高考数学课程一轮复习 第57课时 数学归纳法

第57课时 数学归纳法【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考的《考试说明》要求“了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”．数学归纳法是证明关于自然数n 的命题的一种方法，证明时两个步骤缺一不可，步骤（1）是步(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．但数学归纳法的关键在于步骤(2)，即由n=k 推证n=k ＋1，其中特别要注意由n=k 推证到n=k ＋1的过程中需用上归纳假设．考点一: 数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：1.先证明当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n =k （k ∈N *，k ≥n 0）时命题成立，并证明当n =k +1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）时结论正确取第一个值证明0n n ；（2）时结论也正确证明当时结论正确且假设1,),(0+=≥∈=*k n n k k k n N .在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 考点二: 数学归纳法的应用1.用数学归纳法证明问题的步骤：①验证命题对第一个正整数0n n =时成立.②假设命题当n =k )(0n k ≥时成立，证明n =k +1时命题成立.则由①②可知对一切0n n ≥的正整数命题成立.整个证题过程可简记为一验、二设、三证、四总结.2.数学归纳法的应用范围数学归纳法的应用证明恒等式证明不等式证明整除性问题证明几何问题【小题热身】明确考点，自省反思1. 用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k到k +1”左端需增乘的代数式为 .2.如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是 .①P （n ）对n ∈N*成立 ②P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立 ③P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立 ④P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立3. 用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007黄冈模)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为 .思路透析:∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除.证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1 －(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2 (k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36.点评:用数学归纳法证明整除性问题，经常要用到“凑”的技巧，即凑成归纳假设的形式及含有整除因式的形式．可概括为“提出因子，凑成假设，数字不符，多退少补”．例2.已知数列｛n a a ｝满足：a 1＝32，且a n ＝113221n n na n n N a n *≥∈－－（，）＋－ (Ⅰ)求数列｛n a a ｝的通项公式；(Ⅱ)证明：对于一切正整数n ，不等式!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅恒成立. 思路透析:（Ⅰ）将条件变为：)11(3111---=-n n a n a n ， 因此，}1{na n-为一个等比数列，其首项为31111=-a ，公比为31，从而n n a n 311=-，据此得)1(133≥-⋅=n n a n n n .① （Ⅱ）证：据①得，)311()311)(311(!221n n n a a a -⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅为证!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅，只要证*N n ∈时有21)311()311)(311(2>-⋅⋅⋅--n.②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个*N n ∈，)313131(1)311()311)(311(22n n +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--.③用数学归纳法证明③式：1)当1=n 时，显然③式成立，2)设k n =时，③式成立，即)313131(1)311()311)(311(22kk +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--， 则当1+=k n 时，)311)(313131(1)311)(311()311)(311(1212++-+⋅⋅⋅++-≥--⋅⋅⋅--k k k k≥+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++-=++)313131(3131)313131(12112k k k k )31313131(112+++⋅⋅⋅++-k k即当1+=k n 时，③式也成立，故对一切*N n ∈，③式都成立.利用③得，)313131(1)311()311)(311(22nn +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--=])31(1[211n --21)31(2121>+=n .故②式成立，从而结论得证.点评:先递推得数列｛n a a ｝的通项公式,代入不等式的左边,再利用数学归纳法证明此不等式.用数学归纳法证明数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中等数学中的一个基本方法，近些年高考试题中多次出现这类考题．运用这种方法证明不等式时，从k 到(k ＋1)的过程中是关键．例3.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．思路透析:(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ① 由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立．(ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…．点评:由特殊到一般先写出前几项,通过猜想法得出其前n 项之和,利用数学归纳法证明猜想的正确性,最后利用前n 项和求通项公式即可.在数学归纳法第二步中，证明" n=k+1’ " 命题成立时，必须用到n=k 命题成立这一归纳假设，否则就打破了数学归纳法步骤间逻辑的严密关系，造成推理无效.例4.已知数列{}n a 中，12a =，11)(2)n n a a +=+，1,2,3,n = （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中，12b =，13423n n n b b b ++=+，1,2,3,n = ，43n n b a -≤，1,2,3,n =思路透析:（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==11b a <≤，结论成立． （ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…． 点评:在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键．这就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明数列不等式问题中经常用到．【即时测评】学以致用，小试牛刀1.某个命题与自然数n 有关，若n =k （k ∈N ）时该命题成立，那么可推得当n =k +1时该命题也成立，现已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得当n =( ) 时该命题成立. A. 3 B. 4 C. 5 D. 62.用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证n =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.用数学归纳法证明命题：当n ∈N 时，11n +2+122n +1能被133整除，假设n ∈k ， k ∈N *时命题成立，推论n =k +1时命题也成立，应添加的辅助项为( ) A. 122k +2－11·122k +1 B. 11·122k +1－122k +2 C. 11·122k +1－11·122k +1 D. 122k +2－122k +14.用数学归纳法证明等式：422*123()2n n n n N +++++-∈ ，则从n k =到1n k =+时左边应添加的项为( )A.2222(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++++B.2222(1)(2)(3)k k k k +++++++C. 22222(1)(2)(3)(1)k k k k k +++++++++ D. 22222(1)(2)(3)k k k k k ++++++++【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *）,在验证n =1成立时，左边计算所得的项是 .2. 用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，x n +y n 能被x +y 整除”时，第2步归纳假设应写成假设n = (k ∈N *)时正确，再推证n = 时正确.3. 设凸k 边形的内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和f (k +1)=f (k )+ .4. 设f (n )=nn n n ++⋯++++１2111,n ∈N*,那么f (n +1)-f (n )等于 . 5.已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.6. 设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 . ①若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 ②若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 ③若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立④若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立 二、解答题:7.是否存在常数a 、b 使等式2)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅bn n an n n n 对一切n ∈N *都成立.8.（全国Ⅰ卷）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-. （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .第57课时 数学归纳法参考答案【小题热身】1. 2（2k +1）2. ④3. 2k 【即时测评】1. B2. C3. C4. A【课后作业】一、填空题:1. 1+a +a 22. 2k －1, 2k +13. π4.112122n n -++ 5. 37、83、93、103, 35n + 6. ④ 二、解答题:7. 解析: 证明：令n =1，2，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=-41231013b a b a b a 解得 现用数学归纳法证明对n ∈N *，都有24)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅n nn n n n 证明：（1）当n =1时，由上可知等式成立（2）假设n =k 时，（k ∈N *)，等式成立即2)12)(12(5323112222++=+-+⋅⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k 成立 当n =k +1时)32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(532311222222++++++=+++++-+⋅⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k k k k k k k =)32)(12(2)1(2)32)(12(2)32)((22++++++++k k k k k k k k =)32)(12(2)]1(2)32()[1(++++++k k k k k k =)32)(12(2)252()1(2++++⋅+k k k k k =2)1(4)1()1()32)(12(2)2)(12)(1(2+++++=+++++k k k k k k k k ∴n =k +1时，等式成立，由（1）（2）知.对一切n ∈N *，等式都成立. 8. 解析：（Ⅰ）nn n n a a a a 22212521-=--=-+， 12142222n n n n a a a a +∴==+---， 即.241+=+n n b b 1224()33n n b b +∴+=+， 又121,1111-=-==a b a 故 所以23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为31-，公比为4的等比数列，143132-⨯-=+n n b 142.33n n b -∴=-（Ⅱ）.2,1,11221>>-==c a a c a a 得由 用数学归纳法证明：当2>c 时，.1+<n n a a （i ）当1=n 时，1121a a c a >-=，命题成立； （i i ）设当k n =时，1+<k k a a ，则当1+=k n 时，.11112+++=->-=k kk k a a c a c a 故由（i ），（ii ）知当2>c 时，1+<n n a a当2>c 时，令242-+=c c α，由c a a a a nn n n =+<++111得.α<n a 当3102≤<c 时，.3≤<αn a 当310>c 时，αα<≤>n a 1,3且，于是 )(31)(11n n n n a a a a -≤-=-+αααα， 11(1).3n n a αα+∴-≤- 当31log 3-->ααn 时， .3,311>-<-++n n a a αα 因此310>c 不符合要求．所以c 的取值范围是].310,2(。