高等数学模拟试卷

模拟试卷1

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1.极限=→x

x

x x sin 1sin

lim

2

____________

【 】 A 、0 B 、1 C 、∞ D 、不存在,但不是∞

2．曲线x y sin 2

+=

π

在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为____________ 【 】

A 、

2

π

B 、

4

π

C 、0

D 、1

3.设)12)(1()(+-='x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在区间)1,2

1(内)(x f ____________ 【 】

A 、单调增加,曲线)(x f y =为凹的;

B 、单调减少,曲线)(x f y =为凹的;

C 、单调减少,曲线)(x f y =为凸的;

D 、单调增加,曲线)(x f y =为凸的.

4. 设⎪⎩⎪

⎨⎧>=<+=a

x x a x a a

x x x f ,,,12)(3

，若)(x f 在点a x =处连续，则常数a =____________ 【 】

A 、0

B 、1

C 、1-

D 、2

5.数列有界是数列收敛的____________ 【 】

A 、充分条件，但不是必要条件

B 、必要条件，但不是充分条件

C 、充分且必要条件

D 、既非充分条件也非必要条件

6. 设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是____________ 【 】

A 、)()

()(lim

0000

x f x

x f x x f x '=∆-∆-→∆ B 、)0()

0()(lim

f x

f x f x '-=--

→

C 、)()

()(lim

0000

x f h

h x f h x f h '=--+→ D 、)(2)

()(lim

0000

x f h

h x f h x f h '=--+→.

7.函数1ln )(-=x x f 的导数为____________ 【 】

A 、1

1)(-='x x f B 、 1

1)(-='x x f

C 、x x f -=

'11)( D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-='1

,

111

,

1

1

)(x x

x x x f

8.已知C e

xe

dx x f x

x

+-=⎰)(,则='⎰dx x f )(____________ 【 】

A 、C e

xe

x

x

+- B 、C xe x

+ C 、C e

xe

x

x

++ D 、C e

xe

x

x

+-2

9.当0→x 时,⎰

=

x

dt t x f 0

2sin )(是比4

3

)(x x

x g +=的____________无穷小. 【 】

A 、高阶

B 、低阶

C 、同阶但不等价

D 、等价

10.设)(x f 在],[a a -上连续,则⎰

-a a

dx x f )(恒等于___________ 【 】

A 、⎰

a dx x f 0

)(2 B 、0 C 、⎰-+a

dx x f x f 0

)]()([ D 、⎰--a

dx x f x f 0

)]()([

二、填空题（每小题2分，共10分）

1.设)(x y y =是由方程0=-+e xy e y

所确定,则当1.0,00=∆=x x 时,其微分________ 2．=+++∞

→1

)

1

232(

lim x x x x = ____________

3．设)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f ____________ 4．若函数x x a x f 3sin 3

1sin )(+

=在3

π

=

x 处取得极值,则=a ____________

5．定积分=++⎰

-dx x

x

x x 11

4

6

231

2sin ____________

三、计算题（每小题8分，共40分）

1．求极限]1)

1ln(1[

lim 0

x

x x -

+→

2．设)(x y y =是由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=t

y t

x arctan 1ln 2所确定的函数，求y y ''',

3．求不定积分⎰dx e x

3

4．求定积分dx x x ⎰

-π

4

2

cos

cos

5． 设⎪⎩

⎪

⎨⎧>+≤+=1

11

2

)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导,求b a ,的值.

四、应用题（每小题10分，共20分）

1．制作一个容积固定的圆柱形有盖的桶,问高和底半径取多大尺寸时,用料最省. 2．求由曲线x

y 1=

、直线x y =和2=x 所围成的平面图形的面积,以及此平面图形

绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.

五、证明题（1小题，10分）

当0>x 时，证明：2

2

1)1ln(1x

x x x +>

+++