综合法与分析法课时提升作业七 2.2

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人教A版选修【4-5】2.2《综合法与分析法》习题及答案(最新整理)

数学·选修4－5(人教A 版)2.2　综合法与分析法一层练习1．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．必要或充分条件答案：B2．若x ＞y ＞1,0＜a ＜1，则下列式子中正确的是( )A ．a x ＞a yB ．log a x ＞log a yC ．x a ＜y aD ．x －a ＜y －a答案：D3．设a ，b∈R ＋，A ＝＋，B ＝，则A ，B 的大小关系是( )a b a ＋b A ．A≥B B ．A≤BC ．A>BD ．A<B答案：C证明不等式的基本方法4．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a≠b，那么a ＋b,2，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．ab 答案：a ＋b5．求证：＜2－.753证明：21＜25⇒＜521⇒2＜1021⇒10＋2＜2021⇒(＋)2＜(2)2735⇒＋＜2735⇒＜2－.753所以原不等式成立．二层练习6．若1<x<10，下面不等式中正确的是( )A ．(lg x)2<lg x 2<lg(lg x)B ．lg x 2<(lg x)2<lg(lg x)C ．(lg x)2<lg(lg x)<lg x 2D ．lg(lg x)<(lg x)2<lg x 2[:答案：D7．设a≥b，b>0，M ＝，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系是________．a 2＋b 2ab 答案：M≥N8．a ，b 是正数，求证：≥.a 2＋b 2 a ＋b 212证明：＝a 2＋b 2 a ＋b 2 a ＋b 2－2ab a ＋b 2＝1－≥1－＝1－＝，2ab a ＋b 22·(a ＋b 2)2 a ＋b 21212当且仅当a ＝b 时取“＝”．9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2证明：证法一(综合法)∵a，b ，c∈R ＋，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，且上述三个不等式中等号不能同时成立，a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac ∴··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2∴lg＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2证法二(分析法)lg＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c ⇐a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2lg ＞lg abc ⇐(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2因为≥＞0，≥＞0，≥＞0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以·a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac a ＋b 2·＞abc 成立，从而原不等式成立．b ＋c 2c ＋a 210．(2018·新课标Ⅱ卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)ab ＋bc ＋ca≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤.13(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即＋＋≥a＋b ＋c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a 三层练习11．(1)设x≥1，y≥1，求证：x ＋y ＋≤＋＋xy.1xy 1x 1y(2)1<a≤b≤c，求证：log a b ＋log b c ＋log c a≤log b a ＋log c b ＋log a c.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x ＋y ＋≤＋＋xy ⇔xy(x ＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2，1xy 1x 1y将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy)2]－[xy(x ＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．又x≥1，y≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数换底公式得log c a ＝，log b a ＝，log c b ＝，log a c ＝xy.1xy 1x 1y于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋≤＋＋xy ，1xy 1x 1y其中x ＝log a b≥1，y ＝log b c≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．12．(2018·上海卷·节选)给定常数c>0，定义函数f(x)＝2|x ＋c ＋4|－|x ＋c|，数列a 1，a 2，a 3…满足a n ＋1＝f(a n )，n∈N *.(1)若a 1＝－c －2，求a 2及a 3；(2)求证：对任意n∈N *，a n ＋1－a n ≥c.解析：因为c>0，a 1＝－(c ＋2)，故a 2＝f(a 1)＝2|a 1＋c ＋4|－|a 1＋c|＝2，a 3＝f(a 1)＝2|a 2＋c ＋4|－|a 2＋c|＝c ＋10.(2)要证明原f(x)≥x＋c ⇔2|x ＋c ＋4|－|x ＋c|≥x＋c ，即只需证明2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ，若x ＋c≤0，显然有2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ＝0成立；若x ＋c>0，则2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ⇔x ＋c ＋4>x ＋c 显然成立．综上，f(x)≥x＋c 恒成立，即对任意的n∈N *，a n ＋1－a n ≥c.13．设实数数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *)，(利用综合法和分析法)求证：对k≥3有0≤a k ≤.43证明：由题设条件有S n ＋a n ＋1＝a n ＋1S n ，故S n ≠1，a n ＋1≠1且a n ＋1＝，S n ＝，S n S n －1a n ＋1a n ＋1－1从而对k≥3有a k ＝＝＝＝.①S k －1S k －1－1a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1因a －a k －1＋1＝a k －1－2＋>0且a ≥0，由①得a k ≥0.2k －112342k －1要证a k ≤，由①只要证≤，即证3a ≤4(a －a k －1＋1)，即(a k －1－2)2≥0.43a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1432k －12k －1此式明显成立．因此a k ≤(k≥3)．即原4314．设b>0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝(n≥2)．nba n －1a n －1＋2n －2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤＋1.b n ＋12n ＋1解析：(1)由a n ＝可得nba n －1a n －1＋2n －2＝·＋，n a n 2b n －1a n －11b当b ＝2时，＝＋，则数列是以＝为首项，为公差的等差数列，n a n n －1a n －112{n a n }1a 11212∴＝，从而a n ＝2.n a n n 2当b≠2时，＋＝，n a n 12－b 2b (n －1a n －1＋12－b )则数列是以＋＝为首项，为公比的等比数列，{n a n ＋12－b }1a 112－b 2b 2－b 2b ∴＋＝·n －1＝·n ，n a n 12－b 2b 2－b (2b)12－b (2b )∴a n ＝.nb n 2－b 2n －b n综上，a n ＝Error!(2)当b ＝2时，a n ＝2，＋1＝2，b n ＋12n ＋1∴a n ＝＋1，从而不等式成立；b n ＋12n ＋1当b≠2时，要证a n ≤＋1，b n ＋12n ＋1只需证≤＋1，nb n 2－b 2n －b n b n ＋12n ＋1即证≤＋，n 2－b 2n －b n b 2n ＋11b n 即证≤＋，n 2n －1＋2n －2b ＋2n －3b 2＋…＋2b n －2＋b n －1b 2n ＋11b n即证n≤＋＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋，2n －1b n 2n －2b n －12n －3b n －22b 21b b 22b 223b n －12n b n2n ＋1而上式右边＝＋＋…＋＋≥2＋(2n －1b n ＋b n 2n ＋1)(2n －2b n －1＋b n －12n )(2b 2＋b 223)(1b ＋b 22)2n －1b n ·b n2n ＋12＋…＋2＋2＝n.2n －2b n －1·b n －12n 2b 2·b 2231b ·b 22∴当b≠2时，原不等式也成立，从而原不等式成立．1．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点．常用不等式有：(1)a 2≥0(a∈R)；(2)(a －b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a 2＋b 2≥2ab，2≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b 2)(a ＋b)2；(3)若a ，b∈R ＋，≥，特别的有＋≥2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca(a ，b ，c∈R)．12a ＋b 2ab b a a b2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．对思路不明显，从条件看感到无从下手的问题宜用分析法．用分析法证明“若A 则B”的模式为：欲证只需证只需证……[:只需证明A 为真．今已知A 为真，故B 必真．可以简单写成：B ⇐B 1⇐B 2⇐……⇐B n ⇐A.3．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．4．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．分析与综合互为前提，相互渗透，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点，分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决．即在分析过程中有时进行到一定步骤不易进行下去，就要从已知条件出发，进行推理，直至综合法推出的结论与分析法追溯的充分条件同一为止，从而证明了不等式．这种“由两头往中间靠”的方法可称为分析综合法．5．一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与待证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

高中数学 1.2.11.2.2 综合法分析法课时作业北师大版选修22

§2综合法与分析法2．1 综合法2．2 分析法课时目标1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从命题的________出发，利用________________________________，通过______________，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这称思维方法称为综合法．2．分析法从______________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的____________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．3．综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”．一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．等价条件2．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则( )A．S≥2P B．P<S<2PC．S>P D．P≤S<2P3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为( ) A．至多有一个实根B．至少有一个实根C．有且只有一个实根D ．无实根4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N ＋，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )<g (n )<φ(n )B ．f (n )<φ(n )<g (n )C ．g (n )<φ(n )<f (n )D ．g (n )<f (n )<φ(n )6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2二、填空题7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．三、解答题10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A 1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f(x)＝1＋x2，若a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答案知识梳理1．条件定义、公理、定理及运算法则演绎推理 2．求证的结论充分条件作业设计 1．A2．D [∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，∴S ≥P .2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2＋a 2＋c 2，即2P >S .]3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，因此图像与x 轴的交点最多就是一个．] 4．C [利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c .]5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n，∴f (n )<φ(n )<g (n )．]6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2<a 2.]7．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 8．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16，当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”．此时a ＝4，b ＝12.∴0a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．证明要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3，即证ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.12．AC ⊥BD解析从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．13．证明原不等式即|1＋a2－1＋b2|<|a－b|，要证此不等式成立，即证1＋a2＋1＋b2－21＋a2·1＋b2<a2＋b2－2ab. 即1＋ab<1＋a2·1＋b2.当1＋ab<0时不等式恒成立，当1＋ab≥0时，即要证1＋a2b2＋2ab<(1＋a2)(1＋b2)，即2ab<a2＋b2，由a≠b知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

[A 组学业达标]1．若实数x ，y 适合不等式xy ＞1，x ＋y ≥－2，则( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：本题主要考查不等式．因为xy ＞1，所以x ，y 同号．当x ＜0，y ＜0时，由xy ＞1，得x ＜1y ，所以x ＋y ＜y ＋1y ，由于y ＋1y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1y ≤－2(－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1y ＝－2，当且仅当－y ＝－1y ，即y ＝－1时取等号，所以x ＋y ＜－2，这与x ＋y ≥－2矛盾，故x ＜0，y ＜0不成立；当x ＞0，y ＞0，显然满足x ＋y ≥－2. 答案：A2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)＋b 2(1－a 2)＝(a 2－1)(1－b 2)．故选D. 答案：D3．A ，B 为△ABC 的内角，A ＞B 是sin A ＞sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查综合法．充分性：由三角形中“大边对大角”，当A ＞B 时，a ＞b ；又因为a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＞sin B ，故充分性成立；必要性：由正弦定理可知，a sin A ＝bsin B ，当sin A ＞sin B 时，a ＞b ，所以A ＞B ，故必要性成立．综上A ＞B 是sin A ＞sin B 的充分必要条件．答案：C4．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1＜ab ＜a 2＋b 22 B ．ab ＜1＜a 2＋b 22 C ．ab ＜a 2＋b 22＜1D.a 2＋b 22＜ab ＜1解析：∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ≠b ，a ＋b ＝2，∴ab ＜1， ∴a 2＋b 22＞a ＋b 2＞1，∴a 2＋b 22＞1，∴ab ＜1＜a 2＋b 22.答案：B5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，则函数f (x )在R 上单调递减，若x 1＋x 2＞0，则x 1＞－x 2，∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＜0.故选A. 答案：A6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：b ＝7－3＜c ＝6－2⇔7＋2＜6＋3⇔(7＋2)2＜(6＋3)2⇒9＋214＜9＋218⇒14＜18，成立，故b ＜c .又a －c ＝22－6＝8－6＞0，∴a ＞c .综上知，a ＞c ＞b . 答案：a ＞c ＞b7．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________．(选填“综合法”或“分析法”)解析：根据综合法的定义，综合法是指在推理的过程中，一环扣一环，始终是从已知推导出结论，最后得出所要证明的结论成立；分析法是指在推理的过程中，从结论入手，探索结论成立的充分条件，所以证明方法是应用了综合法．答案：综合法8.如图，在直四棱柱A 1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)解析：∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直四棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，则B1D1⊥平面A1ACC1，∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1.答案：BD⊥AC(答案不唯一)9．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：因为A、B、C成等差数列，所以有2B＝A＋C，因为A＋B＋C＝π，所以有2B＝π－B，解得B＝π3.因为a、b、c成等比数列，所以b2＝ac，由余弦定理可知：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝ac，因此(a－c)2＝0，解得a＝c，因为B＝π3，所以△ABC为等边三角形．10．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a－a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b . 法二：(分析法)要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．[B 组能力提升]11．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：设f (x )＝ln xx ，其导数f ′(x )＝1－ln x x 2，当1－ln x ＞0，即0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，e)上单增；当1－ln x ＜0，即x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )在(e ，＋∞)上单减；因为5＞4＞3＞e ，所以f (5)＜f (4)＜f (3)，即c ＜b ＜a .故选B. 答案：B12．命题“若x ＞y ，则(x －y )(x 3＋y 3)＝(x 2－y 2)(x 2－xy ＋y 2)”的证明过程：要证明(x －y )(x 3＋y 3)＝(x 2－y 2)(x 2－xy ＋y 2)，即证(x －y )(x 3＋y 3)＝(x －y )(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)．因为x ＞y ，即证x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)，即证x 3＋y 3＝x 3－x 2y ＋xy 2＋x 2y －xy 2＋y 3，即证x 3＋y 3＝x 3＋y 3，则上述证明过程应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：分析法是执果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…结合证明过程，证明过程应用了分析法．答案：A13．如果a a ＋b b ＞a b ＞b a ，则a ，b 应满足的条件是________．解析：因为a a ＋b b ＞a b ＋b a 移向得a a ＋b b －a b －b a ＞0⇔(a ＋b －2ab )(a ＋b )＞0，即要满足(a －b )2(a ＋b )＞0，可以看出式子左边是大于等于0的，故要排除等于0的情况．因为a ，b 求平方根，则必有a ≥0，b ≥0，若a ＝b 则有(a －b )2(a ＋b )＝0矛盾，故a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0，且a ≠b14．设a ＞0，b ＞0，则lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：(1＋a )(1＋b )－(1＋ab )2＝a ＋b －2ab ＝(a －b )2≥0，所以lg(1＋a )(1＋b )≥lg(1＋ab )2，即12[lg(a ＋1)＋lg(1＋b )]≥lg(1＋ab )．答案：≤15．设a ，b ，c ∈R ，求证：a 1＋a ＋ab ＋b 1＋b ＋bc ＋c1＋c ＋ca≤1.证明：要证原不等式成立，只需证b 1＋b ＋bc ＋c1＋c ＋ca ≤1＋ab 1＋a ＋ab ，只需证b ＋c ＋2bc ＋abc ＋bc 2(1＋b ＋bc )(1＋c ＋ca )≤1＋ab1＋a ＋ab，即证(b ＋c ＋2bc ＋abc ＋bc 2)(1＋a ＋ab )≤(1＋ab )(1＋b ＋bc )(1＋c ＋ac )，即证2abc ≤1＋a 2b 2c 2，即证(abc －1)2≥0. 显然此不等式成立，故原不等式得证．16．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解析：(1)设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝－2，则AC →·BC →＝(－x 1,1)·(－x 2,1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 的垂直平分线上，设圆心E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－m2，由|EA |＝|EC |得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－x 12＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋(y 0－1)2，化简得y 0＝1＋x 1x 22＝－12，所以圆E 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝⎝⎛⎭⎪⎫－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12. 令x ＝0得y 1＝1，y 2＝－2，所以过A ，B ，C 三点的圆在轴上截得的弦长为1－(－2)＝3，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。

高中数学第二章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法课时作业新人教版选修2-2-新人教版高二选

2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3，③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ，④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，从而a ＝c ，所以A ＝C .⑤ 由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C，证明：B ＝C .证明在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π0，b >0)是怎样证明的？答要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．思考2 证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件．小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．思考3 综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．例2 求证：3＋7<2 5.证明因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立．反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．证明方法一要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3. 探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q ；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P .若P ⇒Q ，则结论得证．例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ① sin θcos θ＝sin 2β. ②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β). 证明因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得 4sin 2α－2sin 2β＝1. ③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2(1＋sin 2βcos 2β)，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．反思与感悟用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．证明由tan(α＋β)＝2tan α 得sin (α＋β)cos (α＋β)＝2sin αcos α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.① 要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 这就是①式．所以，命题成立．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.解因为1log b a＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证． [呈重点、现规律]1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、基础过关1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sinA >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1答案 B解析因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．ab <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0 答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0，即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2，综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件．6．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0，只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立．二、能力提升8．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值()A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定答案 B解析 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0，又abc >0，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0. ∴ab ＋bc ＋ca <0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋caabc<0.9．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b . 10．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________．答案 p >q 解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2·(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .11.如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．12．若－1<x <1，－1<y <1，求证：(x －y 1－xy)2<1.证明要证明(x －y 1－xy)2<1，只需证明(x －y )2<(1－xy )2，即x 2＋y 2－2xy <1－2xy ＋x 2y 2，只需证明x 2＋y 2－1－x 2y 2<0，只需证明(y 2－1)(1－x 2)<0，即(1－y 2)(1－x 2)>0(*)．因为－1<x <1，－1<y <1，所以x 2<1，y 2<1.从而(*)式显然成立，所以(x －y 1－xy)2<1.13．求证：抛物线y 2＝2px (p >0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明 (如图)作AA ′、BB ′垂直于准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直于准线．只需证|MM ′|＝12|AB |.由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|.因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与拓展14．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明要证log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2)<log x (abc )．由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。

课时作业4：2.2.1综合法与分析法

课时作业2：2.2.1综合法和分析法一、选择题1．下列说法不正确的是（）Ａ．综合法是由因导果的顺推证法Ｂ．分析法是执果索因的逆推证法Ｃ．综合法与分析法都是直接证法Ｄ．综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用2．证明不等式√2+√7<√3+√6 的最适合的方法是（）Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．间接证法Ｄ．合情推理法3．用反证法证明“如果a>b，则a3>b3”假设的内容是（）Ａ．a3=b3Ｂ．a3<b3Ｃ．a3=b3且a3<b3Ｄ．a3=b3或a3<b34．若a,b,c是不全相等的实数，求证：．a2+b2+c2>ab+bc+ca证明过程如下：a,b,c∈R，∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac又a,b,c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca)，a2+b2+c2>ab+bc+ca．此证法是（）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法5．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（）Ａ．一定是异面直线Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线Ｄ．不可能是相交直线6．使不等式1a <1b成立的条件是（）Ａ．a>bＢ．a<bＣ．a>b，且ab<0Ｄ． a>b，且ab>0二、填空题7．已知a>0,b>0,m=lg√a+√b2,n=lg√a+b2，则与的关系为．8．当a>0,b>0时，①(a+b)(1a +1b)≥4；②a2+b2+2≥2a+2b；∴a b，c a∥c bm n≥√ab．③√|a−b|≥√a−√b；④2aba+b以上4个不等式恒成立的是．（填序号）9．设y=f(x)(x∈R,x≠0)对任意非零实数x1,x2均满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，则f(x)为函数．（填“奇”或“偶”）10．已知平面α,β和直线m，给出条件：①m//α；②m⊥α；③m α；④α⊥β；；⑤α//β；．（1）当满足条件时，有 m//β，（2）当满足条件时，有m⊥β．（填所选条件的序号）11．设函数f(x)=|lgx|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，则a b∈．三、解答题12．已知数列{a n}为等差数列，公差d=1，数列{c n}满足c n=a n2−a n−12．判断数列{c n}是否为等差数列，并证明你的结论．13．求证抛物线y2=2px(p>0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x=−p相切（用分析法证）．214.、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2>(a−b+c)2答案1【答案】Ｄ2【答案】Ｂ3【答案】Ｄ4【答案】Ｂ5【答案】Ｃ6【答案】D7【答案】 m ≤n8【答案】①②③9【答案】偶10【答案】③⑤，②⑤11【答案】(0，1)12【答案】是．证明：由条件a n =a 1+(n −1)，则c n =a n 2−a n−12=−2n −2a 1+1所以c n+1−c n =−2，所以数列{c n }为等差数列．13证明：（如图）作AA ′，BB ′垂直准线，取AB 的中点，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证，|MM ′|=12|AB | 由抛物线的定义：|AA ′|=|AF |，|BB ′|=|BF | 所以|AB |=|AA ′|+|BB ′|，因此只需证|MM ′|=12(|AA ′|+|BB ′|)．根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以过焦点的弦为直径的圆必与x =−p 2相切．14【解析】左－右=2（ab +bc －ac ），∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac 又∵a ，b ，c 都是正数，所以0b∴2(ab +bc −ac )=2(ab +bc −b 2)=2b(a +c −b)>0 ∴a 2+b 2+c 2>(a −b +c )2 M AA AF '=。

课时作业14：2.2.1 综合法和分析法

2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜03．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥βB ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂αC ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥βD ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α4．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．5．(2013·重庆卷)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内6．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋ cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)＝________．8．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P 、Q 的大小关系是 _______________________________________________________9．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3.10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．参考答案1.答案：C2.解析：要证明b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2＜0，即证2a 2－ac －c 2＞0，即证(a －c )(2a ＋c )＞0，即证(a －c )(a －b )＞0.故选C3.解析：A ，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ，这两个平面有可能平行或重合；D ，是成立的，故选D.4.解析：令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则由题意知f (1)＜0，即12＋(k －3)×1＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.答案：(－2，1)5.解析：因为a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.6.解析：∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝⎛⎭⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，∴①②④正确．故选C.7.解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋ cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－12. 答案：－128.解析：用分析法，要证P <Q ，需证P 2<Q 2即可．答案：P <Q9.证明：要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3，只需证：a 2＋b 2＋c 23≥⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c 32，只需证：3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证：(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3成立． 10.证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac . 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2，代入上式得（a ＋c ）42＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C .而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．。

高中数学选修2-2学案7：2.2.1 综合法和分析法

2.2.1 综合法和分析法学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．学习过程：教材新知：知识点一：综合法提出问题：阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期．证明：因为f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期．问题1：本题的条件和结论各是什么？问题2：本题的证明顺序是什么？导入新知1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示 P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.知识点二：分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题．求证：6＋7≥22＋ 5.证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？问题2：证明思路是什么？导入新知1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.例题讲解：题型一：综合法的应用例1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．活学活用：已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b≥9.题型二：分析法的应用例2：设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.题型三：综合法和分析法的综合应用例3：已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．活学活用：设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.课堂检测：1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中，至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)23．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立． 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋b a≥ a ＋b .(要求用两种方法证明)——★ 参考答案 ★——教材新知：知识点一：综合法问题1：条件：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期．问题2：从已知利用诱导公式到待证结论．知识点二：分析法问题1：从结论开始．问题2：寻求每一步成立的充分条件．例题讲解：例1：证明：∵a ，b ，c 是正数，∴b 2＋c 2≥2bc ，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .①同理，b (c 2＋a 2)≥2abc ，②c (a 2＋b 2)≥2abc .③∵a ，b ，c 不全相等，∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”，∴①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .活学活用：证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1＝5＋4b a ＋a b≥5＋2 4b a ×a b＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b，即a ＝2b 时“＝”成立. 例2：证明：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．活学活用：证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1. ∵A ，B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0.即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.例3：证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.活学活用：证明：法一：(分析法)要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0，所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2，即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．课堂检测：1．[解析]由于a ，b ，c 不全相等中含有a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正确．[答案]C2．[解析]要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案]C3．[解析]本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．[答案]综合法4．[解析]用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案]a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥05．证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b－1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二：(分析法)要证a b ＋b a ≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

2022_2022学年高中数学课时作业7分析法综合法北师大版选修4_5202222202254

课时作业(七)1．a ，b ，c 满足c<b<a 且ac<0，那么一定成立的是( ) A ．ab>ac B ．c(b －a)<0 C ．b 2<ab 2D ．ac(a －c)>0答案 A解析 ∵c<b<a，ac<0，∴c<0，a>0. 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C ．(a ＋b 2)2－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D3．设a>b>0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，那么( ) A ．m<n B ．m>n C ．m ＝n D ．不能确定答案 A4．x>0，y>0，那么以下关系式成立的是( )A ．(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13B ．(x 2＋y 2)12＝(x 3＋y 3)13C ．(x 2＋y 2)12<(x 3＋y 3)13 D ．(x 2＋y 2)12≤(x 3＋y 3)13答案 A5．0<a<10 B ．log a b ＋log b a ＋2<0 C ．log a b ＋log b a ＋2≥0 D ．log a b ＋log b a ＋2≤0答案 D6．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)25，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a答案 A解析构造指数函数y ＝(25)x，该函数单调递减，所以b<c.又y ＝(25)x 与y ＝(35)x 有如下关系：当x>0时，(35)x >(25)x，故a>c ，应选A.7．设13<(13)b <(13)a<1，那么( )A ．a alog 33＝12，故c<a<b.9．a ，b ，c 为三角形的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，那么( ) A ．S ≥2P B ．P<S<2P C ．S>P D ．P ≤S<2P答案 D解析 S －P ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac)＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]≥0，∴S≥P.S －2P ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab －2bc －2ac ＝(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2－a 2－b 2－c 2， ∵a ，b ，c 为三角形的三边，∴a －b<c ，b －c<a ，c －a<b. ∴S －2Py11．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，那么a ，b ，c 的大小顺序是________．答案 a>b>c12．当c>1，m ＝c ＋1－c ，n ＝c －c －1时，m ，n 的大小关系是________．答案 m<n13．a>0，b>0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lg a ＋b2，那么m 与n 的关系为________．答案 m≤n解析要比拟lg a＋b2与lga＋b2的大小，只需比拟a＋b2与a＋b2，即只需比拟a＋b与2〔a＋b〕，即只需比拟2a·b与a＋b，∵2a·b≤a＋b，∴m≤n.14．要使3a－3b<3a－b成立，a，b应满足的条件是________．答案ab>0且a>b或ab<0且a<b解析要使3a－3b<3a－b成立，只需(3a－3b)3<(3a－b)3，化简得33ab(3b－3a)<0，故a，b应满足的条件是ab>0且a>b或ab<0且a<b.15．(用分析法或者综合法证明)a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证明：a－3＋a－6<a－4＋a－5，只需证明：〔a－3〕〔a－6〕<〔a－4〕〔a－5〕，只需证明：(a－3)(a－6)<(a－4)(a－5)，只需证明：18<20，显然成立，所以a>6时，a－3－a－4<a－5－a－6.16．(2022·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)假设ab>cd，那么a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．解析(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋ d.(2)①假设|a－b|<|c－d|，那么(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋ d.②假设a＋b>c＋d，那么(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．1．使不等式1a <1b 成立的条件是( )A ．a>bB ．a<bC ．a>b 且ab<0D ．a>b 且ab>0答案 D解析 A ，B ，C 不满足倒数法那么． 2．设a>2，x ∈R ，M ＝a ＋1a －2，N ＝(12)x 2－2，那么M ，N 的大小关系是( ) A ．M<N B ．M>N C ．M ≤N D ．M ≥N答案 D 解析 ∵a>2，∴M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.∵x 2－2≥－2，∴N ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4.∴M ≥N.3．假设a ，b ，c>0，M ＝a 3＋b 3＋c 3a ＋b ＋c ，N ＝a 2＋b 2＋c 23，那么M ，N 的大小关系为________．答案 M≥N解析因为a 2＋b 2≥2ab ，a ，b>0，所以(a 2＋b 2)(a ＋b)≥2ab(a＋b)，所以a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2a 2b ＋2ab 2，所以a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2，同理：b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，将三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2，所以3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c)＋(b 3＋b 2a ＋b 2c)＋(c 3＋bc 2＋ac 2)＝(a ＋b ＋c)(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 3＋b 2＋c 3a ＋b ＋c ≥a 2＋b 2＋c23.4．设a>0，b>0，c>0，证明： (1)1a ＋1b ≥4a ＋b；(2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 证明 (1)因为a>0，b>0，所以(a ＋b)(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4. 所以1a ＋1b ≥4a ＋b .(2)由(1)知1a ＋1b ≥4a ＋b ，同时，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a ，三式相加得：2(1a ＋1b ＋1c )≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ，所以12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.5．设a ＋b ＝1，a>0，b>0，求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252.证明要证(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252，只需证a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4≥252，只需证a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2≥172，∵ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1ab ≥4.∴1a 2＋1b 2≥2ab≥8. 又∵a 2＋b 2≥2(a ＋b 2)2＝12，∴a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2≥172.∴原不等式得证．。

课时提升作业七 2.2

课时提升作业七综合法与分析法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·淄博高二检测)已知p:ab>0,q:+≥2,则p与q的关系是( )A.p是q的充分而不必要条件B.p是q的必要而不充分条件C.p是q的充要条件D.以上答案都不对【解析】选C.若ab>0,则>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立.反之,若+≥2,即≥2,所以ab>0.综合上述,p是q的充要条件.2.(2016·商丘高二检测)设<<<1,则( )A.a a<a bb>0,m=-,n=,则( )A.m<nB.m>nC.m=nD.不能确定【解析】选A.因为a>b>0,所以>,所以->0,>b.(-)2-()2=a+b-2-(a-b)=2(b-)<0.所以(-)2<()2.所以-<,即m<n.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设y=-,x=-,则x,y的大小关系是________.【解析】y=-=,x=-=,因为+>+>0,所以x>y.答案:x>y5.已知a>0,b>0且a+b=1,则++与8的大小关系是________. 【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,所以1=a+b≥2>0,进而得≥2,于是得≥4.又因为++===2·≥8.故++≥8.答案:++≥8三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·德州高二检测)已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.【证明】因为x>0,y>0,x+y=1,所以===5++≥5+2=9,当且仅当x=y时等号成立.所以≥9.7.设a>0,b>0,c>0.证明:(1)+≥.(2)++≥++.【证明】(1)因为a>0,b>0,所以(a+b)≥2·2=4.所以+≥.(2)由(1)知+≥,同时,+≥,+≥,三式相加得:2≥++,所以++≥++.8.(用分析法或者综合法证明)已知a>6,求证:-<-. 【证明】要证-<-,只需证明:+<+,只需证明:<,只需证明:(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证明:a2-9a+18<a2-9a+20,只需证明:18<20,显然成立,所以a>6时,-<-.【补偿训练】已知a>0,->1,求证:>.【证明】要证明>,只需证>1,即(1+a)(1-b)>1.只要证a-b-ab>0成立.因为a>0,->1.所以a>0,b>0,>0,所以a-b-ab>0成立.故>成立.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x>0,y>0,则下列关系式成立的是( )A.(x2+y2>(x3+y3B.(x2+y2=(x3+y3C.(x2+y2<(x3+y3D.(x2+y2≤(x3+y3【解析】选A.(x2+y2>(x3+y3成立,下面证明:要证明(x2+y2>(x3+y3,只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.因为x>0,y>0,所以x2y2>0,即证3x2+3y2>2xy.因为3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立.所以(x2+y2>(x3+y3.2.(2016·青岛高二检测)设a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( ) A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3C.++≥2D.abc(a+b+c)≤【解析】选B.因为a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)=3.当且仅当a=b=c时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是________.【解析】用分析法比较,a>b⇔+>+⇔8+2>8+2.同理可比较得b>c.所以a>b>c.答案:a>b>c4.当c>0,m=-,n=-时,m,n的大小关系是________.【解析】由<=,得+<2,即-<-,即m<n.答案:m<n三、解答题(每小题10分,共20分)5.若不等式++>0在条件a>b>c时恒成立,求实数λ的取值范围.【解析】不等式可化为+>.因为a>b>c.所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以λ<+恒成立.因为+=+=2++≥2+2=4.所以λ<4.故实数λ的取值范围是(-∞,4).6.(2016·成都高二检测)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞).求证:+≥,指出等号成立的条件.【证明】+-==≥0.当且仅当ay=bx时等号成立.。

人教版数学高二课时作业综合法和分析法

§2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法一、选择题1.要证明3＋6＜19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是( )A.综合法B.分析法C.特殊值法D.其他方法2.已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.b ＞a ＞cD.a ＞c ＞b3.若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( ) A.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正、负不能确定4.设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A.aB.bC.cD.不能确定5.已知A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件6.已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题7.定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫512的大小关系是______________. 8.已知函数y ＝x ＋2a x在[3，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________.9.函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________. 10.当n ∈N *时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (1)＝1，N (2)＝1，N (3)＝3，N (4)＝1，N (5)＝5，N (10)＝5，记S (n )＝N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)(n ∈N *)，则：(1)S (3)＝__________；(2)S (n )＝__________.三、解答题11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数.12.如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值.13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.答案精析1．B2．C [由a 2＋c 2＞2ac ，a 2＋c 2＝2bc ，得2bc ＞2ac .又∵c ＞0，∴b ＞a ，可排除A ，D.令a ＝2，b ＝52，可得c ＝1或c ＝4，可知C 可能成立．] 3．B [∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，且a 2＋b 2＋c 2＞0(由abc ＞0，知a ，b ，c 均不为零)，∴ab ＋bc ＋ac ＜0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＜0.] 4．C [∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0， ∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a 0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .]6．B [若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．]7．f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512 解析 f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，故f (x )关于x ＝2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512. 8.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析若函数y ＝x ＋2a x 在[3，＋∞)，上是增函数，则y ′＝1－2a x 2在[3，＋∞)大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2a x 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，∴a ≤92.9．4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)恒过点A (1,1)，点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n －1＝0即m ＋n ＝1.又m ·n ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·m n ＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)． 10．(1)16 (2)4n －1解析 (1)依题意知，S (3)＝N (4)＋N (5)＋N (6)＋N (7)＝1＋5＋3＋7＝16.(2)依题意得，N (2n )＝1.当n 为奇数时，N (n )＝n .在从2n －1到2n －1这2n －1个数中，奇数有2n －2个，偶数有2n －2个．在这2n －2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同．注意到N (2n－1)＝1，N (2n －1)＝2n －1，且从N (2n －1)到N (2n －1)共有2n －1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n －1，而从1到2n －1共有2n －1个连续的奇数，因此N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)＝1＋3＋5＋…＋2n －1＝2n －1(1＋2n －1)2＝4n －1，即S (n )＝4n －1.11．证明设点P (x ，y )是函数y ＝f (x )上任一点，∵f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．则点P ′(－x ，y )在函数y ＝f (x ＋1)的图象上．∴y ＝f (－x ＋1)，又y ＝f (x )，∴f (x )＝f (－x ＋1)．∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－x ＋12＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． 12．证明设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ， ∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x 消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值． 13．(1)解当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项， 1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业综合法与分析法

第二章 §2.2 课时作业18一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A. (2－3)2<(6－7)2 B. (2－6)2<(3－7)2 C. (2＋7)2<(3＋6)2 D. (2－3－6)2<(－7)2解析：A 中，2－3<0，6－7<0平方后不等价；B 、D 与A 情况一样；只有C 项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案：C3．在△ABC 中，A >B 是cos2B >cos2A 的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件解析：∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B (由正弦定理得)，又cos2B >cos2A ⇔1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇔sin 2B <sin 2A ⇔sin B <sin A .∴A >B ⇔cos2B >cos2A .故选C.答案：C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数，且a b <c d，则( )A. a b <a ＋c b ＋d <c dB. a ＋c b ＋d <a b <c dC. a b <c d <a ＋c b ＋dD. 以上均可能解析：先取特值检验，∵a b <c d，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <c d . ∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d，∵a 、b 、c 、d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d. 故A 正确，B 、C 、D 不正确．答案：A二、填空题5．设n ∈N ，a ＝n ＋4－n ＋3，b ＝n ＋2－n ＋1，则a ，b 的大小关系是________．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小，即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1) ＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号， ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2hslx3y3h(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)－2，32) 三、解答题 8．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.证法一：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.证法二：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2，只需证a3＋b3－a2b－ab2>0，即证(a－b)2(a＋b)>0.∵a>0, b>0, ∴a＋b>0，又∵a≠b, ∴(a－b)2>0，∴(a－b)2(a＋b)>0成立．∴原不等式成立．9．证明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则b2－aca< 3.证明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.要证b2－aca<3，只需证b2－ac<3a，即证b2－ac<3a2.因为b＝－a－c, 故只需证(a＋c)2－ac<3a2, 即证2a2－ac－c2>0, 即证(2a＋c)(a－c)>0. ∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，∴(2a＋c)(a－c)>0成立．∴原不等式成立．。

人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2课时作业 2.2.1 综合法与分析法

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法与分析法一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >02．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( )A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 23．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<06．若A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B.2 C ．2D ．1二、填空题8．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．9．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为____________)，只需证____________，只需证AE ⊥BC (因为__________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______________)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．10．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为ln(1＋ab )________12．三、解答题11．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：当x >1时，f (x )<32(x －1)．12．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋b a>a ＋b .13．在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列，求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .四、探究与拓展14．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)15．已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).(你能用几种方法证明？)答案精析1．A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B8．a >b >c9．EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC10．≤11．证明记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0. 又g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，即f (x )<32(x －1)． 12．证明方法一 (综合法)a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，故a b ＋b a>a ＋b . 方法二 (分析法)要证a b ＋b a >a ＋b ，只需证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋b a>a ＋b 成立．13．证明 ∵左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边． ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b . 14．对角线互相垂直(答案不唯一)15．证明方法一 (分析法)①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2.即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2，即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二 (综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法三 (比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四 (放缩法)为了避免讨论，由ac ＋bd ≤|ac ＋bd |，可以试证(ac ＋bd )2≤ (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五 (构造向量法)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。

课时作业2：2.2.1 综合法与分析法

2.2.1 综合法与分析法一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是 ( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b D ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b 答案 C解析对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22 C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1答案 B解析因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab . 又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝（a ＋b ）2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0，只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0，3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立．二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a 0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，ba <0，即ab <0.又若ab <0，则a b <0，ba <0. ∴ab ＋b a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2，综上，ab <0是a b ＋ba ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件． 10. 如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可．11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a ＞1.求证：1＋a ＞11－b. 证明要证1＋a ＞11－b成立，只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a ＞1.由已知a ＞0，1b －1a ＞1成立， ∴1＋a ＞11－b成立． 12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |，所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜74.(1)解当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a nn＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a nn ＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明因为1a n＝1n 2＜1（n －1）n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

20-21版：2．2.1　综合法和分析法（步步高）

§2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学习目标 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法与分析法，学会用它们证题的思维方式及步骤.2.通过学习，对比、理解综合法与分析法的联系与区别，能运用这两种方法证明常见的数学问题．知识点一综合法1．定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二分析法1．定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件思考综合法和分析法有什么联系？答案分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用．1．综合法是执果索因的逆推证法．(×)2．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(√)3．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(√) 4．分析法证明过程中要“步步可逆”．(×)一、综合法的应用例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：b 2－c 2a 2＝sin (B －C )sin A. 证明由余弦定理可得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，于是b 2－c 2＝a 2－2ac cos B ，因此b 2－c 2a 2＝a 2－2ac cos B a 2＝1－2c cos B a. 又根据正弦定理可得c a ＝sin C sin A，所以b 2－c 2a 2＝1－2sin C cos B sin A＝sin A －2sin C cos B sin A ＝sin (B ＋C )－2sin C cos B sin A＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin C cos B sin A＝sin B cos C －cos B sin C sin A＝sin (B －C )sin A . 故原等式成立．反思感悟综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明 ∵b 2＋c 2≥2bc ，又a >0，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .又c 2＋a 2≥2ac ，b >0，∴b (c 2＋a 2)≥2abc .∴a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)二、分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．反思感悟分析法的证明过程、书写形式及使用范围(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．(3)适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件较少而结论式子较复杂的问题．跟踪训练2 已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角．证明要证B 为锐角，根据余弦定理，只需证cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac>0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2，要证a 2＋c 2－b 2>0，只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列，∴1a ＋1c ＝2b，即2ac ＝b (a ＋c )．要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0，即b (a ＋c －b )>0，而b (a ＋c －b )>0显然成立，∴B 为锐角．1．若a >b >0，则下列不等式不正确的是( )A ．a 2>abB ．ab >b 2 C.1a >1bD ．a 2>b 2答案 C解析由已知a >b >0，显然推出A ，B ，D 正确．2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a 2＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证(a 2－1)(1－b 2)≤0，即只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0. 3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x中最大的是( ) A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值的不同而不同答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ，∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 4．要证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2，只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的值为________．答案 π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.1．知识清单：(1)综合法．(2)分析法．2．方法归纳：综合法、分析法．3．常见误区：综合法证题条件不充分，分析法格式错误．。

20-21版：2.2.1　综合法与分析法（步步高）

§2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．知识点二综合法1．定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．逻辑关系：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n⇒Q(结论)．3．特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．知识点三分析法1．定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．逻辑关系：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．3．特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．4．证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立．1．综合法是执果索因的逆推证法．(×)2．分析法就是从结论推向已知．(×)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(√)一、综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，因此，B ＝π3，由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac .又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c .故△ABC 是等边三角形．反思感悟用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．跟踪训练1 已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明 ∵b 2＋c 2≥2bc ，又a >0，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .又c 2＋a 2≥2ac ，b >0，∴b (c 2＋a 2)≥2abc .∴a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)二、分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明当a ＋b ≤0时，因为a 2＋b 2≥0，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b ＞0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .由于a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )．反思感悟 (1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．(3)适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件较少而结论式子较复杂的问题．跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．证明要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，所以a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)．三、综合法与分析法的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证．反思感悟 (1)有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”．(2)在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表达过程较为烦琐，而综合法表达证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程．(3)掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，提升逻辑推理的数学核心素养．跟踪训练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2. 证明由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b ,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy . 由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．若a >b >0，则下列不等式中不正确的是( )A ．a 2>abB ．ab >b 2 C.1a >1bD ．a 2>b 2答案 C解析若a >b >0，则1a <1b. 2．要证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案 C解析根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2，只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2. 3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x中最大的是( ) A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同答案 A解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ，∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0，∴c >b >a . 4．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法5．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．。

2.2.综合法和分析法-人教A版选修1-2教案

2.2.综合法和分析法-人教A版选修1-2教案一、教学目标1.了解什么是综合法和分析法。

2.掌握综合法和分析法的基本概念。

3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。

二、教学重难点1.综合法和分析法的基本概念及其应用。

2.综合法和分析法的区别和联系。

3.如何在实际问题中选择合适的方法。

三、教学内容3.1 综合法综合法是将两种或两种以上方法综合运用，以利用各自的优点，而消除各自的缺点，以达到更为有效的结果。

在实际工作或研究中，有些问题只采用单一的方法是无法解决的，或者采用单一的方法结果不够令人满意，此时就需要采用综合法。

综合法的主要优点是能够更全面、更充分地揭示和解决问题，但由于需要较高的技术水平和经验，所以在实践中的应用还比较有限。

3.2 分析法分析法是将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，分别进行研究和解决，最后再将各个子问题的解汇总成为原问题的解。

分析法的主要优点是能够将复杂的问题化繁为简，易于理解和掌握，同时也便于应用计算机模拟等方法进行研究。

分析法的应用范围广泛，如在生产管理、战略决策、工程设计、统计预测等领域中均有广泛应用。

3.3 综合法和分析法的区别和联系综合法和分析法的区别在于，综合法是将两种或两种以上方法综合运用，以达到更为有效的结果；而分析法则是将问题分解为若干个简单的子问题，分别进行研究和解决。

它们的联系在于，都是应用多种方法来解决问题，但是综合法强调的是方法之间的互补性，而分析法则强调的是问题的分解和综合。

3.4 实例分析以企业生产计划为例，如果采用单一的方法很难解决问题，可能需要综合使用多种方法。

比如，可以采用分析法将生产计划分解为具体的生产任务，再利用线性规划等方法进行求解；也可以采用模拟和试验相结合的方法，对生产过程进行优化。

这样就可以更好地解决生产计划中所涉及的复杂问题。

四、教学方法本节课采用“讲授结合案例分析”的教学方法。

通过讲述和讨论实际问题，既能深入理解综合法和分析法的基本概念和应用，又能提高学生的实际应用能力。