∴2111622ABC S AB ==⨯= ，即阴影部分的面积()()21181642422y x x x =-+=--+，∴当4x =时，y 有最大值，最大值为24.。
人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。
中考数学圆的综合-经典压轴题含答案
C ADB ， C的正切值为 3 ；
4 ② Ⅰ、当 AC BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E，
AC BC ， AO BO ，
CE 为 AB 的垂直平分线，
AE BE 3，
在 Rt AEO 中， OA 5 ，根据勾股定理得， OE 4 ，
CE OE OC 9 ，
（3）解：如图 3 中，连接 OC．设⊙O 的半径为 r．
在
Rt△
AHC
中，tan∠
ACH=tan∠
G=
AH HC
=
3 4
，∵
AH= 3
3 ，∴ HC= 4
3 ，在 Rt△ HOC 中，
∵ OC=r，OH=r﹣ 3 3 ，HC= 4 3 ，∴ (r 3 3)2 (4 3)2 r2 ，∴ r= 25 3 ， 6
ABC
432 25
．
【点睛】 圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图，已知 Rt△ ABC 中，C=90°，O 在 AC 上，以 OC 为半径作⊙O，切 AB 于 D 点，且 BC=BD． （1）求证：AB 为⊙O 的切线；
由题意可知，CD=4cm ∴ 设半径为 xcm，则 OD=（x﹣4）cm 在 Rt△ BOD 中， 由勾股定理得：OD2+BD2=OB2 （x﹣4）2+82=x2 解得：x=10． 答：这个圆形截面的半径为 10cm．
点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行 求解．
∴ OB= 32 62 3 5 . ∴ PB=OB-OE= 3 5 3 .
当 P 点与 F 点重合时，PB 去最大值，
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练含详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
人教 中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练附答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为3． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， 由勾股定理求得6BE =．在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为3．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法； （2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π． 【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．4．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．5．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
备战中考数学圆的综合-经典压轴题含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝ =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.2．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD∴，=AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第（3）小题的关键．3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．4．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．5．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．6．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出BH=BA=22，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633BH =∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10＝10设CE=CD=x ，则10+x ，10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2．10+x)2＝10+x)2解得：10∴10，10∴△ABC 各边长10，10，10【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．8．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切；（2）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12OC，即r=12（r+2）．∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．9．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC 、OE ．利用等角的余角相等，证明∠PCD =∠PDC 即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴AE =BE ，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．如图，AB 为⊙O 的直径，DA 、DC 分别切⊙O 于点A ，C ，且AB =AD ．（1）求tan ∠AOD 的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②2 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。
中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣24 7，∴点M的坐标为（﹣242477，）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AO BO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可． 详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分） 又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点， 又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°． 过E 作EH ⊥AC 于H ， 设BC=2k ，则EH=2k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=10EH AE．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．5．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF =EF ：（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO =∠BAO ， ∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°， 即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =，∴23 2.15，3∵O的半径长为32，∴BC=62，∴BD=1BC＝22.3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．7．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小. 【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，AC＝12，求BD的长．(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】 分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可； （3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为145． 【解析】【分析】（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O 的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=，cos ∠ABD ＝45，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴AD AE =，∴∠ADE ＝∠ABD ，∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ，∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠ADE ＝∠DAC ，∴AG ＝GD ； （2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由：∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145．∴BC的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=123ON=33DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形，∴NH＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。
决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《圆的综合》(含解析)
《圆的综合》1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC＝8，CE＝3，求CD的长．，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，∵，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠AD C＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴∴，即．，2．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；的中点，过点C作AF的垂线，（2）当BD＝2，sin D＝时，求AE的长．（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠FAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵sin D＝＝，∴设OC＝3x，OD＝5x，则5x＝3x+2，∴x＝1，∴OC＝3，OD＝5，∴AD＝8，∵sin D＝∴AE＝＝．＝，3．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．（1）求证：∠ABC＝∠ABO；（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∵AC切⊙O于A，∴OA⊥AC，∵BC⊥AC，∴OA∥BC，∴∠OBA＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ABO；（2）解：过O作OD⊥BC于D，∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，∴OD＝AC＝1，在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，∵OD⊥BC，OD过O，∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝＝，即⊙O的半径是．4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若cos∠DAE＝，BE＝2，求⊙O的半径．（1）证明：连接OC，∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OC∥AD，∴∠DAE＝∠COE，∴cos∠DAE＝cos∠COE＝，BE＝2，∴＝，解得：r＝4，即⊙O的半径为4．5．如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC＝2∠1．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）当∠1＝30°，AB＝4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积．（1）证明：连结OC，在圆O中，OA＝OC，∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠APC+∠AOC＝180°，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°又四边形内角和为360°，∴∠OCP＝90°，OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线；（2）解：PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线．∴PA＝PC，∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1，∴∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，连结OP，OC，∵S四边形AOCP ＝2××2×2＝4，S扇形AOC＝×π×4＝π，∴S阴影部分的面积＝4﹣π．6．如图，线段AB经过⊙O的圆心，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求切线BD的长；（3）求线段BM的长．（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OD⊥BD，∵OD过O，∴直线BD是⊙O的切线；（2）解：设OD＝OC＝r，在Rt△BDO中，sin30°＝＝，解得：r＝1，即OD＝1，OB＝1+1＝2，由勾股定理得：BD＝＝；（3）解：连接DM，∵DE是⊙O的直径，∴∠DME＝90°，即∠DMB＝∠BDE＝90°，∵∠DBM＝∠DBE，∴△BMD∽△BDE，∴∴，，解得：BM＝．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AC为⊙O的直径，使得BE＝AB，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）若DE为⊙O的切线，且DE＝2，求的长度．＝，延长BC到E，（1）证明：连接BD，∵＝，∴∠ABD＝∠DBE，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝DE；（2）解：连接OD，∵＝，∴AD＝CD，∵AD＝DE，∴CD＝DE，∵AC为⊙O的直径，∴∠B＝∠ADC＝90°，∵AD＝CD，O为AC的中点，∴∠ODE＝∠ADC＝45°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90，∴∠CDE＝45°，∴∠ADE＝90°+45°＝135°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，∴∠BAD＝67.5°，∵AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠BAC＝22.5°，∴AD＝CD＝2，∴AC＝4，∴OC＝2，∴的长度是＝．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC （1）求证：PA＝PC；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若BC＝8，，求DE的长．（1）证明∵OD⊥AC，∴AD ＝CD ，∴PD 是 AC 的垂直平分线，∴PA ＝PC ，（2）证明：由（1）知：PA ＝PC ，∴∠PAC ＝∠PCA ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°．又∵∠PCA ＝∠ABC ，∴∠PCA +∠CAB ＝90°，∴∠CAB +∠PAC ＝90°，即 AB ⊥PA ，∴PA 是⊙O 的切线；（3）解：∵AD ＝CD ，OA ＝OB ，∴OD ∥BC ，OD ＝ BC ＝＝4，∵＝ ，设 AB ＝3a ，DF ＝2a ，∵AB ＝EF ，∴DE ＝3a ﹣2a ＝a ，∴OD ＝4＝﹣a ，a ＝8，∴DE ＝8．9．如图，C 是上的一定点，D 是弦 AB 上的一定点，P 是弦 CB 上的一动点，连接 DP ，将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PD ′，射线 PD ′与交于点 Q ．已知 BC ＝6cm ， 设 P ，C 两点间的距离为 xcm ，P ，D 两点间的距离为 y 1cm ，P ，Q 两点间的距离为 y 2cm ．小石根据学习函数的经验，分别对函数 y 1，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 1，y 2 与 x 的几组对应值：x /cmy 1/cmy 2/cm4.290.88 13.332.84 23.57 31.654.04 41.224.17 51.503.20 62.240.98（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x ，y 1）， （x ，y 2），并画出函数 y 1，y 2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接 △D Q ，当DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为 1.3或 5.7 cm ．（结果保留一位小数）解：（1）观察图象发现规律可知：表格数据为：2.44；（2）如图所示：即为两个函数 y 1，y 2 的图象；（3）观察图象可知：两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度，两个交点的横坐标为1.3和5.7．故答案为：1.3或5.7．10．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，此时PA•PB＝PC•PD（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P，上面的结论是否成立？请说明理由．（2）如图（3），将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C，直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当PC＝，P A＝1时，阴影部分的面积．解：（1）成立．理由如下：如图（2），连接AD、BC，则∠B＝∠D∵∠P＝∠P∴△PAD∽△PCB∴＝∴PA•PB＝PC•PD；（2）PC2＝PA•PB理由如下：如图（3），连接BC，OC，∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCO＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠OCB∵OC＝OB∴∠OCB＝∠OBC∴∠PCA＝∠OBC∵∠P＝∠P∴△PCA∽△PBC∴PC：PB＝PA：PC∴PC2＝PA•PB．（3）如图（3），连接OC，，PA＝1∵PC2＝PA•PB，PC＝∴PB＝3，AO＝CO＝1∴PO＝2＝ ∵PC 与⊙O 相切于点 C ，∴△PCO 是直角三角形∴sin∠CPO ＝＝∴∠CPO ＝30°，∠COP ＝60°∴△AOC 为等边三角形∴△S AOC＝S 扇形 AOC ＝＝∴S 阴影＝S 扇形 AOC ﹣△S A OC＝﹣ ．11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0，2），点 B 在 x 轴上，以 AB 为直径作⊙C ，点 P在 y 轴上，且在点 A 上方，过点 P 作⊙C 的切线 PQ ，Q 为切点，如果点 Q 在第一象限，则称 Q 为点 P 的离点．例如，图 1 中的 Q 为点 P 的一个离点．（1）已知点 P （0，3），Q 为 P 的离点．①如图 2，若 B （0，0），则圆心 C 的坐标为（0，1） ，线段 PQ 的长为；②若 B （2，0），求线段 PQ 的长；（2）已知 1≤PA ≤2，直线 l ： y ＝kx +k +3（k ≠0）．①当 k ＝1 时，若直线 l 上存在 P 的离点 Q ，则点 Q 纵坐标 t 的最大值为6 ；②记直线 l ：y ＝kx +k +3（k ≠0）在﹣1≤x ≤1 的部分为图形 G ，如果图形 G 上存在 P 的离点，直接写出 k 的取值范围．解：（1）①如图可知：C （0，1），在 Rt△PQC 中，CQ ＝1，PC ＝2，∴PQ ＝ ，故答案为（0，1）；；②如图，过C作CM⊥y轴于点M，连接CP，CQ．∵A（0，2），B（2，0），∴C（1，1）．∴M（0，1）．在Rt△ACM中，由勾股定理可得CA＝∴CQ＝．∵P（0，3），M（0，1），∴PM＝2．在Rt△PCM中，由勾股定理可得PC＝．．在Rt△PCQ中，由勾股定理可得PQ＝（2）①如图1：当k＝1时，y＝x+4，∴Q（t﹣2，t），∴CQ＝，当t＝2时，CQ最大，＝．在Rt△CDQ中，CD＝，CQ最大则DQ最大，∴Q（2，6），故答案为6；②∵﹣1≤x≤1，Q点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+4）之间运动，当Q在（1，2k+4），P（0，4）时，直线PQ的解析式y＝（2k﹣1）x+4，点C（1，1）到直线PQ的距离为∴0＜k＜4．时，可得k＝0或k＝4，12．已知AB为⊙O的直径．（1）如图a，点D为（2）如图b，点D为（3）如图c，点D为的中点，当弦BD＝AC时，求∠A．的中点，当AB＝6，点E为BD的中点时，求OE的长．上任意一点（不与A、C重合），若点C为的中点，探求BD、AD、CD之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．解：（1）如图1，连结OC，点D为∴＝的中点，═，∵弦BD＝AC，∴∴∴＝═＝，＝═，即点C为的中点．∠A＝∠COB＝××180°＝30°．（2）如图2，连结OD，BC，OD交AC于点F，AB为⊙O的直径，∴∠C＝90o点D为的中点，半径OD所在的直线为⊙O的对称轴，则点A的对应点为C，∴OD⊥AC，OD平分AC，即：AF＝CF，在△DEF和△BEC中，，∴△DEF≌△BEC（AAS），∴CE＝EF，BC＝DF，∵AO＝BO，AF＝CF，∴OF＝BC＝DF，又AB＝6，∴OD＝3∴OF＝1，BC＝DF＝2．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵点F为AC的中点，点E为FC的中点∴EF＝，在Rt△OFE中，EF＝∴OE＝＝，OF＝1，＝．（3）BD、AD、CD之间的关系为：BD﹣AD＝如图3，连接BC，OC，CD，∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，过点C作CF⊥CD交BD于点F，∴△DCF是等腰直角三角形，∴，∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，又∵AC＝BC，CD＝CF∴△ACD≌△BCF（SAS），∴AD＝BF，∵BD＝BF+DF，∴BD＝AD+即BD﹣AD＝CD，CD．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP、OP．（1）求证：点D为BC的中点；（2）求AP的长度；（3）求证：CP是⊙O的切线．解：（1）BD＝DC．理由如下：如图1，连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．（2）如图1，连接AP．∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE．∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠DCE＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB＝45°，∴∠BOP＝90°．∴△AOP是等腰直角三角形．∵AO＝AB＝5．∴AP＝AO＝5；（3）解法一：设OP交AC于点G，如图1，则∠AOG＝∠BOP＝90°，在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，∴又∵＝，＝＝，∴∴＝＝，．又∵∠AGO＝∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC＝∠AOG＝90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；解法二：如图2，作CM⊥AB于M，∵∠BOP＝90°，∴CM∥OP，∵OP＝AB，在Rt△AME中，∵∠BAC＝30°，可∴CM＝AC，∴CM＝AB，∴CM＝OP，∴四边形OPCM是矩形，∴∠CPO＝90°，∴CP是圆O的切线．14．如图，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为劣弧的中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）连接BC，若BC∥OF，如图2．①求CE的长；②图中阴影部分的面积等于2π．（1）证明：如图1，连接CO．∵C是的中点，∴∠BOC＝∠FOC．又∵OF＝OB，∴OC⊥BF．∵CG∥FB，∴OC⊥CG．∴CG是⊙O的切线．（2）①∵OF∥CB，∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC．∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°．∴△OBC是等边三角形．∵CD⊥OB，OC⊥BF，∴点E是△OBC的重心．∴CE＝2ED＝CD．又∵⊙O的半径为，∴可求得：CD＝OC•sin60°＝2×＝3，DE＝1，∴CE＝2；．②故答案是：2π．。
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD ，∴AB +CD =AD +BC ．∵AB =12，CD =8，∴AD +BC =12+8=20，∴四边形的周长是AB +CD +AD +BC =20+20=40． 故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x ，4x ，7x ，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x +7x ﹣4x =8x ．∵圆外切四边形的周长为48cm ，∴4x +5x +7x +8x =24x =48，∴x =2，∴此四边形的四边为4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．2．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O 的切线．理由：连接OD ．∠=∠，CDB ADE∴∠=∠，ADC EDBCD AB，//∴∠=∠，CDA DAB=，OA OD∴∠=∠，OAD ODA∴∠=∠，ADO EDBAB是直径，∴∠=，90ADBADB ODE∴∠=∠=，90∴⊥，DE OD∴是O的切线．DE()2//CD AB，∠=∠，ADC DAB∴∠=∠，CDB DBE∴=，AC BD∴=，AC BD∠=∠，EDB DABDCB DAB∠=∠，∴∠=∠，EDB DCB∴∽DBE，CDBCD DB∴=，BD BE2∴=⋅，BD CD BE2∴=⋅．AC CD BE【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.3．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如答图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴AC AD.∴∠AGF=∠ABG.∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =，即51045=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ，∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-，∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==， ∴21BD AD ==+． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.5．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】 【分析】()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】()1证明：OD BC ⊥，BD CD ∴=，CBD DCB ∴∠=∠，90DFE EDF ∠+∠=，90EDF DFE ∴∠=-∠，OD OA =，()111809022ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902DFE AOD ∴-∠=-∠，12DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，12ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，BE CE ∴=，BD CD =，BD CD ∴=，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，PA 切O 于点A ，90PAO ∴∠=，90OAD DAP ∴∠+∠=，PFA DFE ∠=∠，90PFA ADO ∴∠+∠=，PAF PFA ∴∠=∠，PA PF ∴=．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．6．已知AC ＝DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连结CB ．[感知]如图①，点A 、B 在CD 同侧，且点B 在AC 右侧，在射线AM 上截取AE ＝BD ，连结CE ，可证△BCD ≌△ECA ，从而得出EC ＝BC ，∠ECB ＝90°，进而得出∠ABC ＝ 度；[探究]如图②，当点A 、B 在CD 异侧时，[感知]得出的∠ABC 的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC 的大小．[应用]在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD ＝30°，BD ＝时，直接写出BC 的长． 【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC 的长为+1或﹣1． 【解析】【分析】[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°．∴∠CDB+∠CAB＝180°，∵∠CAB+∠CAE＝180°∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45【探究】不改变．理由如下：如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．【拓展】如图①﹣1中，连接AD．∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠DAB＝∠DCB＝30°，∴AB ＝BD＝，∴EB＝AE+AB＝+，∵△ECB是等腰直角三角形，如图②中，同法可得BC＝﹣1．综上所述，BC的长为+1或﹣1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．（1）d（点O，AB）= ；（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635, ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252-）；∵0<d <2，∴25252t -<<-；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．8．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．【详解】（1）证明：∵AB 为直径，∴ACB 90∠=︒， ∵CD AB ⊥于D ， ∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒，∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立，证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，∵OC OB =， ∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒，∵CFE DFA ∠∠=，∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=， ∴CH CF =，∴EH EF =，同理DF DK =，∵DE 3=，∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==， BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，则NAK 90CMK ∠∠=︒=，∴CM //AN ，∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形，∴AG CN 6==，作OT CK ⊥于T ，则T 为CK 的中点，∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==，设BD a =，CD 3a =，∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=，∴13a a 283++=， 解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=， ∴2614CF CK 2DK 855=-=-=． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．9．如图1，⊙O 的直径AB =12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC =30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；（2）如图3，当弧DC =弧AC 时，延长AB 至点E ，使BE =12AB ，连接DE ． ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）6；（2）①证明见解析；33．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP ，PD 的长；（2）①首先得出△OBD 是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 试题解析：（1）如图2，连接OD ，∵OP ⊥PD ，PD ∥AB ，∴∠POB=90°，∵⊙O 的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y，AH=2y，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴35535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。